专题02 解三角形（10大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题02 解三角形（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 余弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【知识清单2 正弦定理】 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识清单3 解三角形综合问题】 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【知识清单4 测量问题】 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 题型1 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则C等于（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解题思路】整理化简等式，利用余弦定理求出的值，再根据角的范围即可求得角. 【解答过程】因，整理得：， 由余弦定理，，因,则. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算即可. 【解答过程】由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，__________ 【答案】 【解题思路】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出及. 【解答过程】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为：. 5．（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【解答过程】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 题型2 正弦定理解三角形 6．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理计算易得. 【解答过程】由正弦定理可得. 故选：A. 7．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【解答过程】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 8．（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求得，进而求得. 【解答过程】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B. 9．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，在梯形中，，，，，，则__________. 【答案】 【解题思路】先由正弦定理求得，利用诱导公式得，然后在中由正弦定理求解即可. 【解答过程】在中，由正弦定理得，即， 所以. 在中，由正弦定理得，得. 故答案为：. 10．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)若的周长为，求边的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）求出角的值，设设的外接圆半径为，利用正弦定理结合可求得的值，进而可求得的值. 【解答过程】（1）由余弦定理得， 又，所以， 又，可得，即， 因为，故． （2）由（1）知，所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理， 则，，， 所以，解得， 故. 题型3 正弦定理判定三角形解的个数 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【解答过程】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 13．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【解题思路】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【解答过程】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴ ， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 题型4 三角形面积公式的应用 16．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A. 17．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【解答过程】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 18．（24-25高一下·重庆·期末）在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理边化角可得，再结合条件可得，最后由面积公式得解. 【解答过程】由及正弦定理， 可得， 因，所以， 又，则有， 若，则有，则， 所以. 选选：B. 19．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为__________. 【答案】 【解题思路】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【解答过程】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 题型5 正、余弦定理判定三角形形状 21．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解题思路】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 22．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【解答过程】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 23．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 24．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 【答案】等腰或直角三角形 【解题思路】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【解答过程】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 25．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）由余弦定理，正弦定理和三角恒等变换得到，所以或，故为等腰三角形或直角三角形； （2）在（1）基础上，得到，即，设，由题意可得，在和中，分别使用余弦定理，从而得到方程，求出，所以，利用同角三角函数关系求出． 【解答过程】（1）由余弦定理得， 故， 即，由正弦定理得， 即，即， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形； （2）因为是斜三角形，由（1）知，即， 设，由题意可得，    在中，由余弦定理可得， 由中，由余弦定理可得， 所以，解得，负值舍去，所以， 又，可得． 题型6 三角形面积的最值或范围问题 26．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【解答过程】在中， 又∵，∴ 故 ， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 27．（24-25高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【解答过程】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 28．（24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【解答过程】设为边中点，连接，作于，即为中点，    因为， 同理， 则 ， 所以，因为， 所以的面积为， 当且仅当时取等号. 故选：B. 29．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解. 【解答过程】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 30．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值. 【解答过程】（1）中，，由正弦定理得 ， 即， 故，又，则， 即， 又，可得； （2），则， 由余弦定理得， 即，即当且仅当时，等号成立， 故面积的最小值为. 题型7 证明三角形中的恒等式或不等式 31．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 32．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 33．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 34．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【解答过程】（1）由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3）因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 35．（24-25高一下·浙江丽水·期末）（1）已知的三个内角的对边分别为. ①若，求的面积. ②记，求证：. （2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积. 【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）①应用余弦定理及平方关系得，再由三角形面积公式求面积；②由三角形面积公式、平方关系及余弦定理，得，进而整理化简即可证； （2）设 则，结合三角形面积公式、余弦定理，整理得，结合已知有，进而化简整理即可证. 【解答过程】（1）①，则， 所以； ②证明： . （2）设 则， ，又， ， 综上，， 且， 所以， ， 由的确定性，当，即时，有最大值， 即四边形有外接圆时，四边形的面积最大. ，则 ， ， ， . 题型8 求三角形中的边长或周长的最值或范围 36．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可. 【解答过程】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 37．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 38．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 39．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是_________. 【答案】 【解题思路】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【解答过程】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 40．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以 . 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 题型9 距离、高度、角度测量问题 41．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【解答过程】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 42．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【解答过程】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A. 43．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出，再在中，由正弦定理求得，进而利用三角函数求出高度 【解答过程】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 44．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为__________m. 【答案】 【解题思路】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【解答过程】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 45．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿紧道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.    (1)求索道的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】已知角边角三要素，先求第三个角，再利用正弦定理求边即可； 已知边角边，利用余弦定理求第三边，再结合二次函数求最小值； 已知角角边，利用正弦定理来求边长，最后可求速度范围. 【解答过程】（1）在中，，， ， 由正弦定理，可得:， 索道的长为. （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处， 由余弦定理得 ， 故当时，甲、乙两游客距离最短. （3）由正弦定理，得. 乙从出发时，甲已走了， 还需走才能到达， 设乙步行的速度为，由题意得， 解得:， 为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在，(单位:)范围内. 题型10 解三角形与平面向量的综合应用 46．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及得出，；再利用余弦定理即可求解. 【解答过程】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D. 47．（24-25高一下·四川南充·期末）已知中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果. 【解答过程】因为，，则， 故， 因此. 故选：B. 48．（24-25高一下·湖北·期末）在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理求得内角的值，根据圆的性质，可得向量夹角，由正弦定理求得外接圆的半径，利用向量数量积的定义式，可得答案. 【解答过程】由题意作图： 由余弦定理可得，解得， 由图可知， 由正弦定理可得，为外接圆的半径， 则，即， 所以. 故选：A. 49．（24-25高一下·安徽·期末）在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为_________． 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理可得为正三角形，再取中点，利用数量积的运算律求出最大值. 【解答过程】依题意，，，则，由，得，， 又，则，为正三角形，取中点，连接， 由正弦定理得，， ，当且仅当点在线段上，即点与重合时取等号， ， 所以当点与重合时，取得最大值2. 故答案为：2. 50．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数的减区间； （2）由结合角的取值范围可得出角的值，由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，再利用正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【解答过程】（1）因为，，， 则 ， 故． 因为的最小正周期为，所以，所以，故． 由，，解得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）知． 又，则，所以，得． 又为锐角三角形，所以，即，解得． 由正弦定理可得 ， 又，所以，所以， 所以，故， 所以周长的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 余弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【知识清单2 正弦定理】 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【知识清单3 解三角形综合问题】 1．解三角形中的重要模型——中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．解三角形中的重要模型——倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．解三角形中的重要模型——角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【知识清单4 测量问题】 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 题型1 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则C等于（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足，__________ 5．（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 题型2 正弦定理解三角形 6．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 8．（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，在梯形中，，，，，，则__________. 10．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角、、的对边分别为、、，且，． (1)求角的大小； (2)若的周长为，求边的值． 题型3 正弦定理判定三角形解的个数 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为___________. 15．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 题型4 三角形面积公式的应用 16．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 18．（24-25高一下·重庆·期末）在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 19．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为__________. 20．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 题型5 正、余弦定理判定三角形形状 21．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 22．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 23．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 24．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 25．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 题型6 三角形面积的最值或范围问题 26．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 28．（24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 29．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为___________. 30．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 题型7 证明三角形中的恒等式或不等式 31．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 32．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 33．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 34．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 35．（24-25高一下·浙江丽水·期末）（1）已知的三个内角的对边分别为. ①若，求的面积. ②记，求证：. （2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积. 题型8 求三角形中的边长或周长的最值或范围 36．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是_________. 40．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 题型9 距离、高度、角度测量问题 41．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为__________m. 45．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿紧道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.    (1)求索道的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ 题型10 解三角形与平面向量的综合应用 46．（24-25高一下·广东深圳·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·四川南充·期末）已知中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·湖北·期末）在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·安徽·期末）在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为_________． 50．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知，，，函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $