精品解析：2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试第三次学情自测

2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试第三次模拟考试 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会：直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次．数据19.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A. B. C. D. 9. 从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（ ） A. 1000 B. 1200 C. 800 D. 2400 10. 二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　） A. B. C. D. ﹣1 11. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式的值为0，则__________． 14. 分解因式：____________． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 三、解答题（共8个题，共72分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：过点作边上的高，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； （2）结合（1）的条件，在上取一点，使．连接，求证：． 19. 2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息 【收集数据】 A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144 B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152 【分析数据】 型号 平均数 中位数 众数 A a b 120 B 124 126 c 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：________，________，________． （2）结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由； （3）某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数． 20. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 21. 为推进数字校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少台． （1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？ （2）若乙公司每天比甲公司每天少安装台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？ 22. 如图1，四边形内接于，对角线，相交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）如图2，连接交与点F，，，求的半径长度； （4）如图3，若，延长至点F，若平分，记的面积为，面积为，面积为，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由． 23. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试第三次模拟考试 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会：直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次．数据19.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：19.2亿； 故选C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意； B．，即选项B错误，不符合题意； C． ，即选项C错误，不符合题意； D． ，即选项D正确，符合题意． 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，利用对顶角的性质和三角形内角和定理可求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意将不等式分别解出并在数轴上画出即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式得， ∴解不等式得：， ∴， ∴将解集表示在数轴上为：， 故选：C． 7. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数图象性质，当位于二、四象限时，，解不等式得解． 【详解】解：由题意， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，一元一次不等式求解，由图象位置得出关于参数的不等式是解题的关键． 8. 如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理，得， 则，求解即可； 【详解】解：连接， ∵与都对， ∴， ∵为的直径， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； 9. 从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（ ） A. 1000 B. 1200 C. 800 D. 2400 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，条鱼里有条作标记的，则作标记的所占的比例是，即所占比例为．而有标记的共有条，据此比例即可解答． 【详解】解：(条)， 故选：B． 10. 二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　） A. B. C. D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴，利用二次函数的轴对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，再代入解析式计算的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ∴对称轴为直线 ∵ 关于对称轴 对称的区间为 又∵ 位于轴上方，根据二次函数对称性， 也位于轴上方 ∵ 位于轴下方 ∴抛物线过点 将 代入解析式得 整理得 解得 ． 11. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 根据题意，列出方程即可． 【详解】∵绳子剩余4.5尺， ∴， ∵对折绳子量木，木剩余尺， ∴， ∴方程组为 故选：C． 12. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式的值为0，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 14. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 13 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得：，， ∴． 16. 如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，根据，得，得，得，得，可得，即得． 【详解】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E， 则， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共8个题，共72分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的运算． （1）先算乘方和开方，再算乘法和绝对值，后算加减； （2）先根据乘法公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再算加减． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：过点作边上的高，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； （2）结合（1）的条件，在上取一点，使．连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点为圆心画弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，线段即为边上的高； （2）根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，因为，可得，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可知，可证． 【小问1详解】 解：如下图所示，以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点， 线段即为边上的高； 【小问2详解】 证明：如下图所示， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息 【收集数据】 A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144 B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152 【分析数据】 型号 平均数 中位数 众数 A a b 120 B 124 126 c 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：________，________，________． （2）结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由； （3）某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数． 【答案】（1）124，122，128 （2）B款人形机器人续航能力较好，理由见详解 （3）180台 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意，， A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100   112   120   120   120   124   128   132   140   144， ∴， B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：B款人形机器人续航能力较好， 理由：B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大， ∴B款人形机器人的续航能力较好； 【小问3详解】 解：2小时分钟， 在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台， ∴（台）． 20. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，可知，得，进而可证得，再根据垂直可知，则，即可得，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，根据，得出，进而即可得证； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：点C是的切点， ， ， ． 又， ，， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：， ，， ，由（1）得， 在中，由勾股定理得． 点为的中点， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ． 21. 为推进数字校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少台． （1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？ （2）若乙公司每天比甲公司每天少安装台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？ 【答案】（1）甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台 （2）乙公司每天安装台教学一体机 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，分式方程与实际问题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键． （1）设甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台根据题意列方程解方程即可； （2）设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机根据题意列方程解方程即可； 【小问1详解】 解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得， ， 解得：， ∴乙公司安装的教学机为台， 答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台； 【小问2详解】 解：设甲公司每天安装台教学一体机,乙公司每天安装台教学一体机，根据题意， ， 解得：， ∴,乙公司每天安装台教学一体机， 答：乙公司每天安装台教学一体机． 22. 如图1，四边形内接于，对角线，相交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）如图2，连接交与点F，，，求的半径长度； （4）如图3，若，延长至点F，若平分，记的面积为，面积为，面积为，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为 （3）的半径为 （4）是； 【解析】 【分析】（1），得出，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出答案即可； （2）根据，得出，即，求出结果即可； （3）连接，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理得出，求出即可； （4）先证明，得出，即，由，得出，求出，证明，，得出，根据，得出，求出，得出，即可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴，负值舍去， 答：的长度为． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为R，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的半径为． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 23. 抛物线上存在两点，． （1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） （2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； （3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）将一般式转化为顶点式即可得解； （2）先求出，，过点C垂直于y轴的直线l：，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可； （3）分当M在点A的左侧，当M在点A与顶点坐标之间时，当M在对称轴右侧，结合图象进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：； 【小问2详解】 解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴，， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②当M在点A与顶点坐标之间时， 此时，即，不符合题意； ③当M在对称轴右侧，即时， 时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意； 当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $