精品解析：2025年6年广西南宁市邕宁区民族中学中考数学素养测试卷

2025年6年广西南宁市邕宁区民族中学中考数学素养测试卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出四个选项中只有一项符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列美术字中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 山西是全国古建筑遗存最多的省份，被誉为“中国古代建筑宝库”，小明一家准备周末前往山西游玩，他们想在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是（ ） A B. C. D. 6. 为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点到轴的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 若a，b是方程的两根，则（ ） A B. C. D. 11. 文化情境·数学文化 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎（jin），人出半，盈三；人出少半不足二，问人数，琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多3钱；每人出钱，又差2钱，问人数和琎价各是多少？设人数为，则依据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：______1．（填“”，“”，“”） 14. 分解因式：______． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 18. 如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． （1）在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求等腰的面积． 19. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． （2）若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． （3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 20. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． （1）求甲、乙两种商品的每件进价； （2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 21. 如图，在中，，在斜边上取一点，以为直径作分别交，于点，且为的切点，连接并延长交于点，连接，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为3，求的长． 22. 实践与探究 田径比赛中，在进行4000米比赛时，运动员起跑点并不处在同一条线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因 【问题情境】 如图①是某校操场实物图，图②是操汤示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为400米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径R为36米．（π取3.14） 【数据计算】 （1）分别求出最内圈两端半圆形跑道的总长度和直道总长度； （2）在活动中发现最外沿跑道周长b随跑道宽度a(距最内圈的距离)的变化而变化，请完成下表： 跑道宽度a/米 0 1 2 3 4 跑道周长b/米 400 直接写出b关于a的函数解析式； 【问题解决】 （3）现学校计划铺设宽度为1米的跑道共8条，则该校操场最外沿道路周长为多少米？ （4）若欲在该径赛场地举行200米短跑决赛，终点设在所在直线上，起点设在图②所示的右侧弯道处，且外圈跑道的起跑点在内圈跑道起跑点的前方，如图③所示，第1道、第2道、第3道，起跑线、中，与的长相等．求的长．（结果精确到米） 23. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年6年广西南宁市邕宁区民族中学中考数学素养测试卷 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出四个选项中只有一项符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列美术字中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：． 3. 细胞是一切生物体结构和功能的基本单位，细胞的结构主要有细胞膜、细胞质和细胞核三个部分，在电子显微镜下观察细胞，可以区分为膜相结构和非膜相结构，细胞膜是细胞表面的一层薄膜，它的厚度大约是纳米（即米）．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．科学记数法表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到7后面，动了有9位，从而用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的特点，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键． 根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示． 【详解】解：俯视图是 ， 故选：D ． 5. 山西是全国古建筑遗存最多的省份，被誉为“中国古代建筑宝库”，小明一家准备周末前往山西游玩，他们想在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩，则选到“小西天”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式可直接得出答案． 【详解】解：∵在“王家大院”、“平遥古城”、“小西天”、“悬空寺”这四个景点中任意选择一个游玩， ∴选到“小西天”的概率是， 故选：C 6. 为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是钟面角的大小，理解钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为是解本题的关键，再根据时，分针指向12，时针指向8，从而可得答案． 【详解】解：∵钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为， ∵时，分针指向12，时针指向8， ∴此时所成的角为． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点到轴的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标性质，解题的关键是注意不要将点到两坐标轴的距离混淆．根据点P到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离是． 故选C． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数解析式，分别求得，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 同理可得：，， ， ， 故选：B． 10. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求得代数式的值． 【详解】 a，b是方程的两根， ，， ∴， 故选D 11. 文化情境·数学文化 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎（jin），人出半，盈三；人出少半不足二，问人数，琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多3钱；每人出钱，又差2钱，问人数和琎价各是多少？设人数为，则依据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：______1．（填“”，“”，“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法． 先对两个数进行平方计算，然后再进行大小比较即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，利用提取公因式法进行因式分解即可． 详解】解：， 故答案为：． 15. 物理课上学过小孔成像原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得  ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得  ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间水平距离为： ， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）2，（2） 【解析】 【分析】本题考查了四则运算、指数运算、运算顺序（先乘除后加减，先括号内后括号外），以及一元一次不等式的解法、不等式的移项和方向变化、求解不等式组的交集．解题的关键在于正确处理括号内的运算和指数运算，遵循运算顺序；在解不等式时，注意移项时的方向变化，并在求解不等式组的交集时验证边界值是否满足所有不等式．． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 18. 如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． （1）在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求等腰的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求； （2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 设，则有， ， ， 的面积． 19. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． （2）若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． （3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）72；补全条形统计图见详解； （2）220； （3）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而可得优秀等级的百分比用乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解∶抽取的学生人数为 (人)， 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 故答案为∶72； “良好”等级的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示 【小问2详解】 解：成绩良好的学生约有（人）， 故答案为：220； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种． 选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为． 20. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． （1）求甲、乙两种商品的每件进价； （2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件． 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为(x+8)元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可； （2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元； （2）甲乙两种商品的销售量为， 设甲种商品按原销售单价销售a件，则 ， 解得， 答：甲种商品按原销售单价至少销售20件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键． 21. 如图，在中，，在斜边上取一点，以为直径作分别交，于点，且为的切点，连接并延长交于点，连接，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据切线的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）过作于，根据矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，， 为的切点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：过作于， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 22. 实践与探究 田径比赛中，在进行4000米比赛时，运动员起跑点并不处在同一条线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因 【问题情境】 如图①是某校操场实物图，图②是操汤示意图，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，活动小组对学校操场跑道最内圈长为400米的跑道进行规划设计，且最内圈两端半圆弧的半径R为36米．（π取3.14） 【数据计算】 （1）分别求出最内圈两端半圆形跑道的总长度和直道总长度； （2）在活动中发现最外沿跑道周长b随跑道宽度a(距最内圈的距离)的变化而变化，请完成下表： 跑道宽度a/米 0 1 2 3 4 跑道周长b/米 400 直接写出b关于a的函数解析式； 【问题解决】 （3）现学校计划铺设宽度为1米的跑道共8条，则该校操场最外沿道路周长为多少米？ （4）若欲在该径赛场地举行200米短跑决赛，终点设在所在直线上，起点设在图②所示的右侧弯道处，且外圈跑道的起跑点在内圈跑道起跑点的前方，如图③所示，第1道、第2道、第3道，起跑线、中，与的长相等．求的长．（结果精确到米） 【答案】（1）最内圈两端半圆形跑道的总长度约为米，跑道中直道的总长度约为米；（2），，；（3）该校操场最外沿跑道的周长约为米；（4）的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，圆周长的计算公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用圆周长计算公式即可求解； （2）直接利用待定系数法即可求出函数解析式，再把和代入即可求解； （3）把代入即可求解； （4）由题意可知第1道的运动员通过一个完整的半圆形弯道，运动员在直道所跑的路程是相同的，在半圆形跑道所跑的路程也是相同的，即第1道半圆周长第2道半圆周长的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）最内圈两端半圆形跑道的总长度：(米)， 直道的总长度：(米)， （2）设最外沿跑道周长与跑道宽度a的函数解析式为：， 当时，，当时，，代入解析式得： ， 解得：， 最外沿跑道周长与跑道宽度a的函数解析式为：， 当时，（米）， 当时，（米）， 故答案为：，，； (米)， 把代入中得：(米)， ∴该校操场最外沿跑道的周长约为米； （4）∵最内圈跑道的总长度为400米，进行200米的短跑决赛，终点在所在直线上， ∴第1道的运动员通过一个完整的半圆形弯道，运动员在直道所跑的路程是相同的，在半圆形跑道所跑的路程也是相同的，即第1道半圆周长第2道半圆周长的长， 的长(米)， 即的长约为米． 23. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合垂线的定义得，再根据可得，结合证明，即可证明结论； （2），根据菱形的性质可得，，再结合，利用等边对等角可得，由三角形内角和定理可证，根据可得，证明，即可证明结论； （3）同理（1）（2）可得：，易证是等腰三角形，推出，设，则，，求出，利用勾股定理求出；证明，利用相似三角形的性质求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）如图，点在直线上， 同理（1）（2）可得：， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$