精品解析：广西壮族自治区南宁市第三十七中学2025年九年级数学初中毕业班适应性测试

2024—2025年春季学期毕业班6月份摸底考试 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图所示是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查黄河的水质情况 D. 了解某班学生的身高情况 6. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（ ） A. B. C. D. 9. 如果点，在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 12. 如图1，在中，，动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示．已知点在线段上运动，当时，有最小值，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围为 ___________． 14. 盒中装有4只白球5只黑球，从中任取一只球，取出球是白球的概率是______． 15. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中，，求的度数． 19. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 14 （1）填空：______，______； （2）该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ （3）根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： （1）消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． （2）教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 21. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 22. 已知抛物线（为常数，且）． （1）若抛物线与轴交于点，求抛物线解析式； （2）在（1）的条件下，将抛物线向上平移5个单位长度，得到新的抛物线，在新的抛物线上有两点，，当时，有，求的取值范围； （3）已知点，点，连接．当时，若线段与抛物线有公共点，直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年春季学期毕业班6月份摸底考试 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据倒数的定义直接求解即可． 【详解】解：的倒数为． 故选：C． 2. 下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米米， 故选：D． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 解得：， 把解集在数轴上表示如下： ． 故选：B 5. 下列调查中，适宜采用全面调查是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查春节联欢晚会的收视率 C. 调查黄河的水质情况 D. 了解某班学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查，全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可． 【详解】解：A．检测某批次汽车的抗撞击能力，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，不符合题意； B．调查春节联欢晚会的收视率，由于调查的工作量大，此调查适合抽样调查，不符合题意； C．调查黄河的水质情况，由于工作量大，此调查适合抽样调查，不符合题意； D．了解某班学生的身高情况，由于工作量不大且普查收集的数据更加准确，此调查适合全面调查，符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：三角尺与其投影相似，且相似比为：， 三角尺的面积与投影的面积比为：， 故选B． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，解题关键是掌握上述知识点． 根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，对四个式子，分别计算，再作判断． 【详解】解：，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意， 故选：D． 8. 如图， P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：如图， 由题意得，OB=3，PB=4， 由勾股定理得，OP=5， sinα=， 故选D． 考点：1．锐角三角函数的定义；2．坐标与图形性质． 9. 如果点，在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，， ∴． 故选：D． 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：D． 12. 如图1，在中，，动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示．已知点在线段上运动，当时，有最小值，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点M的坐标与三角形的边之间的关系． 根据图2确定点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：如图，于点D， 由题意可知，当点P在边上时，y的值先减小后增大， 当时，，当时，y有最小值， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动到点C时，线段达到最大，即点M的位置， ∴点M的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ∴点M的坐标为， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 故答案为：． 14. 盒中装有4只白球5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率的求法,解决本题的关键是要熟练掌握概率公式：； 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：根据题意可得：盒中装有4个白球，5个黑球，共9个，任意摸出1个，摸到白球的概率是， 故答案为：． 15. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 16. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则长方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中，，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握种基本作图是解题关键． （1）利用基本作图画出的平分线即可； （2）先根据三角形的内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求作； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ． 19. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 （1）填空：______，______； （2）该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ （3）根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）7.5，8 （2）估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名 （3）八年级的阅读情况较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法． （1）根据中位数、众数的定义即可求出答案； （2）利用样本估计总体即可； （3）两组数据的平均数相同，通过中位数、众数和方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把八年级10名学生的平均每周阅读时长排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8， 所以中位数为，众数， 故答案为：7.5，8； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名； 【小问3详解】 解：八年级的阅读情况较好， 理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差， 所以八年级的阅读情况较好．（答案不唯一）． 20. 秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息： 产品名称 产品规格 有效成分 用途 二氧化氯消毒片 每片质量1克 二氧化氯含量 消毒杀菌 已知：溶液浓度．请解答下列问题： （1）消毒人员欲配制3千克浓度为的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a的值． （2）教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？ 【答案】（1） （2）可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据溶液浓度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可稀释成x千克浓度为的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， 答：a的值为； 【小问2详解】 解：设可稀释成千克浓度为的消毒溶液， 由题意得：， 解得：， ∴加水（千克）， 答：可稀释成千克浓度为的消毒溶液，稀释过程中需加水千克． 21. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，，结合，且点O是直径的中点，得出是的中位线，因为是的半径，即可作答． （3）根据菱形的性质，得出，，结合勾股定理，，因为，得证，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，且点O是直径的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又是的半径 ∴是的切线； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ，， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∵，且 ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 已知抛物线（为常数，且）． （1）若抛物线与轴交于点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，将抛物线向上平移5个单位长度，得到新的抛物线，在新的抛物线上有两点，，当时，有，求的取值范围； （3）已知点，点，连接．当时，若线段与抛物线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与x轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据所给平移方式可得平移后的抛物线解析式，进而可得新抛物线中，离对称轴越远，函数值越小，再结合题意可得，解之即可得到答案； （3）求出抛物线对称轴为直线，则顶点坐标为，可证明当时，抛物线的顶点坐标一定在第四象限，那么当时的函数值一定要大于等于1，据此列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵将抛物线向上平移5个单位长度，得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∴新抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴新抛物线中，离对称轴越远，函数值越小， ∵在新的抛物线上有两点，，当时，有， ∴， ∴或 解得或； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴顶点坐标为 ∴当时，， ∴当时，抛物线的顶点坐标一定在第四象限， ∵当时，线段与抛物线有公共点，点，点， ∴当时函数值一定要大于等于1， ∴， ∴． 23. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）12或6； 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可； （2）由题得出，进而可证，进而可求证； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知，，可证，即得，由折叠的性质可得四边形为正方形，连接，则，证明，可求得，分情况讨论；当点的对应点在的上方时；当点的对应点在的下方时；即可求解. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知， ∴， ∵， ∴ 同理（2）可得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴四边形为正方形， 连接，则， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图，当点的对应点在的下方时； ∴， ， ②如图，当点的对应点在的上方时； ∴， . 综上所述，的面积为6或12. 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $