精品解析：湖南株洲市九方中学2026届高三五月测试数学试题

2026年高三五月测试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为， 且集合，， 则. 故选：C. 2. 已知复数满足，则所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案． 【详解】解：由，得 ， 所对应点为，，位于第一象限， 故选：A． 【点睛】本小题主要考查复数的模、复数的四则运算、复平面等基础知识，主要考查运算求解能力、化归与转化的思想，属于基础题． 3. 圆关于直线对称的圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由于圆心关于直线对称的点的坐标为，半径为，故圆关于直线对称的圆的方程为，故答案为． 考点：圆的标准方程． 4. 正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正四面题补成正方体，转化为球的外接正方体问题，利用等体积法及球面的性质求解即可. 【详解】正四面体可补全为正方体，如图， 所以球是正方体的外接球， 因为正四面体的棱长是正方体面上的对角线，所以正方体棱长为， 所以正方体的体对角线长的一半为球的半径， 设球心到正四面体各面的距离为，则由球的截面的性质知，, 由等体积法可得：， 解得， 又为的重心，分别延长交于， 连接，所以分别为的中点，因为， 所以，，所以， 所以， 所以到直线的距离为， 因此球截直线所得的弦长为. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由利用两角和的正切公式展开代入已知数据结合正切的二倍角公式，可得关于的方程，进而可得的值，再由同角三角函数基本关系即可求的值. 【详解】 因为， 所以，整理可得：，可得：， 又因为，所以， 由可得， 因为，所以， 故选：D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于事件A，利用对立事件可求其概率；对于事件B：利用独立事件概率方差公式可求其概率. 7. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，由两角差的正切公式计算可得，根据正弦定理建立a与c的方程，结合离心率的定义即可求解. 【详解】因为且的垂直平分线经过点A， 所以为等腰三角形且， 在中，， 由， 得，解得，由正弦定理可知： ，即， 有，整理得， 即，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据和，结合正弦定理建立关于a与c的方程，解方程即可. 8. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假. 【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确； B选项，设表示不超过的最大整数，所以， 所以，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； C选项，，因为， 所以，所以不是偶函数，故C错误； D选项，所以，所以不是增函数，故D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极值点的定义可判断A；由为奇函数，根据平移变换可判断B；由的单调性和最值可判断C；利用导数的几何意义可判断D. 【详解】由题意，，令得或，令得， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A正确； 令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动两个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故B正确； 因为，所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有两个零点，故C错误； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D正确， 故选：ABD. 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用与平面的法向量，研究直线与平面的关系；应用与平面的法向量，研究直线与平面所成角的正切值；应用，求三棱锥的体积；先找三棱锥的外接球直径，再求外接球表面积. 【详解】解：由题意，在正方体中，棱长为2， 分别为棱，，的中点，为侧面的中心， 建立空间直角坐标系如图所示， AI 则，，，，， ，，，，， ， A项，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面PEF的一个法向量为，， 又因为直线面PEF，所以直线面.A正确； AI B项，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以，故.故B正确； C项， .故C不正确； D项，如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线， 所以为三棱锥外接球的直径， 所以， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为－数列．则下列说法正确的是（ ） A. 若是以1为首项，为公比的等比数列，则为－数列 B. 若为数列，则也为数列 C. 若为数列，则也为数列 D. 若均为数列，则也为数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用－数列的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，， ，A正确； 对于B，若，则数列是数列，， 但，数列不是数列，B错误； 对于C，数列是数列，即存在正数，对于任意的， 有，即， 则 ，数列是－数列，C正确； 对于D，若数列是－数列，则存在正数，对任意的， 有，， 则， 同理，记，则有 ， ，因此数列也是数列，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握数列的定义. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线，焦点为，不过点的直线交抛物线于两点，为的中点，到抛物线的准线的距离为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设，则，根据抛物线的定义和余弦定理得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 设，则由梯形的中位线可知，且， 在中，由余弦定理可知：， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知不等式的解集为.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式的解集为 ，故，不等式 可化为 ，令 ，则，所以当时， ，不等式 对恒成立，只需 ．所以实数的取值范围为． 14. 已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为______.若，则______. 【答案】 ①. （，答案不唯一） ②. 11 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导可得，结合奇函数的意义并求导可得函数图象的关于直线对称，进而求出周期求出对称中心；由导数探讨原函数可得，并探求函数的周期，借助函数图象平移求出的周期，再赋值计算即得结果. 【详解】由，求导得，又， 则，即， 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，即为函数图象的一个对称中心， 由为奇函数，得，求导得， 即，函数的图象关于直线对称，则点是图象的一个对称中心， 显然有，即， 于是，函数是以4为周期的周期函数， 所以函数的图象关于点对称； 由，得，即有（为常数）， 而，则，取，得， 因此，又，则， 即，，于是函数是周期为4的周期函数， 又，则函数的图象可由的图象平移而得， 从而函数是周期为4的周期函数，， 显然，因此， ，则， 又，则， 所以. 故答案为：；11 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱台中，，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，四棱台的体积为，，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，在中，由正弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，由勾股定理的逆定理可得，则平面，则得平面平面； （2）由（1）和已知，可得四棱台的上、下底面面积，再由四棱台的体积公式求出高，由（1）可得平面，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出设平面和平面的法向量，则由坐标运算得到平面与平面夹角的余弦值，再求正弦值即可． 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由正弦定理， 得，又，， 所以， 所以， 则由勾股定理，得， 在中，，由余弦定理， 得， 所以，所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知四棱台的下底面面积 ， 因为，所以上底面面积， 设四棱台的高为， 则四棱台的体积为，所以， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面，所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 由题可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 16. 已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. （1）求的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）先求直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：设， 若直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以， 故的方程为； 【小问2详解】 解：直线过点，倾斜角为，则直线方程为， 联立抛物线得：， 设，，由韦达定理得：， ， ， 点到直线的距离， ． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求的值； （2）若是边上的一点，且平分，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，边化角，可得，利用三角恒等变换可求； （2）由已知可得，利用，可得，可求解. 【小问1详解】 由题意得，所以. 由正弦定理，得，即. 又，所以，又，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由，得，解得. 由， 得， 即， 所以. 18. 若函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得. （1）证明函数是否符合此类函数； （2）已知函数，，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数的取值范围； （3）证明：当，时，有. 【答案】（1）符合此类函数，证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义判断即可； （2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得； （3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得． 【小问1详解】 函数符合此类函数， 证明：易知在区间上连续，且， ，解得， 故函数符合此类函数； 【小问2详解】 令，则， 令函数，则， 显然在上连续，且在上可导，由题可知，存在，使得， 即，所以， ， 不妨令，， 即恒成立， ，于是，即， 因此，令， 求导得，函数在上单调递增，则， 而函数在上单调递增，其值域为， 则，所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 令函数，显然函数在上可导， 由（2）知，在上连续，且在上可导， 则存在，使得， 故存在，使得， 又，则， 因此，而，则，即， 所以． 19. 定义集合，. （1）求与； （2）设集合中元素的个数为，是否存在，使得成立？若存在，求出一组，，的值；若不存在，说明理由； （3）记表示不超过的最大整数，且，求的值． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见详解 （3）4050 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算求解； （2）根据题意，在不大于的所有正整数中，能被3整除的有个，被4整除的有个，被12整除的有个，可得，利用反证法证明； （3）根据（2），可得，当时，，可得，即，得解. 【小问1详解】 对于，，， 在不大于16的所有正整数中， 即不能被3整除又不能被4整除的数有， ； 同理，在中，，， 在不大于27的所有正整数中， 即不能被3整除又不能被4整除的数有， . 【小问2详解】 因为在不大于的所有正整数中， 能被3整除的有个，被4整除的有个，被12整除的有个， 所以， 若，则，即， ，， 等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾， 故不存在，，使得成立. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，， 当时，， 所以当时，， 所以当时，，则， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三五月测试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 圆关于直线对称的圆的方程为 A. B. C. D. 4. 正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是增函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 点是曲线的对称中心 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的一条切线 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为9 11. 已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为－数列．则下列说法正确的是（ ） A. 若是以1为首项，为公比的等比数列，则为－数列 B. 若为数列，则也为数列 C. 若为数列，则也为数列 D. 若均为数列，则也为数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线，焦点为，不过点的直线交抛物线于两点，为的中点，到抛物线的准线的距离为，则的最小值为______. 13. 已知不等式的解集为.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________． 14. 已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为______.若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱台中，，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，四棱台的体积为，，求平面与平面夹角的正弦值. 16. 已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. （1）求的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求的值； （2）若是边上的一点，且平分，求的长. 18. 若函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得. （1）证明函数是否符合此类函数； （2）已知函数， ，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数的取值范围； （3）证明：当，时，有. 19. 定义集合，. （1）求与； （2）设集合中元素的个数为，是否存在，使得成立？若存在，求出一组，，的值；若不存在，说明理由； （3）记表示不超过的最大整数，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $