精品解析：2026届湖南株洲市第四中学等校高中毕业班四月模拟考试数学

2026届高中毕业班四月模拟考试 数学 （时间：120分钟，满分：150分，本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，集合， 因为，，，都在区间内， 所以. 2. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，，解得. 3. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数定义即可得. 【详解】由，则. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 5. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由，即， 解得. 6. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 8. 在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误， 对于B，先从4个项目中选择个给其中一个人，有种选法， 再将这个项目与另外两个项目全排列，分给甲、乙、丙3名学生，有种排法， 根据分步乘法计数原理可得总的样本数为种, 甲只选唱歌，此时从剩下个项目给乙、丙，有种； 甲只选唱歌和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给乙、丙，共有种，故，故B正确， 对于C，乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种； 乙选跳舞和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给甲、丙，有种，故， 甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，， ，故与不相互独立，故C错误， 对于D，，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 11. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据等体积法计算即可；对于B：建立空间直角坐标系，根据点到点的距离与到平面的距离相等得到点的轨迹方程，结合线面平行的向量求法得到，联立求解即可；对于C：求出的解析式，结合换元法及二次函数最值求解即可；对于D：根据线面角的向量求法得到，与点的轨迹方程联立求解即可. 【详解】对于A：正方体中，平面平面， 又点在平面内（含边界），所以点到平面的距离为定值. 又点为线段中点，所以，则. 故，为定值，故A正确. 对于B：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为点为线段中点，所以. 设， 则， 点到平面的距离为， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则，，所以. 且. 若直线平面，则，所以，即. 联立，整理得，解得或. 因为，所以. 故只有1个点，使得直线平面，故B错误； 对于C：由选项B可知，，，则. 又，，所以. 又，所以. 令，则. 令，则，则， 当，即时，取最大值1， 此时取最小值，取最小值，故的最小值为，C正确. 对于D：已知平面的一个法向量为，. 因为与平面所成角的正弦值为， 则，整理得， 联立，整理得，即， 解得或（舍去）， 故到平面的距离为，D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将分解质因数，取质因数的不同组合即可求解. 【详解】将分解质因数：，而也为因数， 则所有正因数为：，共个. 13. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积：  ， 解得：， 将  代入椭圆方程： ， 即  故直线​的斜率： .​ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出的值； （2）利用余弦定理结合完全平方式求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． 【小问2详解】 因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则， 因为， 所以，得， 故的面积为． 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）通过构造函数，结合基本不等式、导数与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 . 设，则在恒成立等价于在恒成立. ， 又，，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，. 当，即时，, 所以在上单调递增，又，所以， 满足在上恒成立. 当，即时，令，则. 因为，所以，，则，所以在上单调递增. 又，当时，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立. 综上，的取值范围为. 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【小问1详解】 当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. 【小问2详解】 （i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 18. 已知正方体的棱长为2，是空间中的一点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. （3）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）点的轨迹为抛物线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线均垂直即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面，利用坐标列出方程组，然后计算，即可判断其是否是定值；方法二：取中点，连接，再取的中点，先证明，得出平面，然后求出的长. （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据面面垂直列出式子，即可得到轨迹是抛物线. 【小问1详解】 在正方体中， 因为平面平面，所以. 又因为，平面. 所以平面. 【小问2详解】 法一：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则. 设点，则， 因为平面，所以得* 设平面内存在点，满足长为定值， 则， 由*式得， 所以当时，长为定值，此时点. 法二：如图，取中点，连接，再取的中点， 因为平面，所以. 又因为平面，所以平面， 得平面. 在中，因为为定值， 所以在平面内存在点，使得的长为定值，且为的中点. 【小问3详解】 如图，以为坐标原点，以分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则. 设点，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 得， 由 取，得，即. 由得，取，得. 即. 又因为平面平面，所以， 得，故点的轨迹为抛物线. 19. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出焦点坐标，再代入标准方程即可求出； （2）设及，，再写出直线和直线的方程并两式相乘，化简即可求出； （3）联立得到，再求出，设中点为E，进而求得，最后利用即可求出. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 由对称性不妨设，，所以． 【小问2详解】 设及，，又，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 两式相乘得，又因为点，在双曲线上， 所以，代入化简得，所以曲线C的方程为． 【小问3详解】 联立得， ，，， 所以， 因为在曲线C上，所以， ， 因为，所以； 设中点为E，要证，只需证，即证， 又由，以及（2）得， 所以， ， 即， ， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高中毕业班四月模拟考试 数学 （时间：120分钟，满分：150分，本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 6. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与相互独立 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 11. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______． 13. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 18. 已知正方体的棱长为2，是空间中的一点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. （3）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 19. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $