专题05不等式与不等式组易错必刷题型专项训练(20大题型共计68道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05不等式与不等式组易错必刷题型专项训练 本专题汇总不等式与不等式组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.求一元一次不等式的整数解 题型04.在数轴上表示不等式的解集 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.求一元一次不等式组的整数解 题型07.由一元一次不等式组解集求参数 题型08.由不等式组解集的情况求参数 题型09.不等式组和方程组结合的问题 题型10.用一元一次不等式解决实际问题 题型11.用一元一次不等式解决几何问题 题型12.含参数一元一次不等式求解 题型13.不等式组整数解个数限定题 题型14.利用不等式范围化简绝对值 题型15.列一元一次不等式 题型16.不等式组的行程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：选择填空常考，判断不等式变形对错 易错点：不等式两边乘负数，忘了反过来变不等号；随便给两边同乘0 1．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则__________（填“＞”或“＜”） 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：基础解不等式计算题 易错点：移项的时候数字正负号忘记变；负数除系数，不等号不换向 5．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__． 7．解不等式：． 易错必刷题型03.求一元一次不等式的整数解 典题特征：解完不等式，从中找出对应整数 易错点：分不清整数、正整数；端点能取不能取，直接胡乱乱带 8．不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 9．请写出一个关于的不等式的正整数解_____． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 11．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 易错必刷题型04.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：把解集规范画在数轴上 易错点：有等号不画实心点，无等号画成实心；大于画左边，小于画右边搞反 12．写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 13．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 14．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：在解集范围内找最大、最小值 易错点：分不清能不能取到边界数，乱找最值 15．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 16．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 17．当_________时，有最小值，最小值是_________； 18．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 易错必刷题型06.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：先解不等式组，再从中筛选整数 易错点：不等式组解集范围找错；找整数多找、少找、漏找 19．关于x的不等式组的整数解是______． 20．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； 乙：若它无解，则． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 21．若一个不等式组A有解且解集为（），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于的不等式组A：，以及不等式组B：， ①不等式组A的解集中点值为_____． ②不等式组B对于不等式组A______（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，求的取值范围． 易错必刷题型07.由一元一次不等式组解集求参数 典题特征：已知最终解集，反求字母参数 易错点：边界位置等号要不要取，判断错误 22．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 23．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 24．若关于的不等式有且仅有1个负整数解，则实数的取值范围是_____． 25．阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 易错必刷题型08.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：根据有解、无解，来求参数范围 易错点：分不清什么时候有解、什么时候无解；临界边界判断错 26．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．关于的不等式组无解，则的取值范围是_____． 28．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 29．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 30．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 易错必刷题型09.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解方程组，再根据解正负列不等式 易错点：方程组解方程算错；正数负数对应的不等号列反 31．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 32．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 33．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 34．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 易错必刷题型10.用一元一次不等式解决实际问题 典题特征：文字应用题，根据题意列式计算 易错点：题目关键词看不懂，不等号列反；忘记实际情况不能取负数、小数 35．在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 36．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 37．某市启动“亮化”工程．根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，已知照明灯的售价为每个9元，投射灯的售价为每个120元，请解决下列问题： (1)该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个？ (2)某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案． 易错必刷题型11.用一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合边长、角度、图形关系列不等式 易错点：忘记三角形三边固定关系；漏掉边长必须是正数 38．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    39．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 40．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 易错必刷题型12.含参数一元一次不等式求解 典题特征：不等式带字母，求取值范围 易错点：不看参数正负，直接随意约分；不分类讨论直接做题 41．已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 42．已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 43．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型13.不等式组整数解个数限定题 典题特征：规定整数解有几个，反求参数 易错点：卡不准整数个数的边界；等号取舍极易写错 44．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 45．若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是_______． 46．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型14.利用不等式范围化简绝对值 典题特征：先给取值范围，再化简去掉绝对值 易错点：分不清绝对值里面式子是正还是负；去绝对值正负号改反 47．已知：，化简：______． 48．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，则_____． 49．已知代数式的值小于0，且满足，则___________． 50．当关于的二元一次方程组的解为正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简． .易错必刷题型15.列一元一次不等式 典题特征：看文字题意，自己列出不等式组 易错点：至多、至少、不超过，对应不等号写反；题干条件漏列一个 51．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 52．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 53．漳州云霄县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农收购“早钟号”品种的枇杷千克，“莆田种”品种的枇杷千克，共花费元．已知“早钟号”品种的枇杷比“莆田种”品种的枇杷每千克收购价多元． (1)“早钟号”品种的枇杷和“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？ (2)若“早钟号”品种的枇杷每千克的售价比“莆田种”品种的枇杷每千克的售价多元，且运输过程中，“早钟号”品种的枇杷损耗，“莆田种”品种的枇杷损耗．水果商售完这批枇杷盈利不少于元，“早钟号”品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？ 易错必刷题型16.不等式组的行程问题 典题特征：路程、速度、时间相关应用题 易错点：快慢、先后、路程多少关系搞混，不等号列错 54．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 55．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 56．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 典题特征：成本、售价、利润盈亏类题目 易错点：盈利亏本对应不等号分不清；利润公式用错 57．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 58．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 59．为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 典题特征：分物品、分东西有余、不够分题型 易错点：分不完、不够分的题意理解反，不等式列错 60．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 61．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 62．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 典题特征：求出范围，选出所有符合要求的可行方案 易错点：算出范围后，忘记只能取整数；漏数、少数可行方案 63．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 64．“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 65．综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 题型20.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：水电费、车费分段收费计算 易错点：分不清分段区间，乱套收费标准；分段节点计算出错 66．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 67．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 68．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式与不等式组易错必刷题型专项训练 本专题汇总不等式与不等式组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.求一元一次不等式的整数解 题型04.在数轴上表示不等式的解集 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.求一元一次不等式组的整数解 题型07.由一元一次不等式组解集求参数 题型08.由不等式组解集的情况求参数 题型09.不等式组和方程组结合的问题 题型10.用一元一次不等式解决实际问题 题型11.用一元一次不等式解决几何问题 题型12.含参数一元一次不等式求解 题型13.不等式组整数解个数限定题 题型14.利用不等式范围化简绝对值 题型15.列一元一次不等式 题型16.不等式组的行程问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：选择填空常考，判断不等式变形对错 易错点：不等式两边乘负数，忘了反过来变不等号；随便给两边同乘0 1．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 2．若，则__________（填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质对已知不等式变形，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 4．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：，① ．② ．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的全部解题过程； (3)尝试证明：若，则． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小华的解题过程中，从步骤②开始出现错误； （2）解：∵， ∴． ∴； （3）解：证明：∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：基础解不等式计算题 易错点：移项的时候数字正负号忘记变；负数除系数，不等号不换向 5．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式去分母时需要给不等式每一项都乘以所有分母的最小公倍数，去括号时要注意符号变化，据此计算判断即可． 【详解】解：∵分母6和3的最小公倍数为6， ∴不等式两边每一项同时乘以6，得：． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__． 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加得到，则可得到，再根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴． 7．解不等式：． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解题． 【详解】解： ． 易错必刷题型03.求一元一次不等式的整数解 典题特征：解完不等式，从中找出对应整数 易错点：分不清整数、正整数；端点能取不能取，直接胡乱乱带 8．不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解： ， ∵ 大于等于的整数中，最小的整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 9．请写出一个关于的不等式的正整数解_____． 【答案】 1（答案不唯一，也可填2） 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为，得 因此不等式的正整数解为和． 10．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有3个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再结合不等式的解、解集的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：解不等式得， A、该不等式解集为，不是，A错误； B、把代入不等式，得，不满足不等式，因此不是该不等式的解，B错误； C、不等式解集为，小于的整数有无数个，因此不等式的整数解有无数个，C正确； D、所有正整数都大于，且，因此不等式没有正整数解，D错误． 11．若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入，得， 解得． 易错必刷题型04.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：把解集规范画在数轴上 易错点：有等号不画实心点，无等号画成实心；大于画左边，小于画右边搞反 12．写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先观察数轴确定不等式的解集，再根据解集构造一个一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，空心圆圈在 处，且折线向右延伸， 不等式的解集为 ， 解集是 的一元一次不等式可以为 （答案不唯一）． 13．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 14．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：在解集范围内找最大、最小值 易错点：分不清能不能取到边界数，乱找最值 15．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 16．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 17．当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 18．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 易错必刷题型06.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：先解不等式组，再从中筛选整数 易错点：不等式组解集范围找错；找整数多找、少找、漏找 19．关于x的不等式组的整数解是______． 【答案】5和6 【分析】根据不等式组解集的确定原则得到不等式组的解集后，即可找出解集内的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，. 解不等式②得，. 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，． 20．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； 乙：若它无解，则． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它的整数解仅有3个，且为2，3，4， 则， 解得：， 故甲正确； 若它无解，则， 解得：， 故乙正确． 21．若一个不等式组A有解且解集为（），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于的不等式组A：，以及不等式组B：， ①不等式组A的解集中点值为_____． ②不等式组B对于不等式组A______（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，求的取值范围． 【答案】(1)①5；②是 (2) (3) 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （3）求出不等式组和的解集，进而可得，由于所有符合要求的整数之和最大，则可取或可取，据此即可求解． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之和最大， ∴可取或可取， ∴． 易错必刷题型07.由一元一次不等式组解集求参数 典题特征：已知最终解集，反求字母参数 易错点：边界位置等号要不要取，判断错误 22．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 23．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． 24．若关于的不等式有且仅有1个负整数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到解集，根据不等式有且仅有一个负整数解，确定唯一负整数解为，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式有且仅有个负整数解，因此唯一负整数解只能为， ∴， ∴． 25．阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 易错必刷题型08.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：根据有解、无解，来求参数范围 易错点：分不清什么时候有解、什么时候无解；临界边界判断错 26．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的问题，不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 27．关于的不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无公共部分，即． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 28．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式得到x关于a的解集，再根据正整数解只有1，2，3确定的取值范围，即可求出a的范围． 【详解】解：解不等式，得 ∵不等式的正整数只有1, 2, 3 ∴最大正整数解为3，且4不是该不等式的解 解得． 29．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 30．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，求m的取值范围． 【答案】或． 【分析】根据不等式求得的取值范围，根据解的情况，即可求得参数范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵所有整数解的和是18， 且， ∴或． 易错必刷题型09.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解方程组，再根据解正负列不等式 易错点：方程组解方程算错；正数负数对应的不等号列反 31．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 32．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 33．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 34．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】先用加减消元法，求出x和y，再根据，列出不等式组求解即可． 【详解】解：， 得，解得， 得，解得， ∵， ∴， 解得． 易错必刷题型10.用一元一次不等式解决实际问题 典题特征：文字应用题，根据题意列式计算 易错点：题目关键词看不懂，不等号列反；忘记实际情况不能取负数、小数 35．在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 【答案】 【分析】设投进个3分球，则投进2分球的个数为，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数值即可解答． 【详解】解：设投进个3分球，则投进个2分球， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即他们至少投进个3分球． 36．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该卫衣打折销售，实际售价为，利润为，根据利润率是利润占进价的百分比，列出不等式即可． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 则有． 37．某市启动“亮化”工程．根据工程规划，需要使用照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，已知照明灯的售价为每个9元，投射灯的售价为每个120元，请解决下列问题： (1)该城市“亮化”工程使用照明灯和投射灯各多少个？ (2)某公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57个，求该公司大楼安装照明灯和投射灯的方案． 【答案】(1)该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个 (2)这家公司大楼安装照明灯和投射灯只有一种方案：安装照明灯50个，投射灯12个 【分析】（1）设该城市“亮化”工程使用照明灯万个，投射灯万个，然后根据照明灯和投射灯共50万个，需花费1005万元，列出方程求解即可得到答案； （2）设该公司大楼安装照明灯个，投射灯个，根据公司大楼计划投入1890元安装照明灯和投射灯，且安装的投射灯数量少于照明灯数量的，照明灯数量不超过57，列式求解即可． 【详解】（1）解：设该城市“亮化”工程使用照明灯x万个，投射灯y万个． 依题意，得解得 答：该城市“亮化”工程使用照明灯45万个，投射灯5万个． （2）解：设该公司大楼安装照明灯a个，投射灯b个． 依题意，得， 由方程得，将其代入不等式，解得． ∵a为整数且， ∴a取49~57之间的9个整数． 又∵b也是整数， ∴只有一组解，即时，． 答：这家公司大楼安装照明灯和投射灯只有一种方案，为安装照明灯50个，投射灯12个． 易错必刷题型11.用一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合边长、角度、图形关系列不等式 易错点：忘记三角形三边固定关系；漏掉边长必须是正数 38．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 39．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 40．如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 易错必刷题型12.含参数一元一次不等式求解 典题特征：不等式带字母，求取值范围 易错点：不看参数正负，直接随意约分；不分类讨论直接做题 41．已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对不等式右侧变形，再根据解集的不等号方向变化判断x系数的符号，即可求解m的取值范围． 【详解】解： 原不等式的解集为， 解得． 42．已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的定义，得且，求出m的值，再把m的值代入不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， ∴， ∴原不等式为， 解得， 所以该不等式的解集为． 43．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 易错必刷题型13.不等式组整数解个数限定题 典题特征：规定整数解有几个，反求参数 易错点：卡不准整数个数的边界；等号取舍极易写错 44．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 45．若不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，即可得到，然后求出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是． 46．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 易错必刷题型14.利用不等式范围化简绝对值 典题特征：先给取值范围，再化简去掉绝对值 易错点：分不清绝对值里面式子是正还是负；去绝对值正负号改反 47．已知：，化简：______． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再化简绝对值即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∴. 48．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的运算是解题的关键，根据数轴得到，，，从而得到，，代入化简即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 49．已知代数式的值小于0，且满足，则___________． 【答案】1 【分析】该题考查了一元一次不等式，绝对值的性质，首先根据代数式的值小于0解不等式得到的取值范围，再根据方程求解，结合取值范围确定a的值． 【详解】解：由题意得，解得． ∵，因为， 所以． 故答案为：1． 50．当关于的二元一次方程组的解为正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、解不等式组和绝对值的应用， （1）先解二元一次方程组得到x、y的表达式，再由题意列出关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的取值范围． （2）结合（1）得到和，利用绝对值计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得： ， ∵原方程组的解中x为正数，y为负数， ∴ ， 解得：； （2）解：∵， ∴，， ∴． .易错必刷题型15.列一元一次不等式 典题特征：看文字题意，自己列出不等式组 易错点：至多、至少、不超过，对应不等号写反；题干条件漏列一个 51．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 52．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 53．漳州云霄县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农收购“早钟号”品种的枇杷千克，“莆田种”品种的枇杷千克，共花费元．已知“早钟号”品种的枇杷比“莆田种”品种的枇杷每千克收购价多元． (1)“早钟号”品种的枇杷和“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？ (2)若“早钟号”品种的枇杷每千克的售价比“莆田种”品种的枇杷每千克的售价多元，且运输过程中，“早钟号”品种的枇杷损耗，“莆田种”品种的枇杷损耗．水果商售完这批枇杷盈利不少于元，“早钟号”品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？ 【答案】(1)“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是元， “早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元； (2)“早钟号”品种的枇杷每千克的售价最少应为元． 【分析】（1）设“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是元，则“早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元，根据题意列出一元一次方程，解之即可； （2）设“莆田种”品种的枇杷每千克的售价是元，则“早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元，根据题意列出一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）设“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是元，则“早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元，根据题意可得， 解得：， ， “莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是元， “早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元； （2）设“莆田种”品种的枇杷每千克的售价是元，则“早钟号”品种的枇杷每千克的收购价是元， 根据题意可得， 解得： ， 根据实际场景，为整数， 的最小值为， ， “早钟号”品种的枇杷每千克的售价最少应为元． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用与一元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出式子，再进行求解． 易错必刷题型16.不等式组的行程问题 典题特征：路程、速度、时间相关应用题 易错点：快慢、先后、路程多少关系搞混，不等号列错 54．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 55．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 56．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 典题特征：成本、售价、利润盈亏类题目 易错点：盈利亏本对应不等号分不清；利润公式用错 57．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 58．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， ∴最小整数解为， 答：至少购进A种剪纸34幅． 59．为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 典题特征：分物品、分东西有余、不够分题型 易错点：分不完、不够分的题意理解反，不等式列错 60．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 61．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 62．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 典题特征：求出范围，选出所有符合要求的可行方案 易错点：算出范围后，忘记只能取整数；漏数、少数可行方案 63．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 64．“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)《论语》的单价为元本，《孟子》的单价为元本． (2)共有种购买方案．购买《论语》本，《孟子》本． 【分析】（1）设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本．依题意得出不等式组，求得整数解，再分别算出各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本． 依题意得：， 解得． 答：《论语》的单价为40元/本，《孟子》的单价为25元/本． （2）解：设购买《论语》本，则购买《孟子》本． 依题意得， 解得． 为正整数， 的值为38，39或40，共有3种购买方案． 方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本，购书的总费用为（元）； 方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本，购书的总费用为（元）； 方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本，购书的总费用为（元）． ， 为了节约资金，学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本． 65．综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆； (2)辆；共有种租车方案，详见解析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 【详解】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 题型20.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：水电费、车费分段收费计算 易错点：分不清分段区间，乱套收费标准；分段节点计算出错 66．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 67．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 68．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $