专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练(24大题型共计72道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.由二元一次方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.构造方程组求参数 题型11.已知方程组解的情况求参数 题型12.方程相同解问题 题型13.和差倍分问题 题型14.分配问题 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.销售利润问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.几何图形列二元一次方程组 题型21.方案选择问题 题型22.图表信息问题 题型23.几何问题 题型24.古代问题 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 典题特征：给出多个式子，判断哪个属于二元一次方程 易错点：容易把含平方、分母带未知数、三个未知数、不是整式的式子误判成二元一次方程 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数均为1． 【详解】解：对于选项A：，项的次数为，不符合定义； 对于选项B：整理得，，符合二元一次方程的定义； 对于选项C：，是分式方程，不符合定义； 对于选项D：，的次数为，不符合定义． 2．是关于x，y的二元一次方程，则___． 【答案】 2 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，且， 解，得或， 由，得， ． 3．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数x，y的次数为1且对应系数不为0，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且，且， 解得，， ∴． 易错必刷题型02.二元一次方程的解 典题特征：判断数值是不是方程的解、求方程整数解、非负整数解 易错点：找整数解容易漏解，非负整数解容易漏掉0，代入检验粗心算错数 4．若是关于，的二元一次方程的解，则代数式的值是______． 【答案】6 【分析】将代入得到，然后将化简后整体代入求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解 ∴ ∴ ． 5．初一年级名师生参加研学活动，需同时租用甲、乙两种客车出行，每辆甲客车可坐人，每辆乙客车可坐人，若一次性将师生运往目的地且每辆客车都坐满，则租车方案有几种（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设租用两种客车的数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解，统计解的个数即可得到方案数． 【详解】解：设租用甲客车辆，乙客车辆，由题意得，均为正整数， 根据题意，得， ∴， ∵是正整数， ∴或或， 因此租车方案共有种． 6．阅读下列内容，并解答后面的问题． 对于二元一次方程（为常数），任意给出一个的值，可以得到一个对应的值；同理，任意给出一个的值，也可以得到一个对应的值，所以二元一次方程（为常数）有无数个解． 虽然一个二元一次方程有无数个解，但它的非负整数解的个数可能是有限的，并可以通过下面的方法求出来． 例题：求二元一次方程的非负整数解． 解：由，得，因为都是非负数，所以，即，解得．因为都是整数，所以必为2的倍数，的取值只能为0，2，4，6，8，10，12． 对于每一个值，代入可求得一个值，得到方程的一个解． 0 2 4 6 8 10 12 6 5 4 3 2 1 0 所以方程共有7个非负整数解，分别为： ；；；；；；． (1)直接写出二元一次方程的一个整数解； (2)甲、乙两种笔记本的价格分别为3元/本和5元/本，小红同学准备用45元钱购买甲、乙两种笔记本（恰好45元钱全部花完）．如果既可以单独购买甲种或乙种笔记本，也可以同时购买甲、乙两种笔记本，那么小红有哪几种购买笔记本的方案？ 【答案】(1)，答案不唯一 (2)方案共有四种；见详解 【分析】（1）写出二元一次方程的整数解即可． （2）设购买甲笔记本本，乙种笔记本本，根据准备用45元钱购买甲、乙两种笔记本（恰好45元钱全部花完）列出关于x，y的二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，， 故的一个个整数解为（答案不唯一，只要整数的值比整数的值小1即可）； （2）解：设购买甲笔记本本，乙种笔记本本， 则依题意，得， 由，得． 因为都是非负数，所以， 即：． 解这个不等式组，得 因为是整数，所以必是5的倍数，的取值只能为0，5，10，15．将的值分别代入中可得的值． 可得方程的非负整数解为四个： ，，， 所以小红购买笔记本的方案共有四种： 甲种笔记本 乙种笔记本 方案1 0 9 方案2 5 6 方案3 10 3 方案4 15 0 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 典题特征：多组方程组，逐一辨别是不是二元一次方程组 易错点：分不清方程组里未知数总数超2个、含高次项的式子，错当成二元一次方程组 7．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 8．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 易错必刷题型04.二元一次方程组的解的判定 典题特征：给出一组x、y数值，检验是否同时满足方程组两个方程 易错点：只代入其中一个方程符合，就直接判定是方程组的解 10．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，该选项符合题意； B、将代入，则，该选项不符合题意； C、将代入，则，该选项不符合题意； D、将代入，则，该选项不符合题意． 11．写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 12．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 易错必刷题型05.由二元一次方程组的解求参数 典题特征：给出方程组和解，把解代进去求字母参数的值 易错点：代入数值后正负号看错、移项变号出错，基础计算步骤算错 13．若是方程组 的解，则_____． 【答案】3 【分析】根据方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵是方程组 的解， ∴， ∴， ∴． 14．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将，代入方程得， 移项整理得， 解得：． 15．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】． 【分析】首先利用加减消元法解二元一次方程组，得到、关于的表达式；再根据方程解的定义，将、代入，得到关于的一元一次方程，最后解该方程求出的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴代入方程得：， 解得． 易错必刷题型06.代入消元法 典题特征：标准二元一次方程组，用代入消元完整求解 易错点：变形方程移项不变号，代入另一个方程时漏乘常数项，最后回代求解算错 16．已知，若用含的代数式表示，则______． 【答案】/ 【分析】将看作已知数进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 17．用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 18．解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法求解． 【详解】解： 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入，得， 因此该方程组的解为． 易错必刷题型07.加减消元法 典题特征：用加减消元法消去同一个未知数，解方程组 易错点：系数同号相减时符号全部搞反，找公倍数扩倍时，常数项忘记跟着一起扩倍 19．若是方程组的解，则的值为_____． 【答案】8 【分析】根据方程组的解的定义，将解代入方程，然后将得到的方程组的两式相加，即可求解． 【详解】解：根据题意，， 得，， 整理得 ． 20．用加减消元法解二元一次方程组，下面解法不正确的是（    ） A．①②，消去x B．①②，消去y C．①②，消去y D．①②，消去x 【答案】B 【分析】计算每个操作后目标未知数的系数，判断是否能消去目标未知数即可． 【详解】解：原方程组为， 对A，得，得， 两式相减后的系数为，可消去， A正确； 对B，得，得， 两式相加后的系数为，不能消去， B不正确； 对C，得，得， 两式相减后的系数为，可消去， C正确； 对D，得，得， 两式相加后的系数为，可消去， D正确； 综上，答案选B． 21．解方程组． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 易错必刷题型08.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：整体代入、整体加减、换元法简化求解方程组 易错点：看不出可以整体代入的结构，换元算出结果后，忘记换回原来未知数 22．已知方程组，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出x、y的具体值．通过将方程组两式相加，直接凑出目标式的整体值，再代入即可求解． 【详解】解： 将，得 两边同时除以，得 ， ． 23．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将方程组整理变形：， 方程组的解是， ，解得． 24．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， 方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知满足方程组求整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目解题步骤进行求解即可； （2）应用加减消元法的思路进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得， ， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将方程①②得：，得③， 将③代入①得， ∴． 易错必刷题型09.错解复原问题 典题特征：一人抄错方程、看错系数，利用错解求原方程组正确解 易错点：把错解代入抄错的那个方程计算，分不清哪个方程没错、该代入哪个式子 25．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入， 得到关于t的一元一次方程， 解得， 故答案为： 26．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 27．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将代入②，代入①得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得 ， 解得； （2）解：由上题，得， ①②，得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是． 易错必刷题型10.构造方程组求参数 典题特征：利用绝对值、平方、算术平方根非负性，同类项定义列方程组 易错点：不会根据非负数相加为0，列出两个单独等于0的方程，基础列式出错 28．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 29．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 30．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 易错必刷题型11.已知方程组解的情况求参数 典题特征：根据方程组唯一解、无解、无数组解，求字母参数 易错点：混淆无解和无数解的比例条件，比例交叉相乘计算粗心出错 31．若关于的方程组的解满足，则___________． 【答案】 【分析】通过得：，把代入求解即可. 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 32．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 【答案】C 【分析】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值． 【详解】解： ∵ ①+②得 ∴ 将代入②得 ∵ 方程组的解均为整数，为正整数 ∴ 是28和70的正公约数，且 28和70的正公约数为 符合条件的或 当时，；当时， ∴ 正整数的值为2或9． 33．小明在解方程组时，发现系数“”模糊不清． (1)小明把“”猜成，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解、互为相反数，求“”表示的数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于方程组，可利用加减消元法，将两式相加消去，先求出的值，再将的值代入第一个方程求出的值，即可得到方程组的解． （2）先根据、互为相反数，得到，将其代入方程，求出、的值，再将解代入方程，即可求出“”表示的数值． 【详解】（1）解：由题意可得， ①②得， 解得， 把代入，得， 解得， 所以方程组的解是； （2）解：设“”为 互为相反数， ∴把代入，得， 解得，即 ∴方程组的解是， 把代入，得， 解得， 即原题中“”是． 易错必刷题型12.方程相同解问题 典题特征：两个方程组同解，先求公共解，再代入求参数 易错点：不会先联立不含参数的方程求公共解，后面代入参数计算正负号出错 34．若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得，， 将代入得，， 解得，， ∴． 35．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 36．已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先联立两个不含参数的方程，求出公共解，再将解代入含参数的方程，通过整体相加直接求出的值． 【详解】解：联立， 解得， 代入， 得， 由， 得， 故． 易错必刷题型13.和差倍分问题 典题特征：题目给数量之间和、差、倍数关系，列方程组解题 易错点：分不清A比B多、A是B的几倍的等量关系，等量关系列反、方程左右写反 37．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 38．某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 【答案】(1) 每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是 (2) 这些机器人内的总搬运量是 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中求出的结果计算即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是， 则有， 解得， 答：每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是； （2）解：， 答：这些机器人内的总搬运量是． 39．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 【答案】原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子 【分析】设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子，根据鸽子的对话列出方程组，求解即可． 【详解】解：设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子， 由题意得：， 解得：， 答：原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子． 易错必刷题型14.分配问题 典题特征：人员、物品来回调动分配，根据调配前后数量列方程 易错点：搞反调配之后谁变多、谁变少，调配增减数量写反，等量关系理不清 40．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 41．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 42．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 易错必刷题型15.行程问题 典题特征：相遇、追及、顺水逆水航行，根据路程速度时间列方程 易错点：顺水逆水速度公式记混，相遇追及的路程等量关系找不对 43．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 44．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 45．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 易错必刷题型16.工程问题 典题特征：多人合作做工，根据工作效率、工作时间、总工作量列方程 易错点：不会正确用分数表示单人工作效率，合作效率直接简单相加出错 46．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 47．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 48．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 【答案】(1)若选择方案①，该公司所得的利润为57500元 (2)选择第③种方案能使公司利润最大化，理由见解析 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：若选择方案①，该公司所得的利润为57500元． （2）解：当选择方案②时，由题意得，进行7天精加工，余下的直接销售． 则精加工的数量为，直接销售的数量为． ∴此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工x天，进行粗加工y天，由题意得 ， 解得， ∴此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为57500元， ∵， ∴选择第③种方案能使公司利润最大化． 易错必刷题型17.销售利润问题 典题特征：进价、售价、折扣、利润率、总利润，列方程组求解 易错点：打折计算直接用原价乘折扣，分不清利润和利润率，公式套用错误 49．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 50．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展了知识竞赛活动，计划去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若购买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若购买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 素材 为了满足市场的需求，奶茶店推出A款奶茶每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决： (1)任务：问：A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元 (2)任务：根据素材，小华恰好用了元购买A款奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶数量的，则A款加料的奶茶买了多少杯 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元． (2)15 【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小华购买了m杯A款奶茶，A款不加料的杯数是，则A款加料的杯数是，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意有： 解得， 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元． （2）解：设小华购买了m杯A款奶茶，A款不加料的杯数是，则A款加料的杯数是， 根据题意：， 解得：， 则A款加料的杯数是(杯)． 51．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根（其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根进价为元，则有哪几种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为元、元 (2)有两种方案：①购进足球个，跳绳根；②购进足球个，跳绳根 【分析】（1）根据“正确购买”和“数量弄反”两种总价情况列二元一次方程组，求解即可得到足球和跳绳的单价； （2）根据总进价列二元一次方程，结合且、均为正整数的限制条件，枚举所有符合要求的整数解即可得到购进方案． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元， 由题意得： ， 解得：， 答：足球和跳绳的单价分别为元、元； （2）解：由题意得：， ∴， ∵、是正整数， ∴或 ， 答：有两种方案：①购进足球个，跳绳根；②购进足球个，跳绳根． 易错必刷题型18.数字问题 典题特征：一个两位数、三位数，根据数位数字关系列方程 易错点：十位数字忘记乘10、百位忘记乘100，数位代表的数值理解错误 52．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 53．一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【答案】68 【分析】设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为14和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新两位数比原两位数大18，得， 化简得， 即． 解方程组， 解得， 故原两位数为． 54．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，通过看到的里程碑上的数字关系列方程，再用含与的代数式表示与看到的数，利用等量关系列方程 即可． 【详解】解：设他看到的数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数可以表示为． 由题意，得 解得 故他看到的两位数是． 答：他看到的两位数是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用：里程碑上的数的问题，掌握两位数与数字关系是解题的关键． 易错必刷题型19.年龄问题 典题特征：两个人年龄变化，根据年龄差、年龄倍数列方程 易错点：只长一个人年龄，忘记两个人年龄同时同岁增长，年龄差关系搞错 55．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 56．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 57．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 易错必刷题型20.几何图形列二元一次方程组 典题特征：利用长方形边长、周长、角度、图形拼接关系列方程 易错点：图形边长等量关系看错，周长公式用错，拼接前后边长关系理不清 58．如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．设小长方形的宽为，长为，再根据题意列方程组求得、，最后求面积即可． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 根据题意得， ， 解得， 一个小长方形的面积为． 故选：A． 59．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    【答案】 【分析】设小长方形的长为、宽为，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 60．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 【答案】任务1：①；②；任务2：③；④；⑤；任务3：⑥70 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键．利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将代入运算即可得出结论． 【详解】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， ∴m个横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形， 故答案为：； ②∵竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形， ∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和个长方形， 故答案为：； ③∵1张纸板可以裁成4个正方形， ∴个正方形需要张纸板． 故答案为：； ④∵1张纸板可以裁成3个长方形， ∴个长方形需要张纸板． 故答案为：； ⑤∵现将300张纸板裁剪成材料， ∴． 整理得：． ∴m，n之间满足的关系式为：． 故答案为：； ⑥若计划制作86个横式无盖纸盒， ∴时，， ∴（张）． ∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 故答案为：70． 易错必刷题型21.方案选择问题 典题特征：购买、运输有多种可行方案，求所有符合题意整数方案 易错点：求出解后忘记取正整数，漏掉可行方案，不符合实际数量要求也保留 61．一架无人机载重为，需配送重和的两种包裹.要求无人机满载飞行，则配送包裹的总件数不可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解问题，根据满载条件列方程，求出所有可能的总件数，即可判断不可能的选项． 【详解】解：设配送包裹件，包裹件，均为非负整数， 由无人机满载可得：， 整理得， ∵ 为非负整数， ∴为非负偶数， ∵是奇数，奇数减奇数为偶数， ∴是奇数，即为奇数 又∵ ， 得 ∴ 的可能取值为 当时，，总件数，排除D选项； 当时，，总件数，排除C选项； 当时，，总件数，排除A选项； 因此总件数不可能是． 62．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】(1)完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； (2)只有1种符合条件的安排方案 【分析】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【详解】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 63．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题2：八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】(1)大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 (2)八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】（1）设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； （2）根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； （2）解：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：，方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 易错必刷题型22.图表信息问题 典题特征：从表格、图像当中提取数据，找等量关系列方程组 易错点：看错表格行列对应数据，找错两组对应等量关系，读题提取信息出错 64．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 65．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 66．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 【答案】（1）37，50；（2）计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）1或 4 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据总人数314人以及总费用14400元列出二元一次方程组并求解即可； （3）先求得总人数为350人，再设租C型客车a辆，租B型客车b辆，租A型客车nb辆，然后列出方程19nb＋37b＋50a＝350，进而对其进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）B型客车的座位数：19×2－1＝37（个）， C型客车座位数：37＋13＝50（个）， 故答案为：37，50； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：计划租A型客车6辆，租C型客车4辆； （3）总人数为：314＋36＝350（人）， 设租C型客车a辆，租B型客车b辆，则租A型客车nb辆（a≥1，b≥1，n≥1且a、b、n为正整数）， 由题意得：19nb＋37b＋50a＝350， 即：（19n＋37）b＋50a＝350， 当a＝1时，则（19n＋37）b＝300， ∵300＝2×2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝300， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝3，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝5，则19n＋37＝60， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝6，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝2时，则（19n＋37）b＝250， ∵250＝2×5×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝250， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝125， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝5，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝3时，则（19n＋37）b＝200， ∵200＝2×2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝200， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝4时，则（19n＋37）b＝150， ∵150＝2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝3，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝5时，则（19n＋37）b＝100， ∵100＝2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝6时，则（19n＋37）b＝50， 若b＝1，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1， 综上所述：符合题意的a的值为1或4， 故答案为：1或 4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，第（2）问的关键是理清题意，设出未知数，根据等量关系列出方程组求解，第（3）问的关键是学会正确进行分类讨论，要保证每种情况不重也不漏． 易错必刷题型23.几何问题 典题特征：依托图形边长、角度、周长关系，列方程组计算求解 易错点： 1. 图形边长角度等量关系容易找错2. 角度倍数与和差关系理解混淆 3. 图形拼接相等边长判断失误4. 周长边长列式计算容易出错5. 忽略边长正数的实际取值要求 67．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 【答案】8 【分析】设小长方形的较长边长为x，另一边长为y，根据长方形的长为7，宽为5，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的较长边长为x，另一边长为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 即小长方形的周长为8． 68．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得， 解得， 每个小长方形的面积． 69．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 【答案】 【分析】设，根据题意可推出，，，根据，长方形的周长为22建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵，长方形的周长为22， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的周长和． 易错必刷题型24.古代问题 典题特征：鸡兔同笼、盈不足等古文题型，翻译题意列方程组 易错点：看不懂古文题意，翻译出来的等量关系和原题意思对不上 70．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤”（明代的度量衡中斤两）．其题意为：客人一起分银子，若每人两还剩两；若每人两还差两，银子共有______两．（注：“两”为古代货币单位） 【答案】 【分析】设客人共有人，银子为两，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设客人共有人，银子为两， 根据题意，银子总数不变，可得方程， 解得：， ∴银子共有两． 71．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 72．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问：竿子长多少尺？ 【答案】15尺 【分析】根据题意找到两个等量关系，设出未知数后列出方程组求解即可得到竿子的长度． 【详解】解：设竿子长为y尺，绳子长为x尺， 由题意得， 解得． 答：竿子长15尺． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组的解的判定 题型05.由二元一次方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.构造方程组求参数 题型11.已知方程组解的情况求参数 题型12.方程相同解问题 题型13.和差倍分问题 题型14.分配问题 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.销售利润问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.几何图形列二元一次方程组 题型21.方案选择问题 题型22.图表信息问题 题型23.几何问题 题型24.古代问题 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 典题特征：给出多个式子，判断哪个属于二元一次方程 易错点：容易把含平方、分母带未知数、三个未知数、不是整式的式子误判成二元一次方程 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．是关于x，y的二元一次方程，则___． 3．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．9 易错必刷题型02.二元一次方程的解 典题特征：判断数值是不是方程的解、求方程整数解、非负整数解 易错点：找整数解容易漏解，非负整数解容易漏掉0，代入检验粗心算错数 4．若是关于，的二元一次方程的解，则代数式的值是______． 5．初一年级名师生参加研学活动，需同时租用甲、乙两种客车出行，每辆甲客车可坐人，每辆乙客车可坐人，若一次性将师生运往目的地且每辆客车都坐满，则租车方案有几种（） A． B． C． D． 6．阅读下列内容，并解答后面的问题． 对于二元一次方程（为常数），任意给出一个的值，可以得到一个对应的值；同理，任意给出一个的值，也可以得到一个对应的值，所以二元一次方程（为常数）有无数个解． 虽然一个二元一次方程有无数个解，但它的非负整数解的个数可能是有限的，并可以通过下面的方法求出来． 例题：求二元一次方程的非负整数解． 解：由，得，因为都是非负数，所以，即，解得．因为都是整数，所以必为2的倍数，的取值只能为0，2，4，6，8，10，12． 对于每一个值，代入可求得一个值，得到方程的一个解． 0 2 4 6 8 10 12 6 5 4 3 2 1 0 所以方程共有7个非负整数解，分别为： ；；；；；；． (1)直接写出二元一次方程的一个整数解； (2)甲、乙两种笔记本的价格分别为3元/本和5元/本，小红同学准备用45元钱购买甲、乙两种笔记本（恰好45元钱全部花完）．如果既可以单独购买甲种或乙种笔记本，也可以同时购买甲、乙两种笔记本，那么小红有哪几种购买笔记本的方案？ 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 典题特征：多组方程组，逐一辨别是不是二元一次方程组 易错点：分不清方程组里未知数总数超2个、含高次项的式子，错当成二元一次方程组 7．下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 8．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型04.二元一次方程组的解的判定 典题特征：给出一组x、y数值，检验是否同时满足方程组两个方程 易错点：只代入其中一个方程符合，就直接判定是方程组的解 10．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 11．写出一个解为的二元一次方程组________． 12．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型05.由二元一次方程组的解求参数 典题特征：给出方程组和解，把解代进去求字母参数的值 易错点：代入数值后正负号看错、移项变号出错，基础计算步骤算错 13．若是方程组 的解，则_____． 14．已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 15．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，求的值． 易错必刷题型06.代入消元法 典题特征：标准二元一次方程组，用代入消元完整求解 易错点：变形方程移项不变号，代入另一个方程时漏乘常数项，最后回代求解算错 16．已知，若用含的代数式表示，则______． 17．用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 18．解方程组：． 易错必刷题型07.加减消元法 典题特征：用加减消元法消去同一个未知数，解方程组 易错点：系数同号相减时符号全部搞反，找公倍数扩倍时，常数项忘记跟着一起扩倍 19．若是方程组的解，则的值为_____． 20．用加减消元法解二元一次方程组，下面解法不正确的是（    ） A．①②，消去x B．①②，消去y C．①②，消去y D．①②，消去x 21．解方程组． (1) (2) 易错必刷题型08.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：整体代入、整体加减、换元法简化求解方程组 易错点：看不出可以整体代入的结构，换元算出结果后，忘记换回原来未知数 22．已知方程组，则的值为_________． 23．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 24．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得， 方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知满足方程组求整式的值． 易错必刷题型09.错解复原问题 典题特征：一人抄错方程、看错系数，利用错解求原方程组正确解 易错点：把错解代入抄错的那个方程计算，分不清哪个方程没错、该代入哪个式子 25．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为______． 26．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 27．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 易错必刷题型10.构造方程组求参数 典题特征：利用绝对值、平方、算术平方根非负性，同类项定义列方程组 易错点：不会根据非负数相加为0，列出两个单独等于0的方程，基础列式出错 28．若单项式与是同类项，则_____． 29．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 30．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 易错必刷题型11.已知方程组解的情况求参数 典题特征：根据方程组唯一解、无解、无数组解，求字母参数 易错点：混淆无解和无数解的比例条件，比例交叉相乘计算粗心出错 31．若关于的方程组的解满足，则___________． 32．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（    ） A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10 33．小明在解方程组时，发现系数“”模糊不清． (1)小明把“”猜成，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解、互为相反数，求“”表示的数值． 易错必刷题型12.方程相同解问题 典题特征：两个方程组同解，先求公共解，再代入求参数 易错点：不会先联立不含参数的方程求公共解，后面代入参数计算正负号出错 34．若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 35．已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 36．已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 易错必刷题型13.和差倍分问题 典题特征：题目给数量之间和、差、倍数关系，列方程组解题 易错点：分不清A比B多、A是B的几倍的等量关系，等量关系列反、方程左右写反 37．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 38．某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 39．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 易错必刷题型14.分配问题 典题特征：人员、物品来回调动分配，根据调配前后数量列方程 易错点：搞反调配之后谁变多、谁变少，调配增减数量写反，等量关系理不清 40．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 41．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 42．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 易错必刷题型15.行程问题 典题特征：相遇、追及、顺水逆水航行，根据路程速度时间列方程 易错点：顺水逆水速度公式记混，相遇追及的路程等量关系找不对 43．哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 44．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 45．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 易错必刷题型16.工程问题 典题特征：多人合作做工，根据工作效率、工作时间、总工作量列方程 易错点：不会正确用分数表示单人工作效率，合作效率直接简单相加出错 46．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 47．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 48．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 易错必刷题型17.销售利润问题 典题特征：进价、售价、折扣、利润率、总利润，列方程组求解 易错点：打折计算直接用原价乘折扣，分不清利润和利润率，公式套用错误 49．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 50．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展了知识竞赛活动，计划去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若购买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若购买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 素材 为了满足市场的需求，奶茶店推出A款奶茶每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决： (1)任务：问：A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元 (2)任务：根据素材，小华恰好用了元购买A款奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶数量的，则A款加料的奶茶买了多少杯 51．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根（其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根进价为元，则有哪几种购进方案？ 易错必刷题型18.数字问题 典题特征：一个两位数、三位数，根据数位数字关系列方程 易错点：十位数字忘记乘10、百位忘记乘100，数位代表的数值理解错误 52．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 53．一个两位数数位上的数字之和是14，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，求原两位数． 54．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 易错必刷题型19.年龄问题 典题特征：两个人年龄变化，根据年龄差、年龄倍数列方程 易错点：只长一个人年龄，忘记两个人年龄同时同岁增长，年龄差关系搞错 55．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 56．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 57．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 易错必刷题型20.几何图形列二元一次方程组 典题特征：利用长方形边长、周长、角度、图形拼接关系列方程 易错点：图形边长等量关系看错，周长公式用错，拼接前后边长关系理不清 58．如图，宽为的矩形图案是由10个形状和大小完全一样的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 59．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    60．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 易错必刷题型21.方案选择问题 典题特征：购买、运输有多种可行方案，求所有符合题意整数方案 易错点：求出解后忘记取正整数，漏掉可行方案，不符合实际数量要求也保留 61．一架无人机载重为，需配送重和的两种包裹.要求无人机满载飞行，则配送包裹的总件数不可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 62．某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 63．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题2：八、九年级各有多少人参加春游？ 易错必刷题型22.图表信息问题 典题特征：从表格、图像当中提取数据，找等量关系列方程组 易错点：看错表格行列对应数据，找错两组对应等量关系，读题提取信息出错 64．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 65．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 66．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 易错必刷题型23.几何问题 典题特征：依托图形边长、角度、周长关系，列方程组计算求解 易错点： 1. 图形边长角度等量关系容易找错2. 角度倍数与和差关系理解混淆 3. 图形拼接相等边长判断失误4. 周长边长列式计算容易出错5. 忽略边长正数的实际取值要求 67．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 68．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 69．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 易错必刷题型24.古代问题 典题特征：鸡兔同笼、盈不足等古文题型，翻译题意列方程组 易错点：看不懂古文题意，翻译出来的等量关系和原题意思对不上 70．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤”（明代的度量衡中斤两）．其题意为：客人一起分银子，若每人两还剩两；若每人两还差两，银子共有______两．（注：“两”为古代货币单位） 71．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 72．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问：竿子长多少尺？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $