专题02实数易错必刷题型专项训练(29大题型共计89道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总实数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平方根概念理解 题型02.求一个数的平方根 题型03.求代数式的平方根 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型05.利用平方根解方程 题型06.求一个数的算术平方根 题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型08.估计算术平方根的取值范围 题型09.与算术平方根有关的规律探究题 题型10.算术平方根的实际应用 题型11.立方根的概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根,求这个数 题型14.与立方根有关的规律探究题 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型17.无理数 题型18.无理数的大小估算 题型19.无理数整数部分的有关计算 题型20.实数的概念理解 题型21.实数的分类 题型22.实数的性质 题型23.实数与数轴 题型24.实数的大小比较 题型25.实数的混合运算 题型26.程序设计与实数运算 题型27.新定义下的实数运算 题型28.实数运算的实际应用 题型29.与实数运算相关的规律题 易错必刷题型01.平方根概念理解 题型特征：判断关于平方根/算术平方根的说法正误、区分平方根与算术平方根 -易错点：① 把当成a的平方根（实际是算术平方根）；② 认为负数有平方根；③ 漏写正数的负平方根（如只写=3，漏-3）；④ 混淆与的取值范围 1．下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【答案】C 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 2．若一个正数的平方根是和，则a是___． 【答案】 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此结合相反数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 易错必刷题型02.求一个数的平方根 题型特征：直接求正数、0、可化简数的平方根 易错点：① 只写算术平方根（漏负号）；② 对负数强行开平方；③ 带分数没化成假分数就开方；④ 小数开方时小数点位置算错 4．若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义与性质，根据平方根的概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． ∵ 对选项A：，且， ∴ 的平方根是，A正确． ∵ 对选项B：当时，，0有平方根为0， ∴ B错误． ∵ 对选项C：正数的平方根一正一负，例如的平方根包含，是负数， ∴ C错误． ∵ 对选项D：正数的平方根有一个负数，例如的平方根是负数， ∴ D错误． 综上，正确答案为A． 6．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 易错必刷题型03.求代数式的平方根 题型特征：求含字母、多项式的代数式的平方根 易错点：① 没判断代数式是否非负就开方；② 漏写负平方根；③ 化简代数式出错导致结果错误；④ 忽略字母的取值范围 7．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 8．定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是_____． 【答案】±3． 【分析】根据新定义运算法则得到关于x、y的方程组，通过解方程组求得（X+Y）的值，然后求3X+3Y的平方根. 【详解】依题意得： 由①+②，得5X+5Y=15， 所以X+Y=3 所以±±3． 故答案是：±3． 【点睛】本题考查了平方根,要注意区分平方根、算术平方根的概念． 9．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 易错必刷题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型特征：已知一个数的两个平方根（或其中一个），求原数 易错点：① 不会用“正数的两个平方根互为相反数”列方程；② 直接把平方根当原数（如平方根为3，错把原数当成3）；③ 忽略0的平方根是0的特殊情况 10．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求出，即可得解． 【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， 这个数是． 11．如果与是一个正数的平方根，则这个正数是_____． 【答案】25或100 【分析】分2种情况进行求解即可. 【详解】解：由题意，或， 解得或， 或， 这个正数是或. 12．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【答案】 【分析】由平方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的算术平方根是6， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 易错必刷题型05.利用平方根解方程 题型特征：解形如x2=a、(x+m)2=a的方程 易错点：① 漏写负根；② 开平方时漏加\pm号；③ 移项、去括号时符号错误；④ 忽略a<0时方程无实根的情况 13．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 14．已知，则____________． 【答案】9 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15．（1）解方程：； （2）求满足的的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为即可； （2）根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：（1） 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． （2）， ∴或， 解得：或． 【点睛】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解． 易错必刷题型06.求一个数的算术平方根 题型特征：直接求正数、0、可化简数的算术平方根 易错点：① 混淆算术平方根与平方根（多写负号）；② 对直接写a（未加绝对值）；③ 带分数、小数开方计算错误 16．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，根据定义计算各选项即可判断出正确结果． 【详解】A、，故选项A错误； B、 ，故选项B错误； C、，等式成立，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 17．若，则的算术平方根为________． 【答案】4 【分析】根据算术平方根的被开方数和完全平方式的非负性，求出、的值，进而求出值，从而得到其算术平方根． 【详解】解：，， ，， 解得，， ， 的算术平方根为4． 18．已知实数满足关系式，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方、算术平方根的非负性即可得出的值，再求算术平方根即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴的算术平方根是． 易错必刷题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型特征：已知+=0、+|B|=0等，求字母值 易错点：① 忽略0的隐含条件；② 多个非负项相加为0时，漏写每个项为0；③ 错误认为非负项相加为0时只需一个项为0 19．若为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20．已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 21．已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出和的值； （2）根据正实数的两个平方根互为相反数，列出等式求出的值，再根据平方根的定义计算得到的值； 【详解】（1）解：，，且， ，， ∴，； （2）解：正实数的两个平方根分别为和， ， 将，代入得， 解得：， ． 易错必刷题型08.估计算术平方根的取值范围 题型特征：估算（a非完全平方数）的整数范围、近似值 易错点：① 找错相邻的完全平方数（如估算错找成4和9）；② 估算时忽略小数部分的影响；③ 范围判断时不等号方向写错 22．估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】找到37介于哪两个相邻完全平方数之间，即可得到的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即 ， ∴的值在6和7之间． 23．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 24．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 易错必刷题型09.与算术平方根有关的规律探究题 题型特征：给出一组，........找规律、写通项 易错点：① 找不到被开方数与结果的小数点移动规律；② 归纳规律时遗漏特殊情况；③ 用字母表示规律时符号错误 25．已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【答案】D 【分析】被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点向右或者向左移动一位，据此求解． 【详解】解：∵ ∴ 26．已知：，，，，则的值约为______． 【答案】14.14 【分析】本题利用积的算术平方根的性质，将所求二次根式变形为含有已知近似值的形式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：， 已知， 因此 ． 27．问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： ，，，，…． 实践探究： (1)按照此规律： ①计算：______； ②第n个式子是______；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：______； 迁移应用： (3)计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）根据①得到的规律化简每一个根式，再计算乘法即可； （3）先计算每一个根式，再计算乘法． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现等号右边的分母为根式内分母的算术平方根，等号右边的分子比分母少1，那么； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， （2）解： ； （3）解： ． 易错必刷题型10.算术平方根的实际应用 题型特征：用算术平方根解决正方形边长、面积、距离等实际问题 易错点：① 忽略实际意义（如边长为正，错误保留负根）；② 单位换算错误；③ 建模时列错关系式（如把面积公式用错） 28．如图，将两个面积都为3的小正方形沿对角线剪开，得到4个直角三角形，用这4个直角三角形拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为3， ∴大正方形的面积为6， ∴大正方形的边长为． 29．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 30．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】(1)原正方形纸片的边长为． (2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 易错必刷题型11.立方根的概念理解 题型特征：判断关于立方根的说法正误、区分立方根与平方根 易错点：① 认为负数没有立方根；② 漏写立方根的符号；③ 混淆立方根与平方根的符号规则 31．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C． D．没有平方根 【答案】D 【详解】解：∵正数有两个平方根，且 ∴的平方根是，A错误． ∵ ∴的立方根是，不是，B错误． ∵ ∴C错误． ∵负数没有平方根，是负数 ∴没有平方根，D正确． 32．2是______的立方根；______的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 33．，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义和性质，以及代数式求值，通过立方根的性质求出x的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴或1或， 解得或1或3， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为0或2或6． 故选：D． 易错必刷题型12.求一个数的立方根 题型特征：直接求正数、负数、0、可化简数的立方根 易错点：① 符号错误；② 带分数、小数开立方计算失误；③ 混淆与的结果 34．已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义，被开方数为非负数，据此先求出的值，再代入求出的值，最后计算的立方根即可． 【详解】解：根据算术平方根的性质，被开方数大于等于， 可得 解得， 将代入 ， 得 ， 则， 因为，所以的立方根是． 35．若9条直线两两相交，最多可构成m对对顶角，最多可构成n对邻补角，则的立方根是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先求9条直线两两相交最多的交点数，再根据每个交点处对顶角、邻补角的数量计算出和，最后求的立方根即可，要得到最多交点，需满足任意三条直线不共点． 【详解】解：∵9条直线两两相交，要得到最多交点，需任意三条直线不共点，每两条直线相交产生1个不重复交点， ∴最多交点个数为 ． ∵每个交点处有2对对顶角，4对邻补角， ∴，． ∴． 又∵， ∴的立方根是． 36．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （）根据被开方数互为相反数列出方程解答即可求解； （）将所给等式变形为 ，根据立方根等于它本身的数是，，解答即可求解； 本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以是两位数； 其次观察立方数， ，猜想个位数字是； 接着将 往前移动位小数点后约为，因为， 所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得 的立方根是； 得到， 故答案为：； （2）解：， 与互为相反数， 与互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 或或， 解得或或． 易错必刷题型13.已知一个数的立方根,求这个数. 题型特征：已知一个数的立方根，求原数 易错点：① 立方运算错误（如立方根为-3，错把原数算成9）；② 符号处理失误；③ 忽略0的立方根是0的特殊情况 37．已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________． 【答案】12 【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， 解得：， ∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∴． 38．已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根以及立方根的性质得出的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， 则． 故选：C． 39．已知2既是的平方根，也是的立方根，请求出的平方根． 【答案】的平方根是 【分析】先根据平方根的概念和立方根的概念求出a和b的值，再求出代数式的值，并开平方即可得出答案． 【详解】解：∵2既是的平方根，也是的立方根， ∴，， ∴，， 则， 故的平方根是． 易错必刷题型14.与立方根有关的规律探究题 题型特征：给出一组，....找规律、写通项 易错点：① 找不到被开方数与立方根的小数点移动规律；② 归纳规律不严谨；③ 用字母表示规律时出错 40．观察规律：，，．则_____． 【答案】 【分析】观察已知开立方运算结果，总结被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察已知等式：，，， 可得规律：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点相应向右或向左移动1位， 对比与，的小数点向右移动3位得到， 因此的小数点向右移动1位，得． 41．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 42．阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题型15.立方根的实际应用 题型特征：用立方根解决正方体棱长、体积等实际问题 易错点：① 忽略实际意义（如体积为正）；② 单位换算错误；③ 建模时列错体积公式 43．一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据正方体体积公式，棱长的立方等于体积，求体积的立方根即可得到棱长． 【详解】解：∵正方体水槽的体积为， ∴该正方体水槽的棱长是． 故答案为：4． 44．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 45．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 易错必刷题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型特征：同时涉及算术平方根、立方根的计算、求值、解方程 易错点：① 混淆两种根的符号规则；② 综合计算时跳步出错；③ 忽略各自的取值范围（如算术平方根被开方数非负） 46．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 47．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 48．已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，即可计算出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 易错必刷题型17.无理数 题型特征：从一组数中选出无理数、判断无理数的说法正误 易错点：① 把无限循环小数当成无理数（如0.3）；② 把带根号的数都当成无理数（如是有理数）；③ 漏认含π的无理数；④ 误认为开方开不尽的数才无理数 49．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合题意； B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、，是分数，属于有理数，不符合题意． 50．已知数据：，，，，0，其中无理数的个数为________． 【答案】 2 【分析】根据无理数的定义，对给出的每个数逐一判断，统计得到无理数的个数． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是整数，属于有理数； 综上，无理数的个数为． 51．下列结果中，一定是无理数的是（    ） A．周长为21的等边三角形的边长 B．周长为2π的圆的直径 C．面积为8的正方形的边长 D．周长为8的正方形的边长 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义与几何图形的边长计算，掌握先根据几何公式计算数值，再结合无理数定义判断是解题的关键． 先根据几何公式计算各选项的数值，再依据无理数的定义判断是否为无理数． 【详解】A、∵等边三角形周长边长，∴边长，为有理数，不符合题意； B、∵圆周长直径，∴直径，为有理数，不符合题意； C、∵正方形面积，∴边长，∵为无理数，∴为无理数，符合题意； D、∵正方形周长边长，∴边长，为有理数，不符合题意； 故选：C． 易错必刷题型18.无理数的大小估算 题型特征：估算无理数的范围、比较无理数与有理数的大小 易错点：① 找错相邻的完全平方数/立方数；② 估算范围错误；③ 比较大小时符号失误 52．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数定义写出一个大于且小于的无理数即可． 【详解】解：由题意可知点P表示的数大于且小于， ∵， ∴， ∴， ∴可能是点表示的无理数可能是． 53．若整数满足，则的值是__________． 【答案】4 【分析】利用夹逼法可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∵整数满足， ∴． 54．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 55．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65，图见解析，求解过程见解析 (2) 【分析】（1）首先由得到，设，然后同题干的方法求解； （2）设，然后同题干的方法求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，设， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴，即； （2）解：∵，且 ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型19.无理数整数部分的有关计算 题型特征：已知的整数部分/小数部分，求代数式的值 易错点：① 负数无理数的整数部分判断错误；② 小数部分计算错误③ 计算时符号处理错误 56．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】 【分析】先通过估算无理数的大小，得到和的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴的整数部分为，小数部分 ∵ ∴ ∴的整数部分 将，代入得： ． 57．已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 58．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值： (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根的定义、算术平方根的定义分别求出、，根据可以求出； （2）把字母，，的值代入代数式求出，所以求的算术平方根为． 【详解】（1）解：的立方根是， ， 解得：； 的算术平方根是， ， 整理可得：， 解得：； ， ， ； （2）解：，，， ， 的算术平方根是． 易错必刷题型20.实数的概念理解 题型特征：判断关于实数的说法正误 易错点：① 认为实数仅包含有理数；② 混淆实数与数轴的一一对应关系（错认为有理数与数轴一一对应）；③ 误认为无限小数都是无理数 59．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 60．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 61．已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的概念、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意得，再将变形为，整体代入可得，最后利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 62．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得， ∴， 两边立方，得：， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型21.实数的分类 题型特征：将数填入有理数、无理数、正实数等集合 易错点：① 0的归类错误（把0归到正/负实数）；② 漏分、重复分类；③ 把无理数误归为有理数；④ 把有限/无限循环小数归为无理数 63．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 64．下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、实数的分类、无理数的概念与性质，逐一分析每个说法的正误即可． 【详解】解：①、∵， ∴①错误； ②、∵，而的平方根是， ∴是的平方根， ∴②正确； ③、根据实数的定义：实数分为有理数和无理数两类，不存在其他情况， ∴③正确； ④、如和都是无理数，但，是有理数， ∴④错误； ⑤、根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴⑤正确； 综上，正确的有②③⑤． 65．把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【答案】(1)0，，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； (5)0，， 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）正分数是大于0的分数，可以是有限小数或无限循环小数，据此即可解答； （3）负有理数是小于0的有理数，包括负整数和负分数，据此即可解答； （4）根据无理数的定义（无限不循环小数）作答即可； （5）非负整数包括正整数和0，据此即可解答． 【详解】（1）解：整数集合：{0，，，；…}； （2）正分数集合：{，，；…}； （3）负有理数集合：{，，；…}； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；…}； （5）非负整数集合：{0，，…}． 易错必刷题型22.实数的性质 题型特征：求实数的相反数、绝对值、倒数 易错点：① 无理数的相反数符号错误；② 求绝对值时忽略正负；③ 误认为0有倒数 66．在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义求出这四个数的相反数，再比较相反数的大小，即可得到对应结果． 【详解】解： 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ， 的相反数是 ， ∵， ∴在，，这四个数中，相反数最小的数是． 67．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 68．对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】当时，分别计算、、、、的值，进而得到的值，可判断①；根据操作的结果用表示出和，再根据列出方程，可判断②；若为整数，则是奇数，是奇数……依此类推，都是奇数，进而得到的奇偶性，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ∴， ∴，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴， 解得，故②正确； ∵为整数， ∴是奇数， ∴是奇数…… 依此类推，都是奇数， ∵， ∴是2026个奇数的和， ∴是偶数，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 易错必刷题型23.实数与数轴 题型特征：在数轴上表示实数、根据数轴判断实数大小 易错点：① 不会用勾股定理在数轴上表示无理数；② 数轴上点的位置与实数大小对应错误（左大右小）；③ 忽略实数与数轴上的点一一对应 69．如图，数轴上表示2，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于点A的对称点为C， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 70．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点B表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则的面积为2， ∴， ∵以表示数的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点A和点B， ∴点B表示的数为． 71．数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出；由得，即；根据中点的定义，确定点表示的数为；由线段上仅有个表示整数的点，确定这两个整数点为和，点在和之间，则，，在和之间，则，然后利用不等式的性质，先确定的范围，然后再确定的范围，进而确定的范围，也就是的范围，最后确定的范围，从而确定整数不可能选项． 【详解】解：∵，，且， ∴，且，即， ∵是中点， ∴，点表示的数为， ∴， ∵线段上仅有个表示整数的点．， ∴线段上除了没有其他表示整数的点，线段上有个表示整数的点和， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， ∴不可能是． 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键． 易错必刷题型24.实数的大小比较 题型特征：比较含无理数的实数大小 易错点：① 负数比较大小时，绝对值大的反而小的规则用错；② 平方法、作差法使用失误；③ 直接凭感觉判断大小；④ 比较带根号的负数时符号错误 72．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小”的规则即可求解． 【详解】解：，，， ，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数更小，可得， 四个数中最小的数是． 73．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 【答案】< 【分析】先利用无理数的估算判断两个式子的正负性，再根据实数的大小比较方法判断大小即可． 解题的关键在于正确估算出与的正负． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据负数小于正数，可得． 74．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 易错必刷题型25.实数的混合运算 题型特征：包含乘方、开方、绝对值、加减乘除的实数运算 易错点：① 运算顺序错误（先算加减后算乘除）；② 开方、乘方符号错误；③ 去绝对值时符号错误；④ 合并同类二次根式时出错 75．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，计算正确，故C正确； 选项D：，，故D错误． 76．_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 【详解】解：原式 故答案为： ． 77．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错必刷题型26.程序设计与实数运算 题型特征：根据程序框图、运算步骤进行实数运算 易错点：① 不理解程序逻辑（如循环、判断条件）；② 代入运算时步骤错误；③ 循环运算规律找错；④ 漏看程序的终止条件 78．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据程序图计算即可． 【详解】解：取算术平方根得，是有理数， 取立方根得，是有理数， 取算术平方根得，是无理数，输出， 即输出的y值是． 79．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 80．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 易错必刷题型27.新定义下的实数运算 题型特征：给出新的运算符号/规则，进行实数运算 易错点：① 误解新定义的运算规则；② 代入运算时符号错误；③ 混淆新运算与常规运算的优先级；④ 漏看运算顺序要求 81．现对实数，定义一种运算：，则的值为____________． 【答案】 【分析】先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 82．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 83．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 易错必刷题型28.实数运算的实际应用 题型特征：用实数运算解决长度、面积、体积等实际问题 易错点：① 建模错误（列错关系式）；② 忽略实际意义（如长度为正，舍去负根）；③ 单位换算错误；④ 运算时近似值取值错误 84．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 85．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 86．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 易错必刷题型29.与实数运算相关的规律题 题型特征：给出一组实数运算式子，找规律、写通项、验证 易错点：① 找不到运算规律；② 归纳规律不严谨（遗漏特殊情况）；③ 用字母表示规律时出错；④ 验证时计算错误 87．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 88．观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为规律探究题，分别观察等式各部分与序号的关系，归纳得到规律，即可得到结果． 【详解】观察给出的等式： 第1个等式中，根号内被减数为1，分数分子为1，分母为，等式右边系数为1， 第2个等式中，根号内被减数为2，分数分子为2，分母为，等式右边系数为2， 第3个等式中，根号内被减数为3，分数分子为3，分母为，等式右边系数为3， 依此类推，可得第个等式中，根号内被减数为，分数分子为，分母为，等式右边系数为，根号内分数为， 第个等式为， 即选项A正确． 89．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数易错必刷题型专项训练 本专题汇总实数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平方根概念理解 题型02.求一个数的平方根 题型03.求代数式的平方根 题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型05.利用平方根解方程 题型06.求一个数的算术平方根 题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型08.估计算术平方根的取值范围 题型09.与算术平方根有关的规律探究题 题型10.算术平方根的实际应用 题型11.立方根的概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根,求这个数 题型14.与立方根有关的规律探究题 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型17.无理数 题型18.无理数的大小估算 题型19.无理数整数部分的有关计算 题型20.实数的概念理解 题型21.实数的分类 题型22.实数的性质 题型23.实数与数轴 题型24.实数的大小比较 题型25.实数的混合运算 题型26.程序设计与实数运算 题型27.新定义下的实数运算 题型28.实数运算的实际应用 题型29.与实数运算相关的规律题 易错必刷题型01.平方根概念理解 题型特征：判断关于平方根/算术平方根的说法正误、区分平方根与算术平方根 -易错点：① 把当成a的平方根（实际是算术平方根）；② 认为负数有平方根；③ 漏写正数的负平方根（如只写=3，漏-3）；④ 混淆与的取值范围 1．下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 2．若一个正数的平方根是和，则a是___． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 易错必刷题型02.求一个数的平方根 题型特征：直接求正数、0、可化简数的平方根 易错点：① 只写算术平方根（漏负号）；② 对负数强行开平方；③ 带分数没化成假分数就开方；④ 小数开方时小数点位置算错 4．若，则的平方根是__________． 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 6．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 易错必刷题型03.求代数式的平方根 题型特征：求含字母、多项式的代数式的平方根 易错点：① 没判断代数式是否非负就开方；② 漏写负平方根；③ 化简代数式出错导致结果错误；④ 忽略字母的取值范围 7．若，则__________． 8．定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是_____． 9．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 易错必刷题型04.已知一个数的平方根,求这个数 题型特征：已知一个数的两个平方根（或其中一个），求原数 易错点：① 不会用“正数的两个平方根互为相反数”列方程；② 直接把平方根当原数（如平方根为3，错把原数当成3）；③ 忽略0的平方根是0的特殊情况 10．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（   ） A． B．1 C．2 D．4 11．如果与是一个正数的平方根，则这个正数是_____． 12．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 易错必刷题型05.利用平方根解方程 题型特征：解形如x2=a、(x+m)2=a的方程 易错点：① 漏写负根；② 开平方时漏加\pm号；③ 移项、去括号时符号错误；④ 忽略a<0时方程无实根的情况 13．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 14．已知，则____________． 15．（1）解方程：； （2）求满足的的值． 易错必刷题型06.求一个数的算术平方根 题型特征：直接求正数、0、可化简数的算术平方根 易错点：① 混淆算术平方根与平方根（多写负号）；② 对直接写a（未加绝对值）；③ 带分数、小数开方计算错误 16．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 17．若，则的算术平方根为________． 18．已知实数满足关系式，求的算术平方根． 易错必刷题型07.利用算术平方根的非负性解题 题型特征：已知+=0、+|B|=0等，求字母值 易错点：① 忽略0的隐含条件；② 多个非负项相加为0时，漏写每个项为0；③ 错误认为非负项相加为0时只需一个项为0 19．若为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2025 C． D． 20．已知实数满足：，则的平方根__________． 21．已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 易错必刷题型08.估计算术平方根的取值范围 题型特征：估算（a非完全平方数）的整数范围、近似值 易错点：① 找错相邻的完全平方数（如估算错找成4和9）；② 估算时忽略小数部分的影响；③ 范围判断时不等号方向写错 22．估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 23．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 24．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 易错必刷题型09.与算术平方根有关的规律探究题 题型特征：给出一组，........找规律、写通项 易错点：① 找不到被开方数与结果的小数点移动规律；② 归纳规律时遗漏特殊情况；③ 用字母表示规律时符号错误 25．已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 26．已知：，，，，则的值约为______． 27．问题情境： 学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： ，，，，…． 实践探究： (1)按照此规律： ①计算：______； ②第n个式子是______；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：______； 迁移应用： (3)计算：． 易错必刷题型10.算术平方根的实际应用 题型特征：用算术平方根解决正方形边长、面积、距离等实际问题 易错点：① 忽略实际意义（如边长为正，错误保留负根）；② 单位换算错误；③ 建模时列错关系式（如把面积公式用错） 28．如图，将两个面积都为3的小正方形沿对角线剪开，得到4个直角三角形，用这4个直角三角形拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 29．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________． 30．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 易错必刷题型11.立方根的概念理解 题型特征：判断关于立方根的说法正误、区分立方根与平方根 易错点：① 认为负数没有立方根；② 漏写立方根的符号；③ 混淆立方根与平方根的符号规则 31．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C． D．没有平方根 32．2是______的立方根；______的立方根是． 33．，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 易错必刷题型12.求一个数的立方根 题型特征：直接求正数、负数、0、可化简数的立方根 易错点：① 符号错误；② 带分数、小数开立方计算失误；③ 混淆与的结果 34．已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 35．若9条直线两两相交，最多可构成m对对顶角，最多可构成n对邻补角，则的立方根是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 36．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以 的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ，所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， ，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算：________． (2)若，则________． (3)已知，求的值． 易错必刷题型13.已知一个数的立方根,求这个数. 题型特征：已知一个数的立方根，求原数 易错点：① 立方运算错误（如立方根为-3，错把原数算成9）；② 符号处理失误；③ 忽略0的立方根是0的特殊情况 37．已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________． 38．已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 39．已知2既是的平方根，也是的立方根，请求出的平方根． 易错必刷题型14.与立方根有关的规律探究题 题型特征：给出一组，....找规律、写通项 易错点：① 找不到被开方数与立方根的小数点移动规律；② 归纳规律不严谨；③ 用字母表示规律时出错 40．观察规律：，，．则_____． 41．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 42．阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 易错必刷题型15.立方根的实际应用 题型特征：用立方根解决正方体棱长、体积等实际问题 易错点：① 忽略实际意义（如体积为正）；② 单位换算错误；③ 建模时列错体积公式 43．一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 44．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 45．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 易错必刷题型16.算术平方根和立方根的综合应用 题型特征：同时涉及算术平方根、立方根的计算、求值、解方程 易错点：① 混淆两种根的符号规则；② 综合计算时跳步出错；③ 忽略各自的取值范围（如算术平方根被开方数非负） 46．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 47．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 48．已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 易错必刷题型17.无理数 题型特征：从一组数中选出无理数、判断无理数的说法正误 易错点：① 把无限循环小数当成无理数（如0.3）；② 把带根号的数都当成无理数（如是有理数）；③ 漏认含π的无理数；④ 误认为开方开不尽的数才无理数 49．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 50．已知数据：，，，，0，其中无理数的个数为________． 51．下列结果中，一定是无理数的是（    ） A．周长为21的等边三角形的边长 B．周长为2π的圆的直径 C．面积为8的正方形的边长 D．周长为8的正方形的边长 易错必刷题型18.无理数的大小估算 题型特征：估算无理数的范围、比较无理数与有理数的大小 易错点：① 找错相邻的完全平方数/立方数；② 估算范围错误；③ 比较大小时符号失误 52．如图，数轴上点P表示的无理数可能是（    ） A． B． C． D． 53．若整数满足，则的值是__________． 54．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 55．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 易错必刷题型19.无理数整数部分的有关计算 题型特征：已知的整数部分/小数部分，求代数式的值 易错点：① 负数无理数的整数部分判断错误；② 小数部分计算错误③ 计算时符号处理错误 56．若的小数部分为，的整数部分为，则_________． 57．已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 58．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值： (2)求的算术平方根． 易错必刷题型20.实数的概念理解 题型特征：判断关于实数的说法正误 易错点：① 认为实数仅包含有理数；② 混淆实数与数轴的一一对应关系（错认为有理数与数轴一一对应）；③ 误认为无限小数都是无理数 59．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 60．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 61．已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 62．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 易错必刷题型21.实数的分类 题型特征：将数填入有理数、无理数、正实数等集合 易错点：① 0的归类错误（把0归到正/负实数）；② 漏分、重复分类；③ 把无理数误归为有理数；④ 把有限/无限循环小数归为无理数 63．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 64．下列说法：①；②是的平方根；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 65．把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 易错必刷题型22.实数的性质 题型特征：求实数的相反数、绝对值、倒数 易错点：① 无理数的相反数符号错误；② 求绝对值时忽略正负；③ 误认为0有倒数 66．在，，这四个数中，相反数最小的数是（    ） A． B． C． D． 67．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 68．对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错必刷题型23.实数与数轴 题型特征：在数轴上表示实数、根据数轴判断实数大小 易错点：① 不会用勾股定理在数轴上表示无理数；② 数轴上点的位置与实数大小对应错误（左大右小）；③ 忽略实数与数轴上的点一一对应 69．如图，数轴上表示2，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 70．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 71．数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 易错必刷题型24.实数的大小比较 题型特征：比较含无理数的实数大小 易错点：① 负数比较大小时，绝对值大的反而小的规则用错；② 平方法、作差法使用失误；③ 直接凭感觉判断大小；④ 比较带根号的负数时符号错误 72．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 73．比较大小：______（填“”或“”或“<”） 74．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型25.实数的混合运算 题型特征：包含乘方、开方、绝对值、加减乘除的实数运算 易错点：① 运算顺序错误（先算加减后算乘除）；② 开方、乘方符号错误；③ 去绝对值时符号错误；④ 合并同类二次根式时出错 75．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 76．_______． 77．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型26.程序设计与实数运算 题型特征：根据程序框图、运算步骤进行实数运算 易错点：① 不理解程序逻辑（如循环、判断条件）；② 代入运算时步骤错误；③ 循环运算规律找错；④ 漏看程序的终止条件 78．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 79．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 80．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 易错必刷题型27.新定义下的实数运算 题型特征：给出新的运算符号/规则，进行实数运算 易错点：① 误解新定义的运算规则；② 代入运算时符号错误；③ 混淆新运算与常规运算的优先级；④ 漏看运算顺序要求 81．现对实数，定义一种运算：，则的值为____________． 82．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 83．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 易错必刷题型28.实数运算的实际应用 题型特征：用实数运算解决长度、面积、体积等实际问题 易错点：① 建模错误（列错关系式）；② 忽略实际意义（如长度为正，舍去负根）；③ 单位换算错误；④ 运算时近似值取值错误 84．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求_________． 85．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 86．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 易错必刷题型29.与实数运算相关的规律题 题型特征：给出一组实数运算式子，找规律、写通项、验证 易错点：① 找不到运算规律；② 归纳规律不严谨（遗漏特殊情况）；③ 用字母表示规律时出错；④ 验证时计算错误 87．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 88．观察下列有规律的等式： ；；；；； …… 则第个等式是（     ） A． B． C． D． 89．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $