专题04 实数56道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第04讲 实数56道计算题专项训练（8大题型） 题型一 平方根的计算题 题型二 算术平方根的计算题 题型三 立方根的计算题 题型四 实数的混合运算 题型五 实数的规律计算题 题型六 实数的新定义运算 题型七 无理数的估算 题型八 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根的计算题】 1．（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 2．（2025八年级上·全国·专题练习）用平方根表示下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·广东汕头·月考）若正数m的两个平方根分别是和，求m的值． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 6．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 7．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【经典计算题二 算术平方根的计算题】 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）计算：． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 13．（24-25七年级下·江西新余·期中）按要求计算下列各题 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)求的值． 14．（24-25七年级下·四川南充·月考）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【经典计算题三 立方根的计算题】 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 18．（25-26八年级上·山西晋中·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求． 19．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【经典计算题四 立方根的计算题】 22．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 23．（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）计算：． 25．（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 26．（25-26八年级上·河南南阳·期末）（1）计算： （2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： （1）＋＋|1－|；                    （2）(－2)×－6. （3）(－1)( ＋1)－(－)－2＋|1－|－(π－2)0＋.      （4）－2(－－) 28．（25-26八年级上·广东河源·期末）【观察发现】 ∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分 (2)已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． (3)已知、其中是一个正整数，，求的值． 【经典计算题五 实数的规律计算题】 29．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）观察下列等式：，， 把以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)规律应用    计算：． (3)拓展提高  计算：． 30．（24-25七年级下·安徽六安·月考）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 31．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 计算． 32．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 33．（24-25七年级下·山西临汾·期中）观察下列各式：， ，，… （1）猜想① ． ② ，其中n为正整数． （2）计算：． 34．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 35．（24-25七年级上·福建三明·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 (1)若，则S的值为______； (2)根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为______； (3)根据上题的规律，计算：的值． 【经典计算题六 实数的新定义运算】 36．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 37．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 38．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）对于有理数a、b，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)填空：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 39．（24-25七年级上·江苏·周测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题： ，，， (1)想一想： _________； (2)若，那么______（填“＝”或“≠”）； (3)计算和，并判断它们是否相等． 40．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：__________，__________． (2)计算：①；②； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． 41．（24-25八年级上·四川宜宾·月考）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 42．（24-25七年级上·山西长治·期末）发现：小明经过计算总结出两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一． 例1．计算：． 方法：32头尾拉开，中间相加，即，计算结果为352． 例2．计算：． 方法：57头尾拉开，中间相加，即，满十进一，计算结果为627． 尝试： (1)______． (2)______． (3)______． 探究：一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，这个两位数乘11． (4)若，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是什么？ (5)若，试着表示出这个三位数． 【经典计算题七 无理数的估算】 43．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 44．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 45．（24-25七年级下·全国·假期作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 46．（24-25七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．     47．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 48．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 【经典计算题八 平方根、立方根的规律探索题】 50．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 51．（24-25七年级下·江苏南京·月考）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 52．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 53．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）计算: = , = , = , = , = , = ； （2）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； （3）利用上述规律计算：= .  55．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ______； ______； ______． (2)用公式表示这一规律，当（n为整数）时，______． (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知 ，则①_____；②______． 56．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 实数56道计算题专项训练（8大题型） 题型一 平方根的计算题 题型二 算术平方根的计算题 题型三 立方根的计算题 题型四 实数的混合运算 题型五 实数的规律计算题 题型六 实数的新定义运算 题型七 无理数的估算 题型八 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根的计算题】 1．（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：的平方根为； （2）解：的平方根为； （3）解：， 又的平方根为； 的平方根为； （4）解：的平方根为． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）用平方根表示下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，解题的关键掌握平方根的定义． （1）根据平方根的定义进行求解即可； （2）根据平方根的定义进行求解即可； （3）先进行整理，再根据平方根的定义进行求解即可； （4）先进行整理，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， 分母有理化得； （4）解： ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：，． 4．（24-25七年级下·广东汕头·月考）若正数m的两个平方根分别是和，求m的值． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，得到，求出的值，即可求解， 本题考查了平方根的性质，解题的关键是：根据平方根的性质得到关于的等量关系式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义和性质，求得a、b的值是解题的关键．根据题意可知：，，然后可求得a、b的值，最后求代数式的值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， ， ， 的平方根为． 6．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 7．（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）（1）如果一个正数的平方根为和，求这个正数． （2）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数： （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， ∴， ∴这个数为； （2）∵的平方根是，的平方根是， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【经典计算题二 算术平方根的计算题】 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）计算：． 【答案】 【分析】此题查看了算术平方根，有理数的乘方和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，有理数的乘方和绝对值，然后计算加减． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】根据非负性确定a，b的值，再计算的算术平方根． 本题考查了实数的非负性，算术平方根，熟练掌握非负性和算术平方根是解题的关键． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 的算术平方根为3． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 12．（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查了平方根的性质和算术平方根的定义，解题的关键是利用“一个正数的两个不同平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据平方根互为相反数的性质列方程求，再代入平方根的表达式平方得； （2）代入和的值计算代数式，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得． ∵， ∴． ∴，； （2）解：∵， 又∵， ∴的算术平方根是． 13．（24-25七年级下·江西新余·期中）按要求计算下列各题 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】（1）直接根据算术平方根计算格式即可； （2）根据（1）各式对代数式变形成，然后计算即可解答． 【详解】（1）解：，，，． 故答案为，，，． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了数字的变化类规律、有理数加减混合运算等知识点，根据题意、归纳出规律、并应用规律是解答本题的关键． 14．（24-25七年级下·四川南充·月考）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵符合， ∴， ∴， ∴． 【经典计算题三 立方根的计算题】 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根．根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为b， ∴，， 解得：， ∴． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题主要考查了平方根的性质和立方根的计算，理解性质及准确计算是解题的关键． （1）由题知，解得，再代入求出y即可； （2）由（1）知，再代入计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ∴解得：， 把代入得， ， 解得：； （2）解：当时，． 18．（25-26八年级上·山西晋中·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求的值． (2)求． 【答案】(1)的值为49 (2)的值为25 【分析】本题考查了平方根和立方根，求代数式的值，掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． （1）利用平方根的性质求出a的值即可求解； （2）利用算术平方根和立方根的意义求出b、c，将其代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ， 解得， ∴当时，平方根为和， ∴； （2）解：根据题意得， ， 解得， ∵的立方根是， ∴， ∴代入得：， ， 解得， ∴代入、、得： ． 19．（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2)±4 (3)2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】(1)，，的平方根为 (2)，的立方根为 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解； （2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ； 的立方根是3， ， ， ， ， ， ， 的平方根为； （2）解：由（1）知，， 的算术平方根是4， ， ， ， ， 的立方根为． 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 【经典计算题四 立方根的计算题】 22．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算，先计算算术平方根、开立方和绝对值，后计算加减． 【详解】解： ． 23．（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 【答案】8 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算立方根、算术平方根、绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根、立方根、绝对值．先求解算术平方根、立方根、化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 25．（25-26八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，包括乘方，开方，绝对值以及根式的运算，解题的关键在于掌握乘方，开方，绝对值的运算法则，以及根式的化简方法． （1）根据乘方的运算法则、二次根式的性质以及立方根的定义分别计算各项的值即可解答； （2）先去绝对值，再根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 26．（25-26八年级上·河南南阳·期末）（1）计算： （2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先计算乘方、立方根、算术平方根，再计算乘法运算，最后计算加减法运算； （2）根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据无理数的估算确定c的值，据此解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得：， 则， 解得， ， ， ． 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： （1）＋＋|1－|；                    （2）(－2)×－6. （3）(－1)( ＋1)－(－)－2＋|1－|－(π－2)0＋.      （4）－2(－－) 【答案】(1);(2);(3) ;(4) 【分析】（1）根据平方根的意义，立方根的意义，绝对值的性质求解即可； （2）根据乘法分配律和二次根式的性质其解即可； （3）根据平方差公式，负整指数幂的性质，绝对值的性质，零次幂的性质，二次根式的性质化简计算即可； （4）根据二次根式的性质，和分母有理化简计算即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3）原式. （4）原式 . 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，关键是灵活利用绝对值、平方差公式，负整指数幂的性质，绝对值的性质，零次幂的性质，二次根式的性质等进行化简. 28．（25-26八年级上·广东河源·期末）【观察发现】 ∵，即， ∴的整数部分为3． ∴的小数部分为 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分 (2)已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的平方根． (3)已知、其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)整数部分为，小数部分为； (2)； (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算、立方根与算术平方根的定义以及实数的混合运算，关键是掌握无理数估算的方法及立方根、算术平方根的性质． （1）通过确定与相邻的两个完全平方数，得到的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分； （2）根据立方根的定义求出的值，再利用算术平方根的定义求出的值，估算的整数部分得到，代入代数式计算后求平方根； （3）先确定的范围，得到的范围，从而确定和的值，再代入代数式计算，注意负数的奇次幂为负数． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为； 小数部分为； （2）解：∵的立方根是， ∴，解得； ∵的算术平方根是， ∴，解得； ∵，即， ∴； 则， ∵的平方根是， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴，即， 又∵，是正整数，， ∴，； 则． 【经典计算题五 实数的规律计算题】 29．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）观察下列等式：，， 把以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)规律应用    计算：． (3)拓展提高  计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出等式的结构特点即可求解； （2）将所给式子写成，结合（1）中结论即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解：由给出等式的结构特点可得： 故答案为： （2）解：原式 （3）解： 原式 【点睛】本题考查了与实数运算有关的规律问题．重点考查学生的抽象概括能力和举一反三的能力． 30．（24-25七年级下·安徽六安·月考）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 31．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 计算． 【答案】 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律，理解题意，正确将原式变形是解题关键． 32．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了与实数有关的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解． 33．（24-25七年级下·山西临汾·期中）观察下列各式：， ，，… （1）猜想① ． ② ，其中n为正整数． （2）计算：． 【答案】（1）猜想①20182+3×2018+1；②n2+3n+1；（2）． 【分析】（1）根据已知式子得出结果即可； （2）对每个式子进行计算即可； 【详解】（1）猜想①0182+3×2018+1； ②n2+3n+1； （2）计算： 【点睛】本题主要考查了证明与猜想，准确分析计算是解题的关键． 34．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【答案】(1)a2013－1 (2)22014－1 (3) 【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案； （2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案； （3）将a换为5，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1， 故答案为：a2013－1； （2）解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1 ∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1； 故答案为：22014－1； （3）解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1） ＝， ∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律． 35．（24-25七年级上·福建三明·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2 3 4 5 (1)若，则S的值为______； (2)根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为______； (3)根据上题的规律，计算：的值． 【答案】(1)110 (2) (3) 【分析】（1）根据表中的规律，当时，则，求解即可； （2）根据表中的规律发现，第n格式子的和为； （3）根据发现的规律求解即可． 【详解】（1）由题意可得 时，， 故答案为：110； （2）由题意可得 ， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了规律类问题，准确理解题意，找出规律是解题的关键． 【经典计算题六 实数的新定义运算】 36．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3)满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算，读懂运算规则是解题关键． （1），即可求解； （2）先算，再计算，即可求解； （3）验证与是否相等即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴“”满足交换律； 37．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查找规律与分式乘法运算，运用归纳推理思想，通过观察运算规律得出表达式，利用分式约分技巧简化连乘运算，解题关键是归纳的通式并发现交叉约分规律，易错点是忽略规律或约分不彻底．解题思路：先归纳\的表达式，再将各展开后通过交叉约分计算连乘结果． 【详解】（1）解：观察已知的运算可归纳出规律： 故答案为； （2）解：∵；；；；； ∴ 故答案为：； （3）解：由，可得： 故答案为：． 38．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）对于有理数a、b，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)填空：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的定义即可计算； （2）先算，再进行计算即可； （3）分别计算出、即可进行比较． 【详解】（1）解：，； （2）解：， ； （3）解：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算．理解相关定义，注意计算的准确性即可． 39．（24-25七年级上·江苏·周测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题： ，，， (1)想一想： _________； (2)若，那么______（填“＝”或“≠”）； (3)计算和，并判断它们是否相等． 【答案】(1) (2) (3)，，不相等 【分析】（1）观察各式可知：； （2）分别表示出、，即可进行比较； （3）分别计算出、即可判断． 【详解】（1）解：观察各式可得：； 故答案为：； （2）解： ∵ ∴ 故答案为：； （3）解：， 即： ， 即： 故和不相等. 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了有理数的混合运算．注意掌握相关运算法则． 40．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：__________，__________． (2)计算：①；②； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． 【答案】(1)， (2)①10；② (3)， (4) 【分析】（1）根据，则，，然后计算． （2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现化简为计算． （3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值． （4）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算． 【详解】（1）， ，． 故答案为：，1； （2）①； ②； （3）， ， ； （4）． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 41．（24-25八年级上·四川宜宾·月考）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），据此即可求解； （2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解； （3）据此可找到规律求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：原式 （3）解：由题意可得： ∵ ∴原式 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力． 42．（24-25七年级上·山西长治·期末）发现：小明经过计算总结出两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一． 例1．计算：． 方法：32头尾拉开，中间相加，即，计算结果为352． 例2．计算：． 方法：57头尾拉开，中间相加，即，满十进一，计算结果为627． 尝试： (1)______． (2)______． (3)______． 探究：一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，这个两位数乘11． (4)若，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是什么？ (5)若，试着表示出这个三位数． 【答案】(1) (2) (3) (4)百位数字为，十位数字为，个位数字为 (5) 【分析】（1）根据题目中总结的方法进行计算； （2）根据题目中总结的方法进行计算； （3）得到的结果是负数，方法同题目中总结的方法； （4）先根据上面的规律猜想，再将这个两位数写成，用整式的运算进行验证； （5）根据满十进一的规律得到结果． 【详解】（1）头尾拉开，中间相加，即，未满十不用进一，计算结果为， 故答案为：； （2）头尾拉开，中间相加，即，满十进一，计算结果为， 故答案为：； （3） 头尾拉开，中间相加，即，满十进一，计算结果为， 故答案为：； （4）这个两位数是， ， 若， 百位、十位、个位上的数字分别是：； （5）同上这个两位数是， 若，根据满十进一， ， 所以，这个三位数是． 【点睛】本题考查运算找规律，解题的关键是能够总结出题目中的运算规律，并用来计算． 【经典计算题七 无理数的估算】 43．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【答案】见解析 【详解】解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 45．（24-25七年级下·全国·假期作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 【答案】(1)不是有理数  理由见解析 (2)3 (3)3.2 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解． 【详解】（1）解：x不是有理数，理由如下： 由圆的面积公式可得， 所以， 因为没有一个整数或分数的平方等于10，所以x不是有理数； （2）由（1）知， 因为，， 所以， 所以x的整数部分是3； （3）因为，， 所以． 又因为，， 所以， 所以将x精确到十分位为3.2． 46．（24-25七年级下·河南安阳·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 47．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提． （1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （2）估算无理数的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分 又∵， ∴的整数部分， ∴； （2）∵ ∴ 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴ ∴的相反数是． 48．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值等知识点， （1）根据无理数的估算方法，确定出整数部分，进而求解即可； （2）先求出的值，代入代数式，求值即可； 熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：，； （2）∵，m是的整数部分， ∴， ∵，n是的小数部分， ∴， ∴． 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 【答案】(1)6 (2)1 (3)255 【分析】（1）估算在哪两个整数之间，即可求解； （2）根据题意即可找到满足条件的x的整数值； （3）根据题目示例即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：6 （2）解：∵ ∴ 故答案为：1（不唯一） （3）解：∵ ∴需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 故答案为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了无理数的估算．掌握相关结论即可． 【经典计算题八 平方根、立方根的规律探索题】 50．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 【答案】=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值；；5． 【分析】根据计算、观察，可得规律：． 【详解】解：=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值． =5=5． 【点睛】本题考查了立方根，发现规律是解题关键． 51．（24-25七年级下·江苏南京·月考）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 52．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 53．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解． （3）根据（2）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，；； 故答案为：，，，． （2）解：由（1）可得， 故答案为：． （3）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 54．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）计算: = , = , = , = , = , = ； （2）根据（1）中的计算结果可知，一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； （3）利用上述规律计算：= . 【答案】（1）3，0.7， 6，，0.28，0；（2）等于a的绝对值；（3）π-3.14 【分析】（1）根据算术平方根的计算方法计算即可，注意根号里面的数值计算； （2）结合（1）中的计算结果，找出其中的规律； （3）利用（2）中总结的规律计算即可得到结果. 【详解】（1）3;  0.7 ;  6  ; ; 0.28;   0. （2）不一定等于a.规律：等于a的绝对值. （3）由（2）中规律可知，结果为：π-3.14 【点睛】此题重点考查学生对根式计算的综合运用，掌握根式的计算是解题的关键. 55．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ______； ______； ______． (2)用公式表示这一规律，当（n为整数）时，______． (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知 ，则①_____；②______． 【答案】(1)0.2；20；200 (2) (3)， 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为0.2；20；200． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为：． （3）解：若，则①；②． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 56．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【答案】(1)10 (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2），， 故答案为：； （3），，， ，， 故答案为：； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， 若，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $