专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练(28大题型共计84道题)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.对顶角定义 题型02邻补角的定义理解 题型03.找邻补角 题型04.利用邻补角互补求角度 题型05.垂线的定义理解 题型06.垂线段最短 题型07点到直线的距离. 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行公理的应用 题型10.平行公理推论的应用 题型11.同位角相等.两直线平行 题型12.内错角相等.两直线平行 题型13.同旁内角互补.两直线平行 题型14.两直线平行.同位角相等 题型15.两直线平行.内错角相等 题型16.两直线平行.同旁内角互补 题型17.由平行线性质探究角的关系 题型18.由平行线性质求角的度数 题型19.由平行线判定与性质求角度 题型20.由平行线判定与性质证明 题型21,判定是否是命题 题型22.写出命题的题设与结论 题型23.判断命题真假 题型24.举例说明假(真)命题 题型25.举反例 题型26.图形的平移 题型27.利用平移的性质求解 题型28.平移作图 易错必刷题型01.对顶角定义 典题特征：选择题、判断题居多，给出多条直线相交图形，判断角是不是对顶角 易错点：只会看有公共顶点、角度相等就判定是对顶角，忽略两边必须互为反向延长线；复杂三线相交图形里，错把普通相等角当成对顶角。 1．下列各图中和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意； B、的两边不是的两边的反向延长线，故不是对顶角，不符合题意； C、的两边不是的两边的反向延长线，故不是对顶角，不符合题意； D、和有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线，故是对顶角，符合题意． 2．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 3．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相交于一点会产生对对顶角，先计算条直线中两两组合的数量，再乘以即可得到对顶角总对数． 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 易错必刷题型02邻补角的定义理解 典题特征：选择填空考查概念辨析，区分邻补角、补角、余补角 易错点：分不清补角和邻补角，以为只要和为180°就是邻补角；忽略邻补角必须同时满足有公共顶点、一条公共边、另一边共线三个条件。 4．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 5．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 6．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 易错必刷题型03.找邻补角 典题特征：给相交直线图形，数一个角所有的邻补角个数 易错点：数不全、漏找邻补角；多条射线共顶点时，重复多数邻补角；分不清对顶角和邻补角，找错角。 7．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 8．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 9．如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识，弄清图形中各角的关系是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据补角的定义结合图形找出答案即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值，先求出的值，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， 由角平分线的性质可得， 又∵，， ∴， ∴的补角是或． 故答案为：或； （2）由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 易错必刷题型04.利用邻补角互补求角度 典题特征：填空选择基础计算题，已知一个角度，求相交形成的其他角 易错点：计算时把180°互补当成90°互余来算；多个角叠加时，搞不清哪两个角互为邻补角，列式计算出错。 10．如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等以及邻补角互补进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 11．如图，，平分，若，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线及平角的定义可得，再根据即可求解． 【详解】解： 平分， ， ， ， 解得． 12．直线、相交于点，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对顶角的性质得到，再由邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求得，最后由 求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵   ， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：依题意可设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 易错必刷题型05.垂线的定义理解 典题特征：概念判断题，判断两条相交直线是否互相垂直 易错点：误以为只有水平竖直相交才叫垂直；认为夹角接近直角就是垂直，忽略必须严格相交成90°才是垂直。 13．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义和平角的定义，根据 可得，再根据平角即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，， ． 14．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 【答案】/20度 【分析】根据条件先求出，设，则，根据列出方程，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．如图，直线相交于点O，平分于点O，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，则，即可解答； （2）先求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 易错必刷题型06.垂线段最短 典题特征：选择题、生活应用题，判断最短路径、最短距离 易错点：分不清普通线段和垂线段；做题时选两点之间线段最短，混淆两个定理，乱用结论。 16．义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短． 17．如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵， ∴直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知住在小区M的居民选择路线去A水站购买桶装水最近． 18．如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． 【答案】(1)； (2)①4；②． 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）根据点到直线的距离解答即可； （3）根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为． 故答案为：4； ②∵，， ∴， ∴． .易错必刷题型07点到直线的距离. 典题特征：选择填空高频易错题，概念辨析+简单计算 易错点：把垂线段本身当成距离，实际距离是垂线段的长度；不会区分点到点距离、点到直线距离，两个概念弄混。 19．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 【答案】 【详解】解：∵，点是垂足， ∴点到的距离是线段的长度． 20．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 21．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 易错必刷题型08.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：选择填空必考，复杂三线八角图形里，辨别三种角 易错点：找错截线和被截直线，导致角的类型直接判断错误；复杂重叠图形里，看不出隐藏的同位角、内错角、同旁内角。 22．图中有______ 对同位角（其中）． 【答案】32 【分析】本题考查了同位角的识别，理解同位角的定义是解题的关键． 在每条直线上有两个交点就有四对同位角，数一下每条直线上交点个数，得到同位角的对数，再加在一起得到结果． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，在截线上有两个交点，有四对同位角， 图中直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 图中共有对同位角． 故答案为：． 23．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 24．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)同位角120度，内错角120度，同旁内角60度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：． 理由：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 易错必刷题型09.平行公理的应用 典题特征：判断题、选择题，考查过直线外一点作平行线的规则 易错点：记错公理内容，以为过任意一点都能画一条已知直线的平行线；忽略必须是直线外一点，直线上一点无法作已知直线平行线。 25．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 26．有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行线，平行公理的推论，两条直线的位置关系，逐一判断各说法，即可得到结果． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误，不符合题意； ②平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确，符合题意； ③一条直线的平行线有无数条，此说法正确，符合题意； ④与同一条直线相交的两条直线可能相交或平行，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确说法为②③ 27．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 易错必刷题型10.平行公理推论的应用 典题特征：选择题判断多条直线的平行关系 易错点：记错推论，误以为两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也会相交；多条直线放在一起，搞混平行传递的关系。 28．若直线，，则的依据是______． 【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：若直线，，则的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 29．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 30．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 易错必刷题型11.同位角相等.两直线平行 典题特征：填空、基础证明题，用角相等证直线平行 易错点：搞反因果关系，乱用逻辑，先有角相等，才可以证平行；看到同位角就直接默认相等，直接判定平行。 31．如图，直线分别与、交于点F、C，在不添加辅助线的情况下，请添加一个条件，使得，你添加的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加：． ∵， ∴． 添加：． ∵， ∴． 添加：． ∵， ∴． 32．下列各选项中，，则能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不能判断，不符合题意； B、，不能判断，不符合题意； C、，不能判断，不符合题意； D、，能判断（同位角相等，两直线平行），符合题意． 33．如图，直线相交于点，点在直线上．若，，问与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】根据邻补角互补求出，则由同位角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 易错必刷题型12.内错角相等.两直线平行 典题特征：几何选择、简单推理证明题 易错点：图形里找不准内错角的位置；和平行线性质搞混，分不清是用角证平行，还是平行推角相等。 34．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点B作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以B为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴根据内错角相等，两直线平行，得出． 35．如图①是一种升降机，可以在垂直上下的通道载运人或货物升降，其升降部分可以抽象出如图②所示的几何图形，则下列能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形，识别各角的位置关系，寻找符合平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）的条件． 【详解】解：选项A中与是邻补角，相等不能判定； 选项B中与是同旁内角，但与直线无关，无法判定； 选项C中与是同位角，但与直线无关，无法判定； 选项D中 与 是直线 、 被左侧直线所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，可判定 ． 36．如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：平分平分， . ∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ， . 易错必刷题型13.同旁内角互补.两直线平行 典题特征：解答推理题常考，利用角度和证平行 易错点：把互补180°记成互余90°；看到同旁内角就直接当成互补，直接下平行结论。 37．如图，在四边形中，点在边的延长线上．请你添加一个条件，使得，则添加的条件是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时，由内错角相等，两直线平行得． 当时，由同位角相等，两直线平行得． 当时，由同旁内角互补，两直线平行得． 当时，由同旁内角互补，两直线平行得． 38．如图，下列推理中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行线的判定逐个解答即可． 【详解】解：∵，∴，则A不正确； ∵，∴，则B不正确； ∵，∴，则C正确； ∵，∴，则D不正确． 39．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 【答案】直线和平行，理由见解析 【分析】利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】解：直线和平行，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ． 易错必刷题型14.两直线平行.同位角相等 典题特征：角度计算、几何推理题高频考查 易错点：和平行判定定理完全搞反，无平行条件，也硬说同位角相等；复杂图形中，找不准平行线对应的同位角。 40．如图，直线与相交于点，，若，则的度数是_______________． 【答案】 【分析】根据邻补角得定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 41．如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴，，故①、③、④正确； ∵， ∴ ∴，故②正确； 故正确的有四个． 42．如图，点为上的点，为上的点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】根据已知结合对顶角相等，等量代换证明， 得到， 得到，结合已知等量代换即可得证． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型15.两直线平行.内错角相等 典题特征：填空求角度、几何简单证明 易错点：做题不先看题干有没有两直线平行的条件，直接默认内错角相等；图形交错，认错对应的内错角。 43．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线上，若，则的度数为_____． 【答案】 /度 【详解】解：如图， 因为三角板的直角顶点在直线上， 所以与互余，即， 因为， 所以， 因为两条直线平行， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以． 44．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， 又， ． 45．如图，已知，，线段与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ． ， ， ． 易错必刷题型16.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：大题角度换算、综合计算题 易错点：平行条件下，把互补记成两角相等；计算角度时，加减运算出错，忘记和为180°。 46．如图，直线、被直线所截，与相交于点F，若，当______°时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得，运用对顶角相等，即． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． 47．当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再用减去得到． 【详解】解：， ． ， ． ， ． 48．如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质结合等量代换即可证出结论； （2）由同旁内角的关系，可求出的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型17.由平行线性质探究角的关系 典题特征：几何压轴选择、拐角折线多角关系探究 易错点：折线拐角图形不会做辅助线；不会拆分多个角的和差关系，推导不出角之间相等或互补的联系。 49．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 50．如图，直线，点E，G分别在直线，上且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由得；根据平行线的内错角相等得；由得，故；再由得 【详解】解：过点作， ， ． ， ． ， ， ． ， ． 51．如图，，． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由，，又，则，所以，然后通过平行线的性质即可求解； （2）由平行线的性质可得，，又，则，然后求出，再通过平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 易错必刷题型18.由平行线性质求角的度数 典题特征：整张试卷高频必考填空选择解答题 易错点：推理步骤跳步，漏写平行条件直接算角度；结合对顶角、邻补角一起换算时，多个知识点混用，一步错步步全错。 52．如图，，直线与射线相交于点，若，则______． . 【答案】/135度 【分析】根据平行线的性质求出，再根据平角的定义，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 53．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角分别是（    ） A．和 B．，或， C．和 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，设其中一个角为，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：两个角的两边分别平行， 这两个角相等或互补， 设其中一个角为，分两种情况： ①若两个角相等，则， 解得， 此时两个角为和； ②若两个角互补，则， 整理得，解得， 则， 此时两个角为和； 综上所述，这两个角分别是，或，． 54．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 易错必刷题型19.由平行线判定与性质求角度 典题特征：综合题型，先证平行、再求角度 易错点：分不清什么时候用判定、什么时候用性质；做题顺序颠倒，不会先证平行，再利用平行求角度。 55．已知：如图，，那么______ 【答案】 【分析】先计算，根据同旁内角互补，两直线平行，得；再根据两直线平行，同旁内角互补，得出，最后根据对顶角相等即可得到． 【详解】解：设的对顶角为，则，如图 ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．如图，某同学在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有． (1)如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线与反射光线的位置关系： ，判断理由是 ； (2)如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以每秒6°的速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内，当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)或． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角度和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，，则，通过角度和差可得，从而求证； （）分当与在同侧和当与在异侧两种情况分析即可； 【详解】（1）解：，理由是内错角相等，两直线平行； 证明如下： 由题意得，，， ∵镜子与镜子互相平行， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）解： ①．当与在同侧，如图， ∵， ∴， 由反射可得， ∴， ∴； ②．当与在异侧，如图， ∵， ∴AN， ∴， 由反射可得， ∴， ∴， ∴或. 易错必刷题型20.由平行线判定与性质证明 典题特征：几何解答证明大题，写完整推理过程 易错点：推理逻辑混乱，因果颠倒；每一步推导缺少对应定理依据；书写步骤跳步、不规范，理由乱写乱套。 58．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则__________． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 59．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型．如图所示，在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，由，等量代换得到，进而推出，再结合平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定等于，故选项D错误，符合题意． 60．如图，已知，点为直线上一点，现将一个含角的三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，，． (1)当时，___________； (2)猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)在（1）的基础上，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设转动时间为，直接写出当为何值时，． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当或秒时， 【分析】（1）先求出的度数，再根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，利用两次平行线的性质，找到等量关系； （3）分两种情况讨论：当与在直线异侧且平行时，当与在直线同侧且平行时，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：当与在直线异侧且平行时， 如图，当射线旋转到时，旋转至，延长至点， ， ， ， ， 由（1）知，， 由题意知，，， ，解得； 当与在直线同侧且平行时， 如图，当射线旋转到时，旋转至， ， ， 由题意知，，， ， 解得， 当或秒时，． 易错必刷题型21,判定是否是命题 典题特征：选择判断题，区分语句是不是命题 易错点：把疑问句、画图指令、感叹句当成命题；分不清语句能不能判断真假，只要是句子就都当成命题。 61．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 62．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 63．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 易错必刷题型22.写出命题的题设与结论 典题特征：填空基础题型，改写拆分命题 易错点：不会把普通命题改成如果那么的句式；拆分题设和结论时，拆分不完整，丢关键条件。 64．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 65．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 66．如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】(1)若，则，此命题为真命题； (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）解：若，则，此命题为真命题； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错必刷题型23.判断命题真假 典题特征：选择填空常考，分辨真命题、假命题 易错点：凭主观感觉判断真假，不会严谨推理；片面看一句话，忽略特殊情况，错把假命题当成真命题。 67．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角互补 【答案】D 【分析】本题考查真命题与假命题的判断，根据两点之间线段最短、平行线的性质、邻补角的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵两点之间，线段最短，不是直线最短，∴原命题是假命题，不符合题意； B选项，∵只有两直线平行时，内错角才相等，命题未给出两直线平行的条件，∴原命题是假命题，不符合题意； C选项，∵只有两直线平行时，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的条件，∴原命题是假命题，不符合题意； D选项，∵邻补角的和为，∴邻补角互补，原命题是真命题，符合题意； 68．命题“如果，那么”是________命题． 【答案】假 【分析】判断命题真假时，若能找到满足命题题设但不满足命题结论的反例，即可判定该命题为假命题． 【详解】解: 举反例验证如下： 令，， 此时满足条件， 计算得，， 可得，不满足， 因此原命题是假命题． 69．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 【答案】C 【分析】根据相关数学定义，性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵时，可得或，例如满足但， ∴A是假命题，不符合题意； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件， ∴B是假命题，不符合题意； 设两个相等的角为，它们的补角分别为和， ∵， ∴ ，即等角的补角相等， ∴C是真命题，符合题意； ∵命题未说明在同一平面内，不在同一平面时，直线得不到， ∴D是假命题，不符合题意． 易错必刷题型24.举例说明假(真)命题 典题特征：简答题，自己举例子验证命题 易错点：举的例子不符合题干前提条件；举的例子和命题完全不相关，无法对应证明真假。 70．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D． ， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例说明命题的真假；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 反例需满足命题条件但不满足结论，即但，据此求解即可． 【详解】解：∵原命题的条件为，结论为， ∴反例需满足条件，且不满足结论， 即反例需满足且， 可得符合要求； 选项B符合要求； A选项中的不满足原命题条件； C选项中的且，满足原命题结论，不是反例； D选项中的，不满足原命题条件； 71．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需要满足即可． 【详解】解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 72．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、，，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：D． 易错必刷题型25.举反例 典题特征：考试高频易错题，用反例推翻假命题 易错点：不知道反例要满足符合题设、不满足结论两个要求；举的例子根本不能反驳原命题，达不到举反例的作用。 73．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键． 根据各选项中的值分别求出和，再找出在条件下，使得或成立的选项即可得． 【详解】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意； C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意； 故选：B． 74．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：___ 【答案】（答案不唯一） 【分析】举出满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，由可得或，因此只需选取的任意一个数即可． 【详解】解：当时， ， 但 ，不满足，符合反例要求． 75．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件，且不满足命题的结论，据此逐一判断选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A中，不满足条件，不符合要求； 选项B中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项C中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项D中，满足，且，不满足结论，符合反例要求， ∴反例中的可以为． 易错必刷题型26.图形的平移 典题特征：概念判断、选择题，辨别平移现象和平移图形 易错点：把旋转、翻转、滚动都当成平移；以为平移只能水平竖直移动，不知道可以沿任意直线方向平移。 76．观察下面图案，在四幅图案中，能通过图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，由此即可求解． 【详解】解：A选项与原图的形状和大小均未改变，符合题意； B、C、D选项与原图比较均有改变，不符合题意； 故选：A ． 77．将左图剪成若干小块，通过平移小块能够得到①，②，③中的________． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了图形的平移，根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：将所给图形剪成两个半圆，通过平移可得到①； 将所给图形剪成四个四分之一圆，通过平移可得到②； 不能拼成③， 故答案为：①②． 78．如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质．根据平移的性质有：，即可解答． 【详解】解：沿着射线向右平移得到， ， ， ，， ． 易错必刷题型27.利用平移的性质求解 典题特征：填空计算题，求平移后周长、面积、线段长、坐标 易错点：记错平移对应点、对应线段的关系；算平移距离时，看错对应点，距离算错；坐标平移加减方向搞反，左右上下平移弄混。 79．如图，沿着所在直线的方向，向右平移到，已知，，那么平移的距离为________． 【答案】2 【详解】解：由平移的性质可知，，且平移的距离为或 ∵，， ， ∴平移的距离为2． 80．如图，将直角三角形沿方向，平移3个单位到三角形的位置，与相交于点H，连接，，，，．有下列结论： ①；②；③； ④阴影部分的面积与四边形的面积相等； ⑤三角形与三角形的周长和是16． 其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平移的性质得到，， ，据此逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ，故①正确， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴阴影部分的面积与四边形的面积相等，故④正确； 三角形与三角形的周长和 ，故⑤错误； ∴正确的有4个． 81．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型28.平移作图 典题特征：作图解答题，按要求画平移后图形 典题特征：给原图形+平移方向距离，规范画图 易错点：平移关键点少移、漏移顶点；平移方向、平移格数距离数错；画图不标注对应字母，不规范作图，不画对应点连线。 82．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 83．如图所示，下列关于△ABC与△A′B′C′的说法不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′ B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′ C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC D．将△A′B′C′向左平移6格后就可得到△ABC 【答案】D 【分析】根据平移变换的概念及平移的性质进行判断． 【详解】解： A、将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意； B、将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意； C、将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC，故本选项正确，不符合题意； D、将△A′B′C′向左平移6格后不能得到△ABC，故本选项错误，符合题意． 故选∶D． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质，并准确识图确定出平移的左、右， 上、下的格子数是解题的关键． 84．如图，分别按下列要求在网格图中作出平移后的图形． (1)在图1中将三角形平移，点平移到点的位置，点，平移后的对应点分别是，． (2)在图2中平移线段，使之与线段组成一个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将点分别向右平移2个单位，向下平移2个单位得出，顺次连接，即可求解． （2）将线段向右平移2个单位，再向上平移2个单位；将线段向左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线易错必刷题型专项训练 本专题汇总相交线与平行线全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.对顶角定义 题型02邻补角的定义理解 题型03.找邻补角 题型04.利用邻补角互补求角度 题型05.垂线的定义理解 题型06.垂线段最短 题型07点到直线的距离. 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行公理的应用 题型10.平行公理推论的应用 题型11.同位角相等.两直线平行 题型12.内错角相等.两直线平行 题型13.同旁内角互补.两直线平行 题型14.两直线平行.同位角相等 题型15.两直线平行.内错角相等 题型16.两直线平行.同旁内角互补 题型17.由平行线性质探究角的关系 题型18.由平行线性质求角的度数 题型19.由平行线判定与性质求角度 题型20.由平行线判定与性质证明 题型21,判定是否是命题 题型22.写出命题的题设与结论 题型23.判断命题真假 题型24.举例说明假(真)命题 题型25.举反例 题型26.图形的平移 题型27.利用平移的性质求解 题型28.平移作图 易错必刷题型01.对顶角定义 典题特征：选择题、判断题居多，给出多条直线相交图形，判断角是不是对顶角 易错点：只会看有公共顶点、角度相等就判定是对顶角，忽略两边必须互为反向延长线；复杂三线相交图形里，错把普通相等角当成对顶角。 1．下列各图中和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 3．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02邻补角的定义理解 典题特征：选择填空考查概念辨析，区分邻补角、补角、余补角 易错点：分不清补角和邻补角，以为只要和为180°就是邻补角；忽略邻补角必须同时满足有公共顶点、一条公共边、另一边共线三个条件。 4．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 5．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 6．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 易错必刷题型03.找邻补角 典题特征：给相交直线图形，数一个角所有的邻补角个数 易错点：数不全、漏找邻补角；多条射线共顶点时，重复多数邻补角；分不清对顶角和邻补角，找错角。 7．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 8．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 9．如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 易错必刷题型04.利用邻补角互补求角度 典题特征：填空选择基础计算题，已知一个角度，求相交形成的其他角 易错点：计算时把180°互补当成90°互余来算；多个角叠加时，搞不清哪两个角互为邻补角，列式计算出错。 10．如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，，平分，若，则的度数是______． 12．直线、相交于点，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 易错必刷题型05.垂线的定义理解 典题特征：概念判断题，判断两条相交直线是否互相垂直 易错点：误以为只有水平竖直相交才叫垂直；认为夹角接近直角就是垂直，忽略必须严格相交成90°才是垂直。 13．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 14．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 15．如图，直线相交于点O，平分于点O，． (1)求的度数． (2)求的度数． 易错必刷题型06.垂线段最短 典题特征：选择题、生活应用题，判断最短路径、最短距离 易错点：分不清普通线段和垂线段；做题时选两点之间线段最短，混淆两个定理，乱用结论。 16．义卖活动中，同学们玩投壶游戏．小明认为站在点C处的投壶者会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是__________． 17．如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 18．如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． .易错必刷题型07点到直线的距离. 典题特征：选择填空高频易错题，概念辨析+简单计算 易错点：把垂线段本身当成距离，实际距离是垂线段的长度；不会区分点到点距离、点到直线距离，两个概念弄混。 19．如图，在三角形中，点，在边上，连接，，且，，则点到的距离是线段______的长度． 20．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 21．在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题 (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 易错必刷题型08.同位角.内错角.同旁内角 典题特征：选择填空必考，复杂三线八角图形里，辨别三种角 易错点：找错截线和被截直线，导致角的类型直接判断错误；复杂重叠图形里，看不出隐藏的同位角、内错角、同旁内角。 22．图中有______ 对同位角（其中）． 23．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 24．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 易错必刷题型09.平行公理的应用 典题特征：判断题、选择题，考查过直线外一点作平行线的规则 易错点：记错公理内容，以为过任意一点都能画一条已知直线的平行线；忽略必须是直线外一点，直线上一点无法作已知直线平行线。 25．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 26．有下列说法： ①过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线的平行线有无数条； ④与同一条直线相交的两条直线一定也相交． 其中正确的有______．（只填序号） 27．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 易错必刷题型10.平行公理推论的应用 典题特征：选择题判断多条直线的平行关系 易错点：记错推论，误以为两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也会相交；多条直线放在一起，搞混平行传递的关系。 28．若直线，，则的依据是______． 29．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 30．如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 易错必刷题型11.同位角相等.两直线平行 典题特征：填空、基础证明题，用角相等证直线平行 易错点：搞反因果关系，乱用逻辑，先有角相等，才可以证平行；看到同位角就直接默认相等，直接判定平行。 31．如图，直线分别与、交于点F、C，在不添加辅助线的情况下，请添加一个条件，使得，你添加的是______．（写出一个即可） 32．下列各选项中，，则能判断的是（    ） A． B． C． D． 33．如图，直线相交于点，点在直线上．若，，问与平行吗？为什么？ 易错必刷题型12.内错角相等.两直线平行 典题特征：几何选择、简单推理证明题 易错点：图形里找不准内错角的位置；和平行线性质搞混，分不清是用角证平行，还是平行推角相等。 34．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点B作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以B为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是______． 35．如图①是一种升降机，可以在垂直上下的通道载运人或货物升降，其升降部分可以抽象出如图②所示的几何图形，则下列能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 36．如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 易错必刷题型13.同旁内角互补.两直线平行 典题特征：解答推理题常考，利用角度和证平行 易错点：把互补180°记成互余90°；看到同旁内角就直接当成互补，直接下平行结论。 37．如图，在四边形中，点在边的延长线上．请你添加一个条件，使得，则添加的条件是___________．（写出一个即可） 38．如图，下列推理中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 39．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 易错必刷题型14.两直线平行.同位角相等 典题特征：角度计算、几何推理题高频考查 易错点：和平行判定定理完全搞反，无平行条件，也硬说同位角相等；复杂图形中，找不准平行线对应的同位角。 40．如图，直线与相交于点，，若，则的度数是_______________． 41．如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 42．如图，点为上的点，为上的点，，．试说明：． 易错必刷题型15.两直线平行.内错角相等 典题特征：填空求角度、几何简单证明 易错点：做题不先看题干有没有两直线平行的条件，直接默认内错角相等；图形交错，认错对应的内错角。 43．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线上，若，则的度数为_____． 44．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 45．如图，已知，，线段与平行吗？为什么？ 易错必刷题型16.两直线平行.同旁内角互补 典题特征：大题角度换算、综合计算题 易错点：平行条件下，把互补记成两角相等；计算角度时，加减运算出错，忘记和为180°。 46．如图，直线、被直线所截，与相交于点F，若，当______°时，． 47．当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 易错必刷题型17.由平行线性质探究角的关系 典题特征：几何压轴选择、拐角折线多角关系探究 易错点：折线拐角图形不会做辅助线；不会拆分多个角的和差关系，推导不出角之间相等或互补的联系。 49．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 50．如图，直线，点E，G分别在直线，上且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 51．如图，，． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型18.由平行线性质求角的度数 典题特征：整张试卷高频必考填空选择解答题 易错点：推理步骤跳步，漏写平行条件直接算角度；结合对顶角、邻补角一起换算时，多个知识点混用，一步错步步全错。 52．如图，，直线与射线相交于点，若，则______． . 53．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角分别是（    ） A．和 B．，或， C．和 D．以上都不对 54．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 易错必刷题型19.由平行线判定与性质求角度 典题特征：综合题型，先证平行、再求角度 易错点：分不清什么时候用判定、什么时候用性质；做题顺序颠倒，不会先证平行，再利用平行求角度。 55．已知：如图，，那么______ 56．如图，某同学在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 57．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有． (1)如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线与反射光线的位置关系： ，判断理由是 ； (2)如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以每秒6°的速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内，当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间． 易错必刷题型20.由平行线判定与性质证明 典题特征：几何解答证明大题，写完整推理过程 易错点：推理逻辑混乱，因果颠倒；每一步推导缺少对应定理依据；书写步骤跳步、不规范，理由乱写乱套。 58．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则__________． 59．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型．如图所示，在三角形中，点D，E，F分别在边上，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 60．如图，已知，点为直线上一点，现将一个含角的三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，，． (1)当时，___________； (2)猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)在（1）的基础上，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设转动时间为，直接写出当为何值时，． 易错必刷题型21,判定是否是命题 典题特征：选择判断题，区分语句是不是命题 易错点：把疑问句、画图指令、感叹句当成命题；分不清语句能不能判断真假，只要是句子就都当成命题。 61．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 62．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 63．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 易错必刷题型22.写出命题的题设与结论 典题特征：填空基础题型，改写拆分命题 易错点：不会把普通命题改成如果那么的句式；拆分题设和结论时，拆分不完整，丢关键条件。 64．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 65．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 66．如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 易错必刷题型23.判断命题真假 典题特征：选择填空常考，分辨真命题、假命题 易错点：凭主观感觉判断真假，不会严谨推理；片面看一句话，忽略特殊情况，错把假命题当成真命题。 67．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角互补 68．命题“如果，那么”是________命题． 69．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 易错必刷题型24.举例说明假(真)命题 典题特征：简答题，自己举例子验证命题 易错点：举的例子不符合题干前提条件；举的例子和命题完全不相关，无法对应证明真假。 70．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D． ， 71．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 72．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 易错必刷题型25.举反例 典题特征：考试高频易错题，用反例推翻假命题 易错点：不知道反例要满足符合题设、不满足结论两个要求；举的例子根本不能反驳原命题，达不到举反例的作用。 73．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 74．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：___ 75．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 易错必刷题型26.图形的平移 典题特征：概念判断、选择题，辨别平移现象和平移图形 易错点：把旋转、翻转、滚动都当成平移；以为平移只能水平竖直移动，不知道可以沿任意直线方向平移。 76．观察下面图案，在四幅图案中，能通过图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 77．将左图剪成若干小块，通过平移小块能够得到①，②，③中的________． 78．如图，将三角形沿着射线向右平移得到，连接，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 易错必刷题型27.利用平移的性质求解 典题特征：填空计算题，求平移后周长、面积、线段长、坐标 易错点：记错平移对应点、对应线段的关系；算平移距离时，看错对应点，距离算错；坐标平移加减方向搞反，左右上下平移弄混。 79．如图，沿着所在直线的方向，向右平移到，已知，，那么平移的距离为________． 80．如图，将直角三角形沿方向，平移3个单位到三角形的位置，与相交于点H，连接，，，，．有下列结论： ①；②；③； ④阴影部分的面积与四边形的面积相等； ⑤三角形与三角形的周长和是16． 其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 81．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 易错必刷题型28.平移作图 典题特征：作图解答题，按要求画平移后图形 典题特征：给原图形+平移方向距离，规范画图 易错点：平移关键点少移、漏移顶点；平移方向、平移格数距离数错；画图不标注对应字母，不规范作图，不画对应点连线。 82．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    83．如图所示，下列关于△ABC与△A′B′C′的说法不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′ B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′ C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABC D．将△A′B′C′向左平移6格后就可得到△ABC 84．如图，分别按下列要求在网格图中作出平移后的图形． (1)在图1中将三角形平移，点平移到点的位置，点，平移后的对应点分别是，． (2)在图2中平移线段，使之与线段组成一个三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $