期末复习 相交线与平行线（单元练习）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，以题载法构建"性质应用-判定推理-动态探究"的递进式训练体系，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-7、填空11-13|辅助线构造（过拐点作平行线）、角的转化（对顶角/邻补角）|从平行线性质（由平行得角等/互补）到判定（由角等/互补得平行）的双向推理| |综合证明|解答16-20|方程思想（比例设元）、分类讨论（动态位置关系）|结合角平分线、垂线等概念，构建"已知平行→角关系→新平行"的逻辑链条| |动态探究|选择8-10、填空14-15|运动轨迹分析、临界位置判断|从静态图形到动态变化（旋转/伸缩），体现空间观念与创新意识|

期末复习 相交线与平行线 一．选择题（共10小题） 1．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝159°，则∠2＝22°，则∠3的度数为（　　） A．43° B．45° C．51° D．53° 2．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　） A．15° B．10° C．20° D．25° 3．在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠1＝90°，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（　　） A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 4．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 5．如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．55° 6．小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 7．如图，现有一平面镜PQ．入射光线AO经平面镜反射后，反射光线为OB，ON为法线，其中ON⊥PQ．若CD∥OA，∠CDO＝121°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．21° B．31° C．35° D．121° 8．如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆AB∥CD，调整前臂杆之间的夹角∠OAB＝60°，调整后臂杆之间的夹角∠OCD＝85°，则调整前后同一臂杆变化的角度∠AOC＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 9．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D+∠BAD＝180° D．∠B＝∠DCE 10．如图，直线AB∥CD，AB，CD被直线MN所截，交点分别为E，F，点G在CD上，连接EG．若∠AEM＝68°，∠CGE＝134°，则∠GEF的度数为（　　） A．76° B．68° C．66° D．56° 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点E和F，EP平分∠AEF交直线CD于点P．若∠EPF＝58°，则∠EFP的度数为　 　 ． 12．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是　 　 ． 13．如图，已知AB∥CD，若∠A＝35°，∠D＝25°，∠E＝30°，则∠DFC＝　 　 °． 14．将一副三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点E以每秒15°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜12），当斜边DF与三角板ABC的一条边平行时，则所有满足条件的t的值为 　 　 ． 15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线，ED∥AB交AC于点G．下列结论：①AE＝AG；②△ADG是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且OM⊥AB、ON⊥CD． （1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠2和∠MOD的度数． 17．如图1，直线EF与直线AB、CD分别交于点G、H，HK平分∠EHD交直线AB于点K，∠GHK＝∠GKH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点P在线段AG上，点N在线段HK上，PB平分∠EPN，若∠GHK＝20°，求∠E+∠PNH的度数； （3）如图3，点M在线段HG上，点Q为射线KA上一动点且不与点G重合，连接MQ，作∠MQK的角平分线与HK相交于点R，探究∠QMH与∠QRH的数量关系，并说明理由． 18．如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD于点F，若∠B＝∠D，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠E＝27°，求∠DAE的度数． 19．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC，且∠CDF+∠CEG＝180°． （1）证明：EG∥CD； （2）若EG⊥AB，DF平分∠BDC，求∠A的度数． 20．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，射线OF在CD上方，且FO⊥CD，垂足为O． （1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数； （2）先在图中∠AOD的内部作射线OG⊥OE，再探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的数量关系，并证明； （3）已知∠AOD＝108°，在直线CD下方作射线OM，且∠AOM：∠MOD＝1：5，直接写出∠EOM的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝159°，则∠2＝22°，则∠3的度数为（　　） A．43° B．45° C．51° D．53° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；创新意识． 【答案】A 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°，求出∠PFO＝21°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝22°，由三角形的外角性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵光线平行于主光轴， ∴∠1+∠PFO＝180°， ∵∠1＝159°， ∴∠PFO＝21°， ∵∠POF＝∠2＝22°， ∴∠3＝∠POF+∠PFO＝43°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°． 2．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　） A．15° B．10° C．20° D．25° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵∠C＝90°，∠CDE＝45°， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°． ∵DE∥AF， ∴∠CAF＝∠CDE＝45°． ∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 3．在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠1＝90°，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（　　） A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° 【考点】平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；投影与视图；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【解答】解：∵∠1＝90°， ∴当∠1+∠4＝180°时，两条铁轨平行， ∴∠4＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 4．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【考点】平行线的性质；列代数式． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 5．如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．55° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D，得到∠B+∠D＝180°，即可求出∠D＝35°． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠B+∠C＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠C＝∠D， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝145°， ∴∠D＝35°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D． 6．小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】由BC∥FD可得∠AEC＝∠AFD＝55°，再由外角的定义可得∠ABC＝∠AEC﹣30°＝25°． 【解答】解：∵BC∥FD， ∴∠AEC＝∠AFD＝55°， 又∵∠AEC是三角形ABE的外角，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠AEC﹣30°＝55°﹣30°＝25°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 7．如图，现有一平面镜PQ．入射光线AO经平面镜反射后，反射光线为OB，ON为法线，其中ON⊥PQ．若CD∥OA，∠CDO＝121°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．21° B．31° C．35° D．121° 【考点】平行线的性质；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵CD∥OA，∠CDO＝121°， ∴∠DOA＝∠CDO＝121°． ∵ON⊥PQ， ∴∠DON＝90°， ∴∠AON＝121°﹣90°＝31°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 8．如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆AB∥CD，调整前臂杆之间的夹角∠OAB＝60°，调整后臂杆之间的夹角∠OCD＝85°，则调整前后同一臂杆变化的角度∠AOC＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：令AB与OC的交点为M，如图所示， ∵AB∥CD，∠OCD＝85°， ∴∠OMB＝∠OCD＝85°， 又∵∠OAB＝60°， ∴∠AOC＝85°﹣60°＝25°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 9．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D+∠BAD＝180° D．∠B＝∠DCE 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据题中∠B+∠BAD＝180°判定AD∥BC，利用平行线的性质逐项验证即可得到答案． 【解答】解：如图所示，∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠3＝∠4， A、由于AB与CD不一定平行，则∠1＝∠2不一定正确，不符合题意； B、∠3＝∠4正确，符合题意； C、由于AB与CD不一定平行，则∠D+∠BAD＝180°不一定正确，不符合题意； D、由于AB与CD不一定平行，则∠B＝∠DCE不一定正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 10．如图，直线AB∥CD，AB，CD被直线MN所截，交点分别为E，F，点G在CD上，连接EG．若∠AEM＝68°，∠CGE＝134°，则∠GEF的度数为（　　） A．76° B．68° C．66° D．56° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠CGE＝134°， ∴∠AGEF＝180°﹣134°＝46°． 又∵∠BEF＝∠AEM＝68°， ∴∠GEF＝180°﹣46°﹣68°＝66°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点E和F，EP平分∠AEF交直线CD于点P．若∠EPF＝58°，则∠EFP的度数为　64°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；创新意识． 【答案】64°． 【分析】由题意易得∠AEP＝∠EPF＝58°，∠BEF＝∠EFP，然后可得∠AEF＝2∠AEP＝2×58°＝116°，进而问题可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠EPF＝58°， ∴∠AEP＝∠EPF＝58°，∠BEF＝∠EFP（两直线平行，内错角相等）， ∵EP平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠AEP＝2×58°＝116°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝180°﹣116°＝64°． 故答案为：64°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 12．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是　52°　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】52°． 【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数． 【解答】解：如图，过点B作BD∥a， ∴∠ABD＝∠1＝22°， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠3＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°． ∴∠2＝180°﹣90°﹣38°＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 13．如图，已知AB∥CD，若∠A＝35°，∠D＝25°，∠E＝30°，则∠DFC＝　90　 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】90． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠A＝35°，∠E＝30°， ∴∠BME＝∠A+∠E＝65°． ∵AB∥CD， ∴∠FCD＝∠BME＝65°． 又∵∠D＝25°， ∴∠DFC＝180°﹣65°﹣25°＝90°． 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 14．将一副三角板如图所示摆放，∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC保持不动，将三角板DEF绕点E以每秒15°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0＜t＜12），当斜边DF与三角板ABC的一条边平行时，则所有满足条件的t的值为 　3或5或9　 ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】3或5或9． 【分析】当DF∥AC时，此时DF⊥EM，15°t＝45°；当DF∥AB时，15°t＝90°﹣15°＝75°；当DF∥BC时，15°t＝135°；分别求t的值即可． 【解答】解：当DF∥AC时，此时DF⊥EM， ∵∠D＝45°，∴∠DEM＝45°， ∴15°t＝45°， 解得t＝3； 当DF∥AB时，∠ABC＝∠ENF＝60°， ∵∠D＝45°， ∴∠DEN＝15°， ∴15°t＝90°﹣15°＝75°， 解得t＝5；当DF∥BC时，∠HED＝∠D＝45°， ∴15°t＝90°+45°＝135°， 解得t＝9； 综上所述：t的值为3或5或9． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线，ED∥AB交AC于点G．下列结论：①AE＝AG；②△ADG是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③　 ． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】②③． 【分析】根据平行线及角平分线得到GA＝GD，GA＝GE，故GA＝GE＝GD，故可判断②③，判断不了①． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵ED∥AB， ∴∠ADG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ADG＝∠CAD（等量代换）， ∴GA＝GD，即△ADG是等腰三角形，所以结论②正确， ∵AE平分∠FAC， ∴∠FAE＝∠CAE， ∵ED∥AB， ∴∠FAE＝∠AEG（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CAE＝∠AEG（等量代换）， ∴GA＝GE， ∴GA＝GE＝GD， ∴，所以结论③正确， 但是证明不出AE＝AG，只能得到GA＝GE，所以结论①错误， ∴正确的为②③， 故答案为：②③． 【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且OM⊥AB、ON⊥CD． （1）若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠2和∠MOD的度数． 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）∠AOD＝135°； （2）∠2＝30°，∠MOD＝150°． 【分析】（1）根据垂直的定义结合角平分线的定义即可求解； （2）先求得∠1＝30°，利用等角的余角相等求得∠2＝30°，再利用邻补角的定义求解即可． 【解答】解：（1）直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且OM⊥AB、ON⊥CD． ∴∠AOM＝90°， ∵OC平分∠AOM， ∴， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°； （2）∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵ON⊥CD， ∴∠CON＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴∠MOD＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°． 【点评】本题考查垂线，正确进行计算是解题关键． 17．如图1，直线EF与直线AB、CD分别交于点G、H，HK平分∠EHD交直线AB于点K，∠GHK＝∠GKH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点P在线段AG上，点N在线段HK上，PB平分∠EPN，若∠GHK＝20°，求∠E+∠PNH的度数； （3）如图3，点M在线段HG上，点Q为射线KA上一动点且不与点G重合，连接MQ，作∠MQK的角平分线与HK相交于点R，探究∠QMH与∠QRH的数量关系，并说明理由． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）证明：∵HK平分∠EHD， ∴∠GHK＝∠DHK， ∵∠GHK＝∠GKH， ∴∠DHK＝∠GKH， ∴AB∥CD； （2）60°； （3）点Q在线段KG上时，∠QMH+2∠QRH＝360°；点Q在射线GA上时，∠QMH＝2∠QRH；理由如下： 设∠DHK＝α，∠MQX＝β， 当点Q在线段KG上时，如图，设QR交CD于点X， ∵HK平分∠EHD， ∴∠GHK＝∠DHK＝α，∠GHD＝2∠GHK＝2α， ∵QR平分∠MQK， ∴∠MQX＝∠KQX＝β， ∵AB∥CD， ∴∠HGK＝180°﹣∠GHD＝180°﹣2α，∠HXR＝∠KQX＝β， ∵∠QRH＝180°﹣∠HRX＝180°﹣（180°﹣∠KHD﹣∠HXR）＝α+β， 同理：∠QMH＝∠HGK+∠GQM＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2α﹣2β， ∴∠QMH+∠QRH＝360°﹣α﹣β＝360°﹣∠QRH， ∴∠QMH+2∠QRH＝360°； 当点Q在射线GA上时，如图4， ∵HK平分∠EHD， ∴∠GHK＝∠DHK＝α，∠GHD＝2∠GHK＝2α， ∵QR平分∠MQK， ∴∠MQX＝∠KQX＝β， ∵AB∥CD， ∴∠HGK＝180°﹣∠GHD＝180°﹣2α，∠HXR＝∠KQX＝β， ∵∠QRH＝180°﹣∠HRX＝180°﹣（180°﹣∠KHD﹣∠HXR）＝α+β， 同理：∠QMH＝∠HGQ+∠GQM＝2α+2β， ∴∠QMH+∠QRH＝3α+3β＝3∠QRH， ∴∠QMH＝2∠QRH； 综上，点Q在线段KG上时，∠QMH+2∠QRH＝360°；点Q在射线GA上时，∠QMH＝2∠QRH． 【分析】（1）利用角平分线的性质已知得∠DHK＝∠GKH，即可证明结论； （2）由HK平分∠EHD及（1）的结论得∠PGE＝140°，由PB平分∠EPN，得∠E＝40°﹣∠NPG，过点N作NQ∥AB，由平行线的性质得∠PNH＝∠NPG+20°，由此即可求得结果； （3）分两种情况：点Q在线段KG上及点Q在射线GA上考虑，利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可求解． 【解答】（1）证明：由条件可知∠GHK＝∠DHK， ∵∠GHK＝∠GKH， ∴∠DHK＝∠GKH， ∴AB∥CD； （2）解：由条件可知∠GHD＝2∠GHK＝40°，∠GHK＝∠DHK＝20°， 由（1）知AB∥CD， ∴∠PGE＝∠HGK＝140°， 由条件可知∠EPG＝∠NPG， ∴∠E＝180°﹣∠EPG﹣∠PGE＝40°﹣∠NPG， 如图，过点N作NQ∥AB， 则∠EPG＝∠NPG＝∠PNQ， ∴NQ∥CD， ∴∠QNB＝∠DHK＝20°， ∴∠PNH＝∠PNQ+∠DHK＝∠EPG+20°＝∠NPG+20°， ∴∠E+∠PNH＝40°﹣∠NPG+∠NPG+20°＝60°； （3）解：点Q在线段KG上时，∠QMH+2∠QRH＝360°；点Q在射线GA上时，∠QMH＝2∠QRH； 理由如下： 设∠DHK＝α，∠MQX＝β， 当点Q在线段KG上时，如图，设QR交CD于点X， 由条件可知∠GHK＝∠DHK＝α，∠GHD＝2∠GHK＝2α， ∵QR平分∠MQK， ∴∠MQX＝∠KQX＝β， 由条件可知∠HGK＝180°﹣∠GHD＝180°﹣2α，∠HXR＝∠KQX＝β， ∵∠QRH＝180°﹣∠HRX＝180°﹣（180°﹣∠KHD﹣∠HXR）＝α+β， 同理：∠QMH＝∠HGK+∠GQM＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2α﹣2β， ∴∠QMH+∠QRH＝360°﹣α﹣β＝360°﹣∠QRH， ∴∠QMH+2∠QRH＝360°； 当点Q在射线GA上时，如图4， 由条件可知∠GHK＝∠DHK＝α，∠GHD＝2∠GHK＝2α， ∠MQX＝∠KQX＝β，∠HGK＝180°﹣∠GHD＝180°﹣2α，∠HXR＝∠KQX＝β， ∵∠QRH＝180°﹣∠HRX＝180°﹣（180°﹣∠KHD﹣∠HXR）＝α+β， 同理：∠QMH＝∠HGQ+∠GQM＝2α+2β， ∴∠QMH+∠QRH＝3α+3β＝3∠QRH， ∴∠QMH＝2∠QRH； 综上，点Q在线段KG上时，∠QMH+2∠QRH＝360°；点Q在射线GA上时，∠QMH＝2∠QRH． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 18．如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD于点F，若∠B＝∠D，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠E＝27°，求∠DAE的度数． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∵∠1+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠CFE， ∴AB∥CD． （2）∠DAE＝27°． 【分析】（1）根据∠1+∠2＝180°，∠1+∠CFE＝180°，得出∠2＝∠CFE，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得∠B＝∠ECF，根据∠B＝∠D，得出∠D＝∠ECF，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行线的性质求出结果即可． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠CFE， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠ECF（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠ECF， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠E＝27°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上，DF∥AC，且∠CDF+∠CEG＝180°． （1）证明：EG∥CD； （2）若EG⊥AB，DF平分∠BDC，求∠A的度数． 【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∵DF∥AC， ∴∠CDF＝∠ACD． ∵∠CDF+∠CEG＝180°， ∴∠ACD+∠CEG＝180°， ∴EG∥CD； （2）45°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵DF∥AC， ∴∠CDF＝∠ACD． ∵∠CDF+∠CEG＝180°， ∴∠ACD+∠CEG＝180°， ∴EG∥CD； （2）解：∵EG⊥AB， ∴∠EGB＝90°． ∵EG∥CD， ∴∠CDB＝∠EGB＝90°． ∵DF平分∠BDC， ∴∠BDF∠CDB＝45°． ∵DF∥AC， ∴∠A＝∠BDF＝45°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟知平行线的判定与性质及角平分线的定义是解题的关键． 20．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，射线OF在CD上方，且FO⊥CD，垂足为O． （1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数； （2）先在图中∠AOD的内部作射线OG⊥OE，再探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的数量关系，并证明； （3）已知∠AOD＝108°，在直线CD下方作射线OM，且∠AOM：∠MOD＝1：5，直接写出∠EOM的度数． 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【专题】几何图形；运算能力． 【答案】（1）72°； （2）∠AOG＝∠EOF，证明如下： ∵FO⊥CD，OG⊥OE ∴∠DOF＝∠GOE＝90° ∴∠DOF﹣∠DOE＝∠GOE﹣∠DOE ∴∠AOG＝∠EOF； （3）∵∠AOD＝108°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝72°， ∵OE平分∠BOD ∴ 如图，当射线OM在∠AOD内部时， ∵∠AOM：∠MOD＝1：5 ∴， ∴∠EOM＝∠EOD+∠DOM＝126°； 如图，当射线OM在∠AOD外部时， ∵∠AOM：∠MOD＝1：5 ∴ ∴∠EOM＝∠EOD+∠AOD+∠AOM＝171°； 综上所述，∠EOM的度数为126°或171°； （3）126°或171°． 【分析】（1）首先求出∠DOE＝90°﹣∠EOF＝36°，利用角平分线的性质求出∠BOD＝2∠DOE＝72°，进而得出答案； （2）根据要求作图即可；由垂直得到∠DOF＝∠GOE＝90°，进而推出∠AOG＝∠EOF； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可． 【解答】解：（1）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，射线OF在CD上方，且FO⊥CD，垂足为O． ∵∠EOF＝54°，FO⊥CD， ∴∠DOE＝90°﹣∠EOF＝36°， ∵OE平分∠BOD ∴∠BOD＝2∠DOE＝72° ∴∠AOC＝∠BOD＝72°； （2）解：如图所示，∠AOG＝∠EOF，证明如下： ∵FO⊥CD，OG⊥OE ∴∠DOF＝∠GOE＝90° ∴∠DOF﹣∠DOE＝∠GOE﹣∠DOE ∴∠AOG＝∠EOF； （3）∵∠AOD＝108°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝72°， ∵OE平分∠BOD ∴ 如图，当射线OM在∠AOD内部时， ∵∠AOM：∠MOD＝1：5 ∴， ∴∠EOM＝∠EOD+∠DOM＝126°； 如图，当射线OM在∠AOD外部时， ∵∠AOM：∠MOD＝1：5 ∴ ∴∠EOM＝∠EOD+∠AOD+∠AOM＝171°； 综上所述，∠EOM的度数为126°或171°． 【点评】本题考查垂线，正确进行计算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $