精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试卷

2025－2026学年高二（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8 C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数和极差公式求解即可. 【详解】由题可得中位数是，极差为： 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】设应从中年人中抽取的人数为 . 3. 已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得. 4. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 5. 的展开式中的常数项为15，则实数a＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，结合通项得到展开式的常数项为，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，可得展开式的常数项为， 因为二项展开式的常数项为，所以，可得，解得. 6. 计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】将甲、乙捆绑成1个小组，则相当于共4个“元素”，将4个“元素”分到3个学校，每个学校至少分到一人，求出总的分配方案，然后用总的种数减去甲乙与丙在一个学校的种数，即可得到答案． 【详解】将甲、乙捆绑成1个小组，则相当于共4个“元素”. 将4个“元素”分到3个学校，每个学校至少分到一人，则有种. 甲、乙与丙分配在同一个学校的方案数为：种. 故不同的分配方案种数为种. 7. 若函数 不单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 8. 已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件求出，进而得到，构造函数，根据导数与单调性的关系得到在上单调递减，结合零点存在定理判断即可. 【详解】由题意知，、、，设， 因为，所以， 代入椭圆方程解得，所以， 由已知可知点在第二象限，所以，则， 则，又，， 所以，整理得，则， 又，所以， 又（），则， 令（）， 则 ， 所以在上单调递减； 又 ， ， ， ， ， 结合零点存在定理可知，椭圆的离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 9. 已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理： 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为； 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为数据的平均数为5，所以， 因为加入一个新数据5，得到10个数据， 所以， 由新数据的方差为，所以， 所以， 所以， 所以，故A正确，B错误； 由题意，，， 所以 ，故C正确，D错误. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 所有二项式系数之和为 B. 二项式系数最大的项是第五项和第六项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理逐项进行判断即可求解. 【详解】对于A，二项式的所有二项式系数之和是，故A正确； 对于B，在的展开式中，二项式系数是，由于指数为偶数，所有二项式系数在中间一项达到最大， 即当时，最大，对应于第六项，所以二项式系数最大的项只有第六项，故B错误； 对于C，已知， 令，得， 令，得， 两式相加得，解得，故C正确； 对于D，对， 两边求导得， 令，得 ，故D正确. 11. 在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式．瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形”的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式．将1，2，…，n（n≥2）这n个数排成一排，得到一个排列（），设排列中满足的正整数i有k个，就称排列（）的“升程数”为k．比如：n＝3时，排列1，2，3的“升程数”为2，排列2，1，3的“升程数”为1．记为将1，2，…，n（n≥2）排成一排后“升程数”恰为k（k＝0，1，…，n－1）的排列数．比如：n＝3时，“升程数”为1的排列有（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）这4个，即＝4．则下列说法正确的是（ ） A. ＝1 B. ＝10 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：直接分析升程数为0的排列唯一性.选项D：通过插入法推导升程数的递推关系，为后续计算提供依据.选项B：利用D的递推式计算的具体值，验证结论.选项C：通过补排列的对称性，建立升程数的对偶关系并证明等式. 【详解】选项A：升程数为0的排列需满足所有相邻元素递减， 即唯一的降序排列 ，故 ，A正确. 选项D：将插入 的排列中，升程数的变化可分两类： 1.若原排列升程数为，插入后升程数变为，此类插入位置共种，对应排列数； 2.若原排列升程数为，插入后升程数不变，此类插入位置共种，对应排列数. 因此递推关系成立，D正确. 选项B：已知 ， ， 则 ，B错误. 选项C：定义排列 的补排列为 ，其中. 原排列中等价于补排列中，即原排列的升程对应补排列的降程. 原排列升程数为时，降程数为 ，对应补排列的升程数为 . 由于补排列与原排列一一对应，故，C正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】曲线的导函数为. 在点处切线斜率. 由点斜式得切线方程，整理得. 13. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”，求得和，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 14. 为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先计算满足前两个位置限制的所有排列数，再用捆绑法计算其中2、3班相邻的排列数，利用对立事件的思想，两者相减得到同时满足三个条件的结果. 【详解】①满足“1班不在第1位、6班不在第6位”的排列数： 总排列数为，减去“1班在第1位”的排列数，减去“6班在第6位”的排列数， 再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数， 因此： . ②满足“1班不在第1位、6班不在第6位，且2班与3班相邻”的排列数： 将2班与3班捆绑为一个整体，内部有种排列方式，此时转化为对5个元素的排列问题， 总排列数为，减去“1班在第1位”的排列数， 减去“6班在第6位”的排列数， 再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数， 因此： , 综上所述，符合全部条件的排列数为： . 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 已知数列的前项和为，满足． （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得，再利用等比数列定义即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 已知数列的前项和为，满足， 当时，有 ．解得， 当时，有，对于，有，两式相减得， 化简得，即， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 根据等比数列的通项公式有，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则数列的前项和， 解得. 16. 从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，， ，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线； （3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各个小矩形面积之和为1即可求得A的值; （2）根据小矩形面积与频率的关系可以计算出前所占比例，从而计算出获奖学生的最 低分数线； （3）根据和频率分别为和，进而得到在样本中的人数，再求出抽取的对象来自不同分组的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图各个小矩形面积之和为1可知 , 【小问2详解】 设获奖学生的最低分数线为,那么 ，， 所以，获奖学生的最低分数线为. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，和频率分别为和， 所以，样本中有人，有人， 那么随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率为 . 17. 已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． （1）求轨迹的方程； （2）设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）过定点 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义，直接得到轨迹的方程； （2）结合设直线的方程和，两点坐标，联立曲线的方程，写出直线的方程，结合韦达定理化简即可到直线恒过定点． 【小问1详解】 ∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 18. 某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． （1）求电梯A最终停在6楼的概率； （2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； （3）若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 【答案】（1）； （2）的分布列见详解，的数学期望为度； （3）. 【解析】 【分析】（1）先通过目标楼层反推电梯运行的次数组合，用方程确定两种运行方式的次数，再利用独立重复试验的特征，计算目标组合的概率，最后建立总耗电量与运行次数的线性关系，用期望性质直接计算即可； （2）先识别出随机变量服从，再通过公式计算各取值概率，列出分布列；并建立总耗电量与的线性关系，最后利用期望的线性性质，结合二项分布期望公式，直接求出的数学期望即可； （3）先确定电梯A停在6楼的所有运行序列，再针对每一种序列，按“每一步楼层差不超过1”的同步条件，分步枚举所有符合要求的B序列，接着计算出“同步且A停在6楼”的联合概率，最后利用条件概率公式，用联合概率除以“A停在6楼”的概率，得到最终结果即可. 【小问1详解】 设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为， 因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：， 所以，解得：， 即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层， 根据二项分布，概率为：， 所以电梯A最终停在6楼的概率为. 【小问2详解】 由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 由题意，总耗电量与的关系为：， 化简得：， 则期望：， 因此，的数学期望： ， 所以的分布列如上，的数学期望为度. 【小问3详解】 事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”， 所以电梯A运行序列共有种排列，记为：. 同步条件：对，， ①当电梯A运行序列为时： 符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为. ②当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. ③当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中也只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. A停在6楼的总概率：， 每种电梯A运行序列的概率： 所以总同步概率：同步且停在6楼 所以条件概率：同步停在6楼， 故当电梯A最终停在6楼时，两部电梯始终同步的概率为. 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知函数恰有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）若方程有三个解（），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准． ① ②． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导找到函数的最小值，证明其大于0； （2）（i）化简函数后求导，将极值点问题转化为直线与函数图像的交点问题，通过分析函数单调性和极限确定参数范围； （ii）①②通过构造辅助函数，利用导数判断单调性，结合函数的单调性证明不等式. 【小问1详解】 化简，定义域为， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在处取得最小值， ，因此. 【小问2详解】 （i）由于 所以 . 令，即. 设（），则方程等价于. 求导，令 ，则 . 令，得，此时取得最大值 ，故恒成立. 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减. ，时，时，时. 直线与有两个不同交点，需，即. （2）（ii）由的单调性：递增，递减，递增， 故的解满足，，且. 若选①： 构造（），则. 由得，代入并化简： 因，且，故， 因此，在单调递增. 故 ，即.令，得 . 又，故.因在单调递减， 故，即. 若选②： 由，，可知且， 直接相加得，结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高二（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8 C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 3. 已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为15，则实数a＝（ ） A. B. C. D. 6. 计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 7. 若函数 不单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 9. 已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理： 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为； 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 所有二项式系数之和为 B. 二项式系数最大的项是第五项和第六项 C. D. 11. 在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式．瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形”的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式．将1，2，…，n（n≥2）这n个数排成一排，得到一个排列（），设排列中满足的正整数i有k个，就称排列（）的“升程数”为k．比如：n＝3时，排列1，2，3的“升程数”为2，排列2，1，3的“升程数”为1．记为将1，2，…，n（n≥2）排成一排后“升程数”恰为k（k＝0，1，…，n－1）的排列数．比如：n＝3时，“升程数”为1的排列有（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）这4个，即＝4．则下列说法正确的是（ ） A. ＝1 B. ＝10 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 14. 为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答） 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 已知数列的前项和为，满足． （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和． 16. 从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，， ，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线； （3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率． 17. 已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． （1）求轨迹的方程； （2）设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 18. 某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． （1）求电梯A最终停在6楼的概率； （2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； （3）若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知函数恰有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）若方程有三个解（），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准． ① ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $