重庆市第八中学校2025-2026学年度下学期半期考试高二年级数学试题

重庆八中2025—2026学年度（下）半期考试高二年级 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列统计量中，能度量样本离散程度的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 标准差 D. 众数 2. 某市有大型超市15家，中型超市75家，小型超市165家.为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为68的样本，则应抽取中型超市（ ）家 A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 某市连续8天的AQI（空气质量指数）按从小到大的顺序排列为26，29，35，40，43，57，61，68，则这组数据的下四分位数为（ ） A. 29 B. 32 C. 57 D. 59 5. 在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在如图所示的六宫格中，每个格子用、、、、中的一个数字填入，要求用两次，其余数字各用一次，且两个不相邻，则不同的填法共有（ ）种 A. B. C. D. 7. 数列中，，对、，有，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁对立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中第5项的二项式系数最大 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中项的系数为448 10. 有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 11. 某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（ ） A. 甲队的积分可能为分 B. 甲队积分为分的概率为 C. 四支球队的积分总和可能为分 D. 甲队胜场且乙队负场的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 13. 若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以是“可加数”，产生了进位现象，所以不是“可加数”.那么在小于的三位自然数中，“可加数”共有_____个. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 16. 在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点. （1）求平面与平面的夹角的正弦值； （2）求三棱锥的体积. 17. 某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立. （1）当，时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； （2）若对任意，系统最终输出正确答案的概率都不低于，求的最小值. 18. 过抛物线上任意一点作的切线，交轴于点，过点作垂直于的直线为，交于、两点. （1）求直线的方程； （2）证明直线过定点，并求出定点坐标； （3）求面积的最小值. 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）记的极值点为，若，，对任意的，恒成立，证明：. 重庆八中2025—2026学年度（下）半期考试高二年级 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）， 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 在直线的方程中，令可得，即点， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 所以直线过定点. （3） 【19题答案】 【答案】（1）当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2） 由，得， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则仅有一个极值点，且. 由题意，对任意的，恒成立， 即恒成立， 设，则，， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $