重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试卷

2025-2026学年高二（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟，第【卷和第Ⅱ卷 都答在答题卷上 第1卷（选择题共58分】 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请 将答案填写在答题卡的相应位置上. 1.已知一组数据为：2,5,5,6,7,9，下列说法正确的是 A.中位数为5，极差为7 B.中位数为5，极差为8 C.中位数为5.5，极差为7 D.中位数为5.5，极差为8 2.某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人.为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽 样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为 A.10 B.12 C.18 D.20 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a+a,=18,S=25,则数列{an}的公差为 A.2 B.3 C.4 D.5 4.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为 4亏射击顺序为甲、乙、丙，则目 111 标在三次射击中恰好被击中两次的概率为 1 A. C. 2 4 -5 5. (2x+的展开式中的常数项为15，则实数口 1 A.一4 B.± C. 6 16 6.计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两 人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为 A.24 B.30 C.36 D.42 2若函数∫)=(@+@1nx+)x-(2a+lx不单调，则实数a的取值范围是 A.(0,+D) B.(-1,0) C.(-0,-1)U(0,+0)D.(-1,+o) 数学第】页共4页 8. 已知O为坐标原点，本B、F分别是椭圆C:￥+少 =1(a>b>O)的右顶点、下顶点和左焦点，点P在 椭圆C上，且PF⊥OF.若AB⊥OP,估计椭圆C的离心率的值所在的区间为 A.(0, 5, c.32 D.( 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上， 9.己知一组数据x,x2,,x)的平均数为5，方差为s2.现将该组数据进行以下两种处理： 9 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据为0方差为 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据222：，2)，方差为5，则下列说法正确的是 A.s2=2 B.s2<2 C.s2=4s2 D.s2=2s2+3 10.已知(x-2)°=a+a,x+a2x2+…+aox0，则下列结论正确的有 A.所有二项式系数之和为2° B.二项式系数最大的项是第五项和第六项 C.a0+42+a4+…+a0= 1+30 D.a+2a2+3a3+…+10ao=-10 2 1.在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式.瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形” 的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式.将1,2，，n(n≥2)这n个数排成一排，得 到一个排列(a,42,…,an),设排列中满足a,<a的正整数i有k个，就称排列(a,a2,,an)的“升程 数”为k.比如：n=3时，排列1,2,3的“升程数”为2，排列2,1,3的“升程数”为1.记B为将 1,2,…,n(n≥2)排成一排后“升程数”恰为k(化=0,1，，n-1)的排列数.比如：n=3时，“升 程数”为1的排列有(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)这4个，即B=4.则下列说法正确的是 A.B=1 B.B=10 C.B =Ba-- D.B:=(n-k)B(+)B 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 12.曲线y=six+爱在点0，分处的切线方程为 6 13.已知袋子中装有10个大小相同的球，中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球 规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球：若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小 明第二次摸到白球的概率为 数学第2页共4页 14.为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中句举行自编操比赛，出场顺序 抽签决定.则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有 种。（请用数字作答） 四、解答题：本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应 的位置上 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-n. (1)求证：{a,+1}是等比数列，并求an: (2)设bn= 2 一，求数列，}的前n项和T· aant 16.(15分) 从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为100分）中抽取一个样本量为100的样本，成绩样本数据分 为6组：「40,50)，[50,60)，60,70)，70,80)，[80,90)，90,100，绘制得到如图所示的频率分布 直方图. (1)求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同 ◆频率/组距 A 一组中的数据用该组区间的中点值为代表)： 0.025 0.020 (2)年级计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样 0.015 0.010… 本数据，估计获奖学生的最低分数线： 0.005… (3)在[50,60)和[90,100的学生成绩中，随机抽取两个学 405060708090100成绩/分 生的成绩进行分析，求抽取的对象米自不同分组的概率。 数学。第3页共4页 17.(15分) 己知平面内动点M到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.记动点M的轨迹为「，过点Q(2,0) 的直线/与曲线「相交于4，B两点， (1)求轨迹「的方程： (2)设点A关于x轴对称的点为D,证明：直线BD恒过定点. 18.(17分) 某层高为7楼的写字楼有两部独立运行的电梯A和B,初始都在1楼。每部电梯每次运行时，有的概率向 3 上运行2层、有二的概率向上运行1层.两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）·设电梯A,B 3 第i次运行后所在楼层分别为4，和b(=1,2,3) (】)求电梯A最终停在6楼的概率： (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电.记电梯A这3次运行中向上 运行1层的次数为X,3次运行总耗电量为Y,求X的分布列及Y的数学期望： (3)若引a,一b≤1对任意i=1,2,3都成立，则称两部电梯“同步”.当电梯A最终停在6楼时，求两部 电梯3次运行时始终同步的概率。 19.(17分) 已知函数f)=nx--2 (1)证明：f(x)>0: (2)已知函数g()=a(x-2°-()+。+1恰有两个极值点，X,（x<x,). (i)求实数a的取值范围： ()若方程g(x)=m有三个解xxx（<x4<x,),请在下面两个结论中选择一个加以证明， 若两个都选，以第一个结论的解答为准 ④x3+x>2x ⑧x+x<2x2 数学第4页共4页