重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试卷

2025－2026学年高二（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上． 1. 已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8 C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8 2. 某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 3. 已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为15，则实数a＝（ ） A. B. C. D. 6. 计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 7. 若函数 不单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 9. 已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理： 操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为； 操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 所有二项式系数之和为 B. 二项式系数最大的项是第五项和第六项 C. D. 11. 在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式．瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形”的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式．将1，2，…，n（n≥2）这n个数排成一排，得到一个排列（），设排列中满足的正整数i有k个，就称排列（）的“升程数”为k．比如：n＝3时，排列1，2，3的“升程数”为2，排列2，1，3的“升程数”为1．记为将1，2，…，n（n≥2）排成一排后“升程数”恰为k（k＝0，1，…，n－1）的排列数．比如：n＝3时，“升程数”为1的排列有（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）这4个，即＝4．则下列说法正确的是（ ） A. ＝1 B. ＝10 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 14. 为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答） 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 已知数列的前项和为，满足． （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和． 16. 从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，， ，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线； （3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率． 17. 已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． （1）求轨迹的方程； （2）设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 18. 某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． （1）求电梯A最终停在6楼的概率； （2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； （3）若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知函数恰有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）若方程有三个解（），请在下面两个结论中选择一个加以证明，若两个都选，以第一个结论的解答为准． ① ②． 2025－2026学年高二（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析， （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）过定点 【18题答案】 【答案】（1）； （2）的分布列见详解，的数学期望为度； （3）. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $