精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2027届高二下期期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题.本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量X满足，则的值是（ ） A. B. 9 C. D. 3 2. 将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（ ） A. 36 B. 44 C. 65 D. 72 3. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 4. 设随机变量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 6. 甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）. 甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A、B同时发生的概率 8. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知三个密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则，使得 11. 已知a，b，c都为正整数，且，随机变量，则下列结论正确的有（ ） A. 符合条件的a，b，c的解共有组 B. C. D. 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________. 13. 现要安排小张在内的5位职员参与4天值班，每天一人值班，小张要么不值班，若值班则只值第一天，同时相邻两天不能安排同一人值班，则不同的值班种数是________. 14. A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，则第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为________，重复n次这样的操作后，记A箱子中正品个数为，的数学期望________.（用n表示） 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某电视台闯关答题栏目中，参加第一轮闯关的选手需依次回答A，B，C三道题，一旦答对，即可直接进入决赛，停止后续答题；若题目答错，则继续依次回答下一题，直至3道题目答完.已知该选手答对A，B，C题目的概率分别为0.5、0.6、0.7，且每次答题是否答对相互独立. （1）求该选手在第一轮答题的次数X的分布列及数学期望； （2）求该选手能够进入决赛的概率. 16. 已知的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）若，求的值． 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 19. 某学校为研究校园信息传播规律，建立如下概率模型：选取n名学生，每人对信息的“易感系数”相同，记为，该值越大越容易被传播.传播按天进行，规则如下：第一天，随机选取其中名学生发布消息，每位被选中的学生真正接收到并相信该消息（称为“知情者”）的概率为p，且相互独立.从第二天起，每天每位“知情者”都会尝试影响每一位“非知情者”，一旦被影响即成为新的知情者，并参与后续传播. （1）若，时，求第一天结束时，至少有2人成为知情者的概率； （2）第一天结束时，知情者人数为奇数的概率； （3）对任意一位非知情者，若某天有k位知情者尝试影响他，则他当天被影响的概率为.当，，时，求两天后学生甲成为知情者的概率（用含a的式子表示）；并基于此模型，简要说明为什么现实中某些热点话题常会出现突然爆发式传播. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2027届高二下期期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题.本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量X满足，则的值是（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 2. 将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（ ） A. 36 B. 44 C. 65 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】先将书分为3组，再将这三份书全排列分给3位同学. 【详解】由题可知，有1位同学分得两本书，其他2位同学各得一本， 可以先从4本书中挑出2本，将书分为3份，再将这三份书全排列分给3位同学，故不同分法的种数是． 3. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 【答案】C 【解析】 【详解】在的展开式中， 含的项为， 所以所求系数为. 4. 设随机变量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布求出即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 5. 已知10件产品中可能存在次品，从中抽取2件，设抽出的次品数为X，，且该产品的次品率不超过0.4，则这10件产品中次品的件数是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设10件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值． 【详解】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为， 由得，， 化简得，解得或； 又该产品的次品率不超过，； 应取. 6. 甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）. 甲组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 乙组：76，90，84，82，81，87，86，82，80，83 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可得到 答案. 【详解】由题意知，， 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，， 根据条件概率的计算公式得. 7. 若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A、B同时发生的概率 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：阴影部分的面积为. 故选：A. 8. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析第二次命中的两种情况，利用全概率公式，结合已知条件求出；再利用全概率公式，结合已知条件求出． 【详解】由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ， 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ． 二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项：左边， 右边，左边右边，故错误. 选项：，故正确. 选项：左边， 右边， 左边右边，故正确. 选项：若,则或，解得或，故错误. 10. 已知三个密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质判断ABD，再根据已知求解概率即可判断C． 【详解】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A正确； 又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误； ， 则， 所以，故C正确； 因为，取，则，故D正确. 11. 已知a，b，c都为正整数，且，随机变量，则下列结论正确的有（ ） A. 符合条件的a，b，c的解共有组 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用隔板法，结合已知条件判断选项A，分析的可能取值，求出相应有序组和对应组数，求出相应概率，进而求出期望，判断选项B，C，利用方差公式结合期望及概率求出选项D． 【详解】已知a，b，c都为正整数，且，随机变量， 利用隔板法，把７个相同的球排成一排，中间６个空隙插入２个隔板， 符合条件的解个数为组，故A正确； 要使最大值为3，需满足，且，其中至少一个等于3， 满足条件的有序组为和，共6组， ，故B正确； 的可能值为3，4，5，对应的组数为： ，共6组， ，排列为，共6组， ，排列为，共3组， 期望为，故C正确； ， ， ， ，故D错误． 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令可得，故展开式中的系数为. 13. 现要安排小张在内的5位职员参与4天值班，每天一人值班，小张要么不值班，若值班则只值第一天，同时相邻两天不能安排同一人值班，则不同的值班种数是________. 【答案】144 【解析】 【分析】分小张不值班和小张值一天班两种情况讨论，确定每一天的值班情况种数，利用加法原理和乘法原理求解即可. 【详解】若小张不值班，则第一天有种可能，则第二天安排的值班人员与第一天的不同， 则第二天有种可能，同理可知第三天、第四天都有种可能， 所以这四天的值班情况有种； 若小张值班，则只值第一天，第二天有种可能，第三天有种可能，第四天有种可能， 则这四天的值班情况有种； 一共有种可能. 14. A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，则第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为________，重复n次这样的操作后，记A箱子中正品个数为，的数学期望________.（用n表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求出第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率；利用全概率公式，构造概率递推公式，再利用构造法求出数列通项. 【详解】第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的事件是A箱取次品、B箱取次品的事件， 所以第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为； A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为， 则；，， 由全概率公式得， ， 得， 当时，，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某电视台闯关答题栏目中，参加第一轮闯关的选手需依次回答A，B，C三道题，一旦答对，即可直接进入决赛，停止后续答题；若题目答错，则继续依次回答下一题，直至3道题目答完.已知该选手答对A，B，C题目的概率分别为0.5、0.6、0.7，且每次答题是否答对相互独立. （1）求该选手在第一轮答题的次数X的分布列及数学期望； （2）求该选手能够进入决赛的概率. 【答案】（1） 1 2 3 0.5 0.3 0.2 （2）0.94 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 依题意，答题的次数的所有可能值为， ， 所以的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 数学期望. 【小问2详解】 该选手不能进入决赛的事件是A，B，C三道题都答错的事件， 因此该选手不能进入决赛的概率， 所以该选手能够进入决赛的概率. 16. 已知的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义和等差数列的性质列方程求解； （2）利用赋值法求出各项系数和及常数项，进而相减求解． 【小问1详解】 已知展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列，则，即 ，化简得， 整理得， 解得或， ，故， ． 【小问2详解】 ， ， 当时，，解得； 当时，，故； ． 17. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有m件，乙工厂试生产的零件有n件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） 甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. （2）； （3） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 依题意，的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）因为， 所以， 所以， 令，则，代入上式得：， 因为，所以 ， 要证，只需证，即证， 令，则， 令，则， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以， 即成立，故得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）化简，求导，并令，分离参数得到，令，利用导数分析函数的取值，求出m的取值范围； （ⅱ）利用极值点性质得到，，令，将待证式转化为，构造函数，利用导数分析单调性，进而证明. 【小问1详解】 当时, ，, 所以，所以函数在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， ，令，则， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根， 所以，故m的取值范围为； （ⅱ）略 19. 某学校为研究校园信息传播规律，建立如下概率模型：选取n名学生，每人对信息的“易感系数”相同，记为，该值越大越容易被传播.传播按天进行，规则如下：第一天，随机选取其中名学生发布消息，每位被选中的学生真正接收到并相信该消息（称为“知情者”）的概率为p，且相互独立.从第二天起，每天每位“知情者”都会尝试影响每一位“非知情者”，一旦被影响即成为新的知情者，并参与后续传播. （1）若，时，求第一天结束时，至少有2人成为知情者的概率； （2）第一天结束时，知情者人数为奇数的概率； （3）对任意一位非知情者，若某天有k位知情者尝试影响他，则他当天被影响的概率为.当，，时，求两天后学生甲成为知情者的概率（用含a的式子表示）；并基于此模型，简要说明为什么现实中某些热点话题常会出现突然爆发式传播. 【答案】（1） （2） （3），说明： 由模型中可知，尝试影响同一名非知情者的知情者人数越多，该非知情者被影响的概率越大. 当知情者人数增加后，下一天会有更多人参与传播，进一步提高非知情者被影响的概率， 从而形成“人数增加—影响概率增大—人数继续增加”的正反馈， 因此现实中某些热点话题可能会出现突然爆发式传播. 【解析】 【分析】（1）把第一天成为知情者的人数看成服从二项分布的随机变量，利用对立事件求“至少人”的概率. （2）仍利用二项分布，把奇数项概率和与偶数项概率和相加、相减，借助二项式展开求出奇数概率. （3）按学生甲第一天是否被抽中分类讨论：若被抽中，需考虑其第一天直接成为知情者或第二天被另一名知情者影响；若未被抽中，则由第一天形成的知情者人数影响其第二天成为知情者的概率. 【小问1详解】 设第一天结束时成为知情者的人数为，则. 因此第一天结束时至少有人成为知情者的概率为： . 故所求概率为. 【小问2详解】 设第一天结束时成为知情者的人数为，则. 记为取偶数的概率，为取奇数的概率，则 . 又由二项式展开可知. 联立两式得. 故第一天结束时，知情者人数为奇数的概率为. 【小问3详解】 由题意，，，. 第一天随机选取名学生，所以学生甲被选中的概率为，未被选中的概率为. 若学生甲第一天被选中，则甲第一天直接成为知情者的概率为. 若甲第一天未真正接收到并相信该消息，则概率为，此时只有另一名被选中的学生可能在第一天成为知情者， 并在第二天尝试影响甲. 由于只有1个人影响甲，所以甲被影响的概率是. 因此在甲第一天被选中的条件下，甲两天后成为知情者的概率为. 若学生甲第一天未被选中，这时第一天被选中的2个人都不是甲. 这2个人中，每个人成为知情者的概率都是. 所以第一天结束后，可能有0人、1人或2人成为知情者. 分别算： 若有0人成为知情者，那么第二天没人影响甲，甲成为知情者的概率是. 若有1人成为知情者，那么这1个人第二天影响甲，甲被影响的概率是. 若有2人成为知情者，那么2个人都影响甲，甲没有被任何一个人影响的概率是. 所以甲至少被其中一个人影响的概率是. 接下来算这三种情况出现的概率. 第一天选中的2个人中，成为知情者的人数服从二项分布：， 也就是：；；. 所以在“甲第一天没被选中”的条件下，甲两天后成为知情者的概率为: . 化简得. 综上，两天后学生甲成为知情者的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $