精品解析：北京市育才学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

北京育才学校2025-2026学年度第二学期 高一数学期中试卷 (120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.) 1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果. 详解：由诱导公式可得，，，故选A. 点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题. 2. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得， 而，则. 3. 平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助三角函数定义及二倍角公式计算即可得. 【详解】由题意可得，， 则. 4. 中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数在上的单调性、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】因为是三角形的内角，所以， 函数在上单调递减， 所以， 所以“”是“”的充分必要条件. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标关系，求出，再由两角差的正切公式，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，， 所以. 故选：A. 【点睛】本题以共线向量为背景，考查应用同角间的三角函数关系、两角差的正切公式求值，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上投影数量为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，而， 则向量在向量上投影数量为. 7. 设，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，根据两角差余弦公式，得， 根据二倍角公式，得，又， 因为，所以，故正确答案为A. 8. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 9. 函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|)在[，]的图象如图所示,为了得到这个函数的图象,只要将f(x)＝sinωx的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，即可得到平移方式. 【详解】由函数图象可得:T)＝π，故， 由点(，0)在函数图象上，可得:0＝sin(φ)，解得:φ＝kπ，k∈Z， 又|φ|，φ， 为了得到f(x)＝sin（2x+），只需将f(x)＝sin2x，向左平移个单位. 故选：D． 【点睛】此题考查根据函数图象求解函数解析式，根据平移前后的解析式确定平移方式. 10. 函数在区间（，）内的图象是( 　 ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= 分段画出函数图象如D图示， 故选D． 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.) 11. 在中， ，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和大角对大边即可求解. 【详解】在中， ,，, 由正弦定理得：,即, 解得：. 因为,，所以A>B, 所以B=30° 故答案为：. 12. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米． 【答案】120 【解析】 【详解】扇形的半径为，故面积为（平方米），填． 13. 已知正方形的边长为1，点满足．当时，______；当______时，取得最大值． 【答案】 ①. ②. ##0.5 【解析】 【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出，，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可. 【详解】根据题意，建立以为原点的平面直角坐标系，如图 则 因为正方形的边长为1， 当时，，所以， 所以， 所以； 如图， 因为，所以， 所以，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：；. 14. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值． 【详解】依题意，当时，y有最小值，即， 则，所以. 因为在区间上有最小值，无最大值，所以， 即，令，得. 故答案为： 15. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值，记某人的血压满足函数式，其中为血压(单位:)， 为时间(单位:)，其函数图象如图所示，判断下列说法： ① ② 收缩压为 ③ 舒张压为 ④ 每分钟心跳次 以上说法中正确的是_____________________ 【答案】②③④ 【解析】 【详解】由图象可知，一个正周期， ，故①错误； 由题意知，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压， 收缩压为，舒张压，故②③正确； 心跳次数等于血压函数的频率，频率次， 故每分钟心跳次，④正确． 三、解答题(本大题共5小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 16. 已知向量，，． （1） 若，求的值； （2）当时，与共线，求的值； （3）若，且与的夹角为，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出； （2）利用向量共线的充要条件即可得出； （3）利用数量积、向量模的计算公式即可． 【详解】解：（1），，，解得； （2），，又，． 与共线，，解得； （3），． 又与的夹角为，． ， ． 17. 已知角的终边与单位圆交点的横坐标为且 （1）求； （2）求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单位圆定义与同角三角函数关系求正弦值； （2）利用两角和的正弦公式展开计算； （3）通过角的拆分，结合两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得， ， ， 又，故. 18. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且． （1）求ω和φ的值； （2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象， ①求函数g（x）的单调增区间； ②求函数g（x）在的最大值． 【答案】(1) ； （2）① 增区间为;②最大值为3. 【解析】 【分析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式． （2）利用函数的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间． （3）利用函数的定义域求出函数的值域． 【详解】（1）的最小正周期为，所以 ，即=2， 又因为，则，所以. （2）由（1）可知，则， ① 由得， 函数增区间为． ② 因为，所以. 当，即时，函数取得最大值，最大值为. 【点睛】本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．属中档题. 19. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接. （1）若的面积为，求的长； （2）若，求角的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由的面积可得的值，然后在中由余弦定理得；（2）由条件得，CD＝AD＝；在中，由正弦定理，得，利用二倍角公式即可得出结果. 【详解】解：（1）由已知得＝BC·BD·sin B＝， 又BC＝2，sin B＝， ∴BD＝，cos B＝． 在中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋－2×2××＝． ∴CD＝． （2）∵CD＝AD＝， 在中，由正弦定理，得， 又∠BDC＝2A，得， ， 解得cos A＝， 所以A＝． 【点睛】思路点睛：利用正余弦定理解决平面几何问题. 先引入变量，如边长，角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正，余弦定理列出方程，解即可得出结果. 20. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定. 条件①：； 条件②：图像的一条对称轴是轴； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为 （1）求的解析式； （2）设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）选择条件①④或③④， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，排除矛盾条件，再分析可行条件组合，确定函数解析式； （2）先化简，求出零点，结合区间限制确定的取值范围. 【小问1详解】 ， 该函数为奇函数，图像关于原点对称，故条件②不成立，舍去. 若选①③：由③得，即；代入①得， 解得，不唯一，不符合题意. 若选①④：由④得，得；代入①得，得， 函数唯一确定，且. 若选③④：由③得，由④得，函数唯一确定，且. 综上所述，. 【小问2详解】 . 令，得，即. 在上，零点依次为. 要使在上恰有两个零点，需. 所以的取值范围是. 21. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证: ； （2）将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，且点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助两角差的正弦公式化简后，利用定义即可得； （2）设出点，表示出、后，借助数量积为计算即可得解； （3）利用辅助角公式结合二倍角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 故是向量的“相伴函数”，故； 【小问2详解】 ， 设，则，， 则 ， 即 ， 由，则，故， 又，故当且仅当 且时，原式成立， 即有，解得，故， 即存在点，使得； 【小问3详解】 由题意可得，其中， 由在处取得最大值，则， 即，则， 由，则， 则， 由函数在上单调递减，故， 由，即， 则， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京育才学校2025-2026学年度第二学期 高一数学期中试卷 (120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.) 1. A. B. C. D. 2. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 中，“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上投影数量为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设，则 A. B. C. D. 8. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 9. 函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|)在[，]的图象如图所示,为了得到这个函数的图象,只要将f(x)＝sinωx的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 10. 函数在区间（，）内的图象是( 　 ) A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.) 11. 在中， ，，，则________． 12. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米． 13. 已知正方形的边长为1，点满足．当时，______；当______时，取得最大值． 14. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______. 15. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值，记某人的血压满足函数式 ，其中为血压(单位: )， 为时间(单位:)，其函数图象如图所示，判断下列说法： ① ② 收缩压为 ③ 舒张压为 ④ 每分钟心跳次 以上说法中正确的是_____________________ 三、解答题(本大题共5小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 16. 已知向量，，． （1） 若，求的值； （2）当时，与共线，求的值； （3）若，且与的夹角为，求. 17. 已知角的终边与单位圆交点的横坐标为且 （1）求； （2）求的值； （3）若，求的值. 18. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且． （1）求ω和φ的值； （2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象， ①求函数g（x）的单调增区间； ②求函数g（x）在的最大值． 19. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接. （1）若的面积为，求的长； （2）若，求角的大小. 20. 已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定. 条件①：； 条件②：图像的一条对称轴是轴； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为 （1）求的解析式； （2）设 ，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 21. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证: ； （2）将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到的图象.已知，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $