精品解析：北京市第十五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

北京十五中高一数学期中考试试卷 2026.04 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知，且，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的范围即可求解. 【详解】解：且， 故. 故选：C. 2. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，的最小正周期为：，故A不正确； 对于B，的最小正周期为：， 的定义域为，关于原点对称，令， 则，所以为奇函数，故B不正确； 对于C，的最小正周期为：， 令的定义域为关于原点对称， 则，所以为偶函数，故C正确； 对于D，的最小正周期为：， 的定义域为，关于原点对称，令， 则，所以为奇函数，故D不正确. 故选：C. 3. 设向量，，则（ ） A. -11 B. -9 C. -7 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求坐标，再由数量积的坐标运算求. 【详解】由题设，， 所以. 故选：A 4. 某城市一年中12个月的月平均气温（单位）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28，最低值为18，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的最值列式可得结果. 【详解】依题意可得，解得. 故选：A 5. 已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 写出的解析式，再由正弦函数性质求出对称中心，然后判断． 【详解】由题意， 由，得， 对照各选项，只有C符合． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的对称中心，掌握正弦函数的性质是解题关键． 6. 在中，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围. 【详解】由，故. 故选：A 7. 已知函数,下列结论中错误的是 A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】 由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解． 【详解】解：由，故正确； 由定义可知为偶函数，故正确； 由周期公式可得的最小正周期为：，故正确； 由余弦函数的性质可得的值域为，，故错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题． 8. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值. 【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则. 又，则， 则，，则，， ，则，，则， . 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 9. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体结合正弦函数的性质可得，进而根据充分、必要条件分析判断. 【详解】因为且，则， 若在上既不是增函数也不是减函数， 则，解得， 又因为， 所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 在中，，是边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 设，则，，且， 则， 因为，所以，所以，即. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列示可得结果. 【详解】因为，，且， 所以，得. 故答案为：. 12. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知 ，解得， 又点在第三象限，所以，所以. 13. 已知非零向量夹角为，且.则等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积以及向量模的运算方法即可求解. 【详解】解：， 又， 即， 由题意知， 解得：. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数在上具有单调性，且，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件探求出函数图象对称中心，确定出值，再由单调性验证即得. 【详解】因函数的周期，又，，则有图象对称中心为， 于是得，而，则有， 当，且时，，又函数在上单调递减，于是得在上具有单调性， 所以. 故答案为： 15. 已知为常数，，关于的方程有以下四个结论： ①当时，方程有且只有1个实数根； ②存在实数，使得方程有4个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】可得，令，所以方程变为：，所以关于的方程有根问题就转化为与交点个数的问题，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】由可得，令，所以方程变为， 所以关于的方程有根问题就转化为与交点个数的问题， 对于①，当时，方程变为，则，则设方程的两根为， 则， 则如图所示，与的图象有个交点，故①错误； 对于②，因为方程的对称轴为，所以当， 即时，方程有两个不相等的实根， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 所以方程有个实数根，故②正确； 对于③，当时，方程为，则， 则如图所示，与的图象有个交点，故③不正确； 对于④，当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 故关于的方程有个实根， 当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象没有交点， 故关于的方程有个实根，综上，方程的根可以有1个，也可以有3个，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，且 （1）求的值: （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知求出，利用可得答案； （2）利用二倍角公式化简，然后代入、可得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 所以. （2）因为，，. 17. 已知函数，， ． （1）求的解析式和最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值2，最小值 【解析】 【分析】 （1）先将代入,结合求出函数解析式,再用公式求出最小正周期. （2）根据,求出的范围,再求出的范围,即可得出在区间上的最大值和最小值. 【详解】解：（1）因为, , 所以,所以, 又因为,所以, 故的解析式为, 所以的最小正周期为. （2）因为,所以, 所以,则, 故在区间上的最大值2,最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查. 18. 在中，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和和差公式直接计算可得； （2）利用正弦定理求出，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 由题可知，又，所以 因为， 所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得 ． 所以． 19. 在中．． （1）求； （2）若，为边的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边化角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果； （2）由（1）结合余弦定理可得，结合已知可求得，进而结合余弦定理可求得，在中，利用余弦定理可求得. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得． 因为，所以．所以．所以． 因为，所以，即． 【小问2详解】 由余弦定理得． 因为，所以． 因为，所以． 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 所以． 20. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，若不等式在区间有解，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先化简，将代入即可求出，令 即可求出的单调递增区间； （2）由题意先求出，选①，由求出，不等式在区间内有解，可得，解不等式即可得出实数的取值范围；选②，由可知求出，以下同选条件①；选③求出或， 函数不唯一确定，故③不符合条件. 【小问1详解】 若，则，所以，． 因为的单调增区间为 ， 所以 ，所以 ． 所以的单调递增区间为 ． 【小问2详解】 选条件①． 因为，在区间上单调递增，,则，所以 解得． 因为 ， 所以 ，即， 所以，或 即，或 又，所以， 因为，所以． 因为不等式在区间内有解，即在区间内有解， 因为 ，，所以，即． 所以的取值范围是． 选条件②． 因为，,则，由于在区间上单调递增，所以 解得． 因为，所以， 所以 ，即 ， 又，所以，以下同选条件①． 选条件③． 因为，,则，由于在区间上单调递增，所以 解得． 是的一个零点，所以， 解得： ，因为又，所以或， 函数不唯一确定，故③不符合条件. 21. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数. 【答案】（1）函数不具有性质，具有性质，（2）在上有最大值，（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用性质判断； （2）由性质，可求出的函数解析式，利用三角函数的性质可求出其最大值； （3）由直线为图像的一条对称轴，可得，由性质可求得，再由直线为图像的一条对称轴，得，从而可得结论 【详解】解：（1）因为函数是单调递增函数，若恒成立，则且， 与矛盾，所以函数不具有性质， 当时，函数对于任意，成立，所以具有性质， （2）设，则，则题意得， 所以，， 由，，得， 所以当时，， 所以当，在上有最大值， （3）当，时，结论显然成立， 以下考虑不恒为零的情况，即，使得， 由直线为图像的一条对称轴，得， 由题意可得，，，使得成立， 所以，即， 由直线为图像的一条对称轴，得， 因为，， 所以，所以， 所以对于任意，成立，其中， 综上，为周期函数. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查三角函数的性质，考查函数对称性的应用，解题的关键是正确理解性质，利用性质代换化简，考查理解能力和计算能力，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中高一数学期中考试试卷 2026.04 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知，且，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则（ ） A. -11 B. -9 C. -7 D. -5 4. 某城市一年中12个月的月平均气温（单位）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28，最低值为18，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数,下列结论中错误的是 A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 的值域为 8. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在中，，是边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设向量，，若，则______． 12. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则___________． 13. 已知非零向量夹角为，且.则等于_________. 14. 已知函数，若函数在上具有单调性，且，则=______. 15. 已知为常数，，关于的方程 有以下四个结论： ①当时，方程有且只有1个实数根； ②存在实数，使得方程有4个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么． 其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，且 （1）求的值: （2）求的值. 17. 已知函数，， ． （1）求的解析式和最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 在中，． （1）求的值； （2）求的面积． 19. 在中．． （1）求； （2）若，为边的中点，求的长． 20. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，若不等式在区间有解，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $