北京市育才学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 北京育才学校高一数学期中试卷聚焦三角函数、向量与解三角形，融入《九章算术》文化素材及血压监测现实情境，通过基础运算与创新探究题（如“相伴函数”定义）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数诱导公式、向量夹角|第9题结合图像考查平移变换，体现几何直观| |填空题|5/25|解三角形、数学文化|第12题以《九章算术》扇形田面积为情境，渗透文化传承| |解答题|5/70|向量运算、三角函数性质、新定义|第20题条件开放选择确定函数解析式，第21题“相伴函数”定义考查创新意识|

北京育才学校2025-2026学年度第二学期 高一数学期中试卷 (120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.) 1. sin390°= （ ） A. B. C. D. 2.已知平面向量满足 且 则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 3.平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点(-3, 4) ,则 sin2=( ) A. B. C. D. 4. △ABC中, “A<B”是“cosA>cosB”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 B. 充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 5.已知向量 且 则 等于( ) A.3 B. C.-3 D. 6.已知平面向量, 满足 则向量在向量上投影的数量为( ) A.-1 B.1 C. D. 7. 设 则( ) A. c<<b B. b<c< C. <b<c D. b<<c 8.在△ABC中,若cosA-cosB=0,那么△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 9.函数()= sin(ω+φ) (ω>0, |φ|<)在 的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将f(x)=sinω的图象( ) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 向右平移 个甲位长度 .向右平移个单位长度 高一数学期中考试 第 1 页共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 10.函数y= tanx+ sinx-| tanx-sinx|在区间 内的图象是( ) 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.) 11.已知在△ABC中, ∠A=45°, =6, b=3 则 ∠B的大小为 12.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为 平方米. 13.已知正方形ABCD的边长为1，点 满足 当 时， 当λ= 时, 取得最大值 14.已知 且()在区间 上有最小值，无最大值，则 ω= 15.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg和6090mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值，记某人的血压满足函数式 P(t)=+sinω,其中P()为血压(单位: mmHg), 为时间(单位: min),其函数图象如图所示，判断下列说法： ①ω=80π ② 收缩压为120mmHg ③ 舒张压为70mmH ④ 每分钟心跳80次 以上说法中正确的是 高一数学期中考试 第 2 页共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(本大题共5小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 16. (本小题14分) 已知向量 (I)若求的值； (Ⅱ)当=1时,与共线，求λ的值； (Ⅲ)若| 且 与 的夹角为150°, 求| 17. (本小题 14分) 已知角的终边与单位圆交点的横坐标为 且 (I) 求 sinα (Ⅱ)求 的值； (Ⅲ)若 求的值. 18. (本小题14分) 已知函数()=2sin(ωx+)+1(ω>0, ||<)的最小正周期为，且 (I)求ω和的值; (Ⅱ)函数(x)的图象向右平移个单位，得到函数(x)的图象， ① 求函数(x)的单调增区间； ② 求函数(x)在[ ]的最大值. 19. (本小题14分) 如图,在△ABC中, 点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC, E为垂足， (I)若△BCD的面积为 求CD的长； (Ⅱ)若 求角A 的大小. 高一数学期中考试 第 3 页共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 20. (本小题14分) 已知函数=sinωxcosωx(>0, ω>0).从下列四个条件中选择两个作为已知,使函数 存在且唯一确定. (I)求的解析式; (Ⅱ)设 若函数g(x)在区间(0，)上恰有两个零点，求m的取值范围， 条件·①: 条件 ② ：图像的一条对称轴是y轴； 条件 ③ :的最大值为1; 条件 ④ ：图象的相邻两条对称轴之间的距离为 注：如果选择的一组条件不符合要求，第(Ⅱ)得0分，如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 21. (本小题15分) 定义向量 的“相伴函数”为= sinx+ cosx, 函数= sinx+ cosx的“相伴向量”为 其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (I)设函数 求证: ∈S; (Ⅱ)将(I)中函数的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象.已知A(-3,3), B(3, 11) ,问在=(x)的图象上是否存在一点 ，使得 若存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由. (Ⅲ)已知点(,b)满足 向量 的“相伴函数”在 =处取得最大值.当 运动时，求tan2的取值范围. 高一数学期中考试 第 4 页共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $