精品解析：河北省保定市第十三中学分校2025-2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷.

2026年八年级数学教学评价 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 5. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，，．将等腰三角形ABC向上平移2个单位长度后，点B的对应点的坐标是（） A. B. C. D. 10. 按照如图程序，输入的值并计算．规定从输入一个数到判断结果是否大于为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 11. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是的外角，求证：． 证法1：如图． ∵（三角形内角和定理） 又∵（平角定义） ∴（等量代换） ∴（等式性质） 证法2：如图， ∵，， 且（量角器测量所得） 又∵（计算所得） ∴（等量代换） 下列说法正确的是（ ） A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B. 证法1用严谨的推理证明了该定理 C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理 D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 12. 如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为______． 14. 如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 15. 如图，在中，，，于点，，交于，交于，四边形的面积是，则的面积为______． 16. 若不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分）． 17. 解不等式（组） （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 18. 按要求完成作答 （1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）已知，，求多项式的值． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． （1）画出正方形，并写出平移方向和平移距离； （2）求出平移过程中正方形扫过的面积； （3）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 20. 如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． （1）发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； （2）探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 21. 在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： （1）解不等式：； （2）解不等式：． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． （1）填空：______，点的坐标为______； （2）根据图象写出的解集； （3）求的面积； （4）已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵10万元，若同时购买6台A型号智能机器人和6台B型号智能机器人，所需费用为660万元． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递21万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递16万件，现该企业准备用不超过560万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 24. 【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明； 【探究应用】 （2）如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图3，若是边长为8的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D 运动过程中，直接写出 周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级数学教学评价 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 注意事项： 1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故选：B． 2. 如果，下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴两边同时减2得，故A正确，不符合要求； ∵， ∴两边同时除以2得，故B正确，不符合要求； ∵， ∴两边同时乘以得，故C正确，不符合要求； ∵， ∴两边同乘得， 两边同时加1得， ∴不成立，故D错误，符合要求． 3. 如图，在中，下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，进行判断即可． 【详解】解： 是的外角， ，，故选项B错误，选项C一定正确， ∵与是的两个内角，与是的两个内角， 无法确定大小关系，故选项A、D不一定正确． 4. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 5. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：，左边是多项式，右边是几个整式的积，符合因式分解的定义； 对于选项B：，是整式的乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，结果是和的形式，不是整式的积，不属于因式分解； 对于选项D：，是整式的乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解． 6. 如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证明，则，因此． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，，．将等腰三角形ABC向上平移2个单位长度后，点B的对应点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及点在坐标平面中的平移规律．解题关键是利用等腰三角形三线合一求出点B坐标，再依据平移规律得出平移后对应点坐标． 用等腰三角形三线合一性质，根据、坐标求出点坐标：因为在垂直平分线上，设，由解得，即．2．根据点向上平移纵坐标加、横坐标不变的规律，将向上平移个单位，得到对应点坐标为． 【详解】解：∵为是等腰三角形，，， ∴点到轴的距离就是点纵坐标的绝对值，在的垂直平分线上． ∵点坐标为，点横坐标为， 设点坐标为， ∴， 解得，， ∴点坐标为． ∵将向上平移个单位长度，， ∴平移后点对应点的横坐标还是，纵坐标为， ∴B的对应点的坐标是． 故选∶C． 10. 按照如图程序，输入的值并计算．规定从输入一个数到判断结果是否大于为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据程序流程图和操作两次后停止的条件，列出第一次结果不大于70、第二次结果大于70的不等式组，求解得到的取值范围，再确定的最大值和最小值，最后计算的值． 【详解】解：由题意可得 解不等式①得， 解不等式②得， ， ∵为正整数， ∴的最大值，最小值， ． 11. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是的外角，求证：． 证法1：如图． ∵（三角形内角和定理） 又∵（平角定义） ∴（等量代换） ∴（等式性质） 证法2：如图， ∵，， 且（量角器测量所得） 又∵（计算所得） ∴（等量代换） 下列说法正确的是（ ） A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B. 证法1用严谨的推理证明了该定理 C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理 D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【解析】 【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答． 【详解】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； B的说法正确，符合题意； C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意， 综上，B的说法正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键． 12. 如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】过A作于H，由等腰三角形的性质推出，由勾股定理得到，由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图：， 过A作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 14. 如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 15. 如图，在中，，，于点，，交于，交于，四边形的面积是，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】容易判断、、都是等腰直角三角形，则，，根据同角的余角相等可得，从而证明，则，进而得到，因此． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 若不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】2≤a＜3 【解析】 【分析】此题需要首先解不等式，根据解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式x+a≥0得：x≥-a， 解不等式1-2x＞x-2得：x＜1， ∵此不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为-2，-1，0， ∴a的取值范围是-3＜a≤-2． 故答案为：2≤a＜3． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于要注意分析不等式组的解集的确定． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分）． 17. 解不等式（组） （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）；见解析 （2）；见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可； （3）先求出不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【小问2详解】 解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【小问3详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 按要求完成作答 （1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）已知，，求多项式的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①提取公因式即可； ②先变形为，再提取公因式即可； （2）将因式分解为，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴原式． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度．正方形和长方形的顶点均在格点上．正方形经过一次平移得到正方形，且的坐标是． （1）画出正方形，并写出平移方向和平移距离； （2）求出平移过程中正方形扫过的面积； （3）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分．正方形和长方形组成一个L形图，请你在图中画一条直线将L形图分为面积相等的两部分． 【答案】（1）图见解析，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先由图得出正方形各顶点坐标，再根据的对应点的坐标是，确定平移方向和平移距离，再得出其他对应点的坐标即可； （2）先得出平移过程中正方形扫过的区域为长方形，再利用两点间的距离公式得出，，即可解答； （3）通过连接对角线，得出长方形的对称中心和正方形的对称中心，再过两对称中心作直线即可． 【小问1详解】 解：由图可知，，，，， 经过平移，的对应点的坐标是， 平移方向和平移距离为：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ，，， 如图所示， 正方形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接， 则平移过程中正方形扫过的区域为长方形， ，，， ，， 长方形的面积为． 答：平移过程中正方形扫过的面积为． 【小问3详解】 解：如图， 连接，，交点即为长方形的对称中心；连接，，交点即为正方形的对称中心；过长方形的对称中心和正方形的对称中心的直线，即可将L形图分为面积相等的两部分． 20. 如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． （1）发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； （2）探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据周角为进行解答即可； （2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【小问1详解】 解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于； 【小问2详解】 解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为， 如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形， ∴中间正多边形的每个外角为：， ∴． 21. 在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： （1）解不等式：； （2）解不等式：． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将原不等式因式分解为，结果为正，则两个因式同号，分为和两类讨论，分别求出结果即可； （2）不等式两边同乘以，得，且，结果为非正，则两个因式异号或，分为和两类讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ①当时，解得； ②当时，解得； 综上所述，不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得，且， ①当时，解得； ②当时，该不等式组无解； 综上所述，不等式的解集为． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． （1）填空：______，点的坐标为______； （2）根据图象写出的解集； （3）求的面积； （4）已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线的表达式求出的值，再联立直线与直线求出点的坐标； （2）结合图象判断解集即可； （3）先求出点和点的坐标，利用割补法求出的面积； （4）分两类讨论，当点在的左侧时，由，可得，则，求出直线的表达式，再求出点的坐标；当点在的右侧时，由勾股定理可计算出，，则，进而可得，容易证明，则，最后求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可知，在点以及点的右侧部分，直线不高于直线， ∴的解集为； 【小问3详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：①当点在的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 将点代入，得， ∴点的坐标为； ②当点在的右侧时，如图， 由勾股定理可得，，， 由（3）可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号的智能机器人进行快递分拣．已知A型号智能机器人每台比B型号智能机器人贵10万元，若同时购买6台A型号智能机器人和6台B型号智能机器人，所需费用为660万元． （1）求A，B两种型号智能机器人的单价； （2）通过测试发现A型号智能机器人每台每周可分拣快递21万件，B型号智能机器人每台每周可分拣快递16万件，现该企业准备用不超过560万元购买A，B两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）A型号智能机器人的单价为万元，B型号智能机器人的单价为万元. （2）购进台A型号智能机器人，台B型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多. 【解析】 【分析】（1）根据A、B型号机器人的价格差和购买总费用的条件列方程，求解得到两种型号机器人的单价； （2）设A型号机器人的购买数量，根据总费用不超过预算列出不等式，得到购买数量的取值范围，再建立总分拣件数关于购买数量的一次函数，利用一次函数的单调性求解得到分拣件数最多的方案． 【小问1详解】 解：设型号智能机器人的单价为万元，则型号智能机器人的单价为万元. 根据题意得： ， 解得， ∴， 答: 型号智能机器人的单价为万元，型号智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购进台型号智能机器人，则购进台型号智能机器人. 根据总费用不超过万元得：  ， 整理得， 解得； 设每周分拣快递总件数为万件，则：， 化简得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值6时，取得最大值，此时． 答：购进6台型号智能机器人，4台型号智能机器人时，每周分拣快递的件数最多 24. 【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明； 【探究应用】 （2）如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图3，若是边长为8的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D 运动过程中，直接写出 周长的最小值． 【答案】（1）；见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得， ∴的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $