精品解析：河北省保定市安国市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先求出不等式的解集，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由可得， ∴选项中，能使不等式成立的x的值为1， 故选：A． 2. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练应用平方差公式分解因式． 先根据平方差公式分解因式，再判断出的值总能被哪个数整除即可． 【详解】解：∵ ， ∴k为任意整数，的值总能被3整除． 故选：B． 3. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的假设；根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：B． 4. 如图，在中，，是的平分线，，则点到的距离为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交于点E，证明即可． 本题考查了角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】过点D作交于点E ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （14-3）×6 =11×6 =66（m2）， ∴绿化区的面积是66 m2， 故选：B． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，即等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积，据此判断即可． 【详解】A、等式的右边不是整式的积的形式，故选项错误； B、=，符合因式分解定义，故本选项正确； C、等式的右边不是整式的积的形式，故选项错误； D、等式的右边不是整式的积的形式，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键，注意因式分解是与整式乘法相反的变形． 7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握利用旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，，， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 8. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有3个， 整数解为2，3，4， 则的范围是． 故选：C． 9. 如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握角平分线定义和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作图得垂直平分，平分，根据角平分线定义和线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线． ， 为线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A. （5，2） B. （5，1） C. （4，1） D. （4，2） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减. 根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案. 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故选：B. 11. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集等知识点，灵活利用数形结合的方法解题是关键．根据一次函数过一、二、四象限，可得、，则，故①符合题意；由，可得y随x增大而减小，故②不符合题意；当、、；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；再结合得，则，即，故，由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵一次函数过一，二，四象限， ∴、， ∴，故①符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是直线上不重合的两点， 当，则，则；当，则，则，故②不符合题意； 当、、， 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 则， 即， ∵， ∴， 则 ∴ 即，故③符合题意； 由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意； 综上，①③④符合题意． 故选：B． 12. 某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法． 根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角； 图2对应的是③已知底边长和底边上的高； 图3对应的是①已知底边长和腰长， 其对应顺序正确的是②③①， 故选：C． 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分．第16题含两个空，第一空1分，第二空2分．） 13. 如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案：． 14. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价___________元． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设该早餐机每台降价元，根据计划以利润率不低于的价格降价出售，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设该早餐机每台降价元，由题意，得： ， 解得：； ∴该早餐机每台最多可降价32元． 故答案：32． 15. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．则的大小为___________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．由题意可得：，在中根据勾股定理可求出，再根据勾股定理的逆定理可得：是直角三角形，且，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，． 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， 即的大小为， 故答案为：． 16. 已知， （1）把M分解因式，结果是______． （2）若，则M的值为______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值和二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用提公因式法求解即可； （2）将代入（1）中的结果即可得解． 【详解】（1）． （2）将代入得： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法） 如图，Rt的斜边在直线上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上，请用尺规作图法，作出点的对应点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握尺规作角的方法是解题的关键． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点；连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点；连接并延长；以点为圆心，以为半径画弧，交直线于点；以点为圆心，以为半径画弧，交延长线于点，连接即可． 【详解】解：如图， 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点； 连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点； 连接并延长； 以点为圆心，以为半径画弧，交直线于点； 以点为圆心，以为半径画弧，交延长线于点，连接； ∴点即为所求． 18. 解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1），数轴见解答 （2），数轴见解答 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式或不等式组的解集，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得， 在数轴上的表示如图所示： 【小问2详解】 解： ， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： ∴原不等式组的解集为：． 19. 如图是由边长为的小正方形拼成的网格． ______． ______． ______． 在图、图、图网格中找格点，使得是直角三角形，且为斜边，并直接写出该三角形的面积，要求三个直角三角形都不全等． 【答案】作图见解析，面积分别为，，． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理及其逆定理的应用，割补法，利用勾股勾股定理及其逆定理即可解答，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，点即为所求， 理由：由网格易知，，此时，； 如图，点即为所求， 理由：由勾股定理可得，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴； 如图，点即为所求， 理由：由勾股定理可得，，，， ∴， ∴． 20. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：_______． （2）因式分解：_______． （3）若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）原式变形为，再用平方差公式因式分解即可； （3）将原式转化为，令，则原式，，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）求的值； （2）当为直角三角形时，求直线的表达式． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，点的坐标，熟练掌握角三角形的性质，点的坐标，以及待定系数法求出一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）依题意得点在轴的正半轴上，，再由勾股定理得，由此可得出的值； （2）根据点在轴的正半轴上得，因此当为直角三角形时，只有，由勾股定理得，则，由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式即可． 【小问1详解】 解：∵点，点，点， ∴点在轴的正半轴上，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：∵点在轴正半轴上， ， ∴当为直角三角形时，只有， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， 解得：（不合题意，舍去）， ， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：． 22. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）已知，，．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再得出，根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. （1）操作发现 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上.现将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则_______． （2）解决问题 如图2，在等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论． 【详解】（1）将绕点A按顺时针方向旋转， ∴， ∴； 故答案为：；. （2）是等边三角形， ， 将绕点B顺时针旋转得出，如图2， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，则是直角三角形； ； 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理逆定理，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线． 24. 2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价20元，数独棋每个标价50元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于50个），单独在甲商店或者乙商店购买． （1）若订购魔方的数量是60个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ （2）当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ （3）根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【答案】（1）元 （2）当订购魔方的数量是100个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同 （3）当时，选择乙商店购买；当时，选择甲商店购买；当时，选择甲或乙商店购买都可以． 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据（2）中代数式列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，（元）， ∴购买魔方和数独棋的总费用是2800元； 【小问2详解】 解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得，， 解得； ∴当订购魔方的数量是100个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； 【小问3详解】 由（2）得时， 解得：， ∴当时，选择乙商店购买； 当时，选择甲商店购买； 当时，选择甲或乙商店购买都可以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列数中，能使不等式成立x的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 3. 用反证法证明命题“中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在中，，是的平分线，，则点到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A. （5，2） B. （5，1） C. （4，1） D. （4，2） 11. 一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 12. 某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 二、填空题（本大题4个小题，每小题3分，共12分．第16题含两个空，第一空1分，第二空2分．） 13. 如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是___________． 14. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价___________元． 15. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．则的大小为___________． 16 已知， （1）把M分解因式，结果是______． （2）若，则M的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法） 如图，Rt的斜边在直线上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上，请用尺规作图法，作出点的对应点． 18. 解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 19. 如图是由边长为的小正方形拼成的网格． ______． ______． ______． 在图、图、图网格中找格点，使得是直角三角形，且为斜边，并直接写出该三角形的面积，要求三个直角三角形都不全等． 20. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：_______． （2）因式分解：_______． （3）若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）求的值； （2）当为直角三角形时，求直线的表达式． 22. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）已知，，．求面积． 23. （1）操作发现 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上.现将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则_______． （2）解决问题 如图2，在等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长． 24. 2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价20元，数独棋每个标价50元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于50个），单独在甲商店或者乙商店购买． （1）若订购魔方的数量是60个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ （2）当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ （3）根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$