精品解析：云南开远市第一中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

开远一中2025～2026学年高二下学期期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由推不出，反之，由可以推出，即可得答案. 【详解】由推不出，反之，由可以推出 所以“”是“”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单. 2. 样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】样本数据从小到大排列为，计算位置：， 因为为整数，所以第百分位数为， 故选：C． 3. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 所以，， 所以. 故的子集的个数为. 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合数列的前项的定义即可直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 故． 故选：B． 5. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先妙用“1”拼凑基本不等式，计算的最小值，再得到的最小值即可. 【详解】因为，所以 ，当且仅当时，即，时取等号. 所以（当且仅当，时取等号），即的最小值为6. 故选：C. 【点睛】思路点睛： 利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 6. 鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（ ） A. 4小时 B. 小时 C. 小时 D. 5小时 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况令，解不等式得到的范围即可得到杀虫剂的有效时间. 【详解】由题图可知， 当时，令，即，解得； 当时，令，即，解得， 所以投放该杀虫剂的有效时间为小时. 故选：C. 7. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 8. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知有或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且， 则在区间上单调递减，且， 由，得或， 即或，解得或， 综上所述，满足原不等式的的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确： ，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确： 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ACD． 10. 不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取两次，每次取一球．表示事件“第二次取出球的数字小于等于3”表示事件“两次取出球的数字差的绝对值小于等于2”，则（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解. 【详解】第二次取出一个球有6种取法，取出球小于等于3有1，2，3共3种取法， 所以，故A正确； 第一次取出数字为1，第二次取1，2，3， 第一次取出数字为2，第二次取1，2，3，4， 第一次取出数字为3，第二次取1，2，3，4，5， 第一次取出数字为4，第二次取2，3，4，5，6， 第一次取出数字为5，第二次取3，4，5，6， 第一次取出数字为6，第二次取4，5，6， 所以，， 所以，故B错误； ，故事件与不互斥，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递减 D. 若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， 又因为 ，所以，故A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式函数和根式函数，由求解. 【详解】解：由， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 14. 已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质得到A点坐标，写出直线的方程，得出点坐标，同理求出点坐标，由此得出，根据重要不等式求出的最小值即可. 【详解】易得，设，则，. 所以直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，令得，即. 所以， 所以，当且仅当， 即，时等号成立，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由面积为，可得，由余弦定理可得，再结合面积为可得答案. 【小问1详解】 根据，可知，， 因为，即， 所以，即； 【小问2详解】 ，解得， 则，解得， ， ． 16. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 （1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关； （2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）表格见解析，无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）首先补充列联表，再计算，根据临界值参考数据，即可判断；（2）根据超几何概率公式求解概率，再写出分布列，并求解期望. 【小问1详解】 根据男，女员工各50人，可以补充列联表， 男性 女性 总计 爱好 30 40 70 不爱好 20 10 30 总计 50 50 100 零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关， 由已知数据可求得 ，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 的取值可能为. ，所以的分布列为 0 1 2 的数学期望为 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以，是直角三角形， 因为是的中点，所以，因为，所以，可得， 因为平面，，所以， 因为，，，平面，，所以平面； 【小问2详解】 设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由， 有， 取，可得平面PCD的一个法向量为， 又由，， 有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有， 解得， 故，所以． 18. 已知抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，求直线的斜率； （3）过点作圆的两条切线，，切线与抛物线的另外一个交点分别为，.且直线与圆也相切，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线的方程中求出的值，从而得到抛物线的标准方程； （2）由过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，得到直线，都存在斜率，且，斜率存在且，利用斜率公式求出，同理得到，，由，得到，从而得到； （3）由过点作圆的两条切线，，则直线和的倾斜角互补，则，则由（2）可知，设，，.通过联立抛物线和直线，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到.由和在抛物线上得到和.利用点斜式求出直线的方程，通过计算得到直线的方程，同理得到直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到的距离，利用直线和圆相切得到，通过计算得到，从而得到圆的方程. 【小问1详解】 抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上， 则，所以，所以抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 因为过点作两条倾斜角互补的直线，， 两直线与抛物线的另外一个交点分别为，， 则直线，都存在斜率，且，斜率存在且， ，同理，， 所以， 得到， 所以； 【小问3详解】 因为过点作圆的两条切线，， 所以直线和的倾斜角互补，则，则由（2）可知， 设，，. 联立，得，所以. 因为，在抛物线上，所以，. 直线的方程为：， 两边去分母得：， 即.所以， 同理可得， 圆心到的距离， 化简得①， 同理得②； 由①②发现，为方程的两根， 所以，又因为， 所以③， 圆与直线相切，所以得到， 将③代入上式得到：， 等式两边平方，并令，化简得，又因为， 所以，所以圆的方程为：. 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，，利用求导判断单调性； （2）利用求导，分类讨论求解的范围； （3）根据（2），进行放缩，令代入整理，累加可得. 【小问1详解】 证明：由，则， 故，令， 则，令，则， 故，，在单调递增， ，，在单调递减， 故， 则在单调递减； 【小问2详解】 由在恒成立， 则在恒成立， 令在恒成立， ，令， 当时，，，，所以 所以，则在单调递减， 所以这与在恒成立矛盾，所以不满足条件， 当时，，对称轴， 若 即, 当时，，， 故，则在单调递增， 所以，故 . 若 即 当时，,则 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以与在恒成立矛盾， 故. 【小问3详解】 由（2）时， 故时，， 令，则，， 则个不等式相加 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远一中2025～2026学年高二下学期期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（ ） A. 4小时 B. 小时 C. 小时 D. 5小时 7. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 10. 不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取两次，每次取一球．表示事件“第二次取出球的数字小于等于3”表示事件“两次取出球的数字差的绝对值小于等于2”，则（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递减 D. 若实数a，b满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 14. 已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB边上的高CD． 16. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 总计 爱好 30 不爱好 10 总计 100 （1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关； （2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点． （1）若，证明：平面； （2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积． 18. 已知抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，求直线的斜率； （3）过点作圆的两条切线，，切线与抛物线的另外一个交点分别为，.且直线与圆也相切，求圆的标准方程. 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $