精品解析：云南昆明市第三中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

昆明市第三中学高2027届高二年级下学期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性求解得出，然后根据并集的运算求解即可得出答案. 【详解】解可得，所以， 所以. 故选：D． 2. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解的值. 【详解】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故. 故选：A. 3. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 4. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 5. 在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题易知，，，，根据向量的减法法则，可得，带入求得结果. 【详解】如图，∵，∴.∵，∴.∵，∴.∴ .故选B. 【点睛】本题考查了向量的四则运算，熟悉向量的四则运算是解题的关键，属于较为基础题. 6. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 8. 已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为A，B（其中A在B的左侧），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若，且的面积是的面积的9倍，则（ ） A. B. 点A的坐标为 C. D. 点B的坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出；因为的面积是的面积的9倍, 可得，，，代入到中可求得的值. 【详解】由题意得 因为的面积是的面积的9倍, 所以，， 即,即， 化简得， 令， 则，化简得，解得， 又，所以即 所以，所以. 所以点A的坐标为，又，所以点的坐标为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若的焦点在轴上，则 C. 若，则的焦距为6 D. 若，则的离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆求参数范围，再结合其它各项椭圆性质求参数范围、焦距、离心率，即可判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 若的焦点在轴上，则，可得，B错； 若，则的焦距为，C对； 若，则的离心率为，D对. 故选：CD 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，所以， 所以， 所以，C正确； 对于D，，D正确. 11. 已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. C. 函数的图象与函数的图象有且仅有个交点 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由已知条件可得， 所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确； 对于B选项，，，则，B选项错误； 对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，，结合图象可知，. 当时，，即函数与函数在上的图象无交点， 由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确； 对于D选项，当时，，则， 所以，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 13. 已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是______. 【答案】1022 【解析】 【分析】利用导数求出函数的两个极值点，进而求出数列公比，再求出前9项和. 【详解】由，求导得， 当或时，；当时，， 则分别为函数的极大值点和极小值点， 在等比数列中，，公比，则， 又是函数的两个极值点，因此，， 所以数列的前9项和. 故答案为：1022 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1， 则， 由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故可取的值为．当时，的取值为， 共有种情况；当时，的可能取值为，，， 共有种情况；当时，的取值为，， 共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况， 且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 甲、乙、丙三人每人射中目标的概率均为，射中目标的概率均为，且所有射击事件的结果相互独立．在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次． （1）求甲至少射中一个目标的概率； （2）记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据对立事件和相互独立事件概率公式求解； （2）根据二项分布概率公式求出随机变量取对应的概率，列出分布列，求出期望. 【小问1详解】 甲至少射中一个目标的概率为 【小问2详解】 每个人两个目标均射中的概率为， 的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 令，则， 令， 则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ，当时，， 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为. 17. 如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 证明：∵是边上的高， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， , 又平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系， ， 则， ， 设平面与平面的一个法向量分别为， 故，解得：，令，得：， 则， ，解得：，令，则， 故， 设二面角平面角为，显然为锐角， ， . 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 均值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易知的所有可能取值为，根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值； （2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得； （3）由五局三胜制的规则，可知的所有可能取值为，求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为. 【小问1详解】 依题意，的所有可能取值为 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， . 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为. 【小问2详解】 设第一局比赛甲获胜为事件，则. 由（1）知，， 由全概率公式，得 解得，即第一局比赛甲获胜的概率. 【小问3详解】 由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则， 设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立， 所以的所有可能取值为， 因此可得； 故该场比赛甲获胜的概率. 19. 已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求； （2）证明：存在常数，使得； （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 【答案】（1）； （2）当时，易得 设，，直线，则 联立， 由对称性可知亦成立 综上所述，存在，使得 （3） 【解析】 【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：. 【详解】由题意可知：，准线方程为： （1）因为 联立方程 则 （2）略 （3）由可知为中点 设，则 因为 又因 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2027届高二年级下学期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 3. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则 A. B. C. D. 6. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为A，B（其中A在B的左侧），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若，且的面积是的面积的9倍，则（ ） A. B. 点A的坐标为 C. D. 点B的坐标为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若的焦点在轴上，则 C. 若，则的焦距为6 D. 若，则的离心率为 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 11. 已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. C. 函数的图象与函数的图象有且仅有个交点 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 13. 已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是______. 14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 甲、乙、丙三人每人射中目标的概率均为，射中目标的概率均为，且所有射击事件的结果相互独立．在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次． （1）求甲至少射中一个目标的概率； （2）记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 17. 如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10. （1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； （2）求第一局比赛甲获胜的概率； （3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率. 19. 已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求； （2）证明：存在常数，使得； （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $