云南省开远市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二年级下学期期中考试卷 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：高考范国。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若集合A={x1<x+1<4},B={xx2<4},则A∩B= A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-1,2) D.(0,2) 2.已知复数x= ,则z的虚部为 1 B. n 3.已知a∈R,则“a>1”是“过点P(a,0)有两条直线与圆C:x2十y2=1相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.双曲线x2一ay2=1(a>0)的一条渐近线方程为x-√3y=0,则a A.5 B.√6 C.3 D.√2 5.设a∈（于，受），则sina,cosa,sin(乏-a）cos(乏+a）的极差是 A.2sin a B.2cos a c.Esin(a-平） D.-√2sin(a-年） 6.记单调递增的等差数列{a.}的前n项和为S.,若a1=2且a1a5=a2a3,则S1。= A.70 B.65 C.55 D.50 【高二数学第1页（共4页）】 25470B 1.已知函数f)-石则函数fx)的图象的对称中心的坐标为 A.(-1,-3) B.(1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 8.已知A,B是抛物线C:y=4x上关于x轴对称的两点，D是抛物线C的准线与x轴的交点， 若直线BD与抛物线C的另一个交点为E(4,4),则直线AE的方程为 A.2.x-y-4=0 B.4x-3y-4=0 C.x-2y+4=0 D.4x-5y+4=0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(m,3),b=(1,一m),c=a十mb,若b⊥c,则实数m的值可以为 A.-1 B.0 C.1 D.2 10.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥AB,PA⊥AD,PA=2,AB=1,动点M在线 段PC上，则 A.直线PC与直线AD为异面直线 B.四棱锥P-ABCD的体积为2 C.在△PAC中，当AM⊥PC时，VMAD= 9 D.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6π 11.已知函数f(x)=x一sinx十cosx,则 A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)的极大值点为x=2kπ，k∈Z C.f(x)有唯一的零点 D.f(x)的图象与直线y=x+V2相切的点的横坐标为x=平+2kx,k∈Z 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.二项式(2x 的展开式中的常数项为 18若实数a>1>6>0,且。+26=+2a,则。号十名的最小值为 14.对给定的数列{a,}(a.≠0)，记b.=4出，则称数列{b}为数列{an}的一阶商数列：记c,= b,土，则称数列{c}为数列{a,的二阶商数列；以此类推，可得数列{a}的P阶商数列 (P∈N·),已知数列{an}的二阶商数列的各项均为e,且a1=1,a2=1,则a。= 【高二数学第2页（共4页）】 25470B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为a(csin C.+bsin B-asin A),. (1)求A: (2)若a=2,且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD. 16.(本小题满分15分) 某大学研究机构选择了网络游戏这一项目进行研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机 构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动， 调查的结果如下图： 25 20 15 人数 口男 0 回女 玩过网游 没玩过网游 (1)完成下面的列联表，并依据α=0.1的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别 有关？ 玩过网游 没玩过网游 总计 男生 女生 总计 (2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽取5名学生，记其中玩过网游的人 数为X,求P(X=2)和E(X). n(ad-bc)2 附：X=a+bC十)(a十c)+而，其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【高二数学第3页（共4页）】 25470B 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面ADP,AB∥CD,CD=2AB=4,△ADP是等边三 角形，E为DP的中点. (1)证明：AE⊥PC; (2)若PA=3AB,求平面PBC与平面ABE夹角的正弦值. D 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=alnx十x2一ax,定义域为(0，十o). (1)讨论f(x)的单调性； (2)求当函数f(x)有且只有一个零点时，a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+芳=1a>>0)的右顶点A和上顶点为B关于直线4红一25y一1=0对称 (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P,Q为椭圆C上两个动点，直线AP,AQ的斜率之积为-，BDLPQ,D为垂足，求 AD引的最小值. 【高二数学第4页（共4页）】 25470B高二年级下学期期中考试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D因为A={x0<x<3},B={x-2<x<2},则A∩B={x|0<x<2},故选D. 2.A 因为：=得名阳帮-岁受+宁所以=号宁所以的度部为一子放选入 3.A由题意，若过点P有两条直线与圆C相切，则点P在圆外，有a>1或a<一1，所以“a>1”是“过点P(a, 0)有两条直线与圆C:x十y=1相切”的充分不必要条件.故选A. 4.C双曲线x2一ay=1的渐近线为x±√ay=0,其中一条渐近线方程为x一√3y=0,因此a=3.故选C. 5.A因为ae(牙，受），得到sina>cosa=sin(受-a)>cos(受十a),所以极差为sina-cos(受+a)= 2sina.故选A 6.B设am=2十d(n一1)，d为公差，由于a1a=aaa,则2(2十4d)=(2十d)(2十2d),化简得d=d产，由于数列 《a,}单调递增，因此d>0,解出d=1,因此a,=n十1，则S。=10(@,十a)=65,故选B, 2 7.C面=+业=+D”+)中=x+1+石一2，可得函数代)的图象的对称中心 x十1 x+1 的坐标为（一1，一2）.故选C 8.B因为直线BD所在的直线方程就是直线BE所在的直线方程，而点D的坐标为（一1,0），所以直线BD的方 程为y号x十1.联立方程小-合+1) ,可得点B的坐标为B(子，1)，所以点A的坐标为A(},-1), y2=4z 所以直线AE的方程为4x一3y一4=0，故选B. 9.ABC因为b⊥c,所以b·c=a·b十m|b|2=m-3m十m(1十m)=0,解得m=1或0或-1，故选ABC. 10.ACD直线PC与直线AD不同在任何一个平面内，没有公共点，因此异面，所以A正确： Vm=1X1X2X号=号，所以B错误： 当AMLPC时，在△APC中，PC=后，AM=29,则在△AMC中，AC边上的高为号，因此Vm=1X1 ×号×=号，所以C正确： 易知四棱锥P-ADCD的外接球直径为PC,半径R=之|PC=合V2++T-,表面积S=4标R- 6π，所以D正确：故选ACD. 1l.BC由题意知f(x)=1-cosx-sinx=1-√2sin(x+于)令f(x)<0,则2kπ<x<交+2kπ，k∈Z,因 此函数(x)存在减区间，故A错误： 由上述可知，其极大值点为x=2kπ，k∈Z,故B正确： 函数f(x)=x-sinx十cosx=x-2sin(x-牙)，由上述可知f(x)在(-元，0)上单调递增，在(0，受)上 单调递减，其中f(-π)=1-π<0，f(0)=1,f(艺)=艺-1>0，故f(x)在(-元，0)上存在一个零点，当 x>受时，f(x)>受-2>0，当x<-元时，f(x)<-十E<0,因此f(x)有唯一的零点，故C正确： 设切点为(x·),则了(x)=1,因此切线为y=x-sinx+cosx=x-Esin(x一于于是 sim(x+于）=0， 故xw=一平十2kx,k∈乙，故D错误，故选BC sim(xw-于）=-1 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 25470B 12.60 (er后) 展开式的通项为T+1=(-1)rC(2x) =C(-10y2·.令6-号r=0,得 =4,则(2x一左)广 的常数项为C心·（一1）·2=60 13.4由a+2b=b十2a可得(a-b)(a十b-2)=0,因为a>1>b>0,所以a-b≠0，即a十b-2=0,则a-1十 6=1,则(。马十古)a-1+b)=2+名+“公>4，当且仅当 a 2 6 时等号成立，故。一十名的最小值 2 为4 14.e3 由数列{a,}的二阶商数列的各项均为e,可知c,=兴，而b,=4=, b a 故数列{b.}是以1为首项，e为公比的等比数列，即b.=c-, 即a出=el,n∈N, a 即g=1,4=e,=c,…,g r=e. 累乘得2..4.…a=恤=1·e·e.·e=e,故ao=e. al a:as aa 15,解：(1)依题意，号a(einC叶simB--asinA)=之absin C,…2分 所以esin C+bsin B-asin A=bsin C,3分 由正弦定理可得，2十公一a2=b优，……4分 由余弦定理，c2十一a=2 ccos A,解得cosA= ……… 5分 因为A∈(0，)，所以A=号： 6分 (2)依题意，b十c=5一a=3,… 7分 因为2+公-bc=(b+0-36c=a2,解得c=号 8分 因为AD=号(AB十AC),………… 10分 所以A市=(A市+AC:=+C+区=+)-c=3 所以AD=6E 6 …………13分 16.解：(1)完成列联表如下： 玩过网游 没玩过网游 总计 男生 22 12 34 女生 8 8 16 总计 30 20 50 零假设为H。:大学生喜欢网游与性别无关， t-00282-92.706- 6分 根据小概率值a=0.1的独立性检验，我们推断H。成立， 即认为大学生喜欢玩网游与性别无关：……………… 8分 (2)视频率为概率，该校任意一学生玩过网游的概率为识=号 10分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 25470B 由XB(,号)，有Px=2)=G×(号)×（号）广=器 13分 BX0=5X号=3 15分 17.(1)证明：，△ADP是等边三角形，E为DP的中点. 所以AE是等边△ADP的中线，所以AE⊥PD,…………2分 又CD⊥平面ADP,AE℃平面ADP,CDAE,…4分 又：CDC平面PDC,PDC平面PDC,CD∩PD=D,∴.AE⊥平面PDC:…6分 又PC℃平面PDC,.AE⊥PC:……………………7分 (2)解：取PC的中点F,连接EF,BF,因为CD⊥平面ADP,EF∥CD, 所以EF⊥平面ADP, 以E为坐标原点，E户，EA,E市的方向分别为x,y,x轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系E一xy之，………… ………8分 则P(3,0,0),B(0,33,2),C(-3,0,4), Pi=(-3,33,2),P心=(-6,0,4).…10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,:), 由 (PB·m=-3.x+3W5y+2:=0, 12分 P心.m=-6x+4z=0. 令x=2,则y=0,2=3, m=(2,0,3). 显然平面ABE的一个法向量为n=(1,0,0), imw治-后x2 14分 故平面PBC与平面ABE夹角的正弦值为√一（四）】 =33 13 15分 18.解：(1)由题意知f(x)=g+2x-a=2-ar十a 1分 当a=0时，显然∫(x)=x2在(0，十c∞)上单调递增，……………2分 当a<0时，二次函数对称轴x=冬<0，令了(x)=0,则x=+应，此时∫(x)在 4 (0,a十8@)上单调递减，在（十西，十o0）上单调递增，…4分 4 当0<a≤8时，了(x)≥0在(0，十o∞)恒成立，因此f(x)在(0，十o∞)上单调递增，…5分 当a>8时，二次函数对称轴x=牙>0，令了(x)=0,则x=士 ,此时f(x)在 (0,-=8@)和(a+a-西，十∞）上单调递增，在(-a8a,a+西 上单调递减，… 4 4 2+…+*4444…4t+…4t44t4*4040”…7分 综上所述，a<0时，f(r)在(0，a+8西)上单调递减，在(+亚，十e)上单调递增，0≤a≤8 4 4 时，f(x)在(0，十o0)上单调递增，a>8时，f(x)在(0，a二)和(a+证，+0)上单调递 增，在（一公8证，十公8面）上单调递减：…8分 (2)当a=0时，显然f(x)=x2无零点，………9分 当a≠0时，f(x)=alnx+x-ax=0即为lnx+号-x=0,因此=-n工， …12分 d 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 25470B 设g()=h,x>0,则g(x)=2n二1 T! 13分 令y=2nx-x-1,>0,则y=2-1,当x∈(0,2)时，y>0,当x∈(2，+)时，y<0,因此y=21n2 -3<0,… …15分 则g'(x)<0在(0，十∞)上恒成立，g(x)在(0，十co)上单调递减，又易知y=x-nx>0在(0，十∞)上恒成 立，因此g(x)>0,则1>0，枚a>0,… 16分 a 综上所述，a∈(0，十00).…17分 19.解：(1)由点A(a,0)和B(0,b)关于直线4x-23y-1=0对称， 由直线红一25y一1=0的斜率为后可得直线AB的斜率为号有一名=一号 2 ①，…2分 V3 又由线段AB的中点（受，号）在直线4红-25y-1=0上，有2a一56-1=0②， 联立方程①②解得a=2,b=√3， 故箱圆C的标准方程为C:号十苦=1： ………………5分 (2)设P(x1,y),Q(x,),由题意得直线PQ斜率不为零，设lo:x=my十t, (x=my+t, 由 得3(my十t)2+4y-12=0,即(3n2+4)y2+6mty十3r-12=0, 611 y十为=一 3m+4 所以。 tt40440小40+tt…40+40+400t 7分 3-12 1为=3m+4 由kko=一 得2‘产2=-十即4%十（国-2）-2）=0.… 1 8分 所以4y1y:+(my1十t-2)(my十1-2)=0， 所以(4十m)y十m(t-2)(y十y)十(t-2)=0, ……9分 所以(4十m)3m+4 一12+n1t一2)2十4十《一2)=0，化简得2一t一2三 所以t=2或1=一1，……12分 若t=2,则直线o江=my十2过椭圆的右顶点，不符合题意，所以t=一1，…13分 所以lo:x=my-1过定点S(-1,0),因为BD⊥PQ,D为垂足， 所以D在以BS为直径的圆上BS|=2.MS的中点为T(-之，号)，又A(2,0), 所以AT=√3：+() =7, 15分 所以|AD的最小值为|AT1-BS=万-1， 即|AD|的最小值为√7-1. 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 25470B