期末专项复习4 综合与探究类问题-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(华东师大版·新教材)

2025一2026学年第二学期期末专项复习（四）八年级数学HS 综合与探究类问题 1综合与探究 问题情境：如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E,F分别在边AD,BC上，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在BD上的点G处，将△DCF沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处.求证：四边形 BEDF是平行四边形 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： ,四边形ABCD是矩形 ∴.AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C=90° ∴.∠EDG=∠FBH 由折叠，得GB=AB,HD=CD,∠BGE=∠A=90°，∠DHF=∠C=90° ∴.DH=BG,∠DGE=∠BHF=90°」 ∴.DH-HG=BG-HG,即DG=BH. ∴.△DEG≌△BFH. .DE=BF. 又DE∥BF, ∴.四边形BEDF是平行四边形（依据） 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是 (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明.请按赵斌的思路写出证 明过程 拓展探究： (3)连结EH,FG,若AB=6,BC=8,求四边形EGFH的周长. 2综合与探究 在正方形ABCD中，点P(不与点A,C重合)在对角线AC所在的直线上，连结BP,过点P作 PQ⊥BP,交直线DC于点Q 【特例感知】 (1)如图①，当点P在对角线AC上时，PB与PQ之间的数量关系为 【类比迁移】 (2)如图②，当点P在AC的延长线上时，(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由」 【拓展提升】 (3)若正方形ABCD的边长为5，AP=6√2，请直接写出以B,C,P,Q为顶点的四边形面积 ② 备用图 3综合与探究 在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E,F分别在边CD,BC上，将△CEF沿直线EF折叠，点C的 对应点为点G (1)如图①，当点F与点B重合，点G落在AD上时，求AG的长； (2)如图②，当，点E是CD的中点，且∠BFG=90°时，连结BG,求BG的长； (3)如图③，当CB=名，点G恰好落在E上时，延长FC交AD于点H,直接写出AH的长. (F) fz' 4综合与探究 【问题情境】四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E. 【猜想证明】 (1)如图①，过，点A作AF⊥CD于点F.求证：AE=AF. 【深入探究】 (2)将△ABE绕，点A逆时针旋转得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H,GH所在直线分 别与直线AD,CD交于点M,N. ①如图②，当AH经过，点C时，猜想线段CH与MD之间的数量关系，并说明理由 ②当GH⊥CD时，若AB=10,BE=8,请直接写出NH的长 ① 备用图 大 参考答案及详解 .'∠PFC+∠PEO+∠BCD+∠EPF=360° 综合与探究类问题 .∴.∠EPF=90° 1.解：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .PQ⊥BP, (2).·四边形ABCD是矩形， .∴.∠BPQ=90° AP=6√2， .AD∥BC,AB∥CD. ∴.∠BPO=∠EPF .CP=AP-AC=√2. ∴.∠ABD=∠CDB. ∴.∠BPQ-∠FPQ=∠EPF-∠FPQ,即∠BPF=∠QPE 易得CG=GP=L. 折，径得影ABE=∠DBE字ABD/CDF=-∠BDF-CDB. 在△PFB和△PEO中， .∴.BG=BC+CG=6. .∠BPF=∠QPE,PF=PE,∠PFB=∠PEQ, .∠DBE=∠BDF..BE∥DF 在Rt△BGP中，PB=√BG2+PG2=√37 .∴.△PFB≌△PEQ(ASA). 又DE∥BF, ∴.PB=PQ .PQ=√37 ∴四边形BEDF是平行四边形 (2)解：成立 S边w=S.ac+Sw-BC-CP PB.PQ= ×5×1+ (3).·四边形ABCD是矩形， 证明：如图，过点P作PFLDQ于点F,PE⊥BC交BC的延长 .CD=AB=6,AD=BC=8,∠C=90° √37×W√37=21」 线于点E. ②如图，当点P在CA的延长线上时，过点P作PMLCB交CB BD=√CD2+BC2=√62+82=10. 的延长线于点M,PNLCD交CD的延长线于点N. 由折叠，得BG=AB=6 .DG=BD-BG=4. M 同理可得BH=4, ·.GH=10-BH-DG=2. 设EG=x,则AE=x,DE=8-x. .∠PEB=∠PFO=∠PFC=90 在Rt△DEG中，DE=EG+DG 即(8-x)2=x2+42,解得=3. 由(1)知AC平分∠BCD,∠BCD=90°， EG=3. ∴.∠ECF=90°，∠ACB=LACD. :∠PCE=∠ACB,∠PCF=∠ACD. fz'SS t .AP=6V2,AC=52, ∴.CP=AP+AC=1IW2. ∴EH=GH2+EG2=√13， .MC=NC=11. ∴.∠PCE=∠PCF .'∠EGH=∠FHG=90°， 易知四边形PNCM是正方形，△PQN≌△PBM, ..PE=PF. .EG∥FH. .·∠EPF+∠PEB+∠PFC+∠ECF=360° .S△PN-S△PBr 由(1)知△DEG≌△BFH, .S边形Bcop=SBCp+S△PON-SRCNP+S△PM广S正方形PNCM-121. .∴.∠EPF=90」 ∴.EG=FH. 综上，以B,C,P,Q为顶点的四边形面积为21或121. .∴.∠EPF=∠BPQ. ∴.四边形EGFH是平行四边形 3.解：(1).·四边形ABCD是矩形 .∠EPF-∠BPF=∠BPQ-∠BPF,即∠BPE=∠QPF 四边形EGFH的周长为2(EG+EH)=6+2√13. .∴.BC=AD=4,∠A=90° 在△BPE和△QPF中 2.(1)PB=PQ 由折叠的性质，得BG=BC=4. .∠BPE=∠QPF,PE=PF,∠PEB=∠PFQ, 解析：如图，过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√BG2-AB2=√42-32= ·.△BPE≌△OPF(ASA): √ ..PB=PQ. (2).:四边形ABCD是矩形 (3)21或121 .CD=AB=3,BC=AD=4,∠C=90° 解析：.四边形ABCD是正方形， :点E是CD的中点， ∴.AD=CD=BC=5,∠D=90° .AC=AD2+CD2=5√2. .c-c- .∴.∠PFB=∠PFC=∠PEQ=90°. :四边形ABCD是正方形， 分两种情况讨论： 由折叠的性质，得∠EGF=∠C=90°，GE=CE ·.CP平分∠BCD,∠BCD=90° ①如图，当点P在AC的延长线上时，过点P作PH⊥DQ于点 .∠BFG=90°， .∴.∠CFG=180°-∠BFG=90° ∴.PF=PE. H,PG⊥BC交BC的延长线于点G. .四边形CEGF是矩形. 又.GE=CE .矩形CEGF是正方形. :.CF=GF-CE-2 3 Bn=8C-0F439 在Rt△BFG中，由勾股定理，得BG=√BF2+GF2= （3)AM的长为是 解析：如图，连结BH,EH. .四边形ABCD是矩形 ∴.CD=AB=3,BC=AD=4,∠A=∠C=∠D=90° DE-0D-03名8 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=√BC2+CE= + 7 由折叠的性质，得GE=CE=石∠FGE=LC=90, GB=BE-GE=2523,∠BGH=∠FGE=90. 66 ∴，AB=GB. 在Rt△ABH和Rt△GBH中 BH=BH,AB=GB .∴.Rt△ABH≌Rt△GBH(HL).∴.AH=GH. 设AH=GH=x,则DH=AD-AH=4-x. 在△GE中，由勾服定理，得E=0r6=名 在Rt△HDE中，由勾股定理，得HE=D+DE=(4-x)+ 6 解得 AM的长为是 4.（1)证明：AE⊥BC,AF⊥CD ∴.∠AEB=∠AFD=90°. .·四边形ABCD是菱形 ∴.∠B=∠D,AB=AD ..△ABE≌△ADF(AAS). ..AE=AF. (2)解：①CH=MD 理由：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠B=∠D 由旋转，得AH=AB,∠H=∠B .AH=AD,∠H=∠D: 在△AHM和△ADC中， .∠HAM=∠DAC,AH=AD,∠H=∠D, ,∴.△AHM≌△ADC(ASA). ∴.AM=AC. ..AH-AC=AD-AM,CH=MD. ②NH的长为2或14. 解析：分两种情况： 当点N在线段CD上时，如图，过点A作AP⊥CD于点P. 由(1)知AE=AP 在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE2=6..∴.AP=6. ·.GH⊥CD,AP⊥CD ∴.∠APD=∠PNG-90° 由旋转，得∠C=∠AEB=90°，HG=BE=8. ∴.四边形APNG是矩形 ∴.NG=AP=6. ∴.WH=HG-WG=8-6=2. 当点N在DC的延长线上时，如图，过点A作AK⊥CD于点K C ∴.∠AKW=90°. 由旋转，得GH=BE=8,LAGH=∠AEB=90° .∠AGN-90° .GH⊥CD,.∠GNK=90° .四边形AGNK是矩形 由(1)知AK=AE=6.∴.NG=AK=6. ∴.WH=NG+GH=6+8=14. 综上，NH的长为2或14.