期末专项复习4 综合与探究类问题-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(北师大版·新教材)

2025一2026学年第二学期期末专项复习（四）八年级数学BS 综合与探究类问题 1综合与探究 (1)探究操作：如图①，在△ABC中，AB=AC,点D为BC边上一点，过点D作DE∥AC交AB于点 E,探究△BDE的形状， (2)问题解决：如图②，在△ABC中，AB=AC,点E为AB上一点，点F为AC的延长线上一点，且 BE=CF,EF交BC于点D.求证：DE=DF (3)拓展应用：在(2)的条件下，如图③，过点E作EMLBC于点M.若BC=6,则DM的长为 D D B ① ② ③ 2综合与探究 问题情境： 如图①，在口ABCD中，AB=4,AD=6,∠B=60°.将△ABC绕，点A按逆时针方向旋转得到△AEF, 旋转角为α，点B,C的对应，点分别为点E,F,EF交AD于点G 猜想证明： (1)如图②，在旋转过程中，当点E落在BC边上时，判断四边形ECDG的形状，并说明理由； 深入探究： (2)在(1)的条件下，判断线段CE与FG的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，连接DE,当0°<<120°，且△ADE是等腰三角形时，请直接写出△ADE 的面积. B ① ② 备用图 3综合与探究 问题情境： 在边长为6的等边三角形ABC中，AD为中线，点E为AD上一动，点，连接BE,在BE的下方作 等边三角形BEF 初步探究： (1)如图①，当DE=3时，∠ABE的度数为 深入探究： (2)如图②，连接CF a.猜想CF与AC的位置关系，并说明理由 b.当AE=2时，求点F到边BC的距离 (3)如图③，连接DF,当△BDF的周长最小时，请直接写出此时∠DBE的度数 ① ② 4综合与探究 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题展开探究 实践操作：现有一张等边三角形纸片ABC,点D,E分别是AB,AC边上的点，连接DE,将△ADE 沿DE折叠得到△A'DE,连接A'B,A'C. 初步探究：当折痕DE∥BC时，完成下面的探索任务： (1)如图①，当点A'恰好落在BC边上时，求证：△A'BD是等边三角形. (2)如图②，当点A'落在△ABC内部时，求证：△A'BD≌△A'CE (3)当△A'BD是直角三角形时，若AB=6,求BD的长 深入探究：当折痕DE与BC不平行时，完成下面的探索任务： (4)当△A'BD是等腰直角三角形时，请直接写出∠ADE的度数 B C B ① ② 备用图 参考答案及详解 .'AB=CB,∠ABE=∠CBF,BE=BF, ..△ABE≌△CBF(SAS) .·.∠BAE=∠BCF=30 综合与探究类问题 ∴.AB=BE ..BE=EG. .·.∠ACF=∠ACB+∠BCF=90° 1.(1)解：AB=AC,∴.∠B=∠C 由旋转，得BC=EF ∴.CF⊥AC. :DE∥AC,∴.∠BDE=∠C ∴.BC-BE=EF-EG,即CE=FG b.如图，过点F作FH⊥BC于点H,则∠CHF=90°. ∴.∠B=∠BDE..BE=DE (3)8√2或3√7. :.△BDE是等腰三角形 解析：分两种情况：当AD=DE=6时，如图，过点E作EVLAD于 (2)证明：如图，过点E作EG∥AF交BC于点G 点V,过点A作AWLBC于点W. 由a知∠BCF=30°，△ABE≌△CBF,∴.AE=CF=2. .FH=2CF=1. .∠GED=∠F. ∴.∠AWB=909 ∴.点F到边BC的距离为1. 由(1)知BE=GE. .∠B=60°， (3)30°. .BE=CF,∴.GE=CF ∴.∠BAW=30 解析：如图，连接CF,作点D关于CF的对称点G,连接CG, 在△EDG和△FDC中， .∠EDG=∠FDC,∠GED=∠F,GE=CF, 2. FG,则DF=FG ·.△EDG≌△FDC(AAS) ∴.AW=√AB2-BW2=2√3. .DE=DF 设AV=x,则DV=6-x. (3)3解析：如图，过点E作EG∥AF交BC于点G. 在Rt△AEV中，EVP=AE2-AP 在Rt△DEV中，EVP=DE2-D AE2-AP=DE2-D,即4-x2=62-(6-x尸，解得x=3 BMG 3 3 fz'SS t 当B,F,G三点共线时，BF+DF的值最小，为BG的长，△ BDF的周长最小. 由(2)知△EDG≌△FDC, 3 由(2)知∠BCF=30° .DG-DC-CG. 当AE=DE时，如图，过点E作EHLAD于点H .·CF垂直平分DG, .∴.∠DCG=2∠BCF=60°，CD=CG. .BE=GE,EM⊥BC,.BM=CGM=。BG .·.△DCG是等边三角形 DM-GM+DG-2BG+CG--BC-3 ∴.∠CDG=60°，CD=DG 2.解：(1)四边形ECDG是平行四边形 AD是△ABC的中线， 理由：由旋转，得AE=AB,∠AEF=∠B=60 ·.BD=CD. :.△ABE是等边三角形 .AH-ZAD=3. .BD=DG. .∠AEB=60°. .∠DBG=∠BGD :.∠BEF=∠AEB+∠AEF=120° ∴EH=√AE2-AH2=√42-32=√7， .'∠CDG=∠DBG+∠BGD .∠B+∠BEF=180° c5eD-Bm3x6/7=37 ∴.AB∥EF. LDBG-/CDG-0 综上，△ADE的面积是8√2或3√7. .四边形ABCD是平行四边形 :△BEF是等边三角形， 3.解：(1)15 .AD∥BC,AB∥CD ∴.∠EBF=60°. (2)a.CF⊥AC. .EF∥CD. 理由：：△ABC,△BEF都是等边三角形， ∠DBE=∠EBF-∠DBG=60°-30°=30. :.四边形ECDG是平行四边形 ∴.∠ABC=∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，AB=CB=AC,BE=BF 4.(1)证明：：△ABC是等边三角形， (2)CE=FG. ∴.∠ABC-∠CBE=∠EBF-∠CBE,即∠ABE=∠CBF ∴.∠B=60°. 理由：由(1)知AB∥EF,AD∥BC, AB=AC,AD是中线， .'DE∥BC,∴.∠ADE=∠B=60° ·.四边形ABEG是平行四边形. ..AB=EG. ∠BAE=LCAD-BAC=30 由折叠，得∠A'DE=∠ADE=60°. .∴.∠A'DB=180°-∠ADE-∠A'DE=60° 由(1)知△ABE是等边三角形， 在△ABE和△CBF中， .∴.∠BA'D=180°-∠B-∠A'DB=60° .∠A'DB=∠BA'D=∠B. .△A'BD是等边三角形 (2)证明：由(1)知∠ADE=60°，∠A'DB=60°. 同理可得∠AED=60°，∠A'EC=60° ∴.∠ADE=∠AED,∠A'DB=∠A'EC ..AD=AE. 由折叠，得A'D=AD,A'E=AE. ∴A'D=A'E ·:△ABC是等边三角形 ∴.AB=AC ∴.AB-AD=AC-AE,即BD=CE .△A'BD≌△A'CE(SAS). (3)解：分两种情况： 如图①，当∠BA'D=90°时， .∠A'DB=60°，∴.∠A'BD=30° .BD=2A'D .A'D=AD. BD=2AD.:BD=2AB=4. ① ② 如图②，当∠A'BD=90时， .:∠A'DB=60°，.∠BA'D=30° ∴.A'D=2BD. A'D=AD,∴.AD=2BD BD-3AB-2. 综上所述，BD的长为4或2. (4)LADE的度数为45°或67.5 解析：分三种情况： 如图③，当LA'DB=90°时， 则∠ADE=∠A'DE=180-∠A'DB45 2 如图④，当∠BA'D=90时，∠A'DB=∠A'BD=45°， ∠ADE=180-∠A'DB-67.5 2 如图⑤，当∠A'BD=90时，∠A'DB=45°， ∠ADE=180-4'DB-67.5. 2 综上所述，∠ADE的度数为45°或67.5°