期末专项复习6 综合与探究-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(人教版·新教材)

2025一2026学年第二学期期末专项复习（六）八年级数学 综合与探究 1综合与探究 问题情境：如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E,F分别在边AD,BC上，将△ABE沿BE折叠， 使点A落在BD上的点G处，将△DCF沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处.求证：四边形 BEDF是平行四边形 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： ,四边形ABCD是矩形 ∴.AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C=90° ∴.∠EDG=∠FBH 由折叠，得GB=AB,HD=CD,∠BGE=∠A=90°，∠DHF=∠C=90° ∴.DH=BG,∠DGE=∠BHF=90°， ∴.DH-HG=BG-HG,即DG=BH. ∴.△DEG≌△BFH. .DE=BF. 又DE∥BF ∴.四边形BEDF是平行四边形（依据） 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是 (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明.请按赵斌的思路写出证 明过程 拓展探究： (3)连接EH,FG,若AB=6,BC=8,求四边形EGFH的周长. 2综合与探究 在正方形ABCD中，点P(不与点A,C重合)在对角线AC所在的直线上，连接BP,过点P作 PQ⊥BP,交直线DC于点Q 【特例感知】 (1)如图①，当点P在对角线AC上时，PB与PQ之间的数量关系为 【类比迁移】 (2)如图②，当点P在AC的延长线上时，(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由」 【拓展提升】 (3)若正方形ABCD的边长为5，AP=6√2，请直接写出以B,C,P,Q为顶点的四边形面积 ② 备用图 3综合与探究 在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E,F分别在边CD,BC上，将△CEF沿直线EF折叠，点C的 对应点为点G (1)如图①，当点F与点B重合，点G落在AD上时，求AG的长； (2)如图②，当，点E是CD的中点，且∠BFG=90°时，连接BG,求BG的长； (3)如图③，当CB=名，点G恰好落在E上时，延长FC交AD于点H,直接写出AH的长. (F) fz' 4综合与探究 【问题情境】四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E. 【猜想证明】 (1)如图①，过，点A作AF⊥CD于点F.求证：AE=AF. 【深入探究】 (2)将△ABE绕，点A逆时针旋转得到△AHG,点E,B的对应点分别为点G,H,GH所在直线分 别与直线AD,CD交于点M,N. ①如图②，当AH经过，点C时，猜想线段CH与MD之间的数量关系，并说明理由 ②当GH⊥CD时，若AB=10,BE=8,请直接写出NH的长 ① 备用图 大 参考答案及详解 .'∠PFC+∠PEO+∠BCD+∠EPF=360° 综合与探究 .∴.∠EPF=90° 1.解：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .P0⊥BP,.∠BPQ=90 (2).·四边形ABCD是矩形 .∴.∠BPO=∠EPF ..AP=6V2, ∴.AD∥BC,AB∥CD. .∴.∠BPQ-∠FPQ=∠EPF-∠FPQ. .CP=AP-AC=√2 ∴.∠ABD=∠CDB. 即∠BPF=∠QPE 易得CG=GP=1. 1 折叠，得LABE=∠DBE=ABD,∠CDF=LBDF-ZCDB, ∠BPF=∠QPE .BG=BC+CG=6. 在△PFB和△PEO中 PF PE. ∴.∠DBE=∠BDF.∴.BE∥DF ∠PFB=∠PEQ 在Rt△BGP中，PB=WBG2+PG2=√37 又DE∥BF, .△PFB≌△PEQ(ASA) .PQ=√37 :.四边形BEDF是平行四边形 ∴.PB=PQ Sw-S.wcr+S.w-BC.GP+-PB.PQ-] 5x1+ (3).·四边形ABCD是矩形， (2)解：成立 W√37×W37=21. ∴.CD=AB=6,AD=BC=8,∠C-90° 证明：如图，过点P作PFLDO于点F,PE⊥BC交BC的延长 ②如图，当点P在CA的延长线上时，过点P作PM⊥CB交CB ∴BD=√CD2+BC2=√62+82=10. 线于点E. 的延长线于点M,PNLCD交CD的延长线于点W 由折叠，得BG=AB=6. ∴.DG=BD-BG=4. 同理可得BH=4, ∴.GH=10-BH-DG=2 设EG=x,则AE=x,DE=8-x 在Rt△DEG中，DE=EG+DG .∠PEB=∠PFO=∠PFC=90°. 即(8-x)2=x2+42,解得x=3. 由(1)知AC平分∠BCD,∠BCD=90°， ∴.EG=3 .∴∠ECF=90°，∠ACB=∠ACD. fz'SS t AP=6J2,AC=52, .CP=AP+AC=112. .EH=√GH2+EG2=√13 .'∠PCE=∠ACB,∠PCF=∠ACD ·.MC=NC=11. 易知四边形PNCM是正方形，△PQN≌△PBM, .∠EGH=∠FHG=90°， ∴.∠PCE=∠PCF.PE=PF ∴.EG∥FH .·∠EPF+∠PEB+∠PFC+∠ECF=360°， ∴.S△PoN-S△PBn 由(1)知△DEG≌△BFH, ∴.∠EPF=90°. 一.S周边形COP-S四边形BCP+S△PoN=S四边BCp+S△PM=S正方形PNcw-121. 综上，以B,C,P,Q为顶点的四边形面积为21或121. ..EG=FH. ∴.∠EPF=LBPQ. 3.解：(1)：四边形ABCD是矩形， 四边形EGFH是平行四边形 ·.∠EPF-∠BPF=∠BPO-∠BPF,即∠BPE=∠OPF .BC=AD=4,∠A=90° .四边形EGFH的周长为2(EG+EH)=6+2√13. ∠BPE=∠QPF 由折叠的性质，得BG=BC=4. 2.(1)PB=PQ 在△BPE和△OPF中，{PE=PF ∠PEB=∠PFQ, 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√BG2-AB2=√4？-32= 解析：如图，过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E. ∴.△BPE≌△QPF(ASA). √7 ∴.PB=PQ (2).四边形ABCD是矩形 (3)21或121. .CD=AB=3,BC=AD=4,∠C=90° ,点E是CD的中点， 解析：四边形ABCD是正方形， .AD=CD=BC=5,∠D=90° .CE-cD .∴.∠PFB=∠PFC=∠PEQ=90°. .AC=√AD2+CD2=5W2 由折叠的性质，得∠EGF=LC=90°，GE=CE. .四边形ABCD是正方形， 分两种情况讨论： .∠BFG=90°， .CP平分∠BCD,∠BCD=90° ①如图，当点P在AC的延长线上时，过点P作PHLDQ于点 .∠CFG=180°-∠BFG=90°. ..PF=PE H,PGLBC交BC的延长线于点G. ∴.四边形CEGF是矩形. 又GE=CE, .矩形CEGF是正方形. CP-GF-cF-3 .BF-BC-cF- 在Rt△BFG中，由勾股定理，得BG=√BF2+GF2= + (3)AH的长为程 解析：如图，连接BH,EH. H 0 :四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=3,BC=AD=4,∠A=∠C=∠D=90° 711 :.DE=CD-CE=3-6-6 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=√BC2+CE2= +图 7 由折叠的性质，得GE=CE=6,∠FGE=LC=90, ∴.GB=BE-GE= 663,∠BcH=∠FGE=90. 257 ∴.AB=GB 在RH△ABH和Rt△GBH中，AB=GB, BHBH. .·.Rt△ABH≌Rt△GBH(HL)..AH=GH. 设AH=GH=x,则DH=AD-AH=4-x. 在△G8中，由限定理，得-0f6F-名 在Rt△HDE中，由勾股定理，得IE=DP+DE=(4-x)P+ g 4AM的长为是 4.(1)证明：AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=LAFD=90. 四边形ABCD是菱形， ∴.∠B=∠D,AB=AD. ∴.△ABE≌△ADF(AAS).∴.AE=AF (2)解：①CH=MD. 理由：.·四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠B=∠D. 由旋转，得AH=AB,∠H=∠B, ∴.AH=AD,∠H=D. 由旋转，得∠G=∠AEB=90°，HG=BE=8. [∠HAM=∠DAC, .四边形APNG是矩形 在△AHM和△ADC中， AH =AD. .'.NG=AP=6. H=∠D. .NH=HG-NG=8-6=2. .△AHM≌△ADC(ASA). 当点N在DC的延长线上时，如图.过点A作AK⊥CD于点K ..AM=AC. H AH-AC=AD-AM,即CH=MD. ②NH的长为2或14. 解析：分两种情况： 当点N在线段CD上时，如图，过点A作AP⊥CD于点P .∠AKW=90°. 由旋转，得GH=BE=8,∠AGH=∠AEB=90° .∠AGN=90°. .GH⊥CD,∴.∠GWK=90° 由(1)知AE=AP .四边形AGWK是矩形 在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE2=6..AP=6. 由(1)知AK=AE=6..NG=AK=6. GH⊥CD,AP⊥CD, ∴.NH=WG+GH=6+8=14. ∴.∠APD=∠PWG=90 综上，WH的长为2或14