期末专项复习5 阅读与思考-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(人教版·新教材)

2025一2026学年第二学期期末专项复习（五）八年级数学 阅读与思考 1下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务， 用“坐标法”解决几何问题 “坐标法”是一种重要的数学方法，常见于用代数知识解决几何问题.其步骤如下：首先根据图形特点，建 立平面直角坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而 得到原先几何问题的答案 如图①，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，BC=3BE,BE=CF,AE交BF于点G,点O 是对角线BD的中点，连接OG,求OG的长， 解：如图②，以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=6,∠ABE=∠BCF=90°. BC=3BE,BE=CF, ..BE=CF=2 .E(2,0),F(6,2),A(0,6),D(6,6) 设直线E的解析式为，=ax+6,则2a+6=0,解得a三3， b=6, b=6. (② .直线AE的解析式为y=-3x+6. 设直线BF的解析式为)y=cx,则2=6c,解得c=3 直线BF的解析式为)=3 1 y=-3x+6, x= 5 联立 解得 93 1 y=3, 3G55 y= 5 点0为BD的中点，.0(3,3) 0c3-+6-哥65 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系 任务： (1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有 .(多选) A.统计思想 B.数形结合思想 C.函数思想 D.转化思想 (2)请用“坐标法”解决下面问题：如图③，在正方形ABCD中，AB=8,对角线AC,BD相交于点 O,点E,F分别在BC,CD的延长线上，且CE=DF=4,G为EF的中点，连接OE交CD于点H, 连接GH,求GH的长 2阅读下面材料，完成相应的任务： 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯（约公元前262一190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古 希腊亚历山大前期的三大数学家.阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的 平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍 如图①，在△ABC中，点D为BC的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得AB+AC= 2(AD2+BD2). 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图①，过点A作AE⊥BC于点E, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=A+BE. 同理可得AC=AE2+CE,AD2=AE+DE. 点D为BC的中点， B ∴.BD=CD. ① ..AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2 任务： (1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整 (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图②，已知，点P为矩形ABCD内任意一点 求证：PA+PC2=PB+PD2 ② 3阅读下面材料，完成相应的任务 仅利用折纸将线段三等分 下面介绍一种将线段三等分的方法—一折纸法」 具体步骤如下： 第一步：如图①，准备一张长为20cm,宽为16cm的矩形纸片ABCD. 第二步：如图②，将矩形纸片ABCD折叠，使点B的对应点F落在边AD上，展开后得到折痕 CE. 第三步：如图③，再将该矩形纸片ABCD沿过，点C的直线折叠，使，点D的对应点H落在CF上， 展开后得到折痕CG. 第四步：如图④，再将矩形纸片ABCD折叠，使点G落在边CD上的点M处，展开后得到折痕 DN,则M为CD的三等分点，即DM=CD, 下面是该结论的部分证明过程： 证明：.四边形ABCD是矩形，.∠ADC=90°. 由折叠的性质，得CF=BC=20cm,CH=CD=16cm,DG=GH=DM,∠CHG=∠ADC=90°. 在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF=√CF2-CD=12cm. 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程 (2)如图⑤，在图④的基础上，将矩形纸片ABCD沿折痕DN折叠后，点C恰好落在AD上的点 Q处，判断四边形CDQN的形状，并加以证明 D A A ② ③ 5 4下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务 “十字架模型”的拓展研究 有这样一道习题：如图①，四边形ABCD是一个正方形花园，E,F是它的两扇门，要修建两条路BE和 AF,且使得BELAF,那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面的问题，我是这样思考的： :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠BAE=∠ADF=90°. ∴.∠DAF+∠AFD=90°. .BE⊥AF, ∴.∠BEA+∠DAF=90°. ∴.∠BEA=∠AFD. ∴.△ABE≌△DAF. .·.BE=AF. 有趣的是，对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，这两 条线段是否仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图②，在正方形ABCD中，若点M,N,P,Q分别是AB,CD,BC,AD上的任意一点，且MNIPO,垂足为 O,则MN仍然与PQ相等.证明如下： 如图②，过点M作ME⊥CD于点E,过点P作PF⊥AD于点F. ∴.∠MEN=∠PFQ=90° 易得四边形AMED和四边形ABPF均为矩形， ME=AD,PF=AB. .AB=AD」 ..ME=PF. .MNLPO,.∠N0Q=90° 在四边形QOND中， :∠N00=∠D=90°， 任务： (1)请根据小论文提供的思路，补全剩余的证明过程； (2)如图③，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边上的中点E处，点C落在 点F处，折痕为MW,则线段MW的长为 参考答案及详解 .∠CHG=90°，.∠FHG=90° 阅读与思考 在Rt△GHF中，FGP=FP+GP 1.解：(1)BCD 即(12-广-4+，解得x-5DM 3 (2)如图，以点0为原点，过点0平行于BC的直线为x轴，建 立平面直角坐标系： CD-16.DM-CD. (2)解：四边形CDQW是正方形 证明：四边形ABCD是矩形， .∴.∠ADC=∠C=90°. 由折叠，得∠NQD=∠C=90°，DQ=CD. .四边形CDQN是矩形 又DQ=CD, 四边形ABCD是正方形，.BC=CD=AB=8 ·.四边形CDON是正方形 .CE=DF=4, 4.(1)证明：∠N00+∠D+∠00D+∠MWE=360°， .E(8,-4),F(4,8). ∴.∠OQD+∠MNE=180° 点G为EF的中点，.G(6,2) .∠P0F+∠0QD=180°， 设直线OE的解析式为y=kx, .∠MNE=∠POF 则8k=-4,解得k=2 1 又ME=PF,∠MEN=∠PFQ, △MNE≌△PQF(AAS). ·直线0E的解析式为)=2 ∴.MW=PQ. 当x=4时，y=-2,∴.H(4,-2)。 (2)2W5 .GH=,/(6-4)2+[2-(-2)]=2√5 解析：如图，过点A作AT∥MN交CD于点T,连接BE. 2.（1)解：2AE2+(BD+DE)2+(CD-DE)3 =2AE+(BD+DE)(BD-DE) =2AE2+2BD2+2DE2 =2AD+2BD =2(AD2+BD2) (2)证明：如图，连接AC,BD相交于点O,连接OP. 由折叠，得MNLBE、 ·.AT⊥BE. 根据材料，得BE=AT. .·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=4,∠BAE=90°，AM∥NT :四边形ABCD是矩形， :点E是AD的中点， AC=BD.0A=号AC,0BBD 六AB=B=2D=2 ∴.OA=0B .BE=√AB2+AE2=√42+22=2√5. 根据阿波罗尼奥斯定理，得PA+PC2=2(OAP+OP),PB+PD =2(0B2+0P2). .AT=2W5. .PA'+PC2=PB2+PD. .∵AM∥NT,AT∥MN .四边形AMWT是平行四边形 3.(1)解：.∵CF=20cm,CH=16cm, .∴.FH=CF-CH=20-16=4(cm) ∴.MW=AT=2√/5 设DG=GH=DM=xcm,则FG=(12-x)cm.