2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二

**基本信息** 聚焦八年级数学下册高频重难点，以传统文化（剪纸）、社会热点（路面维修）为情境，通过新定义（勾股四边形）、动态变换（折叠）等创新题型，分层考查几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|图形变换、因式分解、函数象限|第1题剪纸操作考查空间观念，第5题路面维修体现模型意识| |填空题|6题|函数性质、三角形判定、网格旋转|第12题用代数变形判断三角形形状，融合运算与推理| |解答题|8题|方程应用、几何证明、新定义探究|24题勾股四边形新定义探究，综合等边三角形旋转与推理能力；23题折叠问题结合平行四边形性质，考查动态几何直观|

2025-2026学年八年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷二 一、选择题 1．2015年第 39 个国际博物馆日，河北博物院开放“蔚县剪纸”等三个展厅，通过现场操作等 多种形式，让市民体验传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图 1，如图 2 所示的方式对折，然后沿图 3 中的虚线裁剪，则将图 3 的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．已知边长分别为，的长方形的周长为20，面积16，则的值为（    ） A．160 B．80 C．320 D．40 4．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 5．近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．若为实数，则点不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 8．如图，等边三角形中，，点在线段上，，则长度为（     ） A． B． C．1 D． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长是（     ） A．14 B．24 C．28 D．38 10．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是________． 12．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是__________ ． 13．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 14．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是点_________． 15．在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则的长为_____ ． 16．如图，四边形中，，且，是的中点，，则________． 三、解答题 17．因式分解： (1) (2) 18．解分式方程． (1)； (2)． 19．暑假期间，两位老师计划带领若干名学生外出参加社会实践活动，他们联系了报价均为每人500元的甲、乙两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费．他们选择哪家旅行社支付的费用较少？ 20．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 21．如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题． (1)求的面积． (2)将向上平移5个单位长度，画出平移后的． (3)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______， ______，点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 23．如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接． (1)求证：． (2)若点落在平行四边形的边上，求的长． (3)若，求的长． 24．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)【操作感知】如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出一个以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (2)【探究论证】如图2，和都是等腰直角三角形，，将绕点B旋转，当时，求证：四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (3)【迁移探究】如图3，和都是等边三角形，将绕点B旋转，连接，若，在旋转的过程中，当四边形是以为勾股边的勾股四边形时，请直接写出线段的长． 参考答案 1．D 【分析】一种方法是找一张正方形的纸按图1，图2中方式依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将纸片打开铺平所得的图案，另一种方法是看折的方式及剪的位置，找出与选项中的哪些选项不同，即可得出正确答案． 【详解】在两次对折的时，不难发现是又折成了一个正方形， 第一次剪的是在两次对折的交点处，剪一扇形，会出现半圆，所以A，C肯定错误， 第二次剪的是折成的小正方形的上面的一个圆形，会出现4个小圆，所以B肯定错误， 故选D． 【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行动手操作，可以直观的得到答案． 2．D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式， 因式分解要求结果必须是几个整式的积的形式． 【详解】解：A选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B选项的变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； C选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D选项将多项式化为两个整式和的积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】根据长方形周长和面积公式得到和的值，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵边长为、的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 4．A 【分析】将化为，对所求代数式进行化简，再利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 5．B 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 6．D 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的横纵坐标的符号特征，列出关于的不等式组，判断不等式组是否有解，有解说明点可能在该象限，无解则说明点不可能在该象限． 【详解】解：平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号规律为：第一象限横纵都正，第二象限横负纵正，第三象限横纵都负，第四象限横正纵负， 、若点在第一象限，则，解得，不等式组有解， ∴点可能在第一象限，该选项不符合题意； 、若点在第二象限，则，解得，不等式组有解， ∴点可能在第二象限，该选项不符合题意； 、若点在第三象限则，解得，不等式组有解， ∴点可能在第三象限，该选项不符合题意； 、若点在第四象限则，解得且，不等式组无解， ∴点不可能在第四象限，该选项符合题意． 7．C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 8．B 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出边长，利用勾股定理求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，，， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 9．B 【分析】根据平行四边形“对角线互相平分”的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ． 10．C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 11． 【分析】根据一次函数的增减性，可得一次项系数小于零，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随着自变量的增大而减小， ∴， 解得：． 12．等腰三角形 【分析】先把等式两边的项移到一起，整理成一边为零的形式；对整理后的式子进行因式分解，得到两个因式相乘等于零的形式；根据三角形边长的性质(两边之和大于第三边)，排除其中一个因式为零的可能；得出剩下的因式为零，即两条边相等，判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵的三边长分别为、、， ∴， ∴， 即， ∴的形状一定是等腰三角形． 13．或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 14．P 【分析】利用旋转的性质，即旋转中心到对应点的距离相等，其交点即为旋转中心． 【详解】解：连接、、、、、，如图， 记网格长度为1， ，，， 又， 则， ， ， 绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点． 经验证，点Q，点M，点N均不满足到对应点的距离相等． 15．4 【分析】由题意易得平分，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．/90度 【分析】由已知可判定四边形是平行四边形，证明，进而推出，，则，即可得解． 【详解】解：∵四边形中，，且， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 19．当带领的学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社费用相同；当带领的学生人数多于4人时，选择甲旅行社支付的费用较少；当带领的学生人数少于4人时，选择乙旅行社支付的费用较少 【分析】设带领的学生人数为人，分别求出甲旅行社的费用、乙旅行社的费用，再分三种情况：①，②，③，分别建立方程、不等式，解方程和不等式即可． 【详解】解：设带领的学生人数为人， 则甲旅行社的费用为（元）， 乙旅行社的费用为（元）， ①当时，则，解得， 即当带领的学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社费用相同； ②当时，则，解得， 即当带领的学生人数少于4人时，选择乙旅行社支付的费用较少； ③当时，则，解得， 即当带领的学生人数多于4人时，选择甲旅行社支付的费用较少； 答：当带领的学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社费用相同；当带领的学生人数多于4人时，选择甲旅行社支付的费用较少；当带领的学生人数少于4人时，选择乙旅行社支付的费用较少． 20．(1)跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 (2)最低费用为1600元 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 21．(1) (2)如图所示： (3)如图所示： 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （2）将三角形的三个顶点A，B，C向上平移5个单位长度得到点，再依次连接可得； （3）将的三个顶点绕原点O顺时针旋转得到点，再依次连接即可． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）略 22．(1)12，8， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得出m和n的值，即可得出点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）分类讨论：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，根据平行四边形的性质分别求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点B的坐标为； （2）解：设点D的坐标为， 点A的坐标为， ， 由（1）得点B的坐标为， ， ， ， 解得或， 点D的坐标为或； （3）解：点B的坐标为， ， 点Q运动到点C时，， 由题意知， ，，， 当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 分两种情况： 当点P在线段上时，， 由得， ； 当点P在线段的延长线上时，， 由得， ， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； （2）作交的延长线于点，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据，进行求解即可； （3）过D作于H，同（2）可得，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ，即， ， ，， ， ； （2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， ∵， ． ∴； （3）解：过D作于H， 同（2）可得，， 连接交于G， 由折叠可知，， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先证明，得到，易求，进而得到，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F，证明，得到，进而得到，即是直角三角形，且，求出，进而求出，利用勾股定理求出，，分点在线段上，点在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形； （3）解：连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 当点在线段上时，如图， ∴； 当点在延长线上时，如图， ∴； 综上，线段的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $