期末专项复习4 综合与探究类问题-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步单元卷(北师大版·新教材)

2025一2026学年第二学期期末专项复习（四）七年级数学BS 综合与探究类问题 1如图①，△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若两点分别从C,B同时 出发，以相同的速度分别由C向A和由B向C运动，连接AP,BD交于点Q. (1)两点运动过程中AP=BD成立吗？请说明理由. (2)求∠BQP的度数， (3)如果把题干中“动点D在边CA上，动点P在边BC上”改为“动点D,P分别在CA和BC的 延长线上”，其他条件不变，如图②所示，那么在两点运动过程中，∠BOP的大小是否变化？ 请说明理由. D (① ② 2已知：AB∥CD,直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F. (1)如图①，若∠1=58°，求∠2的度数； (2)如图②，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,EP的延长线交CD于点G,H是MN上一点，且 GHLEG,那么PF与GH平行吗？为什么？ (3)如图③，在(2)的条件下，连接PH,K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK交 EF于点Q,那么∠PQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由 M E B E B -D C- 2 N/H ① ② ③ 大 3问题情境： 数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系 已知：在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD,过点C作AD 的垂线，垂足为点E,过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F: 独立思考： (1)如图①，当，点D与点B重合时，小颖发现BF=AC,请你帮她说明理由； (2)如图②，当点D为BC的中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系； 合作交流： (3)如图③，当点D在线段CB上（不与C,B重合），请探究线段BF,BD与AC之间的数量关系， 并说明理由 ① fz" 4如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,点D是直线MN上一 点，不与点A重合 (1)若点E是图①中线段AB上一点，且DE=DA,请判断线段DE与DA的位置关系，并说明 理由； (2)如图②，在(1)的条件下，连接BD,过点D作DP⊥DB交AC所在的直线于点P,请判断DB 和DP的数量关系，并说明理由： (3)如图③，在图①的基础上，改变点E的位置，使点E在线段AB的延长线上，仍使DE=DA, 连接BD,过点D作DPLDB交线段CA的延长线交于点P,请判断(2)中的结论是否依然成 立，并说明理由. M D A M D ① ② ③ 参考答案及详解 几何实际应用问题 所以∠ODE=∠ADC=38°， 1.A 所以∠CDE=180°-∠ODE-∠ADC=104°， 2.A 所以∠DEB=180°-∠CDE=76 3.A 7.15 4.C解析：因为AB∥CD,FM∥CD. 8.145°解析：如图 所以AB∥FM,∠DEF+∠EFM=180° 光 所以∠MFA+∠BAG=180°、 0 所以∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=-30° 609 40°D 因为CG∥EF 所以∠EFA=∠AGC=80°， 由题意可知∠CA0=60°，∠B0D=40°，∠CAB=75°， 所以∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°， 所以L0AB=LCAB-LCA0=75°-60°=15° 所以∠DEF=180°-∠EFM=180°-50°=130° 因为AC∥OD 5.①专项（四）综合与探究类问题 所以∠AOD=∠CAO=60°， 所以∠A0B=∠A0D-∠B0D=60°-40°=20° 1.解：(1)AP=BD成立 所以∠AB0=180°-∠AOB-∠0AB=145° 理由：因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC, 9.解：由题意可知AC⊥BD,A'F⊥BD, 所以∠C=∠ABP=∠BAC=60 所以LACB=∠A'FB=90°， 由题意得CD=BP, 所以∠A'BF+∠BA'F=90° 所以△ABP≌△BCD 又因为A'B⊥AB 所以AP=BD. 所以∠A'BF+∠ABC=90°， (2)由(1)可知△ABP≌△BCD. 所以∠ABC=∠BA'F 所以∠APB=∠BDC 在△ACB和△BFA'中 因为∠BDC+∠ACB+∠CBD=180°，∠APB+∠BOP+∠CBD= 因为∠ACB=∠A'FB,∠ABC=∠BA'F,AB=A'B, 180°， 所以△ACB≌△BFA', 所以∠BQP=LACB=60°. 所以A'F=BC, (3)∠BQP的大小不变 由题意可知CD=AE=1.5m 理由：由(1)可知AB=BC=AC,∠ACB=∠ABP=∠BAC=60°， 所以BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m), 所以∠ACP=∠BAD=120° 所以A'F=1m,即点A'到BD的距离A'F的长为1m. 由题意得BP=CD, 2.解：(1)因为AB∥CD 所以BP-BC=CD-AC,即CP=AD. 所以∠1=∠EFD 在△ACP和△BAD中，因为AC=AB,∠ACP=∠BAD,CP=AD. 因为∠EFD+∠2=180°， 所以△ACP≌△BAD 所以∠1+∠2=180°. 所以∠APC=∠BDA. 因为∠1=58°， 又因为∠DAQ=∠PAC, 所以∠2=122 所以∠DQA=180°-∠BDA-LDAQ=180°-∠APC-∠PAC=∠ACP (2)PF∥GH. =120°， 理由：因为AB∥CD, 所以∠BQP=180°-∠DOA=60° 所以∠BEF+∠EFD=180 6.76°解析：因为DC∥0B,∠A0B=38°， 又因为∠BEF与∠EFD的平分线交于点P, 所以∠ADC=∠AOB=38°，∠DEB+∠CDE=180° 因为DE是人射光线，CD是反射光线， 所以LFEP 2BEE,∠EFP-1 所以∠FEP+∠EFP (∠BEF+∠EFD)=90°， (3)BF+BD=AC, 2 理由：由(2)可知△ACD≌△CBF 所以∠EPF=90°， 所以BF=CD 因为GH⊥EG, 所以BF+BD=CD+BD=BC=AC 所以∠EGH=90°， 4.解：(1)DE⊥DA. 所以∠EPF=∠EGH, 理由：因为∠BAC=90°，AB=AC 所以PF∥GH. 所以∠B=∠C=45. (3)∠HPQ的大小不发生变化 因为MW∥BC, 由(2)可知PF∥GH 所以∠DAE=∠B=45° 所以∠PHK=∠FPH. 因为DE=DA, 因为∠PHK=∠HPK, 所以∠DEA=∠DAE=45°， 所以∠FPIE∠HPK2∠FPK 所以∠EDA=90°，即DE⊥DA 因为PQ平分∠EPK, (2)DB=DP. 理由：因为∠DEA=∠DAE=45°， 所以LEPQ=LQPK=2EPK, 所以∠DAP=∠DAE+∠BAC=135°，∠DEB=180°-∠DEA=135°， 所以∠DO=∠OPK-∠IPK∠EPK∠FPK-(∠EPK 所以∠DEB=∠DAP F)5 因为DP⊥DB 所以∠BDP=90° 3.解：(1)因为AC=BC,CE⊥AB 所以∠BDE+∠EDP=90 所以AE=BE. 因为∠EDP+∠PDA=∠EDA=90°， 因为AC∥BF, 所以∠BDE=∠PDA 所以LA=∠FBE 在△BDE和△PDA中 在△AEC和△BEF中， 因为∠BDE=∠PDA,DE=DA,∠BED=∠PAD, 因为∠A=∠FBE,AE=BE,∠AEC=∠BEF, 所以△BDE≌△PDA. 所以△AEC≌△BEF 所以DB=DP: 所以BF=AC (3)成立 (2)BF-AC, 理由：因为∠BAC=90°，AB=AC, 提示：因为∠ACB=90° 所以∠ABC-45°」 所以∠CAD+∠ADC=90° 因为MN∥BC, 因为CE⊥AD, 所以∠DAE=∠ABC-45° 所以∠ADC+∠BCF=90°， 因为DE=DA, 所以∠CAD=∠BCF 所以LDEA=LDAE-45° 因为AC∥BF,∠ACB=90°， 所以∠EDA=90°，∠DAP=180°-∠DAE-∠BAC=45°， 所以∠CBF=90°， 所以∠DEA=∠DAP. 所以LACD=LCBF 因为DP⊥DB 在△ACD和△CBF中， 所以∠BDP=90°， 因为LCAD=LBCF,AC=BC,∠ACD=LCBF, 所以∠ADB+∠ADP=90° 所以△ACD≌△CBF、 因为∠EDB+∠ADB=∠EDA=90°， 所以BF=CD 所以∠EDB=∠ADP. 因为点D为BC的中点，AC=BC, 在△BDE和△PDA中 因为∠EDB=∠ADP,DE=DA,∠DEA=∠DAP, 所以△BDE≌△PDA, 所以BF=1C 所以DB=DP