2026年高考数学考前最后一课（含PDF，可直接打印）

该高中数学高考复习资料覆盖函数与导数、三角函数、数列等核心考点，按热点命题、高频速查、技法指导、易错清零、模拟训练系统架构知识，通过考点梳理、方法总结、真题演练等环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学眼光创设传统文化情境，用数学思维解析跨学科问题，如函数与导数压轴题的隐零点、同构方法指导，设置分层训练和易错清单，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

6学科网 2026 赣 课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当风凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光森微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸页的沙响；既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 高考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自己，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 “静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”【 以初心为灯，照亮未来 高考不是终点，而是新篇章的起点。这个世界从不会幸负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 般殷的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在高考的考场上壁画自己的明天！相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 函学科网 执笔为刃，智启巅峰 数学 2026终极寺魁 高考数学冲刺最后一课 录 考前冲刺篇 ◇技法·得分加速器◇一 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 01高考倒计时30天，精准发力稳提分指南 (P73) 写在前面：冲刺复习备考指导 02高考数学核心考，点解题方法与策略(P79) ◇热点·命题风向标◇一 03多选题抢分策略（P85) 01近6年新高考数学高频考点大数据统计 04解答题答题规范与采分，点模板（P89) (P5) 05解答题常见条件及问题转化策略（P103) 02新情境试题：传统文化、科技应用、生活 ◇辣雷·易错点清零◇ 建模（P13) 01易错易混知识排雷（40条)（P115) 03函数与导数压轴命题趋势：隐零点、同构、 02审题解题思维排雷（20条)（P117) 切线放缩(P17) 03计算失误高频点清单（15条)（P118) 04解析几何热，点：定点、定值、最值、范围 （P22) ◇中刺·压轴预测练◇ 05概率统计热，点：决策问题、回归、独立性 2026高考数学冲刺绝杀卷（P119)》 检验（P26) 2026高考数学终极押题卷（P124) 06立体几何新考法：外接球、截面、动态问 考中实战篇 题(P35) 临场提分：控节奏、稳心态、破危局 07数学史与逢五逢十纪念热点命题（P40) 08跨学科融合题型：数学+物理/信息/经济 01考前准备清单与考场镇静术（P128) (P44) 02高考数学临场答题全攻略（P131) ◇椽心·高频点速查◇一 03难题/卡壳题应急破局指南（P138) 04不会也能拿分：缺步解答、跳步解答、合 速查01集合、逻辑、复数、平面向量(P48)》 理猜结论（P142) 速查02函数与导数（P52) 05答题卡规范、填涂与书写避坑（P148) 速查03三角函数、三角恒等变换、解三角形 （P56) 考后辅导篇 速查04数列通项与求和（P60) 平稳收官：慎择校、启新程、向未来 速查05立体几何：表面积、体积、位置关系 01考后禁忌：不估分、不讨论、不内耗P153) (P63) 02志愿填报：专业选择指南（P154) 速查06直线与圆、圆维曲线（P66) 03心态调适：释压与重启（P159) 速查07计数原理、概率、统计（P69) 速查08思想方法与应试策略（P71) 3/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考前冲刺篇 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要，状态胜过盲目努力。这段时间，不贪攻难题、不纠结模 拟得失，核心目标明确：稳住备考节奏、清空焦虑情绪、强化应试信心，高效发挥真实水平。 一、时间管理：精准高效，不内耗、不盲目 1.回归基础，不钻牛角尖：将80%精力投入基础题与中档题（高考主要得分点）；压轴题聚焦常规 思路、抓取步骤分，杜绝无效内耗。 2.定时训练，保持手感：每日定时专项训练：30-40分钟限时完成选择填空，40分钟打磨解答题模 板，保持答题节奏比盲目刷题更具实效。 3.错题只看“错因”：无需重做整张错题卷，重点复盘审题、计算、思路、公式四类错因，同类错误 彻底清零，避免重复踩坑。 4.作息与考试同步：下午15：00-17：00主动切换至数学状态，适配高考时段，让大脑保持最佳兴奋 度，避免考试时状态脱节。 二、情绪调节：稳心态，降焦虑，强底气 1.接纳紧张，正常发挥：适度紧张是应试最佳状态，告诉自己：人人皆有紧张感，高考拼的是心态， 稳住即是赢。 2.拒绝自我否定：模拟分数波动属正常现象，一次失利不代表真实实力，过往所有失误，都是为高 考规避风险。 3.用“小胜利建立信心：每日完成基础卷、背诵公式、梳理题型，点滴进步都是实打实的提分，稳 步夯实应试底气。 4.深呼吸+积极暗示：焦虑时暂停10秒深呼吸，默念：“基础吃透，中档必对，难题抢分，从容发 挥，不负努力。” 三、认知重塑：抓本质，懂取舍，强韧性 1.高考数学：重基础、重规范、重通法：高考不考“秒杀技巧”，牢记公式、熟练常规方法、规范答 题步骤，是最稳妥的提分路径。 2.学会“舍得'：考场不追求满分，会做的题确保不失分，不会的题尽力抢步骤分，死磕难题得不偿 失。 3.强化韧性：遇卡不慌，遇难不乱：遇到思路卡顿，果断跳过，先完成有把握的题目；心态平稳则 思路清晰，回头再做往往能突破瓶颈。 4.你已经准备充分：三年苦读积淀，千题实战历练，你已具备足够应考能力，坚定信念，正常发挥 必能如愿。 最后送给大家一句话： 把会的做对，把对的写全，你就是赢家。 愿大家提笔从容自信，合笔如愿以偿，高考数学，必胜！ 4/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点·命题风向标◇ ●热点01：近6年新高考数学高频考点大数据统计 这份近6年新高考数学高频考点统计，考前7-15天用最高效，按“抓核心、避冷门、练方法、稳得分” 的思路直接落地即可。 一、整体使用原则 1.优先抓五星★★★★★考点 函数导数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计的五星考点是必拿分点，考前只练这些，不 碰偏题怪题。 2.按题型分配时间 选择填空：主攻性质、公式、速解技巧；解答题：主攻步骤模板、通法、计算规范 3.只补高频漏洞 标注文档里“易被忽略”“隐含条件”“易错点”，考前只过这些，不全面复盘。 函数与导数板 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 函数三要素（定义域、值 基础题，常作为隐含条件出现在复杂问 域、对应关系) ★★☆☆☆ 题的起点，易被忽略导致错误。 函数四大性质（单调性、 绝对核心。选择填空直接考查；解答题 函数基础 奇偶性、周期性、对称性) ★★★★★ 中作为核心分析工具。对称性与周期性 的综合是难点。 基本初等函数图象与性 是分析复杂复合函数的基石，图象识别 质（幂、指、对、反比例、 ★★★☆☆ 与性质应用是基本功。 对勾函数等) 导数的几何意义（求切线 必考基础。常出现在选择、填空或解答 方程) ★★★★☆ 题第一问，属于送分题，务必拿稳。 导数与函数单调性（求单 导数基础 调区间、由单调性求参数 核心中的核心。是几乎所有导数综合题 ★★★★★ 的解题起点和关键步骤。 范围) 导数与函数极值、最值 核心应用。与不等式证明、恒成立、实 (求极值点、最值) ★★★★★ 际问题求最优解等结合紧密。 不等式证明（构造函数、 经典难点，重点考查逻辑推理和转化化 利用单调性、最值证明) ★★★★☆ 归能力。 导数综合应 恒成立存在性问题（含 最高频难点。是区分考生能力的关键题 用 参不等式恒成立、能成立 ★★★★★ 型，必须掌握参变分离、分类讨论、端 问题) 点效应等主流方法。 函数零点问题（讨论零点 ★★★★★ 最高频难点。与单调性、极值、图象深 5/181 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 个数、已知零点求参数范 度融合，常用数形结合与分离参数法。 围) 传统难点，近年考查频度有所降低，更 极值点偏移问题 ★★☆☆☆ 注重通性通法，但掌握其原理有助于理 解函数形态。 与三角函数结合（如 显著上升的新趋势与难点。突破固定函 2025I卷19题) ★★★★☆ 数模型，对导数工具通用性和三角运算 能力要求极高。 创新与交汇 与数列、不等式深度融合 体现模块综合，考查数学整体思维和跨 (如2025I卷16题) ★★★☆☆ 章节知识迁移能力。 考查即时学习与应用能力，但剥开外壳 新定义函数或情境 ★★☆☆☆ 后，本质仍是分析给定函数的性质。 ● 五道必刷题： L.己知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当0≤x<1时，f(x)=2x, 3 A.2 B.1 C.-1 D.2 2.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(Ix)g(x)是奇函数 3.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2，十o)上为增函数，则实数m的取值范围为() A.(-0,2)B.(-o,2] C.(-0,) D.(w, 4.若a满足x+g=6,b满足x+10=6,函数f(因)=+(a十b)x+2r<0?,则关于x的方程f()=5x 2,x≥0 的解的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 5.函数f()=a+n的单调增区间为() A.(-o,e-）B.(0,e) C.(0,e） D.(e,tm） 6/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、三角函数与解三角形 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 同角三角函数关系(sina+cos2a= ★★★★☆ 化简、求值的基础，常与诱导公式结合。 1,tana sina/cosa) 诱导公式 实现“大角化小角”、“负角化正角”的关 ★★★☆☆ 三角函数概 键工具。 念与恒等变 核心工具。三角恒等变换的灵魂，用于 换 两角和与差公式、二倍角公式 ★★★★★ 化简、求值、证明，是连接条件与结论 的桥梁。 辅助角公式(asinx+bcosx化一) 研究三角函数性质（如求最值、周期、 ★★★★☆ 单调区间)的必备技能。 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（定 义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、 绝对核心。选择题、填空题的直接考查 ★★★★★ 对象，也是分析复杂三角函数的基础。 对称性) 三角函数图 最高频综合考点。涉及： 象与性质 1.图象变换（平移、伸缩）； 函数y=Asin(wx+p)的图象与性质 ★★★★★ 2.由图象求解析式（识图）： 3.由性质求参数（0,0，A)。 三角函数的零点、最值（值域）问题 常与函数性质结合，或作为工具用于解 ★★★★☆ 三角形、实际应用问题中。 正弦定理及其应用（边角互化、外接圆 两大核心定理之一。适用于“两角一边” 半径) ★★★★★ 或“两边一对角”模型，是边角转化的主 要工具。 余弦定理及其应用（边角互化、判断三 两大核心定理之一。适用于“两边一角” ★★★★★ 或“三边”模型，尤其擅长处理边的平方 解三角形 角形形状) 关系。 三角形面积公式(S=absinC等) 求面积的核心公式，常与正弦定理结 ★★★★☆ 合，也用于建立边角关系。 三角形中的边角关系与内角和定理 隐含条件。是消元、化简三角恒等式的 ★★★★★ (A+B+C-π) 关键，极易被忽略。 解三角形的实际应用（测量高度、距离、 体现数学建模素养，将实际问题抽象为 角度等) ★★☆☆☆ 解三角形模型。 与平面向量、解析几何、立体几何的交 体现知识的工具性，三角函数作为计算 ★★★☆☆ 汇 工具出现在其他板块的题目中。 综合与应用 解三角形中的最值/范围问题（求周长、 难点与热点。常需综合运用正余弦定 ★★★★☆ 理、基本不等式、三角函数值域或函数 面积、边的范围) 思想求解。 多三角形问题（条件分散在多个三角形 考查分析能力，关键在于寻找“公共边' 中) ★★★☆☆ 或“公共角”作为桥梁联系多个三角形。 五道必刷题： 1.已知2，B都是锁角，cosa-子om(a+)=-号则ccB的值为（) 7/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 24 B._ 24 25 25 D.-25 2.定义在R上的函数f()既是奇函数又是周期函数若∫()的最小正周期是π，且当x∈0,2 f(x)=sinx, 则f八3 π 的值为() A.3 B.= 5 2 C. 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在边AC上，已知A=,AD=5,BD=7,csin B=bcosC 3 2 则BC=() A.8 B.10 C.83 D.105 4.已知点D为△ABC外一点，BC=2AB=2AD=2CD,∠ADC=120°，则角B=() A.30 B.45° C.60° D.90° 5.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15的斜坡向上 走了600m到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为 () C B A.300(V6+V2)m B.300V6-√2)m C.600(V3+1)m D.600(3-m 三、数列 8/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 研究数列的起点，是理解数列 数列的通项公式(an与n的关系) ★★★★☆ 性质、进行后续运算的基础。 核心概念。高考命题的常见切 数列基础 数列的递推关系(an与anl等项的 关系) ★★★★★ 入点，由递推关系求通项是经 概念 典问题。 核心概念。与通项an的关系 数列的前n项和Sn ★★★★★ (an=Sn-Snl,n≥2)是解题的万 能钥匙。 定义与通项公式(am=a1+(n-1)d) 两大基本数列之一。定义、通 ★★★★★ 项、性质必须滚瓜烂熟。 简化运算、判断等差数列的重 等差中项性质(2A=a+b) ★★★★☆ 要工具。 等差数列 前n项和公式S,=a+a) 2 核心公式，常与函数结合考查 n(n-1)d ★★★★★ 最值。 S=na+ 2 等差数列的性质（下标和相等则项 快速解题的“秒杀技巧，但需 和相等等) ★★★★☆ 理解其原理。 定义与通项公式(am=a1-l) 两大基本数列之一。定义、通 ★★★★★ 项、性质必须滚瓜烂熟。 等比中项性质(G?=ab) 简化运算、判断等比数列的重 ★★★★☆ 要工具。 等比数列 前n项和公式(q=1和q1两种情 核心公式，尤其注意公比q的 况) ★★★★★ 讨论。 等比数列的性质（下标和相等则项 积相等等) ★★★★☆ 快速解题的技巧，需理解原理。 由Sn求an 必会方法。利用 ★★★★★ a=Sn-Sn(n≥2)，并验证a1o 数列求通 项与求和 累加法、累乘法求通项 适用于特定递推形式（如 ★★★★☆ an+1=an+f(n),an+i=f(n).an) 9/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 经典方法，将非等差等比数列 构造法求通项（如an+1=pan+q型) ★★★★☆ 转化为等差或等比数列。 三大核心求和方法。裂项相消 分组求和、裂项相消、错位相减法 ★★★★★ 和错位相减是解答题高频考 点。 数列与函数、不等式的结合（如比 体现数列的函数属性（离散函 较大小、证明不等式) ★★★★☆ 数)，考查综合应用能力。 数列中的最值问题（求Sn的最值、 常将Sn视为关于n的二次函数 使an最大的n等) ★★★★☆ (等差)或利用通项单调性解 决。 数列综合 新定义或探究题中可能出现， 数列的单调性、有界性等性质探究 ★★☆☆☆ 与应用 考查对数列本质的理解。 数列的实际应用模型（增长率、分 体现数学建模，将实际问题抽 期付款等) ★★☆☆☆ 象为数列模型。 显著上升的新趋势。考查即时 “新定义”数列问题（如2024年全国 I卷19题) ★★★☆☆ 学习、理解新规则并运用数列 核心知识解决问题的能力。 ●五道必刷题： 1.在数列包3巾，4=子双2，则《) A.S=ntn 3 B.3.=n2+1 3 C.4,-3 2 Da=2n青 2.Sn为等比数列{an}的前n项和，a>0,对n∈N,甲：SH>Sn;乙：a+1>an:则() A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，A,B1分别是边BA,CB的中点，A,B2分别是线段AABB的中点，，A,Bn分别是线段 An-1ABn-B(n∈N,n>)的中点，设数列{an,{b}满足：向量BnA=anCA+bnCB(n∈N),有下列四个命 10/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题，其中假命题是： A.数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列 B.数列{an+b}是等比数列 C数列学有最小值，无最大值 D.若ABC中，C=90,C1-CB,B可，则最小时，a+b,-月 4.设等比数列a,}前n项和为S。,若a+8a,=0,则 S A.g 15 c居 D. 5.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn,若a,=1且S,2S2,4S4成等比数列，数列 } 的 前n项和为Tm,若对任意neN*,t>Tn均成立，则实数t的取值范围是() A.4 C.t24 3 B.t>1 D.t≥1 四、立体几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 基本立体图形的结构特征（柱、 认识几何体的基础，常以小题判断正误形式 锥、台、球) ★★★☆☆ 考查。 直观图（斜二测画法） ★★☆☆☆ 新课标已淡化，但理解画法有助于空间想象。 空间几何体表面积与体积计算（柱、锥、 高频计算考点。选择题、填空题常见，解答 台、球) ★★★★☆ 题中也可能作为一问。 组合体的表面积与体积（切割、 拼接) ★★★☆☆ 考查空间分解与组合能力。 四个基本事实（公理）及其推 逻辑推理的基石，用于证明共面、共线等问 论 ★★★☆☆ 题。 空间点、线、 面 空间点、线、面位置关系的判 断（平行、垂直、异面、相交、 基础核心。选择题高频考点，必须清晰理解 ★★★★☆ 在面内) 定义。 线线平行的判定与性质 平行关系证明的起点，常与线面、面面平行 ★★★★☆ 结合。 解答题核心考点（第1问)。判定定理（线 平行关系 线面平行的判定与性质 ★★★★★ 线平行→线面平行)和性质定理（线面平行 →线线平行)必须熟练掌握。 面面平行的判定与性质 判定定理（线面平行→面面平行）和性质定 ★★★☆☆ 理（面面平行→线线平行）是重要工具。 11/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 垂直关系证明的起点，定义、三垂线定理（逆 线线垂直的判定与性质 ★★★★☆ 定理)是常用工具。 解答题核心考点（第1问)。判定定理（线 垂直关系 线面垂直的判定与性质 ★★★★★ 线垂直→线面垂直)和性质定理（线面垂直 →线线垂直)是重中之重。 判定定理（线面垂直→面面垂直）和性质定 面面垂直的判定与性质 ★★★★☆ 理（面面垂直→线面垂直）是证明和计算的 关键桥梁。 异面直线所成角 高频计算考点。定义法（平移）或向量法求 ★★★★☆ 解。 直线与平面所成角（线面角） 解答题核心考点（第2问）。定义法（找射 ★★★★★ 影)或向量法求解。 空间角与距 离 解答题核心考点（第2问）。定义法（作棱 二面角（平面与平面所成角） ★★★★★ 的垂线)、三垂线法、射影面积法或向量法 求解。 点到平面的距离 向量法（投影法）或等体积法是主要方法。 ★★★☆☆ 新课标要求有所加强。 空间向量的线性运算与坐标表 ★★★☆☆ 工具基础，需熟练。 示 深刻理解“基”的思想，是向量法灵活应用的 空间向量基本定理与基底思想 ★★★☆☆ 关键。 用向量表示点、直线、平面（方 向量法的前提。准确求出法向量是解题第 ★★★★☆ 空间向量 向向量、法向量) 步。 用向量法证明平行与垂直 方法直观，但高考中更倾向于考查综合法证 ★★★☆☆ 明。 解答题核心工具（第2问)。将几何问题代 用向量法求空间角与距离 ★★★★★ 数化，是解决复杂度量和位置关系问题的强 有力工具。公式必须记准。 热点题型。考查动态中的不变性（长度、平 翻折（折叠）问题 ★★★★☆ 行、垂直关系)。 截面问题 ★★★☆☆ 考查空间想象和作图能力，难度较大。 综合与创新 多面体与球的外接、内切问题 难点与热点。关键在于确定球心位置，常转 ★★★★☆ 化为解三角形问题。 动态与最值问题 ★★★☆☆ 综合性强，常需结合函数、不等式知识。 教材或文化背景中出现的典型几何体，熟悉 “鳖臑”、“阳马”等经典模型 ★★★☆☆ 其性质可快速破题。 ●五道必刷题 1.在平面a内，直线a与斜线b在平面a内的射影垂直，那么下列说法正确的是() A.直线a与斜线b垂直 12/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.直线a与斜线b平行 C.直线a与斜线b异面 D.无法确定直线a与斜线b的关系 2.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，M,N分别是下底面的棱AB,,B,C,的中点，P是上底面的 棱AD上的一点，AP=了过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上，则PQ等于() A.22 C.2 D.2V5 3 3 3 3.如图，P是正方体ABCD-AB,CD中BC上的动点，下列命题： D ①AP⊥BC;②BP与CD,所成的角是60°；③Vn-ADc为定值； ④BP∥平面DAC;⑤二面角P-AB-C的平面角为45°. 其中正确命题的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.己知矩形ABCD,M是边AD上一点，沿BM翻折△ABM,使得平面ABM⊥平面BCDM,记二面角 A-BC-D的大小为，二面角A-DM-C的大小为B,则() A.&<B B.a>B C.a+B< D.a+B 5.已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为163，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的 正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为() A 56 B. 28√5 C.28 D. 28√2 3 3 五、解析几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 13/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 直线的倾斜角与斜率 ★★★☆☆ 基础概念，是研究直线位置关系的基础。 直线方程的几种形式（点斜 ★★★☆☆ 必须熟练，会根据条件选择合适形式。 式、两点式、一般式等) 直线与方程 两直线平行与垂直的判定（斜 率关系) ★★★★☆ 高频基础。小题和解答题中均常用。 距离公式（两点间、点到直线 核心工具。在圆、圆锥曲线问题中频繁使 两平行线间) ★★★★☆ 用。 圆的标准方程与一般方程 ★★★★☆ 必须熟练互化，能从方程读出圆心和半径。 点与圆、直线与圆、圆与圆的 核心内容。判断位置关系（特别是直线与 ★★★★★ 圆与方程 位置关系 圆)是高频考点，常涉及距离比较。 常用“圆心到直线距离d=半径'求切线： 圆的切线方程、弦长问题 ★★★★☆ 用“垂径定理（半径、弦心距、半弦长关系）” 求弦长。 定义（到两焦点距离和为定 两大核心圆锥曲线之一。定义是解题的源 值)与标准方程 ★★★★★ 头，方程是工具。 椭圆 几何性质（范围、对称性、顶 必考内容。离心率e是核心参数，联系 点、焦点、离心率e) ★★★★★ a.b.c. 焦点三角形（涉及定义、余弦 经典模型，常用来求离心率或面积。 定理) ★★★★☆ 定义（到两焦点距离差绝对值 为定值)与标准方程 ★★★★☆ 注意与椭圆的区别，定义应用广泛。 双曲线 几何性质（范围、对称性、顶 渐近线是双曲线的特有且核心性质，近年 点、焦点、离心率e、渐近线) ★★★★☆ 考查热度高。 定义（到焦点与准线距离相 等)与标准方程 ★★★★☆ 定义应用极其灵活，是简化运算的关键。 抛物线 几何性质（焦点、准线、通径） 焦点弦相关性质（如以焦点弦为直径的圆 ★★★★☆ 与准线相切)是常考结论。 坐标法（建系) ★★★★★ 解析几何的根本方法，将几何问题代数化。 待定系数法 ★★★★☆ 求曲线方程的基本方法。 核心运算技巧。联立方程后，利用韦达定 核心思想与方 设而不求，整体代换 ★★★★★ 理（根与系数关系）处理交点坐标和，避 免直接解出。 法 数形结合思想 灵魂思想。画图分析几何特征，引导代数 ★★★★★ 方向。 转化与化归思想 将复杂问题（如最值、定点定值）转化为 ★★★★★ 函数、不等式等模型。 直线与圆锥曲线的位置关系 解答题绝对核心。通过联立方程，用判别 ★★★★★ (相交、相切、相离) 式△判断。 综合问题 弦长问题 ★★★★☆ 公式 中点弦与垂直平分线问题 ★★★☆☆ 常用“点差法”处理中点弦斜率。 14/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 高频压轴题型。考查运算能力和恒等变形 定点与定值问题 ★★★★☆ 技巧，通常需先猜后证。 高频压轴题型。常转化为求函数值域或利 范围与最值问题 ★★★★☆ 用基本不等式、几何意义求解。 轨迹方程问题 ★★★☆☆ 定义法、相关点法（代入法）、参数法等。 ·五道必刷题： 1.圆x2+y2-4x-6y+9=0的圆心到直线ax+y+1=0的距离为2，则a=() A.-4 3 B.- 4 C.√2 D.2 2.双曲线二=1的一个顶点到渐近线的距离为(）· 416 A.5 B.4 C.45 D.25 3.过稀圆C若子-ab>0)的左顶点且斜率为号的直我与图G:+y-分交于不同的两个点。则 ,y2 椭圆C的离心率的取值范围是() B. c. D. 4.己知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点，点M在线段OB上，且OB=3OM,点N在 射线OA上，且OW=3OA,过M,N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C,D,则CD的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.10 S.已知P为椭圆怎+X红a>b0上意点，点M:N分别在直线义与y上EPM PN∥(，若PM+PN心为定值，则椭圆的离心率为() A. B.3 c.9 D.3 六、概率与统计 15/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 随机事件、概率的定 基础概念，理解必然、不可能、互斥、 义与性质 ★★★☆☆ 对立事件。 古典概型 高频基础。等可能事件的概率计算，常 ★★★★☆ 用枚举法或排列组合计数。 几何概型 新课标己淡化，但需了解其与古典概型 ★★☆☆☆ 的区别（无限样本空间）。 概率基础 条件概率 ★★★★☆ 核心增长点。理解定义P(AB)=P(AB P(B) 核心增长点。判断事件是否独 事件的独立性 ★★★★☆ 立P(AB)=P(A)P(B),是复杂概率模型的 基础。 全概率公式与贝叶斯 新高考热点与难点。用于处理复杂、多 公式 ★★★☆☆ 步骤的概率问题，体现逻辑推理。 离散型随机变量及其 解答题核心。必须会求分布列，理解其 分布列 ★★★★★ 性质（概率非负、和为1）。 离散型随机变量的期 解答题核心。EX)反映平均水平， 望（均值）与方差 ★★★★★ DX)反映波动程度。公式及性质必须熟 练。 随机变量及 其分布 最重要模型之一。n次独立重复试验中成 二项分布X~B(n,p) ★★★★☆ 功次数的分布。识别标志：“独立”、“重 复”、“概率不变”。 不放回抽样模型。识别标志：“任取n件”、 超几何分布 ★★★☆☆ “含M件次品”。需注意与二项分布区别。 抽样方法（简单随机、 分层、系统抽样) ★★★☆☆ 了解不同方法的适用场景和操作步骤。 数字特征：平均数、 统计基础 中位数、众数、方差、 核心工具。理解各自含义、计算及在数 ★★★★☆ 据分析中的作用。 标准差 图表：频率分布直方 会从图表中提取信息（频率、频数、众 图、茎叶图、扇形图 ★★★☆☆ 数区间、中位数位置等)。 16/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 应用热点。理解相关关系与函数关系的 一元线性回归模型 ★★★★☆ 区别，会求经验回归方程=bx+a,会 用r判断线性相关性强弱。 统计案例 应用热点。理解2×2列联表，会计 独立性检验 ★★★★☆ 算？统计量，并能根据临界值表判断两 变量是否独立。 概率与数列、函数结 难点。常需建立递推关系求概率，考查 合（递推型概率） ★★★☆☆ 建模能力。 概率与导数结合（最 将概率或期望表示为函数，用导数求最 综合与创新 优化问题) ★★★☆☆ 值。 统计与决策 基于统计结果（如回归预测、检验结论） ★★★☆☆ 进行合理推断或决策，体现应用性。 ●五道必刷题： 1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为；，两次闭合后 都出现红灯的概率为三，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为() 5 A.I 10 c D. 2.在(1-x)(1+2x)°的展开式中，x的系数是（) A.-40 B.-20 C.20 D.40 3.已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回， 直到取出2个正品为止.设X为取出的次数，则P(X=3)=() A青 c 4.已知专是离散型随机变量，则下列结论错误的是 A.Ps)Ps到 B.(E(5)≤E(5） C.D(5)=D(1-) D.D(5)=D-)) 5.已知随机变量X的分布列如下表： 17/181 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1 0 a 6 其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤二对所有a∈(0,1-b)都成立，则() 1 A.b≤ 3 B.bs2 C.b≥ D.b≥2 ◆热点02：新情境试题：传统文化、科技背景、生活应用 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识 的考查置于具体背景中，旨在引导学生由“解答试题转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 一、新情境试题的命题理念与功能 核心理念：落实“一核四层四翼”高考评价体系。 “一核”（立德树人）：通过情境发挥育人功能，引导学生关注国家发展、传承文化、树立正确价值观。 “四翼”（考查要求）：基础性、综合性、应用性、创新性主要通过情境载体来实现。 “四层”（考查内容）：核心价值、学科素养、关键能力、必备知识在解决情境问题的过程中得以综合 展现。 选拔功能：区分学生在陌生、复杂背景下抽象数学问题、建立模型、灵活运用知识的能力。 引导功能：推动教学从“知识灌输”转向“素养培育”，加强“教考衔接”，体现“无情境，不教学”的原则。 育人功能：厚植家国情怀，增强文化自信，培养社会责任感与科学精神。 二、三大核心情境类型与典型例题分析 情境类型 命题目的与特点 典型背景与例题 考查的素养与能力 古代科技与数学著作：“会圆术”(2022全国甲卷理8， 沈括《梦溪笔谈》)“割圆术”、“海岛算经”（刘徽）“祖 弘扬中华优秀传统文化，坚胞原理”（球体积计算） 数学建模、数学运算、逻 1.优秀传统 定文化自信，感悟先人智 古代建筑与工程：举架结构(2022新高考Ⅱ卷3)；天辑推理、直观想象。重点 文化情境 慧。多属于强情境，需理坛圆丘坛石板(2020全国Ⅱ卷理4)；日晷(2020新高 考查从文化描述中抽象数 解文化背景才能解题。 考I卷4) 学关系、建立模型的能力。 人文艺术：剪纸艺术(2021新高考I卷16)《周易》卦 象(2019全国I卷理6) 航天科技：嫦娥二号绕日探测(2022全国乙卷理4) 展现国家科技成就，激发科 北斗三号导航系统(2021新高考Ⅱ卷4)；天宫课堂、探数学抽象、数学建模、数 2.科技发展 学兴趣，树立服务国家建设 月工程 据分析、逻辑推理。考查 与进步情境 的信念。强调理论联系实 重大工程：南水北调工程(2022新高考1卷4，棱台体在科技背景下理解新概 际，体现数学的工具价值。 积) 念、进行数学表征和运算 前沿科学：5G信号塔覆盖、区块链密码，Logistic疫情模的能力。 型（2020全国Ⅱ卷) 3.生产生活 关注社会现实，学以致用， 公共卫生与健康：疫情防控、垃圾分类(2022全国甲卷数据分析、数学建模、数 与经济社会 培养社会责任感和实践能 文理2)；卫生习惯调查(2022新高考I卷20) 学运算、逻辑推理。突出 发展情境 力。情境贴近学生生活， 生态环境：树木材积量估计(2022全国乙卷文理19)；空数据处理、概率统计知识 应用性强。 气污染治理 在实际决策中的应用。 18/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情境类型 命题目的与特点 典型背景与例题 考查的素养与能力 经济生活：农户收入调查、乡村振兴、“一带一路”知识 竞赛 体育文娱：北京冬奥会志愿者培训、比赛计分 三、新情境试题的命题趋势与难点 优秀传统文化情境 弘场中华优秀传统文化，感悟先人智慧，考查数学建模、逻辑推理等能力 数学情境与素养 科技发展与进步情境 ·展现国家科技成就。考查数学抽象、数据分析等能力 生产生活与经济社会发展情境 关注社会现实，培养社会责任感和实践能力，突出数据处理、概率统计知识应用 趋势一：情境更加真实、多元与融合 素材来源极广，从古籍、新闻、科研论文到社会生活。跨学科情境增多，要求具备更广的知识面和信 息整合能力。虚拟科研场景出现，需从示意图、数据流中自主提取信息。 趋势二：阅读量与信息复杂度增加 题干篇幅普遍较长（如2022新高考Ⅱ卷3题关于举架结构的描述）。包含大量非数学术语和背景信息， 考查数学阅读理解能力。 (2022新高考Ⅱ卷3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水 平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD,CC,BB,AA是举， OD,DC,CB,BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 OD DC. 知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=() A A C B 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 趋势三：强化对“数学建模”素养的考查 无论何种情境，最终都指向“从实际情境中抽象出数学问题，用数学方法求解，并解释实际意义”的完 整建模过程。这是区分学生综合应用能力的核心。 19/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 主要难点： 信息筛选难：从大段文字中快速提取关键数学条件。 模型建立难：将陌生的实际关系转化为熟悉的数学结构（函数、方程、几何图形等)。 数学化表达难：用准确的数学语言描述情境中的规律。 四、备考策略 拓宽视野，关注热点：主动了解国家重大科技成就（航天、深海、A)、社会热点（环保、健康）和 优秀传统文化中的数学元素。 强化阅读，训练审题：进行专门的“长题干”审题训练，练习圈画关键词、剔除冗余信息、用符号语言 简化条件。 掌握建模通法：理解数学建模的一般步骤（审题→抽象→建模→求解→检验），并通过典型例题（如 人口增长、成本利润、几何测量)进行练习。 回归教材，重视本源：教材中的“探究与发现”、“阅读与思考”、“例题与应用栏目是情境题的源头，务 必深挖。 心态调整：面对陌生情境不畏惧，坚信“背景虽新，考点仍旧”，核心是剥去情境外壳，找到内在的数 学本质。 五、新高考数学专题模拟题 1.立体几何与导数综合 90r 如图所示的某种容器的体积为h,= 23 ,它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面 圆半径都为么，= 90r .圆锥的高为h= 90r 90r r23 r2 线与底面所成的角为么-0-5：因抗的高为么cm 己知圆柱底面造价为2a元/cm2,圆柱侧面造价为a元/cm2,圆锥侧面造价为√2a元/cm2. (1)将圆柱的高h,表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域： (2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？ 20/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2题：传统文化情境（解三角形） 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中提出“重差术”，即利用两次测量计算不可达距离。如图，为测 量山顶P的高度，选择与山脚O在同一水平面的两点A,B进行观测。测得AB=30米，在A,B两点测得山项P的 仰角分别为30°和45°，且∠APB=45°。则山高0P=_米。 第3题：科技背景情境（数列与概率综合） (2526高三上·广东深圳期末)某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节点在线，3个为宕 机.每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为P(0<p<)；若该节点己在线，则仅进行维 护，用Xn表示第n个月后在线节点数，E(X,)表示其期望，且E(X1)= -号E(x)+ 四当p时：求P(X,= (2)己知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总期望经济损失不 超过36万元，求P的最小值. 第4题：生活应用情境（概率与统计） 某社区为推广垃圾分类，对居民进行知识问答。己知男性居民答对题目的概率为07，女性居民答对的 概率为0.6。现从该社区随机抽取一人，若其答对题目，则其为男性的概率为0.6。假设该社区男性与女性 人数之比为m:n。 (1)求m:n的值： (2)现随机抽取3人进行问答，用X表示答对人数，求X的分布列及数学期望。 21/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●热点03：函数与导数压轴命题趋势（隐零点、同构、放缩） 函数与导数作为新高考数学的“压轴重镇”，其命题在保持对单调性、极值、零点、不等式证明等核心 问题考查的同时，方法层面呈现出鲜明的规律性。隐零点、同构、放缩已成为解决导数综合题的三大主流 高阶工具，深刻体现了命题从“重技巧”向“重思维”的转变。 一、整体命题趋势与定位 1.核心地位：解答题压轴或次压轴（如新高考第18、19题），分值约12-15分，是体现选拔功能的关键。 2.考查导向：从单一知识考查转向综合性、探究性、创新性考查。强调在复杂函数结构（混合指数、对数、 多项式、三角函数)中，灵活运用导数工具进行逻辑推理和数学运算。 3.常见题型：参数范围问题、零点问题（个数、存在性）、不等式证明（恒成立、存在性）、极值点偏移、 双变量问题等。 4.“反套路”趋势：单纯记忆解题模板已难以应对。命题注重结构分析和思维过程，要求考生能根据题目特 征，自主选择并组合运用隐零点、同构、放缩等方法。 二、 三大核心方法深度剖析 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 三步曲： 1. 判定存在：用零点存在定理确定 处理导数零点不可求 ·2022全国乙卷理21：fx)=n(1+x)+ 导函数零点X。的存在性及大致范 axe-x 或不易求的问题。 的零点问题，需设导函数零点x讨 围。 论。 1. 隐核心是“设而不求”， 2.确定单调性：以x为界，确定原·2021天津卷20：fx)=ax-xex的恒成立 零点将零点作为一个过渡 函数f(x)的单调区间。 变量，利用其满足的 问题，设f&)=0后整体消元。 3. 方程进行整体代换。 整体代换：将关于x的方程（如·2020全国I卷21：零点绝对值问题，涉及 f(x)=0)变形，代入fx)等表达隐零点分析。 式中，化简证明目标。 操作关键： ·2022新高考I卷22：f(x)=e×-ax与 1. 观察变形：利用指对互化(el血x=g(x)=ax-nx有三个交点横坐标成等差数 将方程或不等式两边x)、对数运算法则，将式子化为同列，利用同构e一X1=x。-lnx。=e血一 变形为相同结构，从 一 函数形式F(g()=Fh(☒) lnxo证明。 2.同而构造函数， 利用其或F(g(x)≥F(h()。 ·2022全国甲卷理21：fx)=e*/x-lnx+ 构 单调性简化问题。 2.构造函数：根据共同结构构造外 x-a,变形为ex-lnx+(x-lnx)≥a,令t 适用于指对混合型、 层函数F(代。 x一lnx同构求解。 跨阶超越式。 3.利用单调性：研究F()的单调性，·2020新高考I卷21：fx)=aex-1-nx+ 将问题转化为比较内层函数g(☒)与 lna,变形为ena+x-1+na+x-1)≥ h(x)的大小关系。 elnx +Inxo 利用已知不等式对复 两大应用： 切线放缩：ex≥x+1(x=0取等)，lnx≤ 杂函数进行简化，以 A.不等式证明：将超越式放缩为多x-1(x=1取等)，及其变形（如e×≥ 放达成证明或取点的目项式，化繁为简。 缩 ex,lnx≤等)。 的。 B.零点取点：在单调区间端点，通 常用于不等式证明、 过放缩找到函数值异号的点。 真题应用： 零点存在性定理中的 2022全国乙卷理21解法中，利用n(1+ 22/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 “取点”。 x)≤x进行取点，证明零点存在。 -2020年浙江卷、2021年新高考卷的零点问 题解析中，均强调“放缩取点”是突破难点的 关键技巧。 ·2025年天津卷20题评析指出，在处理多零 点不等式证明时，连续放缩是重要思路。 三、方法融合与综合命题趋势 近年压轴题很少单独考查一种方法，而是多法融合，要求考生具备策略选择能力。 1.“隐零点+放缩”：当隐零点范围不够精确，需要估计函数值符号时，常用放缩辅助。例如，在证明 f(x)>0时，利用x满足的方程和不等式进行放缩。 2.“同构+隐零点”：通过同构化简函数形式后，新函数的极值点可能仍为隐零点，需要设而不求。例 如，2022甲卷题同构换元后，新变量的范围确定需借助隐零点思想。 3.“放缩+同构”：有时直接同构困难，先进行适当放缩，创造出同构结构。例如，将xex放缩为ex+lnx 后再尝试同构。 综合命题新特点： 1.与数列、三角融合：如2025年试题出现导数与三角函数的综合，放缩时需结合三角不等式。 2.双变量/多变量问题：极值点偏移、拐点偏移本质是双变量问题，其证明过程高度依赖“对称化构造” (本质是一种同构)和对数均值不等式（一种重要的放缩工具）。 3. “必要性探路”先行：对于恒成立求参问题，常先利用特殊值或极限得到参数的必要范围，再结合放缩、 同构等手段证明其充分性，提高解题效率。 四、备考策略 1.理解本质，而非记忆套路：明白每种方法的适用条件和思维原理。隐零点核心是“整体代换”，同构核 心是“统一结构”，放缩核心是“化超越为初等”。 2. 建立“工具箱”：系统整理并熟练证明常用的放缩不等式（如指数、对数切线不等式）。掌握常见的同 构变形模式（如xe=e加，兰=ea)。 3.专题突破，对比训练：将涉及同一方法的历年真题集中训练（如专门练习“隐零点设而不求的题目）， 对比不同题目中处理隐零点方程的技巧。 4.强化“结构观察”训练：拿到一道导数题，先不急于求导，而是花时间观察函数式结构，思考能否同构、 可能用到哪些放缩、导函数零点是否明显。 5. 规范表达训练：隐零点问题中，对零点存在性的说明、范围的推导、整体代换的书写，必须逻辑严谨、 步骤清晰。 五、典型例题 第1题：同构与恒成立问题（多选题） 已知函数f(x)=ae-x,g(x)=ln+x,则下列说法正确的是() 23/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若f(x)≥0恒成立， 则a6+ B.x=1是g(x)的极值点 C.若函数y=f(x)+g(x)恰有2个正零点， 则 D。若关于的不等式+()s0有解，则a=(-a0U0 第2题：隐零点与不等式证明 已知函数f(x)=e+asinx. 0)当a=0时，求证：f四x+1: (2)若f(x)>0对于x∈(0，π)恒成立，求a的取值范围； (3)若存在x,x2∈(0，D),使得f(x)='(x)=0,求证：x<2x. 24/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3题：放缩法与数列不等式证明（新情境：泰勒展开背景) 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当∫(x)在 x=0处的n(neN)阶导数都存在时，它的公式表达式如下： f(因)=f0)+f(0)x+0+fOx++(Ox+…注：f'(0)表示函数f)在原点处的-阶导 2! 3! n! 数，∫"(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推，和f"(O)(≥3)表示在原点处的n阶导数. (I)求f(x)=ln(1+x)的泰勒公式（写到含x的项为止即可），并估算lnl.1的值（精确到小数点后三位）； 2当>0时，比较n(+)与x的大小，并证明 (3)设neN,证明： 器装+n羽 第4题：同构与双变量问题（极值点偏移） 设函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)若a=3,求函数f(x)的最值； (2)若函数g(x)=f(x)-x+a有两个不同的极值点，记作x,x2,且x<x2,求证：lnx+2lnx>3. 25/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5题：创新情境与导数综合 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？ 这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立 坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数c()=c的图象，现定义双曲正弦函数sh)=e-。”,他们之 2 2 间具有类似于三角函数的性质.（已知cosx之1-2) (1)证明：①倍元关系：sh(2)=2sh(x)ch(x)；②平方关系：ch(x)-sh(x)=1 (2)对任意x≥0，恒有sh(x)≥ax成立，求实数a的取值范围： 2 sh sh sh(2),sh(① 3 n 1 (3)证明： 十十 ->2(n-1)+- tanl n tan- tan- tan- 3 n 使用建议： 这五道题构成了一个完整的函数与导数压轴题专题训练组。建议： 专题突破：用于二轮复习中“函数与导数”板块的深度强化。 方法归类：讲评时，引导学生识别题目特征，明确每题主要运用的方法（隐零点、同构、放缩），并总结 这些方法的适用信号。 思维训练：重点讲解第1、2、4题的思维过程，特别是如何从复杂条件中观察出同构结构，以及处理隐零 点时的整体代换技巧。 规范书写：强调第2、4题证明过程的逻辑严谨性和步骤完整性。 26/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·热点04：解析几何热点：定点、定值、最值 解析几何的定点、定值与最值问题，是高考数学的核心难点与高频考点，集中体现了“用代数方法研究几何 问题”的本质。这类问题通常作为解答题的压轴或次压轴出现，综合性强，对运算能力、逻辑推理和转化化 归思想要求极高。 以下分析综合了知识库中关于解析几何的核心内容、历年真题解析及命题趋势报告。 一、整体命题趋势与定位 1.核心地位：解答题压轴，分值约17分，是区分考生数学素养和综合能力的关键。 2.考查导向：从单一曲线性质考查转向动态几何中的不变性与极端性探究。强调在直线与圆锥曲线的 运动变化中，发现并证明不变的几何量（定点、定值），或求解几何量的变化范围与最值。 3.“反套路”与“重思维”：单纯记忆“三步法”和公式不足以应对。命题注重几何条件的代数翻译、运算 目标的合理构建以及消参化简的恒等变形能力。近年试题还常与平面向量、平面几何知识深度融合。 4.新高考特点：可能出现结构不良（条件或结论开放）或多结论探究的题型，考查学生的探究与发现 能力。 三大核心问题深度剖析 问题 核心思想与本 通用解题策略(“通法”) 关键技巧与常见模型 典型高考真题链接 类型 质 ·2022年全国乙卷理 先猜后证：取参数的特殊值 科第20题：椭圆中 “三步法”+消参定定点： (如k=0,斜率不存在)求 过定点P的直线交 1.设参：引入动因参数（如斜 证明动直线（或 率k,截距t)。 出可能的定点，再一般性证明。椭圆于M,N,证明 曲线)恒过某个 2.运算：联立曲线与动直线， 齐次化处理：当定点已知时，直线HN过定点。 定点。 可平移坐标系将定点移至原 需先猜后证。 利用韦达定理等，将目标直线 1.定 本质是证明动 点，设直线方程为mx+y= ·2022年全国甲卷理 方程用参数表示。 点问 直线方程可整 科第20题：抛物线 3.定形：将方程整理为 1, 题 理为含参数的 联立后构造关于斜率的齐 中，证明由动弦产生 A(k)x+Bk)y+Ck=0,通 恒等式，该定点 次方程，简化运算。 的交点连线过定点。 过因式分解等手段，证明存在 坐标使方程与 ·常见模型：“手电筒模型”（过 ·2023年四省联考 参数无关。 常数xo,yo使得A(k)x+ 定点的两弦端点连线过定点)、 卷：抛物线中，探究 B(kyO+Ck=0,即直线恒 斜率之和/积为定值导致动直 满足特定斜率关系 过(&o,yo) 线过定点。 的弦所在直线是否 过定点。 证明某个几何 。 整体代换：利用韦达定理得 “函数思想”+消参定常数： 量（如斜率积、 到的x1+X2和X1X2进行整 1. 变量函数化：将待证为定值 ● 线段比、面积 体代入，避免求解具体坐标。 教材与拓展题：正 的几何量，用所设参数表示。 方形中，满足 等)在运动变化 对称性预感：复杂的表达式 2.定 2.化简消参：利用韦达定理等 中保持不变。 ∠PCQ=45°，则△ 往往具有对称性，最终能消去 值问 进行整体代入，对表达式进行 APQ的周长、点C 本质是将目标 参数，建立运算信心。 题 恒等变形（通分、合并、因式 到直线PQ的距离 量表示为参数 常见模型：斜率之积为定值、 分解)。 等均为定值。 的函数，通过恒 向量数量积为定值、线段长度 3.得出结论：证明化简后的结 等变形消去参 果是一个与参数无关的常数。 比为定值、三角形面积为定值 数，得到常数。 等。 3.最 求某个几何量 “函数建模”+定义域优先： 几何法优先：若能利用几何 ·2025年新高考I卷 27/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题 核心思想与本 通用解题策略(“通法”) 关键技巧与常见模型 典型高考真题链接 类型 质 值（范 (如距离、面 1.构建目标函数：将所求量表意义（如圆锥曲线定义、切线 第19题：求椭圆上 围)问积、长度、角度示为变量（如斜率k、点的坐性质、三角形不等式）简化， 动点M到圆上动 题 等)的最大值、 标参数0)的函数fk或g(0)。 则优先使用。例如，椭圆上点 点N距离的最大值 最小值或取值 2.确定定义域（关键！）：根到焦点距离的最值可直接由定 可用参数方程或坐 范围。 据动点/线的存在条件（如联立义得出。 标法转化为函数求 本质是建立目 后△≥0)、几何限制（点在·参数方程法：对于椭圆、圆 最值。 标几何量关于 线段上、在曲线内部等)确定 上的动点问题，设参数方程（如·椭圆上的点到直 某个变量的函 变量的取值范围。 (acos0,bsin0))可将二元问 线距离最值：可用平 数，在约束条件3.求函数值域：在定义域内， 题转化为一元三角函数问题， 行切线法（几何法） 下求函数的值 利用二次函数、基本不等式、 利用有界性求最值。 或参数方程法（代数 域。 三角函数有界性、导数法等求·判别式法：对于可化为关于 法)求解。 最值。 某个变量的二次方程的问题， ·2022年全国乙卷文 4.检验作答：检查最值能否取利用△≥0求范围。 11题：圆上的点到定 到，并给出最终答案。 常见模型：距离最值、面积 点距离的最值，利用 最值、斜率最值、长度和（差）圆心距与半径关系 最值。 (几何法)轻松解 决。 三、方法融合与高阶策略 1.“定点定值”与“最值”的关联：某些最值问题的临界状态，往往对应着定点或定值关系。例如，面积最大 时，可能对应着特殊的斜率关系。 2.“多法解一题”的思维拓展：对于典型的最值问题（如求椭圆内接三角形面积最大），应引导学生用多种 方法求解： 1.代数法（通法）：设直线斜率k,用弦长公式和距离表示面积，转化为函数求最值。 2.参数方程法：设顶点用椭圆参数坐标，利用三角函数求最值。 3.几何变换法：利用仿射变换将椭圆问题转化为圆的问题，在圆中利用几何性质求解后再变换回来。 3.“特殊探路，一般证明”：对于定点、定值问题，先通过特殊位置（如垂直、水平)猜测定点坐标或定值 大小，再进行一般性证明，可以大幅降低思维和运算的盲目性。 4.“定义域”是生命线：在最值问题中，忽略定义域（参数的限制条件）是致命错误。教学和训练中必须反 复强调，将“求定义域”作为解题的必备步骤。 四、备考策略 1.夯实“三步法”通法：熟练掌握“设参一→联立→韦达一→代入一→化简”的标准化流程，这是解决所有直线与圆 锥曲线综合问题的基石。 2.建立“运算信心”：定点定值问题运算量大，要相信通过耐心、细致的代数变形，最终一定能得到简洁结 果。练习时务必算到底。 3.形成“定义域条件反射”：看到最值问题，列出目标函数后，立刻思考并书写参数的约束条件(4≥0，点 坐标范围等)。 4.积累常见模型与结论：理解并掌握“手电筒模型”、“中点弦斜率定值”、“焦半径比例定值”等常见几何背景 的结论和推导过程，但重在理解原理，而非死记硬背。 5.善用参数方程工具：在涉及椭圆圆上动点、角度、旋转的问题中，主动考虑使用参数方程，可能极大简 化计算。 五、典例分析 28/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1题：抛物线中的最值问题（儿何转化）（多选题) 己知点A(4,0),B(3,2),抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是C上的动点，动点M满足MF=2MA,则下 列说法正确的是() A,点B在动点M的轨迹上 B.△PFB周长的最小值为4+2√2 C.当∠MFB最小时，点M的横坐标为4 D.△BFM面积的最大值为4+2√2 第2题：椭圆中的定点问题（基础与通法） 已加桃题E的中心为坐标原点，对称销为x轨、y轴，且过A02以.B号丙点。 (1)求E的方程： (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 MT=TH.证明：直线HN过定点. 第3题：双曲线中的定值与最值探究 已知双曲线C与双曲线女y 26 =1有相同的渐近线，且双曲线C过点(2,3). (1)求双曲线C的方程： (2)过双曲线C右支上的一点P作直线l1,12,其中1,42均与曲线C:2x2+2y2-3=0有且只有一个交点， 且双曲线C的左支与直线l交于点A,右支与直线l2交于点B, (i)求证：∠AOP=90°；(O为坐标原点) (i)求SPB的最小值，并求出此时PA,PB的方程. 29/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4题：椭圆中的最值问题（参数方程与三角函数） 己知椭圆C:+方-la>h>0)的焦距为25，点M(2)在C上. (1)求C的方程. (2)直线1与C交于A,B两点. (i)若线段AB的中点为T 21 3'3 求直线AB的方程； (i)在(1)的条件下，P是椭圆上任意一点，求△ABP面积的最大值 第5题：抛物线中的定点与定值综合（压轴探究） 已知抛物线E:y2=2px(p>0)经过点Q(4,-4),过E的焦点F作斜率为k的直线l,与E交于A,B两点(A 在第一象限)，过点P(3,O)作直线AP,BP分别与E交于另外两点C,D,设直线CD的斜率为k2. (1)求E的方程： (2)证明： k2为定值： (3)过点D作两条相互垂直的直线DM,DW,分别与E交于另一点M,N(点M,N均与A,C不重合)，若 直线AD与AB的斜率之积为-3，证明直线MW与AC相交于定点，并求出定点的坐标， 30/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●热点05：概率统计热点：决策型问题、独立性检验、回归分析 概率统计作为新高考数学的“应用重镇”，其命题在保持对古典概型、分布列、数字特征等基础考查的 同时，越来越注重在真实、复杂的情境中考查统计推断与决策能力。决策型问题、独立性检验、回归分析 已成为解答题的三大核心热点，深刻体现了命题从“重计算”向“重思想、重应用”的转变。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约12-13分，是区分学生数据分析素养和 应用能力的关键。 考查导向：从单一公式计算转向完整的统计过程考查。强调在具体问题情境（如医学检验、社会调查、生 产决策、体育预测)中，完成数据收集、整理、分析、推断直至决策的全过程。 常见题型： 决策型问题：基于概率、分布列、数学期望或统计结论进行方案选择或优化。 独立性检验：利用2×2列联表判断两个分类变量是否相关，并解释其统计意义。 回归分析：建立一元线性回归模型进行预测，或通过相关系数判断线性相关程度。 “重思想、反套路”趋势：命题注重统计思想的渗透（如用样本估计总体、小概率原理），要求规范、完整 的解题步骤和准确的语言表述，避免单纯套公式。 二、三大核心热点深度剖析 热点 本质与考查核 关键步骤与规范要求 典型高考真题链接（来自知识 心 库) ·2022年全国甲卷理19（乒乓 利用随机变量 三步曲： 球比赛)：计算甲获胜概率及 的数字特征（主 1建模：明确决策目标，用随机变量表示不同乙得分期望，隐含决策比较。 方案的收益损失等。 要是数学期望) ·2021年全国甲卷（小明答题 1.决策型问 或概率大小，对 2计算：求出随机变量的分布列及数学期望（或决策）：比较先答A类或B 题 关键概率)。 不同方案进行 类问题的累计得分期望，选择 比较和选择，实 3决策：比较期望值（或概率），选择最优方期望大的方案。 案，并下结论。 ·2024年新课标Ⅱ卷18（投篮 现风险最小化 或收益最大化。 关键：准确识别概率模型（二项分布、超几何比赛）：确定由谁参加第一阶 分布等)，理解期望的实际意义。 段，使得“得15分”概率最大 或期望最大。 31/181 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点 本质与考查核 典型高考真题链接（来自知识 关键步骤与规范要求 心 库) 规范四步： ·2025年全国一卷15（疾病与 利用样本数据 1.提出零假设H。:两个变量独立（无关）。 超声检查)：根据a=0.001的 独立性检验，分析两者是否有 推断两个分类 2.计算检验统计量X2(或K2)。 变量是否独立 3.确定临界值：根据给定的显著性水平α查 关。 2.独立性检的一种统计假 ·2022年新高考I卷20（疾病 表。 验 设检验方法。核4.作出推断：若X2≥X,则在犯错误概率不 与卫生习惯)：第()问进行 99%把握的独立性检验。 心是理解小概 超过a的前提下拒绝H。,认为有关：否则，没 率原理和检验 有足够证据拒绝Ho。 ·2021年全国甲卷（机床产品 的或然性。 关键：结论表述必须规范，指明“小概率值”和 质量)：根据a=0.01的独 立性检验，分析产品质量是否 “把握”。 有差异。 主要环节： ·2025年上海卷17（奥运会游 研究两个数值1.相关判断：通过散点图或相关系数判断线 泳成绩预测)：求回归方程并 变量之间的相性相关程度。 预测2028年成绩。 关关系，并建立2.方程求解：利用最小二乘法公式求经验回归·2022年全国乙卷（树木材积 3.回归分析 模型进行预测。方程=bx+a。 量)：求样本相关系数，建立 考查核心是公 3.预测与应用：将x的取值代入方程进行预测， 回归模型进行估计。 式计算、模型评并解释系数的实际意义。 教材多处案例（如父亲与儿 价和预测应用。 关键：知道回归方程必过样本中心点（区，）：理子身高)：建立一元线性回归 解预测值是估计值，不是精确值。 模型。 三、 热点融合与综合命题趋势 近年试题常将多个热点自然融合，考查综合应用能力。 “独立性检验+决策”：先通过独立性检验判断因素间是否有关系，再基于此结论进行概率估计或决策。 例如，检验药物是否有效后，再用有效的概率去计算期望收益。 “回归分析+决策”：利用回归方程进行预测，将预测结果作为决策依据。例如，预测销量后决定生产投 入。 “概率+统计+决策”：最典型的综合模式。先通过抽样数据用频率估计概率，再基于此概率构建随机变 量模型（二项分布、超几何分布等），最后计算期望进行决策。例如，2025年北京卷18题（考试答题）即 为此类。 综合命题新特点： 情境真实复杂：如疾病检测、产品质量控制、环境监测、体育成绩预测、社会调查等，信息体量大， 要求较强的阅读理解和非连续文本信息提取能力。 突出统计思想：强调“用频率估计概率”、“用样本推断总体”的思想，以及假设检验中“结论具有不确定 性”的统计思维。 32/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算与软件结合：题目常提供部分中间计算结果或统计量表，引导学生聚焦思想方法而非繁重计算， 也体现与统计软件衔接的导向。 四、备考策略 理解思想，规范流程：深刻理解独立性检验的假设检验思想、回归分析的相关关系思想、决策问题的 期望优化思想。严格按标准步骤书写，特别是独立性检验的“四步法”和结论表述。 区分模型，准确识别：准确判断题目背景是“二项分布”（独立重复试验）还是“超几何分布”（不放回抽 样)，这是正确计算概率和期望的前提。 掌握公式，灵活运用：熟练记忆并理解x2公式、回归系数公式、期望公式。学会利用回归直线过样本 中心点亿，习来简化计算或求参数。 专题训练，对比归纳：将决策问题、独立性检验、回归分析三类题目分别进行集中训练，总结各自步 骤、易错点和表述规范。 强化阅读，信息提取：进行专门训练，从冗长的实际问题描述和表格中快速提取关键数据（列联表数 据、成对数据、频数、总数等)。 五、新高考数学概率统计专题模拟题 1决策与独立性检验综合（多选题) 某公司为新产品设计了两种营销方案。为调查不同性别客户对方案的偏好，随机抽取了200名客户，得到 如下列联表： 喜欢方案A 喜欢方案B 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d。 P(x2≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 已知采用客户喜欢的方案，能成功推销产品的概率为08：采用客户不喜欢的方案，成功概率为0.4。每次 推销相互独立。则下列说法正确的是() A.根据小概率值a=0.05的独立性检验，认为客户性别与方案偏好有关 B.从这200名客户中任选1人，其喜欢方案A的概率估计为0.45 C.若随机对一名男性客户进行推销，则采用方案A比采用方案B的成功概率更高 D.若随机对一名客户进行推销，且已知推销成功，则该容户是女性概率为号 33/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.回归分析与决策 例2：红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和 平均温度x(℃)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 个产卵数 400 350 300 250 200 150 100 50 002立2426280246嘉度 (1)根据散点图判断，y=bx+a与y=ce“(其中e=2.718.为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均 产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） -0- ）2y-n 附：回归方程中y=bx+a, i=1 a=y-b际 2(s司 = 参考数据(z=ny) x 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%， 对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28C的年数占30%，柚子产量会下降20%： 平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种 防害措施供果农选择在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得 到最高收益（收益=产值一防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理 由 方案1：选择防害措施A,可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B,可以防治22℃至28C的蜘蛛虫害，但无法防治28C以上的红蜘蛛虫害，费用是 10万： 方案3：不采取防虫害措施 34/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3概率、统计与决策综合 例3：某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年 2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 2 3 4 5 月销量y(单 8 10 13 20 24 位：千台) (I)求出y与x的相关系数”（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有 较强的相关关系；（当∈[0.75，]时，相关性较强，当r∈[0.3,0.75）时，相关性一般) (2)求出y关于x的经验回归方程y=bx+à，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量： (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商户各至多购买 一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p,3p-13p<号 若两家商户享受的补贴总金额的期 望不超过3000元，求P的取值范围. 2(x-)y-列 ∑(x-x(%-) 参考公式：相关系数r b= 区-旷2- - a=-6. 参考数据： 26s-0-列=422s-=02(g-矿=14，丽0724。 35/181 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.创新情境：统计过程全考查（社会调查） 例4：在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式.近日该平台发现新上平台的商品M经常 收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品M的只有青年(18≤年龄≤44)和中老年（年龄>44）两类 购买者，从所有购买商品M的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品M打分(0~12 分)并提出建议，分数统计如下表格（假设各组数据在对应的区间内均匀分布）： 给商品M打分区间 [0,3] (3,6] (6,9] (9,12] 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 (1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点 值为代表)： (2)若购买者打分在区间[8,12]内为“满意顾客”，其他为不满意顾客. ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品M的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件A=“该购买者 为青年购买者”，事件B=“该购买者为满意顾客”，计算P(AB)的估计值： ②请利用表格数据补充完整下列2×2列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据 小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为对商品M是否满意与购买者群体有关. 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 n(ad-bc) 附：X2= a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=atb+e+d. a 0.050 0.010 0.001 Xo 3.841 6.635 10.828 36/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5概率与数列递推综合（难点） 例5：贵州“村超以及江苏“苏超'的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动 为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2×2列联表 如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 (1)依据小概率值：=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者 都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始 传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P,=1. ①求P2,P3; ②证明：数列 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 Xa 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：X2= n(ad-be)2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)1 使用建议： 专题突破：用于二轮复习中“概率统计”板块的综合强化。 规范训练：重点训练第1、2、3题的解题规范，特别是独立性检验的表述和决策问题的步骤。 思想渗透：通过第3、4题强调“用频率估计概率”的思想，通过第5题理解期望的实际意义。 难点突破：第5题作为难点，适合讲解概率与数列、函数的综合，以及数学期望在赛制分析中的应用。 37/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●热点06：立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 立体几何在新高考中持续占据重要地位，其命题正从传统的“一证一算”向“重结构、重探究、重应用” 转变。外接球、截面、动态问题作为三大新考法，综合性强、思维要求高，已成为解答题（如第17、18、 19题)的命题热点和难点，深刻考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题的创新设问点，难度为中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约15-17分。 或常在单选题第6题、多选题第10、11题出现。 考查导向： 从静态到动态：引入动点、动线、翻折等元素，考查在变化中把握不变规律的能力。 从单一到综合：将外接球、截面、空间角、最值等问题自然融合，要求整体分析图形结构。 从技巧到通法：淡化特殊技巧，强调利用向量法、几何法（补形、等体积、轨迹方程等）的通性通法 解决问题。 从计算到想象：对空间想象能力的要求更高，常需“无图想图'或分析复杂图形。 “新考法”的典型特征： 外接球：不再局限于简单几何体，常与棱台、折叠体、不规则多面体结合，且在解答题中考查球心位 置的推理证明（如2025年全国I卷第17题）。 截面：考查作截面、求截面面积倜长、判断截面形状，常作为动态问题的载体。 动态问题：涉及轨迹、最值（范围），常需建立函数模型或利用几何意义求解。 二、 三大核心新考法深度剖析 新 考 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 法 1.补形法：将三棱锥补成长方体、直棱柱等规则几何 体，利用其外接球求解。适用于侧棱两两垂直、对棱相 确定球心位置和 等、共顶点的三条棱两两垂直（鳖臑）等模型。 1. 半径。核心是球心2.截面法（双半径单交线公式）：当几何体有两个面2025年高考综合改革适应性 外 到各项点距离相 垂直时，若两垂直面外接圆半径分别为1，交线长为测试（八省联考）第19题： 接 球 等，常转化为寻找 则外接球半径R-r。 可将三棱锥PABC补形为 几何体的对称中 直三棱柱或利用面面垂直模 问 心或利用截面圆 3.坐标法（方程组法)：建立空间直角坐标系，设球 型公式，计算得球半径。 题 的圆心垂线。 心OKv.2根据OP=|OA=OB=OCI)列方程 组求解。这是通用且有效的方法，尤其适合解答题中证 明球心位置。 4.几何法（找外心）：先找某一面的外心，过该外心 38/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 新 考 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 法 作该面的垂线，球心必在此垂线上；再找另一面的外心 同样作垂线，两垂线交点即为球心。 ·2018年全国1卷12题：正方 1.作截面的两种基本方法： 体中，与各棱成等角的平面 线面平行法：利用线面平行的性质定理找交线。 截正方体，求截面面积最大 2. 相交法：直接找截面与几何体各面的公共点，连线。值。 截 用平面截几何体 所得交线的图形。 2.求截面面积/周长：将截面图形化为平面图形（如梯·教材习题及众多模拟题： 面 考查空间想象和 形、三角形)，引入变量表示边长，利用平面几何或函正方体、正四棱锥中过指定 问 数知识求解。 点作截面，求其周长或面积。 题 作图能力。 3.动态截面：结合动点，分析截面形状、面积的变化 ·知识库中技术赋能的课 规律，常需建立函数模型求最值。 例：用GeoGebra动态演示截 面变化，探究面积最值。 ·2022年新高考I卷8题：正 1. 轨迹方程法：通过建立坐标系，将空间动点满足的 3. 条件转化为方程，确定其轨迹（如圆、线段）。 四棱锥外接球背景，求体积 取值范围（建立函数用导数 动 2.函数建模法：引入参数（如角度、长度)，将目标 求解)。 态 在点、线、面运动量（距离、面积、体积、角度）表示为该参数的函数， ·2020年新高考I卷20题：求 变化中，探究相关利用函数性质（单调性、导数）或不等式求最值。 线面角正弦的最大值。 最 几何量的轨迹、取3.几何转化法：利用对称性（如将军饮马）、定义（如 ·知识库《破解立体几何动 值 值范围或最值。 圆锥曲线)、三点共线等几何性质，将动态问题转化为 态问题的策略》：系统总结 问 静态问题求解。 题 了补形法、轨迹方程、向量 4.向量法：用向量表示动点和目标量，通过向量运算 法、函数性质、对称性等六 和数量积建立关系式求解。 大策略。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将外接球、截面、动态问题与空间角、体积等基础考点深度融合。 “外接球+动态”：几何体本身或其部分元素是动态的（如折叠、动点），求其外接球半径或表面积的范 围。例如，将平面图形翻折成三棱锥，求该三棱锥外接球半径的取值范围。 “截面+动态+最值”：过动点作截面，研究截面面积或周长的变化规律，并求其最值。这是截面问题的 最高频考法。 “翻折（动态）+外接球+空间角”：以平面图形翻折成立体图形为背景，综合考查线面垂直、外接球、 空间角的计算，过程动态，综合性强。例如，2025年八省联考（适应性测试）第19题。 综合命题新特点： 结构分析先行：解题第一步不再是盲目建系，而是分析几何体的结构特征，识别特殊模型（长方体、 39/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 鳖臑、共顶点的垂直关系等)，选择最优方法。 强调推理论证：对于外接球球心位置、线面垂直关系等，要求给出严格的逻辑推理步骤，而非直接使 用结论。 方法选择开放：同一问题往往有多种解法（几何法、向量坐标法、基底向量法），鼓励学生根据图形 特点选择最简洁的路径。 与导数、不等式深度融合：求最值时，经常需要建立目标函数，利用导数或基本不等式求解，体现代 数工具在几何中的应用。 四、备考策略 模型识别，掌握通法：熟练掌握长方体模型、鳖臑模型、对棱相等模型、面面垂直模型等常见外接球 模型及其公式。但更要掌握坐标方程组法这一通法，以应对不规则图形。 提升作图与想象能力：加强截面作图的训练，特别是用线面平行法和相交法作复杂截面。平时多用 GeoGebra等软件辅助观察，培养动态想象能力。 强化“引入参数”意识：面对动态和最值问题，要习惯引入角度、长度等参数，将几何问题代数化、函 数化。 规范书写推理过程：特别是证明球心位置、线面垂直关系时，步骤要完整，因果要清晰。例如，证明 线面垂直必须写出“一条线垂直面内两条相交直线”。 专题对比，归纳提炼：将外接球、截面、动态最值三类问题分别进行专题训练，总结每类问题的突破 口、常用方法和易错点。例如，外接球关键是“找球心”，截面关键是“找交线”，动态最值关键是“设参数、 建函数”。 五、典例分析 1.外接球与截面综合（多选题) 己知三棱锥P-ABC内接于球O,PA⊥平面ABC,PA=8,AB⊥AC,AB=AC=4,点D为AB的中点， 点Q在三棱锥P-A6C表面上运动，且PQ=4,已知在弧度制下锐角&，B满足：co5a=,cosB2 5 则下列结论正确的是() A.过点D作球的截面，截面的面积最小为4π B.过点D作球的截面，截面的面积最大为24π C.点Q的轨迹长为4a+4B D.点Q的轨迹长为4ax+8B 40/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.翻折、外接球与动态最值（解答题） 在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120,将△ACD沿AC翻折至△ACP, 其中P为动点 (I)若PC⊥AB,证明：AB⊥平面PAC (2)在(1)的条件下，若三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球O的半径. (3)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值. 3.截面与动态最值 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D中，E,F,G,H,P分别是棱AD,AB,CC,BC,CD的 中点， (1)过点A,G,H作正方体的截面，并说明理由： (2)求三棱锥F-EPH的外接球的表面积： (3)设点M在平面BBCC内，且AMI1平面AGH,求直线A,M与直线AB所成角的余弦值的最大值. 0 C G D E 41/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.外接球与轨迹、最值综合（解答题） 如图1，在平面五边形ABCDE中，∠AC=∠DCA=,AE=4,CD=2,AB=BC=AC=25,R,H 分别为ED,AD的中点，将△ABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图2. (1) 若PH⊥平面ACDE. (i)证明：CF⊥PA: (i)三棱锥P-ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM的取值范围. (2) 在翻折的过程中，设平面PCD与平面PAE的交线为I,求二面角A-I-C的最小值. 图1 图2 5.动态问题与函数模型（解答题) 如图，直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，AB⊥AD,ADIIBC,AD=2AB=2BC=2. (I)证明：PC⊥CD: (2)若PA=2,动点M在矩形PADQ内（含边界），且MB⊥MD ①求动点M的轨迹的长度： ②设直线CM与平面PBD所成角为O,求sinO的取值范围. 0 42/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆热点07：2026逢五逢十数学史纪念（可命题情境） 2026年是多个中外重要数学史事件的“逢五逢十纪念年。将这些纪念日作为试题情境，既能弘扬数学 文化、增强民族自信，又能自然考查学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养，完美契合新高考“素养导向、 情境载体”的命题趋势。本热点聚焦于可转化为具体数学问题的纪念事件，为命题和备考提供丰富素材。 一、命题理念与考查价值 核心理念：以数学史纪念日为载体，实现“文化浸润”与“思维考查”的有机统一。 立德树人：通过纪念中外数学家的成就，引导学生感悟科学精神、增强文化自信（尤其是对中国古代 数学成就的自豪感)。 素养立意：在理解历史背景、转化历史问题、解决历史名题的过程中，综合考查数学抽象、逻辑推理、 数学建模等核心素养。 反套路导向：情境新颖、背景深厚，能有效打破“题型+技巧”的应试模式，考查学生在陌生情境下的探 究与迁移能力。 考查价值： 知识载体：纪念事件常与数列、几何、代数、概率等具体知识模块自然结合。 思想渗透：历史问题中蕴含的归纳、类比、极限、公理化等思想，是考查高阶思维的绝佳素材。 阅读能力：题干通常包含文言文或历史描述，要求较强的信息提取与数学化表达能力。 二、2026年重要数学史纪念日梳理与命题切入点 纪念事件 纪念缘由 (2026年) (逢五逢十) 关联数学知识/思想 可命题情境与考查方向 1.“割圆术求π近似值：用内接正多边形周长 或面积逼近圆，考查数列极限、不等式放缩。 公元236年，刘微开始极限思想、几何计 刘徽注《九章算 注解《九章算术》，创算（圆面积、球体 2.“重差术”测距（《海岛算经》)：结合解三 术》1790周年 立“割圆术等。 积、勾股定理) 角形，考查建模与运算。 3.“牟合方盖与球体积：引入祖暅原理，考查 空间想象与推理。 公元476年，祖冲之逝 1.“调日法”求圆周率近似值：如2023年四省联 祖冲之逝世1550世。其对圆周率(“密 圆周率、有理逼近、 考第15题模式，考查递推数列与有理数逼近。 周年 率355/113)的计算领连分数。 2.“密率的性质探究：比较355113与π的误差， 先世界千年。 或探究其连分数展开，考查有理数、不等式。 秦九韶《数书九公元1246年， 秦九韶 同余理论、高次方1.“大衍总数术”解同余方程组：简化后考查整 章》成书780周完成《数书九章》，系程数值解、几何测 除、不定方程或简单的模运算。 43/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 纪念事件 纪念缘由 (2026年) (逢五逢十) 关联数学知识/思想 可命题情境与考查方向 年 统总结“大衍总数术” 量。 2.“三斜求积术”（海伦-秦九韶公式）：结合解 (中国剩余定理)等。 三角形考查公式推导或应用。 1.斐波那契数列性质探究：通项推导、相邻项 斐波那契《计算 公元1202年，斐波那 递推数列、通项公 之书》出版824 式（比内公式）、 比值趋于黄金分割、与组合数的关系等。 契出版《计算之书》， 2.“兔子繁殖”原始模型：建立递推关系，考查 周年 引入斐波那契数列。 性质。 数列求解或归纳推理。 公元1426年，波斯数 阿尔·卡西精确 中西算法对比：将阿尔·卡西的迭代算法与刘徽 计算圆周率600 学家阿尔，卡西将π计 圆周率计算、迭代 “割圆术”并列，考查学生理解不同算法逻辑并 周年 算到小数点后16位， 算法、近似计算。 进行数值比较或误差分析。 打破祖冲之记录。 1.“方程章”中的线性方程组：用现代矩阵或消 《九章算术》成 作为中国古代数学体 方程术、正负数、 元法求解古题。 书（标志性）约 系形成的标志（约公元几何体积、比例算 2.“勾股章应用问题：结合相似、比例解测量 2050年 前1世纪成书)。 法。 问题。 3.“粟米章”比例问题：考查比例与数列。 三、命题趋势与题型预测 题型分布：以选择题、填空题为主（如第4-8题，第13-16题），分值5分左右；也可作为解答题的引 入部分（如第17题第(1)问)。难度适中，侧重基础概念辨析与算法迁移；高频考点聚焦“割圆术”误差 估算、“方程术”的消元逻辑及“粟米章”比例建模；命题常嵌入真实情境，如天文观测、工程测量、赋税折算 等，强调数学史素养与现实问题解决能力的融合。 情境深度： 浅层结合：仅以纪念日为背景引出常规数学问题（如直接给出“勾股定理模型）。 深层融合：需要理解历史算法或概念本身才能解题（如“调日法”、“割圆术”的迭代过程），这类题目区 分度更高。 综合化倾向：数学史纪念情境常与数列、三角函数、解析几何、概率统计等知识综合考查。例如，将“调 日法”与递推数列结合，将“重差术”与解三角形结合。 比较视野：命题可能同时呈现中外数学家的同类成就（如刘徽与阿尔卡西的算π方法），引导学生进 行跨文化数学比较，体会数学的普遍性与方法的多样性。 四、备考策略与教学建议 知识储备：师生应共同梳理教材（特别是人教A版）中涉及的数学史内容，以及近五年高考真题中的 44/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学文化题，熟悉《九章算术》、刘徽、祖冲之、秦九韶、斐波那契等核心人物与成就。 思想提炼：重点理解“割圆术中的极限思想、“调日法中的逼近思想、“大衍总数术”中的模运算思想， 以及这些思想如何转化为具体的数学问题。 阅读训练：加强文言文或历史叙述文字的阅读理解训练，练习从中提取关键数学条件（如数量关系、 几何结构)。 建模练习：针对典型历史名题（如“鸡兔同笼”、“物不知数”、“勾股容圆”），进行从文字描述到数学模 型的转化练习。 专题整合：将数学史纪念情境与数列、几何等主干知识进行专题整合训练，形成“背景一模型一方法” 的解题链路。 五、新高考数学专题模拟题（基于2026纪念情境） 1.(祖冲之·调日法)【单项选择题】 我国古代数学家祖冲之用调日法”逼近圆周率：取弱率三与强率，通过计算“中位数”（分子、分母 分别相加)得到新分数牛生=子。若新分数值小于，则将其作为新的弱率；否则作为新的强率。如此反复， 1+1 可逐步逼近π。已知按此规则计算的前6次迭代中，弱率始终保持为三未被替换，则第7次迭代得到的新 分数及其强弱性为（)（参考：π≈3.14159） A.,为弱率 B.三，为强率 C.号，为弱率 D.号，为强率 2.（刘徽割圆术)【多项选择题】 刘徽在《九章算术注》中创立“割圆术”，用圆内接正n边形面积An逼近圆面积S。记圆半径为R, 则An=?R2sm红。下列关于An的结论正确的是() A.数列{An}是递增数列，且An<S B当n较大时，S-An心 3n2 C.存在等比数列{B,n},使得对所有正整数n,均有A2m=BnAn D.刘徽利用割圆术求得π≈3.14，其逼近的思想方法蕴含了极限的理念 3.(秦九韶·三斜求积术)【填空题】 秦九韶在《数书九章》中给出了已知三角形三边a,b,c求面积的“三斜求积公式”：S= a2c2-(et) 若某个三角形的三边长a,b,c构成公差不为0的等差数列，且其面积为√6，则 45/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该三角形的周长为 4.(斐波那契·数列探究)【解答题】 斐波那契数列{E}满足F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+F(n≥1)。其与黄金分割有着深刻的联系。 (1)求数列{F}的通项公式： (2)(开放性设问)请你从{E}的性质中，提出一个关于F+1Fn-1一F?的猜想，并加以证明： (3)设9n=,证明数列02}单调递增，并求其极限。 5.(中西对比真实情境建模)【解答题】 2026年是刘徽注《九章算术》1790周年，也是阿尔.卡西精确计算圆周率600周年。在现代工程中， 圆周率逼近算法仍有重要应用。 (1)(应用情境)某无人驾驶汽车测试场需建造一个圆环形赛道，中心线半径为R。工程队采用内接 正六边形逐渐倍增边数的方法估算周长。若要求估算的赛道中心线周长误差不超过0.001R,请利用不等式 simx>x-号(x>0)估算至少需要倍增多少次？（参考：ln2≈0.69，lnn≈1.14） (2)(开放决策)在上述赛道上，无人车需从A点行驶到B点。系统提供了两种方案：方案一沿弦 AB直行（距离短但需频繁避让）；方案二沿劣弧AB行驶（距离长但路况顺畅）。若你是系统工程师， 设圆心角∠A0B=日，请给出一个选择方案二的临界角度6。的理论值，并说明当6<0。时选择方案二 的合理性依据。 6.(祖冲之密率·新定义逻辑推理)【解答题】 祖冲之的“密率”3是圆周率的一个极佳有理逼近。在现代数论中，我们常用“最佳逼近”来刻画这种 113 46/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 优良性：若有理数号(q>0)满足对任意有理数分若0<b≤q且名≠号均有居-π<怡-π，则称 号是π的一个最佳逼近。 现定义函数f(q)=qπ-pl,即qm到最近整数的距离。 (1)计算f(1),f(7),f(113)的值：（精确到0.001） (2)证明：若号是n的最佳逼近，则对任意0<b<q,均有f(q)<f(b): (3)已知f(q)的前四个极小值分别在q=1,7,106,113时取得。请结合(2)的结论，说明为什么 号和都是π的最佳逼近，而却不是。 ●热点08：跨学科融合题型（数学+物理/经济/信息） 跨学科融合是新高考数学命题的鲜明特征和重要趋势。试题通过创设真实、综合的情境，将数学与物 理、经济学、信息技术等学科知识有机结合，旨在考查学生运用数学工具解决复杂现实问题的能力，体现 47/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学的基础性、应用性和工具性价值，促进学科核心素养的融合发展。 六、命题理念与考查定位 核心理念：落实“一核四层四翼”，强调数学作为“科学的语言”在认识世界和解决跨学科问题中的核心作 用。 服务选拔：区分学生整合多学科信息、建立数学模型、进行逻辑推理和定量分析的高阶能力。 引导教学：推动中学数学教学打破学科壁垒，关注知识关联，培养学生综合思维和解决实际问题的意 识。 体现价值：彰显数学在自然科学、社会科学及工程技术中的广泛应用，激发学生学习兴趣。 考查定位： 题型与分值：常见于选择题、填空题（如第48题，第13-16题），也作为解答题（如第17、18题） 的命题背景。分值5-13分不等。 难度层次：中档及以上，因涉及陌生概念和复杂情境，对阅读理解、信息提取和知识迁移能力要求较 高。 七、三大跨学科融合类型深度剖析 融合类 学科特点与考查核心 关键数学模型/思想 典型高考真题链接 型 1.运动模型：匀速圆周运动（三 角函数模型)、匀变速运动（二 ①2023年四省联考第11题：质点匀 最常见融合。物理现象（运 速圆周运动，求重合坐标（三角函数 次函数)、简谐振动（正弦型函 动、力、能量、波等)提供 +物理角速度)。 真实情境，数学（函数、向 数)。 ②2025年全国1卷第6题：帆船航 2.矢量模型：力的合成与分解、 数学+ 量、三角函数、导数、微积 速度与加速度（平面向量、空间 向角优化，融合视风、真风等物理概 物理 分思想)提供量化工具。考 念（向量+三角函数）。 向量)。 查从物理过程抽象出变量关 ③2022年北京卷第7题：“冰丝带” 3. 优化模型：功、能、最值问 系、建立数学模型（如运动 制冰技术，T-lnP图判断物态（对数 题（导数、不等式）。 方程、约束条件)并求解的 函数+物理化学相图)。 4.微元与积分思想：变力做功、 能力。 非均匀变化量累积（定积分背 ④教材案例：“声音背后的数学原 景)。 理”（三角函数+声学）。 关注现实决策与数据分析。 1. 函数模型：成本函数、收益 ①2022年新高考I卷第4题：南水 数学+ 经济学概念（成本、收益、 函数、利润函数、需求函数（二 北调工程，估算水库水量（棱台体积 经济/社 利润、边际、弹性、折现) 次函数、分式函数、指数对数函+地理水利)。 会 或社会现象（人口、资源、 数)。 ②2024年全国乙卷理科第17题： 信息传播)提供情境，数学2.数列与金融模型：单利/复利、橡胶生产工艺改进效应比较（样本均 48/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 融合类 学科特点与考查核心 关键数学模型/思想 典型高考真题链接 型 (函数、数列、导数、概率 年金、分期付款（等比数列）。值、方差+工业统计)。 统计、线性规划)提供分析 3.优化与决策模型：边际分析 ③2020年全国1卷文科第17题：加 框架。考查建立优化模型、 (导数)、最优化（导数、均值工业务分配决策（概率、期望+生产 进行预测与决策的能力。 不等式)、风险决策（概率、期管理）。 望)。 ④教材阅读与思考”：振幅、周期、 4.统计与预测模型：回归分析、频率、相位（三角函数+声学工程）。 时间序列、数据分析。 体现时代性与前沿性。以计1.逻辑与算法模型：程序框图、 ①2022年全国乙卷理科第6题：程 算机科学（算法、逻辑、编 逻辑运算、二进制、进位制。 序框图与数列递推（算法+数列）。 码)、信息技术（数据传输、2.组合与概率模型：密码学、 ②2024年新课标Ⅱ卷第12题：信号 信号处理)、生命科学（遗 错误校验码、信号传输可靠性 传输情境考查二项分布（概率+通 数学+ 传、生态)、地学等为背景， 信息技 (二项分布)、生物遗传（概率）。信)。 数学（逻辑推理、排列组合、3.数据与图表模型：数据拟合、③2024年北京卷第7题：生物丰富 术/科学 概率、数论初步、图表分析)图像识别、信号处理（函数变换、度指数（对数模型+生态学）。 提供形式化描述和解决方 统计)。 ④2020年新高考/Ⅶ卷第6题：新冠 案。考查抽象概括、算法理 4.离散模型：图论初步、网络 肺炎传播模型（指数函数+流行病 解和逻辑推理能力。 流、调度优化（组合数学）。 学)。 八、命题趋势与综合难点 情境真实复杂：素材直接来源于科研论文、技术报告、经济数据或社会调查，题干篇幅长，夹杂专业 术语，要求极强的信息筛选与阅读理解能力。 建模过程完整：强调“情境识别一变量抽象一模型建立一求解验证一解释反馈'的完整数学建模过程， 而非套用固定题型。 知识深度整合：不再是“背景点缀”，而是要求真正理解跨学科概念的本质，并能将其准确转化为数学 条件。例如，理解“边际成本”即导数的经济意义。 思维高阶化：注重考查类比迁移、批判性思维和创新意识。例如，将物理学中的“矢量合成”迁移到解 决几何或三角问题。 工具综合运用：常需综合运用函数、导数、数列、向量、概率统计等多个数学模块知识，并可能涉及 简单的近似计算或估算。 主要难点： 概念理解障碍：对物理、经济等领域的陌生概念（如角速度、边际、弹性、信噪比）理解不透。 模型转化困难：无法从冗长描述中提取关键变量关系，建立正确的方程或函数模型。 学科思维切换：习惯于纯数学推理，难以融入实际问题背景进行思考。 49/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 九、备考策略 拓宽知识视野：主动关注科技前沿（如人工智能、航天、碳中和）、经济热点和社会生活，了解相关 学科的基本概念和原理。 强化教材链接：深挖教材中“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等栏目，以及例题、习题中 的跨学科案例（如苏教版“天体运行数据拟合”题)。 掌握建模通法：系统训练数学建模的步骤，练习将文字、图表信息转化为数学语言（方程、函数、图 形)。 专题融合训练：按“数理融合”、“数经融合”、“数信融合”等进行专题训练，总结各类情境常用的数学模 型和解题套路。 提升阅读与信息处理：进行“长题干”审题专项训练，练习划关键词、画示意图、列表格整理数据。 夯实数学根基：跨学科问题的内核仍是数学知识。必须扎实掌握函数、导数、数列、向量、概率统计 等核心模块的概念、性质和方法。 十、新高考数学跨学科融合专题模拟题 1.数学+物理：渡河优化问题（多选题) 一艘船在静水中的速度为Vc,河水的流速为v,且v。>v,>0。河宽为d。设船头指向与垂直河岸 方向的夹角为日（指向上游为正），渡河时间为t。下列结论正确的是() A.无论日如何调整，渡河时间t的最小值为品 B,若要使实际航程最短（即垂直渡河），则需满足sn9=品此时渡河时间t一 Vc' C.存在某一夹角日，使得船的合速度大小等于vc D.当：=2，时，最短航程渡河时间与最短时间渡河时间的比值为马 2.数学+信息：二进制编码与概率（填空题） 在某种二进制通信协议中，每个数据包由8位二进制数组成。为检测错误，要求每个数据包中“1”的个 数必须为偶数。则符合此协议的8位二进制数共有一一一个；若随机发送一个符合协议的数据包，则其 中恰好有4个“1”的概率为 3.数学+经济：利润与税收优化（解答题） 50/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某工厂生产一种产品，每日固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加100元。每日销量q(件) 与销售单价p(元)满足q=800-2p(0<p<400),且日产量等于日销量。 (I)将每日利润L表示为？的函数，并求利润最大的销售单价及最大利润。 (2)经济学中边际利润'指销量增加1件时利润的变化量。求当单价p=150元时的边际利润，并从 数学和经济学角度解释其意义。 (3)为响应环保，政府拟征收每件t元的环保税。为保证征税后工厂的最大日利润不低于30000元且 不高于38000元，求t的取值范围，并给出相应的定价策略建议。 4.数学+物理+几何：费马原理与最短光路（解答题) 根据费马原理，光线传播遵循时间最短路径。光线从点A(2,3)射出，经x轴反射后，穿过以C(4,2) 为圆心、半径为1的圆（即光线与圆相交或相切）。 (I)证明：反射点P必在A关于x轴的对称点A'与圆C的连线上。 (2)求反射点P的横坐标的取值范围。 (3)求光线路径总长度AP+PB的最小值(B为光线在圆上的点)。 5.数学+生物+统计：遗传病概率与二项分布（解答题) 某遗传病由一对等位基因A,a控制(A正常，a患病)，为常染色体隐性遗传（基因型Qa患病）。 己知人群中等位基因频率p(A)=0.9,p(a)=0.1,且符合哈代-温伯格平衡。 (1)求人群中随机一人患病的概率。 (2)现有一对夫妇，女方患病(Qa),男方表型正常（基因型未知）。他们已生育一个正常孩子，求男 方携带致病基因(Aa)的概率。 (3)若男方携带致病基因的概率记为τ，记他们未来生育的n个孩子中患病人数为X。求X的分布 列与数学期望E(X)。 ◆核心·高频考点速查◇ 速查01集合、逻辑、复数、向量 专题1.1集合与逻辑 一、考点考频提示及核心公式 51/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a.高频考点：集合的交、并、补运算，子集、真子集个数，充分必要条件的判断。 b.中频考点：集合的描述法与列举法，含参集合的关系（如A∈B)问题。 ℃.命题趋势：常以选择题形式出现，难度较低，属于送分题，与其他知识结合。 1集合的表示：列举法如{1,2,3}，描述法如{x } 2.子集个数：含有n个元素的集合有 个子集， 个真子集 3.集合运算律：AUB=,A∩B=(交换律)； 4.德摩根定律：Cu(AUB)=,C(AnB)= 5.集合关系判断：AcB台A∩B= 台AUB= 6.充分必要条件：p→q且q→p台p是q的一条件： p→q但q羚p台p是q的 条件 7.量词命题否定：Vx∈M,p(x)台 3xEM,p(X)台 8含参数的集合问题，常利用集合的包含关系（如A二B)或运算结果（如A∩B=D)来求参数范围，解决 此类问题的关键是：先求出集合的一，再结合数轴或端点值列 一（不等式或方程）。 二、应试小技巧 a. 数轴Venn图是法宝：处理集合运算、含参范围问题时，画数轴或Venn图可直观、快速解题。 b.“正难则反”：求补集或涉及“至少”、“至多”的命题否定时，可考虑从反面入手。 c. 充要条件判断口诀：“小范围推大范围”是充分不必要；“范围一样是充要。 三、极简典例 (I)己知集合A={x-2<x<3},B={xx2-4x+3≥0，则A∩B=。 (2)集合M={1,2,3,4的真子集个数是 0 (3)命题x>0,x+1≥2”的否定是 (4)“x>2”是“x>1”的 条件。 (5)已知A={xx<a},B={xx<2},若A∈B,则a的取值范围是 (6)己知全集U=R,集合或A={xx≤1或x≥3，则CuA= (7)设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},若A=B,则a2025+b2026= 52/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (8)己知p:x-1<2,q:x2-2x-3<0,则p是q的 条件。 专题1.2复数 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：复数的四则运算、复数的模与共轭、复数的几何意义（对应点、向量）。 b.中频考点：复数相等、i的幂的周期性、复平面内的轨迹问题。 c. 命题趋势：每年必考，以选择题或填空题为主，难度小，属于送分题，考查基本概念和运算。 1.复数代数形式：z=a+bi(a,bDR),其中a为_，b为_；b0时为实数，a=0且b≠0时为纯虚数。 复数相等：a+bi=c+diD_且 2.复数的模：z=la+bi=a+b): 共轭复数：若z=a+bi,则z=a-bi 3.复数四则运算： (a+bi)±(c+di)= (a+bi)(c+di)= (a+bi)(c+di)= (分母实数化) 4.模的重要性质：=；2z=；z2=（z20) 5.i的幂的周期性(n0N):a=一，i*1=,i=一，i*3= 6.复数的几何意义：z=a+bi对应复平面内的点Z(,b),对应向量Oz=(a,) 7.复平面内的距离与轨迹： 21一za表示Z1与Z2两点间的距离； 2一z=r(>0)表示以zo为圆心、r为半径的圆 二、应试小技巧 ①牢记P=-1:运算时实部与虚部分开处理，合并同类项。 ②除法标准化：分子分母同乘分母的共轭复数，化为+bi形式。 ③几何意义巧解：z-z→两点间距离；z-z=r→以zo为圆心r为半径的圆。 ④i的幂周期性：指数除以4看余数，以大化小（如2s=i=i)。 三、极简习题8道，助力公式记忆 1.若z=(1+i)/(1-i),则z的虚部为 2.复数z满足z21=3,则☑的最大值为 3.已知z=2+3i,则其共轭复数2=，模2=一。 4.若复数z满足z1-）=3+i,则☑=。 53/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.复数z在复平面内对应的点为(3，-4)，则z=一。 6.若复数z满足z+z☑=2+8i,且z的实部为负数，则z=。 7.计算：(1+i)4=。 8.在复平面内，满足z-1+=2的复数z对应的点构成的图形面积为 专题1.3平面向量 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：向量的线性运算（加减、数乘）坐标表示、数量积的计算与几何意义、向量平行与垂直的 坐标表示。 b.中频考点：向量的模、投影向量、三角形的“四心”向量表示。 ©.命题趋势：常与三角函数、解析几何、解三角形结合，考查综合应用能力。 1.向量的线性运算：减法：OA-OB= 加法：平行四边形法则，三角形法则：AB+BC=: 2.向量坐标运算：设=(xy),6=(x2,y2),a±万=一a=一 3.向量模长：1d= 4数量积：坐标形式d·b=_几何形式a.b=（0为夹角) 5.向量平行（共线）：aⅡ台 坐标表示： 6.向量垂直：d1b台 ;坐标表示： 7投影向量：在b方向上的投影向量为 二、应试小技巧 a.“爪子定理”（三点共线）：若OP=xOA+yOB,且x+y=1,则P,A,B三点共线。 b.“极化恒等式”求数量积：a·6=[+2-a-可]，在已知模长和时特别有用。 c. 建系法：遇到规则图形（矩形、菱形、正三角形等），优先建立坐标系，用坐标运算。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)己知=(1,2)，i=(3,x),若a川万，则x=—。 (2)已知=2，=3，与夹角为60°，则.6=一。 3)在△ABC中，D为BC中点，则AD=(一+一)。（用AB,AC表示） 54/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)已知a1,l=1,=2,则d+=一。 (⑤)向量在方向上的投影向量为 ()万。若五=(1,3)，6-2,1)，则投影向量的模为 (6)己知d=(1,入)，b=(2,1),若d与a+b的夹角为锐角，则入的取值范围是 (7)在△ABC中，AB·AC=2,且IABI=1,|AC=5,则BC边上的高AD的长度为 图)已知0是平面上一定点，ABc是平面上不共线的三个点，若0P-0A+A(需+需).A∈D+四，则 P的轨迹一定通过△ABC的一心。 专题1.4不等式 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：基本不等式求最值(“一正二定三相等”)、一元二次不等式的解法。 b.中频考点：分式不等式、绝对值不等式、不等式性质比较大小。 ℃.命题趋势：基本不等式常作为工具出现在函数、解析几何、应用题的最值问题中：单独考查时多为选 择题或填空题，难度中等。 1.基本不等式：对于a,b>0,有a+b≥ ， 当且仅当 时取等： 2.重要变形：a2+b22≥ 一：+≥(ab>0) a 3.绝对值不等式：x<a台 x>a台；x-al+lx-bl≥ 4.糖水不等式：若b>am>0,则哈 a+m b+m 5.解不等式步骤：一元二次不等式先看 ，再看。 二、应试小技巧 a.“1的代换：已知ax+by=1或爱+号=1，求相关最值时，整体乘1再展开。 b.配凑定值：通过拆项、添项、系数调整，构造出和或积为定值的形式。 ℃.连续使用要验证等号：多次使用基本不等式时，确保每次等号成立条件能同时取到。 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()若心0，则x+生的最小值为 一，此时x= 55/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)己知心0，b>0,且a+b=1,则+2的最小值为 "a b (3)不等式(x-1)x+2)<0的解集是 (4)解不等式：|2x-1≤3。 (5)若0<x<1,求x(1-x)的最大值 (6)已知x>1,则y=x+二的最小值为 。 (⑦)比较大小：若a>b>0,则a2+b2 2ab;Vab 生”。（填”“<”或一 (8)若关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(-，则不等式cx2+2x-Q<0的解集为一。 速查02函数与导数 专题21函数概念与性质 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：函数定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用。 b.中频考点：函数值域求法、函数解析式求法、函数图像识别。 C. 命题趋势：性质综合考查是热点，常与导数、不等式结合，难度中等偏上。 1.函数三要素： 2.定义域求法：分母， 偶次根下 ，对数真数 正切函数 3求函数值域常用方法：观察法一、 4.函数解析式求法：待定系数法 5.单调性定义：设，2∈D,若x1<x2时f(x1)<f(x2),则f(x)在D上 6奇函数性质：f(-x)=;图像关于 对称：若在x=0有定义，则f(0)=: 7.偶函数性质：f(-x)=一；图像关于 对称； 8.周期性：f(x+T)=f(x),则T为函数的 9.对称性：f(a+x)=f(b-x)→对称轴为 f(a+x)+f(b-x)=c→对称中心为 10.周期性与对称性的关系： 有两条对称轴x=a,x=b(a≠b)→周期T=; 56/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有两个对称中心(a,c),(b,c)→周期T=; 有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,c)→周期T=一 二、应试小技巧 a.“奇函数+C模型：若f(x)+f(-x)=2a,则f(x)图像关于点(0，a)对称。 b.周期与对称关系：两个对称轴（或中心）可得周期：一个对称轴和一个对称中心也可得周期。 c. 抽象函数赋值法：对于抽象函数等式，常令x,y为特殊值（如0,1，-1）来求值或找规律。 三、极简习题8道，助力公式记忆 )函数f()=V4-2+的定义域为 (2)若f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x,则f(-1)= 0 (3)函数f()=sin(2x+)的最小正周期是 (4)若fx+2)=fx),且f(1)=5,则f(2025)=一。 (⑤)函数y=x+的单调递增区间是 。 (6)己知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，则不等式f(og2x)<f1)的解集为 (7)若函数fx)=x2-2ax+3在区间(-∞，4纠上单调递减，则a的取值范围是一。 (8)己知f(x)满足f&+y)+f(x-y)=2f(x)fy),且f(O)≠0，则fx)可能是 （填“奇”或“偶”)函数。 专题2.2基本初等函数 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：指数、对数运算，指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（单调性、定点）。 b. 中频考点：不同函数增长差异、函数图像变换。 C. 命题趋势：常作为比较大小、解方程/不等式的工具出现，也常与导数结合考查复合函数。 1.指数运算：am·a”=;(am)严=；(ab)"= 2.对数运算：log.MN)=—10gM=—1 0g.M= 换底公式：1ogab=-—— 3.指数函数y=a*(a>0,a≠1)：定义域：，值域： a>1时，过定点，单调：0<a<1时，单调_ 57/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.对数函数y=log,x(a>0,a≠1)：定义域： ，值域： a>1时，过定点，单调 :0<a<1时，单调 5幂函数y=x:第一象限内，n>0时图像 ,n<0时图像 二、应试小技巧 a.“同底”原则：解指数、对数方程不等式时，优先化为同底。 b.“0和1”分界点：比较指数、对数大小时，常用0和1作为中间值。 c. 图像记忆：牢记三大函数（指数、对数、幂）在第一象限的图像特征，快速判断大小。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)计算：23×42+10g28=— (2)函数=ax-2+1(a>0且a≠1)恒过定点 (3)比较大小：0.320.33：10g0.3210g0.33。 (4)函数y=1og2(x2-4)的单调递增区间是一。 (5)若幂函数f(x)=x“的图像过点(4,2)，则a= (6)方程4*-2x+1-3=0的解为 (7)己知log32=a,l0g37=b,则1og4263= (用a,b表示)。 (8)若函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围是 专题2.3导数及其应用 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：导数的几何意义（求切线）、利用导数研究函数的单调性、极值与最值。 b. 中频考点：不等式恒成立/能成立问题、零点问题、构造函数证明不等式。 C.命题趋势：解答题压轴或次压轴，综合性强，难度大。小题考查基础运算和简单应用。 1基本导数公式：C'=(C为常数)；xy= (sinx)'= ;(c0sx)'= ;(ey= (a)=;(Inx)'=;(log x)= 2.导数的四则运算：[f(x)±g(x)]'=一[f(x)g(x)]'= [f(x)/g(x)]'= 58/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.复合函数求导：[f(gx)]'= 4.导数的几何意义：f'(xo)表示曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的 5.切线方程：y-f(xo)=一·(x-xo) 6.单调性判断：f'(x)>0→f(x)-f'(x)<0→f(x) 7.极值定义：f(x)在o处取得极值→fxo)=（必要条件) 8.极值充分条件：f(o)=0,且在xo左右两侧f(8),则x为极值点 9最值求法：求连续函数在a,b]上的最值，先求，再求，比较得最值 10.常见构造函数方法：f(x)>g'()→构造函数F(x)= f(x)+fx)>0→构造函数F(x)= 11.切线放缩：ex≥_，lnr≤ 12.同构思想：遇到ex与lx时，常用关系：ex=_,lx=_ 13.隐零点问题：设出零点x满足fxo)=0,代入化简时利用一关系 二、应试小技巧 a.切线方程“三步曲”：求导→代点得斜率→点斜式写方程。 b.“列表法”判单调/极值：令f'(x)=0,划分区间，列表判断f(x)符号。 c.“参变分离”解恒成立：对于f(x)≥a恒成立，优先考虑分离参数为a≤g(x),转化为求g(x)的最值。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)函数f(x)=x3-3x的单调递减区间是 (2)曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程为 (3)函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上的最小值为 (4)若函数f(x)=x3+ax2+3x在R上单调递增，则a的取值范围是 (5)证明：当x>0时，e×>x+1。 (6)函数f(x)=x3-6x2+9x-2的极大值为■ (7)若直线y=kx+b是曲线y=nx+2的切线，也是曲线y=ln&+1)的切线，则b= (8)己知函数f(x)=x·ex,若关于x的方程f(x)=a有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 速查03三角函数与解三角形 59/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1三角函数概念与公式 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式。 b.中频考点：扇形公式、三角恒等变换证明。 ℃.命题趋势：公式考查直接且基础，是解决三角大题的第一步。常与解三角形、向量结合。 1.弧度制：πrad=_,1rad≈。 2.扇形公式：弧长1=，面积S== 3.三角函数定义（单位圆）： P(x,y)为角u终边上一点，OP=r,则sina=;cosa= ;tand= 4.同角三角函数关系：sin2a+cos20= tand== 5.诱导公式口诀： ;sin(π-a)=,cos(π-a)=; 6.和差公式：sin(a-)= cos(o±β)=」 tan(o吐)= 7.二倍角公式：sinm2a= cos2a= :tan2a= 8.降幂公式：sina= :cos a= 9.辅助角公式：asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+p),其中cosp=-,sinp= 10.万能公式（用tan(a/2)表示）： sina= :cosa= :tand= 11.和差化积公式： sin a+sin B= sin a-sin B= cosa+cosβ=】 cos a-cos B= 12.积化和差公式： sin a cos阝= cos a sin B= cos a cos B= sin a sin B= 二、应试小技巧 a.“奇变偶不变，符号看象限”：诱导公式口诀，务必熟练。 60/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b.“1的妙用：sin2a+cos2a=1,常用来“弦化切或统一函数名。 c. “降幂扩角”与“缩角升幂”：根据题目需要，灵活运用二倍角公式的变形。 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()）已知sina=是aeG5,0,则cosa=一，tana= (2)化简：i血(-cos+= tan(2t-a) (3)计算：sin15cos15°=-。 (4)函数f(x)=six-V3cosx的最大值为_。 (5)己知tan0=2,则sim8+cos8 sin0-cos0 (6)已知sina+cosa=&∈(0，可)，则tana=--。 (7)求值：c0s20c0s40°c0s80°= (8)化简：sin50(1+√3tan10)=_ 专题32三角函数的图像与性质 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：y=Asin(ωx+p)的图像变换、周期性、单调性、对称性、最值。 b.中频考点：根据图像求解析式、三角函数模型简单应用。 C. 命题趋势：选择题或填空题考查图像性质：解答题中常作为载体考查综合问题。 1.正弦函数y=Asin(ox+p): 振幅一，周期，频率，相位，初相 五点作图法关键点：一，一， 2.图像变换：y=sinx→y=sin(k+φ)向 平移φ个单位 (0>0向，0<0向) y=sinx一→y=snox横坐标变为原来的 y=sinx→y=Asinx纵坐标变为原来的 3.单调区间：y=sinx的增区间： 减区间： y=Cosx的增区间： ,减区间： 61/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.对称性：y=sinx的对称轴： ,对称中心： y=Cosx的对称轴： ，对称中心： 二、应试小技巧 a. 图像变换“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”：注意ω对平移量的影响，口诀“ω提，p除”。 b.“五点法草图：快速画出草图，帮助分析性质。 c. 整体代换：将wx+p视为整体t,利用y=sint的性质求解。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)函数y=2sin(3x-为的最小正周期T=一。 (2)将y=six图像向左平移单位，所得图像的函数解析式为 (3)函数y=cos(2x+的对称轴方程是 (4)函数y=2sinx在区间[0，可上的最大值是一，最小值是 (5)已知函数f()=Asin(ωx+p)(A>0,ω>0)部分图像显示振幅2，周期，过点侵，2)，则p=一。 (6)函数y=3sin(2x-)的单调递增区间为一一。 (7)将函数y=si2x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所 得图像的函数解析式为一。 (8)已知函数fsin(ox+p)o>0,pK)的部分图像如图所示，则w=一，g=—。 专题3.3解三角形 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用。 b.中频考点：判断三角形形状、解三角形的实际应用、与三角恒等变换结合。 62/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.命题趋势：解答题常考，难度中等。考查正余弦定理的灵活选用和边角互化能力。 1.正弦定理： =2R(R为外接圆半径) 2.余弦定理：a2= :COSA= 3.三角形面积公式：S=_ (最常用)；S= (海伦公式) S= (用外接圆半径) 4.解三角形常见题型：已知两角和一边用 ;已知两边和夹角用 ;已知三边求角用 ;己知两边和其中一边的对角可能 5.三角形内角和：A+B+C=π→sin(A+B)=-,cos(A+B)=— 6.射影定理：a=bcosC+ 二、应试小技巧 a.“边化角”或“角化边”：根据题目条件（齐次、有平方等）选择转化方向，统一为边或角。 b.“大边对大角”：己知两边及一边对角求角时，注意解的个数判断。 C. 面积公式多选一：S=bsmC最常用：海伦公式用于已知三边，S=北用于已知外接圆半径。 4R' 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)在△ABC中，a=3,b=4,C=60°，则c= (2)在△ABC中，a=V2,b=V3,B=60°，则A=-。 (3)在△ABC中，a:b:c=3:5:7,则最大角为度。 (4)在△ABC中，若sinA=sin2B+sin2C,则△ABC是一三角形。 (5)在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,则△ABC的面积S=一· (6)在△ABC中，若acosA=bcosB,则△ABC的形状是 (7)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=2,b=6,A=45°，则满足条件的三角形有 个。 (8)在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=一。 速查04数列 专题4.1等差数列 一、考点考频提示及核心公式 63/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a. 高频考点：等差数列的通项公式、前项和公式、等差中项、性质（下标和相等则项和相等）。 b.中频考点：等差数列的判定、S的最值问题。 ℃.命题趋势：选择题、填空题或解答题（与等比数列综合），考查基本公式和性质的应用。 1.等差数列定义：a+1一an=一 (常数)； 2.通项公式：am= (用首项和公差)= (用任意项和公差) 3.等差中项：若a,b,c成等差数列，则b= 4.前n项和公式：Sm=(用首项和末项) (用首项和公差)= (用中间项，n为奇数 时) 5.性质：若m+n=p+q,则am+am=;SwS2m-SwS3m-S2m成 6判定方法：数列{am}是等差数列台am=(关于n的一次函数)台S=（关于n的二次函数， 无常数项) 二、应试小技巧 (I)“知三求二：等差数列五个量a1,d,n,an,Sn,知道任意三个可求另外两个。 (2)“片段和成等差”：Sn,S2n-Sn,S3m-S2n成等差数列。 a. 最值问题：首项a1>0,公差d<0时，Sn有最大值；利用an≥0且an+1≤0求n。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (3)等差数列{an}中，a1=2,d=3,则a10=一， S10= (4)等差数列{an中，a3+a7=10,则a5=一。 (5)已知数列{an}前n项和Sn=n2+2n,则an=-。 (6)在等差数列中，S5=25,S10=100,则S15=。 (7)等差数列{an}中，a1>0,d<0,且lagl=|agl,则使Sn最大的n=一。 (8)在等差数列{an}中，若a3+a4+as+a6+a7=450,则a2+a8= (9)己知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2,则数列an}是- 数列，通项a=一。 (10两个等差数列3的前n项和分别为s和，若号-行侧号=一 专题4.2等比数列 64/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：等比数列的通项公式、前n项和公式（注意q=1)、等比中项、性质（下标和相等则项积 相等)。 b.中频考点：等比数列的判定、无穷等比数列求和。 c.命题趋势：常与等差数列结合考查，注意公比q的讨论。 1.等比数列定义：4+/a=（常数，q0)通项公式：4= 2.等比中项：若a,b,c成等比数列，则b2=(ac>0) 3.前n项和公式：q=1时，Sn=一； q1时，Sn== 4.性质：若m+n=p+q,则ama。=_;S,S2a-S,Ssm-S2m成 （q≠-1时) 5.判定方法：数列{an}是等比数列台an= （指数型)台Sn=」 (q时1时) 二、应试小技巧 a.“知三求二”：等比数列五个量a1,q,几，a,Sn,知道任意三个可求另外两个（注意q≠1）。 b.“片段和成等比”：当q≠-1时，Sm,S2n-S,S3n-S2n成等比数列。 C. “巧用性质”：若m+n=p+q,则am·an=ap·ag 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)等比数列{an}中，a1=1,q=2,则a5=,Ss=-。 (2)等比数列{an}中，a2·a6=16,则a4=。 (3)已知数列{an}满足an+1=2an,且a1=3,则{an}是 数列，通项an= (4)求和：1+2+4+…+2m=。 (⑤)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数之积为一 (6)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=7,S6=63,则公比q=— (7)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4=1,a13a14a1sa16=8,则a41a42a43a44=一。 9+99+999+…+999.9= (8)求和：个 n个9 专题4.3数列通项与求和 一、考点考频提示 65/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a.高频考点：己知Sn求a、累加/累乘法求通项、裂项相消法求和、错位相减法求和。 b.中频考点：构造法求通项（如atpa+q)、分组求和、并项求和。 C.命题趋势：解答题常见，错位相减和裂项相消是求和的重点和难点。 1.a与Sm关系：a=(n心2)，特别注意n=1时 2.递推数列常见类型： an+1=am+f(n用 法 a+1=an'f(n)用 法： a+1=pan+q用 法 3数列求和方法：等差数列、等比数列用 分式型用 通项含(-1)用 ;通项为等差×等比用： 二、应试小技巧 a.“Sn法求am”:切记验证n=l。 b.“裂项相消'：关键是把通项裂成“前后可抵消”的形式，如1/n(n+1)]=1m-1/(n+1)。 C. “错位相减步骤化：写S→乘公比→错位相减→化简整理。注意最后一项符号和指数。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)己知数列{an}前n项和Sn=2n2-n,则an=一c (2)数列{an}满足a1=1,an+1=Qn+2n,则an= 9 (3)求和：1/1×2)+1/(2×3)+..+1n(+1)]=。 (4)数列{an}通项anm2m,求其前n项和Sn。 (5)数列{an满足an=3an+2,a1=l,求an。 (6)数列{an}满足a1=l,an+1=2an+3,求an (7)求和：12+22+3+..+㎡= (8)求和：1×2+2x3+3×4+.+nm+1)= 速查05立体几何 专题51空间几何体 一、考点考频提示 66/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a.高频考点：柱、锥、台、球的体积和表面积公式。 b.中频考点：组合体的体积与表面积、几何体的外接球与内切球问题。 ℃.命题趋势：选择题或填空题，考查公式记忆和简单应用。外接球问题是难点。 1.柱体（棱柱、圆柱）体积：V= 2.锥体（棱锥、圆锥）体积：V= 3.台体（棱台、圆台）体积：V= 4球体体积：V=,表面积：S= 5.正四面体（棱长为a):高h=;体积V=;外接球半径R=;内切球半径r= 6.长方体（长宽高为a,b,c):体对角线长l=;外接球半径R=_ 二、应试小技巧 a.“公式记牢”：体积：柱体V=Sh,锥体V=⅓Sh,球V=4/3πR3;表面积：球S=4R2。 b.“补形法”求外接球：将几何体补成长方体或正方体，利用其体对角线为外接球直径。 c. “等体积法”求点面距：V。-ABC=VA一PBC,变换顶点求高（距离）。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)棱长为a的正方体的体积为 一，表面积为 (2)底面半径为1，高为h的圆锥体积V=一。 (3)若球的体积为36m,则其半径R=_ (4)正四面体的棱长为a,则其体积为。一。 (⑤)长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则其外接球的表面积是 (6)圆柱的底面半径和高相等，若其侧面积为S,则它的体积是 (⑦)己知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为2，则该球的体积为」 (8)已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为3的扇形，则该圆锥的体积为 专题5.2空间位置关系 一、考点考频提示 .高频考点：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理。 b.中频考点：空间位置关系的综合证明、探索性问题。 ℃.命题趋势：解答题第一问常考位置关系证明，属于基础题，务必规范书写。 67/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行； 符号语言： .→ala 2线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与原平面交线与该直线平行； 符号语言：→a∥b 3面面平行判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 符号语言： →Cu∥B线 4.面垂直判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直； 符号语言： →1⊥0 5.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；符号语言：→a∥b 二、应试小技巧 a.“一作二证三求”：立体几何解答题通用步骤。 b.“线线平行→线面平行”：常在平面内找一条与已知直线平行的线。 c.“线线垂直→线面垂直”：需在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()垂直于同一条直线的两个平面一。 (2)若直线a∥平面u,直线bca,则a与b的位置关系是 (3)若平面u⊥平面B,anB=l,直线acu,a⊥l,则a与B的位置关系是 (4)在正方体ABCD-ABCD中，求证：AC⊥平面BCD。 (5)己知平面a∥平面B,直线ac,则a与B的位置关系是 (6)若直线1⊥平面a,直线mc平面a,则1⊥m”是m∥c'的_ 条件。 (O)在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，则EF与平面BCD的位置关系是 (8)己知m,n是两条不同直线，u,阝是两个不同平面。给出下列命题：①若m∥，n∥u,则m∥n;②若m ⊥a,n⊥a,则m∥n:③若m∥a,m∥B,则a∥B;④若mL,m⊥B,则a∥B。其中正确命题的序号是 专题5.3空间向量与空间角 一、考点考频提示 .高频考点：空间向量的坐标运算、利用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角。 b.中频考点：利用向量法证明平行垂直、求点到平面的距离。 68/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ℃.命题趋势：解答题第二问常用向量法解决空间角问题，计算是关键。 1.空间直角坐标系中，向量a=(x,y,z),则1= 2.=(xyz1),万=(x2y22),则a.i= 3.异面直线所成角：cos0=_ (0∈(0，π2]) 4.线面角0：设直线方向向量为m,平面法向量为元，则sin0= (0∈0，/2])： 5.二面角的夹角0：设两平面法向量为ni,2,则cos0=_ (0与法向量夹角相等或互补)： 6.点到平面距离：设点P(x,y,z),平面α内一点A,平面法向量为沉，则d= 7空间向量建系原则：尽量使更多点在坐标轴上，或利用关系建系； 二、应试小技巧 a.“建系要合理”：尽量让更多的点落在坐标轴或坐标平面上。 b.“法向量是关键’：求平面法向量时，设n=(X,y,z),利用nAB=O,nAC=0,赋值求解。 C. “角公式记清楚”：线面角正弦=cos<m,n>;二面角余弦=±cos<n,n2>（需判断锐钝)。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)己知a=(1,0,1),b=(2,-1,0),则ab=_-。 (2)直线方向向量m=(1,2,3),平面法向量n=(2,-1,1),则直线与平面所成角的正弦值为 (3)点P(1,2,3)到平面2x-y+z-5=0的距离d=。 (4)己知平面a过点A(1,0,0),B(0,1,0),C0,0,1),求其一个法向量n。 (⑤)在正方体ABCD-A1B1CD1中，以D为原点建系，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值。 (6)己知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直，则k=-。 (7)己知平面a的一个法向量元=(1，-1，V2),点P(-1,2,0)在平面a内，则点Q(1,0,√2)到平面u的距离 为 (8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=BC1,则BM与 AN所成角的余弦值为 速查06直线与圆、圆锥曲线 专题61直线与圆 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：直线方程形式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线方程。 69/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b.中频考点：对称问题、弦长问题、圆与圆的位置关系。 ℃.命题趋势：选择题或填空题，考查基础知识和基本计算能力。 1.直线倾斜角α∈ 斜率k=」 (0≠90°) 2.直线方程形式： 点斜式： (不能表示垂直于x轴的直线)； 斜截式： (不能表示垂直于x轴的直线) 两点式： (不能表示垂直于坐标轴的直线)； 截距式： (不能表示过原点或垂直于坐标轴的直线) 般式： (A,B不同时为0)距离公式： 3.两点间距离：PP2= :点到直线距离：d= 两平行线距离：d= 4.对称问题：点P(ko,yo)关于直线Ax+By+C=0的对称点P'坐标求法：利用」 关系 5.圆的方程：标准式： ,圆心 ,半径 般式： (需满足 6直线与圆位置关系判断：几何法：比较与」 代数法：联立方程，看△ 7.圆的切线方程：过圆上一点P(xo,yo)的切线： 对于x2+y2=r2,切线为 8过圆外一点Pxo,yo)的切线：设斜率k,用 =; 二、应试小技巧 a.“距离公式”：点到直线距离、两平行线距离公式要记准。 b.“相切d=r”:处理切线、弦长问题时，圆心到直线的距离d是核心桥梁。 c.“圆的切线公式”：过圆x2+y2=r2上一点(xo,yo)的切线为xx+yoy=r2。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)过点(1,2)且斜率为3的直线方程为 (2)圆心为(2，-1)，半径为3的圆的标准方程为 (3)直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是 (4)圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离是 70/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)求过点(3，④且与圆x2+y2=25相切的直线方程。 (6)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,则圆心坐标为 ,半径为 (7)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是 (8)圆x2+y2=1与圆(x-2)2+(y-2)2=5的位置关系是一。 专题6.2圆锥曲线 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质（离心率、渐近线等)。 b. 中频考点：直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点弦）、焦点三角形。 ℃.命题趋势：小题考查定义与性质：解答题综合性强，常考轨迹方程、定点定值、范围最值问题。 1.椭圆定义：到两定点，F2的距离之和等于常数（大于FF2)的点的轨迹椭圆标准方程（焦点在x轴）：， 其中a>b>0,c2=; 椭圆几何性质：范围： ;顶点： 离心率：e=∈(0,1)，e越小，椭圆越 2.双曲线定义：到两定点F,F2的距离之差的绝对值等于常数（小于FF2)的点的轨迹双曲线标准方程（焦 点在x轴)：，其中a>0,b>0,c2=; 双曲线几何性质：范围：；顶点： ;渐近线： 离心率：e=>l,e越大，开口越； 双曲线焦点到渐近线距离d= 3抛物线定义：到定点F的距离与到定直线1(F1)的距离相等的点的轨迹抛物线标准方程（开口向右)： 焦点一，准线」 抛物线焦点弦性质：以焦点弦为直径的圆与准线」 焦点弦长AB=;y1y2=一’X1X2= 4.圆锥曲线的统一定义：到定点F的距离与到定直线I的距离之比为常数e的点的轨迹e=l时为一，e>1 时为 ,0<e<1时为 5.弦长公式：AB= (k为斜率) 6.中点弦问题：椭圆：KopKAB=;双曲线：Kop.KAB=_: 抛物线：kAB= 7.焦点三角形面积（椭圆）：S=_ 71/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、应试小技巧 a.“定义优先”：涉及焦半径、焦点弦时，优先考虑圆锥曲线定义。 b.“设而不求，韦达定理”：解答题中处理直线与圆锥曲线联立问题的核心方法。 c.“弦长公式”：AB1=V1+k区：x1-x2或1+起·ly-y2l 1 三、极简习题8道，助力公式记忆 )椭圆号+片=1的焦点坐标为一，离心率和=一· (2)双曲线芩-二=1的渐近线方程为 45 (3)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离为一。 (④过椭圆器+号=1内一点P3,1)且被P平分的弦所在直线方程为一· (⑤)已知双曲线离心率为2，一个焦点为(4,0)，则其标准方程可为一。 (6)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为V3的直线交C于A,B两点，则AB|=。 ()椭圆兰+兰=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,P为椭圆上一点，且∠R,P2=60,则椭圆的离 心率e的取值范围是_一。 (8)已知双曲线号-苦=1a>0,b>0)的一条渐近线被圆(《-22+y2=4截得的弦长为2，则该双曲线 的离心率为一。 速查07计数原理、概率、统计 专题7.1计数原理与概率 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：分类加法、分步乘法原理，排列组合数计算，古典概型，二项式定理通项。 b.中频考点：排列组合应用题（捆绑、插空、隔板等），条件概率，二项分布。 72/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.命题趋势：选择题或填空题，考查基本原理的应用和计算。 1.分类加法原理：完成一件事有n类不同方案，每类有m种方法，则共有 种方法 2.分步乘法原理：完成一件事需要n个步骤，每步有m种方法，则共有」 种方法 3.排列数公式：A.m=__=（n,m∈N*,m≤n) 4.组合数公式：Cnm=」 5组合数性质：Cmm=」 （对称性)；Cm+Cm1=】 (递推公式) 6.二项式定理：(atb)n= 7.二项展开式通项：T+1= (k=0,1,…,n） 8.古典概型：P(A)=(m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件总数) 9.条件概率：P(BA)=;相互独立事件：P(AB)= 10.n次独立重复试验（伯努利试验）：事件A发生k次的概率Pk)= 11.全概率公式：若事件B,B2,…,Bn构成一个完备事件组，且P(B)PB)>0,则对任一事件A,有P(A)= 12.贝叶斯公式（选学）：在全概率公式的条件下，有P(BA)= 二、应试小技巧 a.“先选后排’：处理排列组合混合问题。 b.“正难则反”：当正面情况复杂时，考虑总情况数减去反面情况数。 c.“赋值法”求系数和：二项展开式中，令x=1可得所有项系数和。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)从5名男生、3名女生中选3人，要求至少有1名女生，有 种选法。 (2)(2x-1)5的展开式中，x3项的系数是 (3)掷两枚均匀骰子，点数之和为5的概率是 (4)己知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=0.3,则P(BA)= (⑤)某射手命中率为0.8，独立射击3次，恰好命中2次的概率是 (6)将5本不同的书分给4个人，每人至少1本，不同的分法有 种。 (⑦)在(V反+)的展开式中，常数项是一。 (8)甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙相邻，丙、丁不相邻，不同的排法有 种。 73/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题7.2随机变量与统计 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：离散型随机变量的分布列、期望与方差，正态分布的3o原则，线性回归方程。 b.中频考点：二项分布、超几何分布的应用，独立性检验。 ℃.命题趋势：解答题常考，考查数据处理和实际应用能力。需规范书写步骤。 1离散型随机变量分布列性质： p0(i=l,2,…)ptp+.=数学期望（均值)：E(X=_; 方差：D(X)=一=；标准差：σ(X)= 期望性质：E(aX+b)=_;E(X+Y)=_ 方差性质：D(aX+b)=一：若X,Y独立，则DX+Y)= 2.二项分布：X~B(n,p),则E(X)=。DX)= 3超几何分布：从M件产品（含K件次品）中任取n件，其中次品数X的分布列：P(X=k)= (k=0,1,...,min(K,n)) 4.正态分布：X~N(L,σ2)，概率密度函数曲线特点：关于对称；最高点在； 5.P0u-0<X<μ+o)≈P(-2o<X≤μ+2o)≈；P0-3o<X<+3o)≈ 6线性回归方程：=bx+a,其中b= 7.相关系数r:r≤1，r越接近1，线性相关程度越 二、应试小技巧 a.“分布列完整性”：检查所有概率之和是否为1。 b.“公式法求期望方差”：E(X)=∑xP,D(X)=E(X2)-[E(X)]2。 c.“回归直线过样本中心”：区，习)一定在回归直线上。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (①)随机变量x分布列为P(X=k)=(k=1,2,3),则c=—,E(X)=—。 (2)若X~B(10,0.2),则EX闪=，D(X)=— (3)已知X~N(2,o2),且P(0<X<4)=0.6,则PX>4)=- (4)一组数据&，y),算得x=2,了=5，回归方程=1.5x+a,则a=一一。 74/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)期望E(2X-3)=(用E(X)表示)，方差D(2X-3)= (用D(X)表示) (6) 一个袋子中有5个红球，3个白球，从中不放回地取2次，每次取1球，设X为取到的红球个数，则P公=1)= (7)已知随机变量服从正态分布N(1,o2),且P(飞<2)=0.8，则P(0<乏<1)= (8)根据下表数据，求得y关于x的线性回归方程为的=0.7x+a,则a= 3 5 6 y 2.5 3 4 4.5 速查08思想方法与应试策略 专题8.1数学思想方法 1.函数与方程思想：将问题转化为 或 求解 2数形结合思想：研究函数时考虑其 研究几何时建立 3.分类讨论思想：分类标准要 做到 4.转化与化归思想：将复杂问题转化为问题 5特殊与一般思想：从特殊情况发现规律推广到一般，常用法 6极限思想：分析变化趋势，常用在比较大小和求取值范围时 7.建模思想：实际问题→数学模型→求解 专题8.2应试策略 1.选择题解题策略：直接法， 验证法 2.多选题保守策略：不确定时填空题解题策略：直接法， 3解答题规范：三角函数：先， 再 ，注意 4.立体几何：一作二证三 5概率统计：设事件、列分布、求期望、作」 6.解析几何：解析几何中“设而不求，整体代换”的通用步骤：①设点、设线：②；③写出判别式（确 保相交)；④应用 定理；⑤将目标几何条件（如垂直、共线、面积）翻译为关于 的代数式： ⑥整体代入化简求值。 7函数导数：求导、一、列表、得结论 8.时间分配建议（以120分钟为例）： 75/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选择题： 分钟；填空题： 分钟；解答题： 分钟：检查： 分钟 一、考点考频提示 这些专题是对前面所有知识的升华和策略总结，贯穿于整个解题过程。高考命题无时无刻不在考查这 些思想方法和策略的应用能力。 二、应试小技巧 .“小题小做：选择题多用特值法、排除法、数形结合法，避免“小题大做”。 b.“规范大题”：解答题步骤清晰，推理严谨，计算准确，做到会做的题不丢分”。 c.“时间管理'：遵循“先易后难”原则，合理分配时间，保证基础题和中档题的得分率。 d.“检查策略”：重点检查计算过程、公式使用、答题卡填涂等易错点。 三、极简习题8道，助力公式记忆（综合应用） (1) (函数方程思想)己知fx)满足fx)+2f白=3x,求f)的解析式。 (2)(数形结合)方程x2-1=a有四个不同实根，求实数a的取值范围。 (3) (分类讨论)解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0。 （转化化归)求函数y=的值域。 (4) (5)(特殊一般)观察下列等式：1=12,1+3=22,1+3+5=32，，猜想第n个等式，并证明。 (6) （整体思想)己知sina+cosa=V2,则sin4a+cos4a= 。。 (7) (构造模型)在半径为R的球内作一个内接圆柱，求该圆柱侧面积的最大值。 (8)(优化策略)考试中遇到一道毫无思路的压轴题，合理的应对策略是： 一一。（从“死磕到底”、“暂 时跳过，做完其他题再回头”、“直接放弃”中选择) 祝您高考顺利，金榜题名！ ◆技法·得分加速器 01高考倒计时30天，精准发力稳提分指南 高考倒计时30天，复习进入尾声，多数学校会将主要时间分配给考试、讲解，剩余时间以自习和答疑 为主。此前在一轮、二轮复习中承受巨大压力的你，曾期盼自主学习的时刻，可真正拥有这份自由时，却 难免陷入迷茫。本文将从“心态“学习“复习”三个核心维度，结合“细心答题防失误”的关键要点，帮你理清 76/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最后阶段的发力方向一一无需追求惊天逆袭，只要精准发力、杜绝失误，就能积累相对优势，稳稳扛住最 后压力，发挥出自己的最佳水平。 一、心态调整：摒除内耗，稳住节奏 1.破除逆袭幻想’，拒绝投机取巧 高考是一场公平的选拔，不存在“短时间内快速提分”的捷径一若真有这样的途径，对不知情的考生 而言便是不公，四十余年的高考体系绝不会允许这种情况存在。这不是浇冷水，而是最真实的现实。 最后30天，核心任务是回顾、补充、巩固过去300多天的学习成果，而非妄想“一夜建成高楼”。这个阶段 能实现“锦上添花”，却很难做到“雪中送炭”。市场上那些声称“一个月保证提×分“逆袭冲刺的课程和资料， 务必警惕：它们所举的案例，往往是成千上万考生中万里挑一的个例，其成绩提升的核心的是考生自身的 努力，而非课程本身。 铭记“公平性”三个字，稳扎稳打完成手头任务，不贪捷径、不抱过高期望，才能保持清醒的自我认知一 这是顺利走完最后冲刺路的最坚实基础，也能帮你避开弯路、节省不必要的时间和开支。 2.破除“定型焦虑”，坚持终有回响 高考前夕，难免会听到“最后这点时间也改变不了啥”的声音，这话对想最后冲一把的中间段考生来说， 无疑是一盆冷水。但请记住，高考本就有运气成分，我们拼命努力，不是为了保证提多少分，而是为了抓 住每一点可能的进步一哪怕只是几分，考场上也可能成为“救命稻草”。 从时间本质来说，全力以赴的30天，和最初的30天、中间的300天没有区别。你能在复习初期相信自己 能进步，为何要在最后阶段听天由命？有些进步或许无法立即察觉，但不代表没有发生；既然有临考逆袭 的案例，就说明进步的可能一直存在一你未必能成为下一个逆袭者，但不能放弃相信自己。 抛开“努力无用，成绩定型”的杂念，该努力就全力以赴，哪怕只剩30天，也要守住“我不甘心”的韧劲。这 30天里，你或许能发掘自己从未注意到的潜能，每一次努力都是积累，终会在考场上转化为不可预知的力 量。外界的声音再嘈杂，你的坚持和努力，才是最能依靠的底气。 二、学习策略：精准发力，拒绝盲目 自主学习的时间来之不易，若缺乏规划，要么陷入盲目刷题的内耗，要么彻底放松、浪费光阴。想在 最后阶段超越他人，关键是制定合理计划，让每一分钟都发挥最大价值，避开误区、找对方法。 (1)避开两大复习误区 77/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 误区一：缺乏计划性，陷入“无效忙碌”。很多考生信奉“题海战术”，埋头刷题、纠错，却陷入“擅长的 科目越做越多，薄弱科目能拖就拖'的困境；有时一道薄弱科目的难题，会耗费半天时间，挤压其他科目的 复习时间。每天看似忙碌，实则缺乏针对性，收获甚微，只能用“完成的试卷数量”自我安慰，第二天依旧 重复低效循环。 误区二：追求“全面覆盖”，结果“样样抓不住”。不愿放弃任何一科、任何一个知识点，试图平均分配时 间，可时间有限，最终只会手忙脚乱、顾此失彼。擅长的科目只剩难题需攻克，耗时久：薄弱科目漏洞多， 也需大量时间弥补，这种“全面覆盖”本质上是低效内耗。 最后30天，“目标不明确”就是最大的浪费。与其盲目忙碌，不如聚焦重点一选择1-2个提分空间大 的科目深度攻克，优先发力能快速提分的板块，定期评估复习效果、调整计划，才能实现质的突破。 (2)精准提分7步法，每一步都有实效 二轮复习结束后，复习核心应从“全面复习转向“带问题单点突破”一带着明确的问题去复习，才能避 免时间浪费，提升效率。核心原则有两个：一是“学科融合思维”（把各科看作总分750分的一部分，不局 限于单一科目)；二是“先提最容易提的分”（优先攻克基础题、中档题，提分效率最高）。 结合这两个原则，分享一套可直接落地的“单点突破7步法”，每一步都围绕“解决具体问题、提升分数”展开： 1.跨学科评估提分空间：回顾过往考试，评估自己在750分总分中，哪个学科、哪个板块的提分空间 最大（哪怕只有5分，只要能稳定抓住，就是胜利），聚焦这个“5分目标”，不贪多、不分散精力。 2.锁定目标题型：明确这5分对应的具体题型（比如数学解三角形的余弦定理应用、语文古诗文默写、 英语完形填空的固定搭配)，精准定位，不盲目刷题。 3.分析知识要点：拆解该题型涉及的知识点、考查重点、易错点，理清“为什么会丢分“需要掌握哪些 内容才能得分”，做到心中有数。 4.系统复盘资料：按照“教材→一轮复习笔记→课堂错题→过往试卷”的顺序，针对性复习，重点弥补 知识点漏洞，不做无关内容的无用功。 5.独立解题验证：尝试独立完成该题型，若仍无法解答，返回步骤3、4重新复盘，直至能独立写出解 题过程、得出正确答案。 6.同类题强化训练：从真题、模拟题中挑选5-10道同类题练习，完成后认真订正，重点关注“同类错 误是否重复出现”，及时查漏补缺。 7.总结解题规律：梳理该题型的解题思路、方法、切入点和易错点，对比不同题目之间的异同，总结 78/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出可复用的解题技巧，确保下次遇到同类题，能快速上手、不丢分。 这套方法的核心的是“自信积累”一每完成一个完整流程，都要达到再次遇到这类题，我一定能解决” 的底气。若没有这种自信，就增加同类题练习量，反复打磨，直到彻底掌握。试想，每2小时攻克一个5 分知识点，每天高效学习14小时，就能积累35分的提升空间，哪怕只有一半能在高考中体现，也是实实 在在的进步。 最后阶段，“复习的主人”是你自己：需要看课本就看，需要做试卷就做，需要请教就请教，不盲目跟 风、不机械重复，才能最大化利用所有复习资料，实现精准提分。 三、复习策略：高效复盘，稳抓基础 最后30天，复习的核心不是“学新”，而是“固旧”一把过往的知识、做过的题目吃透，把基础分稳稳 抓住，比盲目刷新题、攻难题更有价值。以下4个策略，帮你高效复盘、精准发力。 (1)看旧不看新：精研旧题，唤醒记忆 建议不再分散精力刷大量新题，而是专注于已经做过、订正过、总结过的题目。高三300多天，你已 经积累了上千道习题，额外几十道新题对整体提升的帮助有限，反而会占用宝贵的复盘时间。 把刷新题的时间，用来复习旧题：唤醒遗忘的知识点，加深对已掌握内容的理解，查漏补缺，避免“做过的 题再错”一从效率来看，这才是最后阶段最明智的选择。 (2)看易不看难：立足基础，拒绝内耗 准确评估自己的实际水平，把时间花在“自己能抓住的分数”上，不盲目钻研难题。比如数学成绩100 分左右的考生，最后阶段不必过度纠结圆锥曲线、导数等难题，重点放在确保前100分的基础题、中档题 不丢分，再努力攻克100-120分之间的题目，最终能稳定在110分左右，就是成功。 放弃不是崩溃，而是智慧一一主动放弃超出自己能力范围的难题，把时间和精力聚焦在能提分的板块，才 能实现“投入产出比”最大化，避免因钻牛角尖而浪费时间、打击心态。 (3)分类处理题目：分级复盘，精准高效 把过往的习题分为三个等级，针对性处理，大幅提升复习效率： 1.完全掌握且解题流畅：这类题目无需花费大量时间，快速浏览一遍，若解题思路清晰、关键公式牢 记，能直接得出答案，就果断跳过，把时间留给薄弱题目。 2.基本掌握但解题不熟练：这是最后冲刺的提分关键”一你有能力得分，但可能因熟练度不足，在 79/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考场上失误丢分。应对方法：先正常完成一遍，有问题及时请教、订正；梳理解题思路和流程后，独立完 成第二遍：反复练习，直至解题时间缩短至最初的一半，确保考场上能快速、准确完成。 3.完全未掌握：这类题目需分情况处理：①难度适中但知识点漏洞：用“单点突破7步法针对性攻克； ②难度过大：参考2倍时间法则”一评估该题在考场上的合理用时，乘以2，若复习时在这个时间内仍 无思路，就理性放弃，避免浪费时间；若有大致思路，可请教老师后，再按方法复盘。 (4)集中解答疑问：批量请教，节省时间 最后阶段，老师会在办公室随时答疑，务必充分利用这个机会，但要避免“碎片化提问”一一遇到问 题就去请教，可能面临老师不在、排队等待的情况，往返奔波会浪费大量时间。 正确做法：遇到问题先独立思考，理清“自己到底卡在哪里”，而不是只说“这题我不会”；将疑问记录下 来，积累到5个左右，选择老师不忙的时间段集中请教。这样既能提高答疑效率，也能让老师更有针对性 地讲解，同时也是对知识点的再次梳理。 小提示：老师不是“解题机器”，遇到需要思考的问题，可把题目留给老师，告知老师后续再来请教， 自己返回教室继续复习，不浪费时间傻等。 四、细心为剑，破失误之障 每次考试，总会有很多学生丢失本不该丢的20分一这些分数不是败给难题，而是输在草稿纸上跳错 的数字，答题卡上错位的选项，审题时漏看的“不字。最后30天，除了精准复习、稳住心态，更要锻造“细 心”这把利剑，守住每一分该得的分数，避免因低级失误留下遗憾。 (1)认知突围：失误的本质是态度偏差 当我们反复强调“认真审题'却收效甚微时，就像对着雾中灯塔喊话。某重点中学追踪研究发现，习惯 性失误者往往存在认知误区：把“马虎”归咎于偶然，将“粗心”美化为性格。殊不知，这恰如运动员轻视热身， 医生忽略消毒，本质都是对专业精神的怠慢。 唯有正视失误背后的态度问题，方能从根本上斩断粗心的根源。如同工匠雕琢璞玉，需耐心细致，步 步为营。培养专注习惯，严谨对待每一处细节，让细心成为习惯，而非偶尔的闪光。如此，方能剑指高分， 无往不利。 请记住，高考本质是精确度的极限测试。就像航天器对接容不得毫米误差，我们的答题系统也需要建 立防错机制。从日常练习中嵌入细致入微的检查流程，到考场上的冷静自省，每一步都是对细心的锤炼。 唯有如此，才能在关键时刻避免低级错误，让每一次落笔都精准无误，最终成就高分梦想。 80/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)双重自我：构建内在监督系统 想象考场中存在两个“你”：一个是执笔答题的战士，另一个是手持放大镜的监考。这种“双重自我员工 法”已在飞行员训练中应用数十年。具体操作时，请在每个解题节点启动15秒速查程序：读题时标注题眼 如同考古学家标记甲骨文，书写时笔尖轻点标点似雕刻家收刀，计算时复述过程像会计核对账目。 如此，内外兼修，形成严密的自我监控体系，确保每一步都精准无误，让细心成为潜意识中的本能反 应。久而久之，习惯成自然，失误自然遁形，高分亦如探囊取物。某位清华学长分享的案例令人震撼：他 专门训练“视线回扫”技能，像复印机扫描般在解题后自动回看关键数据。这种机械性的重复看似笨拙，却 在高考数学中帮他挽回12分，相当于全省排名跃升15000位。 (3)四维锚定：让技巧成为肌肉记忆 “读写解算”四步口诀犹如四把钥匙：读题时画出逻辑树状图，书写时实施三秒延迟”策略，理解时建立 知识点超链接，计算时启动逆向验证程序。就像钢琴家形成肌肉记忆，我们需要让这些动作成为解题的默 认设置。 建议同学们在模拟考中创造“高压实验室”：故意设置干扰项训练专注力，用倒计时器制造紧迫感，甚 至尝试在嘈杂环境中解题。这些刻意练习，终将锻造出在考场上稳如磐石的定力，即便遇到紧张场景，也 能凭借肌肉记忆规避失误。 (4)执行升华：从知道到做到的最后一公里 知道凌晨四点的洛杉矶不算什么，重要的是每个清晨准时响起的闹钟。建议建立“失误日志”，像科学 家记录实验数据般追踪每个错误一标注错误类型（审题失误、计算错误、书写错误等）、出错原因、改 进方法，定期复盘，避免重复踩坑。某重点班实践表明，坚持21天记录的学生，失误率下降67%，这比任 何励志标语都更具实证力量。 请将每次练习视为高考实景演练：从填涂答题卡时铅笔的倾斜角度，到草稿纸的分区策略，再到水杯 摆放的位置，都要形成条件反射。记住，战场上没有临时起意，只有千锤百炼的肌肉记忆。 同学们，当你们走出考场时，最欣慰的不会是攻克了某道难题，而是在每个细节处都做到了极致。那 些看似微不足道的15秒检查，终将汇聚成改变命运的洪流。让我们以工匠精神雕琢每个解题步骤，让细心 成为刻进DNA的考试基因！ 最后提醒：高考倒计时30天，提30分并非遥不可及，关键在于“精准定位+高效执行+细心防错”。保 持规律作息，合理分配各科时间，不熬夜、不内耗，摒除杂念、稳住心态，守住每一分该得的分数，把每 81/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一步都走扎实。记住，最后阶段，清晰的目标、高效的方法、持续的信心和严谨的细心，就是你最核心的 竞争力。愿你不负努力，不负自己，在高考中发挥出最佳水平，奔赴属于自己的广阔前程！ 02高考数学核心考点解题方法与策略 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上的参考公式，80%具有实用性，能为解题提供明确方向： 2解答题各小问间存在阶梯关系，后问常需利用前问结论。若前问为证明题，即便无法证明结论，该结 论在后问中仍可应用，但需考虑结论的独立性。 3注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 82/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，单选题的1-5， 多选题第9题，填空题第13题，解答题第15题及每一道解答题的第一小问都是比较容易的，这些题应该 十考生得分的基本盘；选择题第8题（这一道题2025年中也不见得很难）和多选题第11题和填空题第14 题，解答题的18和19题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分）， 这些题往往承担着选拔创新型人才的功能。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难 题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1~2分钟还 没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。 2选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的 答案更准确。要十分重视第一印象。心理学表明，考生在接触试题时大脑皮质处于高度兴奋状态，对新事 物的反应灵敏，容易迅速做出决定。经验表明，第一感觉的正确率在80%以上。因此，不要轻易改动第 一次做出的选择。在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考， 没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择。切记不要“小题大做”。 理解选择项关系 利用关系提高准确性 大脑兴奋状态下的反应 重视第一印象 第一感觉正确率高 选择题答题技巧 不轻易改动选择 检查与修改 从不同角度思考 避免过度分析 切记“小题大做 注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法，或是判断。 即便无法完整解答，也应将思考过程和尝试的方法写在答题纸上。多写无害，或许能得分。 83/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一句话，大胆写！ 会的，规 不会的， 写了，别 范答题， 找规律， 拿满分！ 抢点分！ 删掉！ (1)直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公 理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题 目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择题.这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编 而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解. 由于填空题和单选题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解。直接法是解决选择、填 空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化 运算过程，快速准确得到结果。 直接法的具体操作在于熟悉试题考察的知识点，以便迅速定位并应用相应的定理、性质和公式进行求解。 例如，面对数列试题，首先要判断是等差数列、等比数列还是它们的综合。一旦确定是等差数列或等比数 列，就应立即回顾并应用等差数列或等比数列的定义、性质（如公差、公比的关系）、通项公式以及前 项和公式，判断其适用性。如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行简化或 转化了，也可快速进入状态。 (2)排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的 选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐 一剔除，从而获得正确的结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。例 如，可以尝试将一些简单的数值代入，若符合题目条件则保留相应选项，反之则排除包含该数的选项范围。 具体来说，面对两个选项A(a≥1)和B(a>1),可以选取数字1进行代入检验。若1符合题意，则排 除B;若1不符合题意，则排除A。这种方法能迅速缩小选择范围，但需注意，选取的数值应考虑选项特 征，避免选择所有选项共有或均不包含的数值。此外，还可以根据选项涉及的知识点进行论证排除。例如， 若四个选项分别对应四个知识点，可以优先对熟悉的知识点进行验证，判断其是否符合题意，从而快速准 确地锁定正确答案，避免因知识点掌握不牢固或理解模糊而导致误选。 84/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决 部分高考选择试题从而节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你 已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除。所以，我 们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足 的时间！ (3)特例法 特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收 到事半功倍的效果。 特例法，即特殊值验证法，可通过特殊数值、图形、位置替代普遍条件，导出特殊结论，进而检验选 项，做出正确选择。尤其针对棘手的高考选择题或填空题，关注特殊情况，从特殊角度入手，常能迅速简 捷解题。 常用特例包括特殊数值、点、数列、函数、图形、角、位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一， 具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当 的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形， 可以考虑直角三角形或等边三角形：椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但前提是所取特例需符 合题目所有条件。 特例法能简化运算和推理过程，尤其适用于包含字母或一般性结论的选择题和填空题，但在应用时需 注意以下几点：(1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理；(2)若在不同的特殊情况下有两个或两个 以上的结论相符，则应选择另一特例情况再检验，或改用其他方法求解：(3)若正确选项在题目的普遍条 件下均成立，则应选取最简单的特殊值进行探究，以此快速、准确地得出答案。这种方法，即通过对特殊 情况的考察来推断一般规律，是解答此类选择、填空题的优选策略。 近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢 得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ (4)估算法 估算法，包括四舍五入法、估算范围法、数值特点估计法以及接近整十、整百、整千的估算等，是解 决数学问题的快速方法，它不仅能够提高解题速度，还能帮助考生避免在计算过程中出现大的失误。 对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别是针对选择题时，不 必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以 通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。 当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时。估算法不仅能有效减少运算量，还能提升思维 的深度与层次，因此，我们应熟练掌握并灵活运用这一技巧。 而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得 分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或 自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论。 85/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)数形结合法 数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置 关系结合起来，通过以形助数'或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程 复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，再利用图 示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图像的特征进行直观分析，从而得出结论。比如： ①在集合运算中常常借助于数轴、Vnn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使 运算快捷明了。 ②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形 结合的特征与方法。 ③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件 与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 ④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像 来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 ⑤数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形 结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题 来解决。 ⑥解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的 性质及其相互关系的研究中。 ⑦立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问 题转化为纯粹的代数运算。 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学解题中的一把利剑， 它能让抽象的数学问题变得直观且生动，将抽象思维转化为形象思维，从而帮助我们更深刻地理解数学问 题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所以，我们一定要学 好并应用好数形结合的方法。 三、解题思想方法 1函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”； 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法： 3对于含有参数的初等函数，研究时应聚焦于参数未改变的那些恒定性质，例如函数所经过的固定点、 二次函数的对称轴等。 4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法： 5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式 完成，在对方程或不等式进行变形处理时，优先考虑使用分离参数的方法来简化问题。 86/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值， 分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏： 7在解答圆锥曲线的题目时，应优先考虑利用它们的定义来求解。对于直线与圆锥曲线的相交问题，如 果涉及到弦的中点，可以选择设而不求的点差法：如果与弦的中点无关，则可以选择利用根与系数的关系 公式法。在使用根与系数的关系公式时，务必先判断是否为二次方程，并考虑根的判别式。 8在求解曲线方程的题目时，若已知曲线的形状，可采用待定系数法；若未知曲线的形状，则需按照建 系、设点、列式、化简的步骤进行求解，同时要注意去掉不符合条件的特殊点。 9.要求解椭圆或双曲线的离心率，只需建立关于a、b、c之间的等式关系即可得出答案。 10.求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答： 解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列的题目与和有关，优选作差的方法：注意归纳、猜想之后证明：猜想的方向是两种特殊数列： 解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想： 12.立体几何第一问若台在辅助建系，则应采用传统方法解答；若非如此，可从第一问起即建立坐标系 求解。需特别注意，向量角与线线角、线面角、面面角各不相同，应熟练掌握这些角度间三角函数值的转 换方法。计算锥体体积时需注意相关系数，计算三角形面积时亦需关注其系数。涉及球的题目同样需谨慎 对待，可通过连接“心心距”构造直角三角形来解题。 13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知 或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上： 14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答 的详略；若存在分布列，则验证其概率和是否为1是检验答案正确性的关键步骤。 15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可 使用三角换元来完成： 16注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法， 全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方 程的时候考虑斜率是否存在等； 四、每分必争 1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目， 所以每1分钟的时间都是重要的。试卷到手后，首先进行必要的检查，确认无印刷模糊之处，并完成填涂 工作。随后，立即浏览试卷，熟悉可能用到的公式，做到胸有成竹。对于简单的题目，要用心计算，必要 时动笔也无妨（无论是写名字还是字母，无人会细究）。 2在分数上也是每分必争。正如参考资料所述，成绩合格率反映了达到基本要求的比例。因此，你得到 89分与得到90分，虽然只差1分，但意义截然不同：一个是不合格，一个是合格。虽然高考中仅差1分， 例如509分与510分，这可能在某些情况下影响录取结果，如接近录取分数线时，分数稍高者可能更易被 录取。然而，高考成绩并非唯一评判标准，综合素质评价和面试成绩等其他因素也会影响录取。因此，1分 87/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之差虽然重要，但个人的综合素质和潜力同样关键。所以，在答卷的时候要精益求精。 对单选题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？ 多选题找到两个必选项了没？ 填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？ 解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性规划）、 解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不 去做呢？ 3面对答题时间的紧迫感，是所有学生共同的体验。若要缓解这种压力，唯一的方法便是学会取舍，准 确判断并放弃那些不必要的部分，从而为争取每一分创造条件。 4稍作冷静，虽然表面上看似浪费了时间，但实际上却是在为自己争取机会，甚至可能因此创造出意想 不到的奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你 就会得到灵感。 5如果题目分析遇到困难，很可能是因为忽略了某个重要的已知条件，因此，需要重新审题，仔细阅读 题目，才能有所发现，切勿局限于固定的思维模式。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转 化为你熟悉的也许就是成功。 6高考只是人生众多重要考试中的一场，而人生则是由无数个一分钟组成的。只有珍惜并把握好每一分 钟，才能真正掌控自己的人生。高考不过是一场平常的模拟考试，真正的高考其实是在我们生活的每一刻。 88/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 多选题扩展了考查宽度，重视数学大概念的考查，对学生的整体认知、综合能力提出了更高要求。它 是一把“双刃剑”：选对一项得部分分的概率加大，但全选对得满分的概率变小。错选一项得0分的判分标 准，让不满足于部分分、力争满分的学生面临风险。 一、多选题的考查性质和特点 多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基“四能”及核心素养的考查。这种题型主 要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情 境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生 在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学 生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力：同时，多选题还能够引导学生更加注重知识 之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。 (1)无需解题过程 多选题与单选题类似，都要求学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选 择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的 答案，就能得到相应的分数。 (2)分值灵活 新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对 才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将 被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；考生全 选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分：如果正确选项是3 个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。 (3)考查知识内容多样化 新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要 排除并验证每个选项的正确性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求， 从而提高了试题的难度。 (4)考查策略需选择 多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思 路的多样性和灵活性可以节省学生的时间，提高解题效率。 (5)考查创新思维 多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决 问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思 维方式与能力提升均有显著的助益。 (6)能更好地区分学生的能力层次 89/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、 心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有 助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不同能力层次的考生，从而有助于选拔优 秀人才。 二、数学多选题的基本类型 数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型： 1.条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰选项时会故意省略某些易 于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔 细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出 错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度警觉，并对每个条件进行认真分析和推 理。 2.实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有桃战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算 过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性 和区分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测 学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的 构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学 生的实际水平。 3.概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和 掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生 困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点， 例如相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。 4.题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不 细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生 对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设 计。 5.推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻 辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时， 需要考生认真阅读题目，理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见 的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。 6.思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件 和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发 错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目 中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突 破思维定势的束缚，找到正确的答案。 90/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、多选题解题方法与技巧 多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题 目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策 略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答案，更具挑战性。 2.1求解对照法（直接法） 这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。 对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上， 应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时，还需找出题目中的隐含条件，深入理 解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答， 时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其 他的方法进行解题。 2.2特值检验法 根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可 用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值， 将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约 了解题时间。 2.3逆推代入法 将选项中给出的答案，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如 求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。 2.4排除法 排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间在多项选择题中，尤其是当你确定其中两 个选项为错误时，则另外两个肯定是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入 分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。 2.5逻辑分析法 逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定错误选项，从而挑选出正确选项。举 个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为 正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组 中各选择一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对 相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判 断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。 2.6宁缺毋滥法 也称为“逃避策略”，源于中国古代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握 的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不 幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出2个最有信心的 91/181 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样， 才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差 异。 总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也 为不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。 此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是 相互交织和融合的。因此，学生在解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着 重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。 92/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04高考数学解答题答题规范与模板（炼规范、夺高分） 根据多年的评卷经验，我为您系统梳理解答题的核心答题规范和通用步骤模板。掌握这些规范，是确 保在“踩点给分”的阅卷规则下，将思维能力转化为实际分数的关键。 一、核心理念：为什么要规范？ 高考解答题阅卷实行“分段评分”或“踩点给分”。阅卷老师寻找的是关键步骤、公式和结论。 规范的目的：清晰展示你的解题逻辑，让阅卷老师快速找到给分点，避免因表达混乱造成的隐性失分。 不规范的风险：即使思路正确、答案正确，也可能因步骤跳跃、书写潦草、结论不明而被扣分。 知识的体现：规范的步骤本身就是你对数学概念、定理理解程度的体现。 核心原则：“会的题，一定要拿满分；不全会的题，一定要多拿分。” 二、阅卷篇 1.主观题和客观题 一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅 卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。 2.正评和仲裁 每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般 是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三 位老师进行仲裁，作为最终结果。 3评卷误差的产生 评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。 由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写 规范性的问题。 ①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 93/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3、解答题未化简到最终结果可能会扣多分： Pe)=含x3x pe=Y写x+字+2m R2之1子x字xm+古xXm+者x尚 pc=vim .'.Pcbo)=()K广含时 又60=古x(-X(-网t 一古x亏(1-十x分xm ?cb为仁(1-古xm叶七3 女m+古g头-n) 卫h到e头Ym ②解答题未化简到最终结果可能会多扣分 提炼高考题型中研究最常见的“简” ◆因为高考题是即将给我们出卷子的人出的， 己知 一般来说出题的人是不会变化的，即使变 转 化，肯定也会参考前人的出题方式。透过 高考题，我们可以看出出题人的偏好以及 他们的出题思路，这是一场心理战。 工具 ◆ 高考题是出题人重要的素材。告诉大家 选 个秘密，我们的高考命题者在荒山野外进 择 行封闭式命题的时候，桌头上摆的，必须 有往年的高考题目，课本和市面上所有的 问题 教铺资料。这些题目是出题人灵感的重要 求源。 ③填空题以下情况全扣： 13. 2 14. 46 1s. 3 16.7 (13) 2/2 (14)480 (15) 4 (16)16元 字迹不工整、不清淅、字符书写不规范或不正确 ④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。 94/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.不按规定的题号答题，答错区域 二、填空题(20分) 也 14 1.书写不规范 5 H2色4封竹，光 2.答题位置不正确 16. 13.2π 14.1++1+1+1111 224566 15.16 16.-3e 3 ★专家点评：主观题阅卷是按题号进行切割并送到阅卷老师终端进行评分 的，如上19、20题相互答错区域，阅19题的老师看到的是20题的答案， 容易被判失分，同时按考务相关规定有可能扣分。 建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很自 然地书写规范，考出自己满意的成绩！ 三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点： 1卷面清洁，这是最基本的要求： 2.书写工整，字迹清晰； 3在规定的答题区域答题，否则做无用功： 4表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述： 5语言要简洁，答中要害： 6语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增 加了多得分的砝码。 阅卷延外启示 写出公式是重要的得分点 踩点给分，有写的比没写的好 答题策略 有解题思想比没想法的好 阅卷讲速度，卷面要清晰 不要轻易涂改 95/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况： 1.字迹潦草 问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平 时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。 【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、 清洁：答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空 间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5m考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。 2.题号填涂与作答不符 问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号 涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题 号，答的却是10题的内容，只能得零分。 【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂 对题号，否则白费了工夫，还不得分。 3超出规定区域答题 问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超 出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。 【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重 要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。 4.答案分块 问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造 成赋分过少的现象。 【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数， 规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分 块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答 这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。 5.答案不分层次 问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。 【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师 感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。 6.作图不规范 问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得 很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。 【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让 其看起来显得很脏。 7出现删除符号 问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。 【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定 势。 高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误 的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符 号。 解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的 习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。 五、数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见： 1发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。 2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐 标系用向量求解。 3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。 4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。 5大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。 6大胆使用归纳、类比，赋值法。 96/181 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有 的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。 一句话，大胆写！ 会的，规 不会的， 写了，别 范答题， 找规律， 拿满分！ 抢点分！ 删掉！ 三、六大核心板块规范答题模板 特别强调 ◆解题过程结构要完备 归纳出每类题型的常用步骤； 按步骤书写，每写一步就是得分点。 ◆解题过程要简洁明了 在答题过程中，思维转折处书写， 答 题 每一问中要回应问题的最终结果。 规范 板块一：三角函数与解斜三角 97/181 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解三角大题答题步骤 抄条件 写公试 有过程 得结论 猜公式 先写出题 写出要用 写出运算 写出结论 第二问不能 目所给的 的公式， 放弃，课写 条件（但 如正 过程，主 (不会就 不要抄题 (余)弦 要是思维 猜一个结 一些你认为 转换点 果) 可能用到的 且) 定理 公式 【典例1】(13分)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知V2 bcsin?2A=b2+c2-a2, (1)求A;(2)若a=2V2,且V2 ccosB=asinC求△ABC的面积. 【评分细则】 (1)由V2 besin?2A=b2+c2-a2得2V2 bcsinAc0sA=b2+c2-a2....1分 【备注1】正确写出应用二倍角公式给1分。 siAcosAcoA 2bc …………1分 【备注2】正确写出或体现应用余弦定理公式给1分。 在锐角△ABC中cosA≠0，所以simA= 2 ..1分(3分) 【备注3】见“sim4=受给1分 又0<A<登所以A=星 【备注4】见A=给2分 (2)由V2 ccosB=asinC)及正弦定理得V2 sinCcosB=sinAsinC.......1分 又sinA≠0所以V2cosB=sinA=竖所以cosB=号 【备注5】见“cosB=给1分 2 98/181 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又0<B<2所以B= .……2分(9分) 【备注6】见B=背给2分 则C=n-君号沿所以sinc=sin晋=42.l分0分剂 12 由正弦定理得b一-28受-25 sinA …………….1分(11分) 【备注7】另解：写出“c=√6+√2给1分。 故△ABC面积为absinC=×2V2×2V3×642-3+3…2分13分) 【备注8】结果正确即可给2分，若结果错误但正确写出面积公式可给1分。 【备注9】无其他解答过程，只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给1分。 模拟训练： > 1.在△ABC中，c0sA= 'c=3,sinB=2sinA且b≠c,求： (I)求b的值： (2)求△ABC的面积. 2.已知函数f(w=4 4sin xsin(+3-1. (I)求函数f(x)的最小正周期： ②降高数儿)图象向右平移君个单位长度得到（闭的图象，柔侣哥}子0e红2刘，求如0的位 99/181 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 板块二：数列 错位相减 数列问题重在“归” 数列解答题 裂项相消 求和 分组求和 由已知入手， 基本量 公式法 每一步写好公式， 化归 基本方法 公式法 累加法 再写结果。 求通项 等差（比）数列 累乘法 待定系数法 等差 定义：an-an1=d 数列证明 等比一定义：之=9 【典例2】已知公比大于1的等比数列{an}满足42+a4=20,4=8, (1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m(m∈N)中的项的个数，求数列{bn}的前100项和So. 【评分细则】 a92=8,(1分) 法1：设公比为q(不写也不扣分)由条件a3=8,a2+a4=20得 a19+a193=20,(2分 列出两个方程得2分解得q=2,q=(舍去)3分) 由条件a1=2(4分) 求出a1和q得2分an=2·2m-1=2n(6分)结果为2分 说明：1.只抄条件，如果未算出有效结果，不得分：如果算出q任一有效结果，抄的条件也给2分； 如ag=8,a2+a4=20得a1=2,q=2(q≠舍去)，an=2"得6分， 2.q=舍去没有写，只写了q=2不扣分： 3.an=2·2n-1,或者an=2n均不扣分，甚至出现an=2·2n-1=4n-1也不扣分. 法2：由条件a3=8a2+a4=20得+8g=20(2分) 解得q=2,q=(舍去)3分) 由条件a1=2(4分)am=2·2n-1=2m(6分)结果为2分 法3：由条件a2+a4=20,a2a4=a32=642分) 解得a2=4,a4=16;a2=16,a4=4(舍去3分)， 从而q=是=2.(4分).am=2”(6分) 注：没舍解的，最后答案是两解的得4分 100/181 47 / 253 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目 录 写在前面：冲刺复习备考指导 热点・命题风向标 01 近6年新高考数学高频考点大数据统计 （P5） 02 新情境试题：传统文化、科技应用、生活建模 （P13） 03 函数与导数压轴命题趋势：隐零点、同构、切线放缩（P19） 04 解析几何热点：定点、定值、最值、范围（P28） 05 概率统计热点：决策问题、回归、独立性检验 （P37） 06 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 （P46） 07 数学史与逢五逢十纪念热点命题（P54） 08 跨学科融合题型：数学+物理/信息/经济（P61） 核心・高频点速查 速查01 集合、逻辑、复数、平面向量（P68） 速查02 函数与导数 （P72） 速查03 三角函数、三角恒等变换、解三角形（P76） 速查04 数列通项与求和（P80） 速查05 立体几何：表面积、体积、位置关系（P83） 速查06 直线与圆、圆锥曲线（P86） 速查07 计数原理、概率、统计 （P89） 速查08 思想方法与应试策略（P91） 技法・得分加速器 01高考倒计时30天，精准发力稳提分指南（P99） 02 高考数学核心考点解题方法与策略（P104） 03 多选题抢分策略（P110） 04 解答题答题规范与采分点模板（P113） 05解答题常见条件及问题转化策略（P128） 排雷・易错点清零 01易错易混知识排雷（40条）（P140） 02审题解题思维排雷（20条） （P147） 03计算失误高频点清单（15条）（P151） 冲刺・压轴预测练 2026高考数学冲刺绝杀卷（P155） 2026高考数学终极押题卷（P172） 01 考前准备清单与考场镇静术（P188） 02高考数学临场答题全攻略（P191） 03难题/卡壳题应急破局指南 （P196） 04不会也能拿分：缺步解答、跳步解答、合理猜结论（P201） 05答题卡规范、填涂与书写避坑（P206） 01考后禁忌：不估分、不讨论、不内耗（P211） 02志愿填报：专业选择指南（P212） 03心态调适：释压与重启（P216） 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要，状态胜过盲目努力。这段时间，不贪攻难题、不纠结模拟得失，核心目标明确：稳住备考节奏、清空焦虑情绪、强化应试信心，高效发挥真实水平。 一、时间管理：精准高效，不内耗、不盲目 1. 回归基础，不钻牛角尖:将80%精力投入基础题与中档题（高考主要得分点）；压轴题聚焦常规思路、抓取步骤分，杜绝无效内耗。 2. 定时训练，保持手感:每日定时专项训练：30–40分钟限时完成选择填空，40分钟打磨解答题模板，保持答题节奏比盲目刷题更具实效。 3. 错题只看“错因”:无需重做整张错题卷，重点复盘审题、计算、思路、公式四类错因，同类错误彻底清零，避免重复踩坑。 4. 作息与考试同步:下午15:00–17:00主动切换至数学状态，适配高考时段，让大脑保持最佳兴奋度，避免考试时状态脱节。 二、情绪调节：稳心态，降焦虑，强底气 1. 接纳紧张，正常发挥:适度紧张是应试最佳状态，告诉自己：人人皆有紧张感，高考拼的是心态，稳住即是赢。 2. 拒绝自我否定:模拟分数波动属正常现象，一次失利不代表真实实力，过往所有失误，都是为高考规避风险。 3. 用“小胜利”建立信心:每日完成基础卷、背诵公式、梳理题型，点滴进步都是实打实的提分，稳步夯实应试底气。 4. 深呼吸+积极暗示:焦虑时暂停10秒深呼吸，默念：“基础吃透，中档必对，难题抢分，从容发挥，不负努力。” 三、认知重塑：抓本质，懂取舍，强韧性 1. 高考数学：重基础、重规范、重通法:高考不考“秒杀技巧”，牢记公式、熟练常规方法、规范答题步骤，是最稳妥的提分路径。 2. 学会“舍得”:考场不追求满分，会做的题确保不失分，不会的题尽力抢步骤分，死磕难题得不偿失。 3. 强化韧性：遇卡不慌，遇难不乱:遇到思路卡顿，果断跳过，先完成有把握的题目；心态平稳则思路清晰，回头再做往往能突破瓶颈。 4. 你已经准备充分:三年苦读积淀，千题实战历练，你已具备足够应考能力，坚定信念，正常发挥必能如愿。 最后送给大家一句话： 把会的做对，把对的写全，你就是赢家！！！ 愿大家提笔从容自信，合笔如愿以偿，高考数学，必胜！ 热点・命题风向标 热点01：近6年新高考数学高频考点大数据统计 这份近6年新高考数学高频考点统计，考前7–15天用最高效，按“抓核心、避冷门、练方法、稳得分”的思路直接落地即可。 1、 整体使用原则 1. 优先抓五星★★★★★考点 函数导数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计的五星考点是必拿分点，考前只练这些，不碰偏题怪题。 2. 按题型分配时间 选择填空：主攻性质、公式、速解技巧；解答题：主攻步骤模板、通法、计算规范 3. 只补高频漏洞 标注文档里“易被忽略” “隐含条件” “易错点”，考前只过这些，不全面复盘。 一、函数与导数 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 函数基础 函数三要素（定义域、值域、对应关系） ★★☆☆☆ 基础题，常作为隐含条件出现在复杂问题的起点，易被忽略导致错误。 函数四大性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） ★★★★★ 绝对核心。选择填空直接考查；解答题中作为核心分析工具。对称性与周期性的综合是难点。 基本初等函数图象与性质（幂、指、对、反比例、对勾函数等） ★★★☆☆ 是分析复杂复合函数的基石，图象识别与性质应用是基本功。 导数基础 导数的几何意义（求切线方程） ★★★★☆ 必考基础。常出现在选择、填空或解答题第一问，属于送分题，务必拿稳。 导数与函数单调性（求单调区间、由单调性求参数范围） ★★★★★ 核心中的核心。是几乎所有导数综合题的解题起点和关键步骤。 导数与函数极值、最值（求极值点、最值） ★★★★★ 核心应用。与不等式证明、恒成立、实际问题求最优解等结合紧密。 导数综合应用 不等式证明（构造函数、利用单调性、最值证明） ★★★★☆ 经典难点，重点考查逻辑推理和转化化归能力。 恒成立/存在性问题（含参不等式恒成立、能成立问题） ★★★★★ 最高频难点。是区分考生能力的关键题型，必须掌握参变分离、分类讨论、端点效应等主流方法。 函数零点问题（讨论零点个数、已知零点求参数范围） ★★★★★ 最高频难点。与单调性、极值、图象深度融合，常用数形结合与分离参数法。 极值点偏移问题 ★★☆☆☆ 传统难点，近年考查频度有所降低，更注重通性通法，但掌握其原理有助于理解函数形态。 创新与交汇 与三角函数结合（如2025Ⅰ卷19题） ★★★★☆ 显著上升的新趋势与难点。突破固定函数模型，对导数工具通用性和三角运算能力要求极高。 与数列、不等式深度融合（如2025Ⅰ卷16题） ★★★☆☆ 体现模块综合，考查数学整体思维和跨章节知识迁移能力。 新定义函数或情境 ★★☆☆☆ 考查即时学习与应用能力，但剥开外壳后，本质仍是分析给定函数的性质。 · 五道必刷题： 1．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意， . 2．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】令，， ∴为奇函数，故A错误；令，∴，∴为偶函数，故B错误； 令，，∴为偶函数，故C正确； 令，∴，∴为偶函数，故D错误． 3．若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．   D． 【答案】D 【解析】∵，当时，恒成立， 即恒成立，∴恒成立．， ∴当时，，即在上单调递增，∴. 4．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由图像知a+b=6， ，∴或，解得，解的个数是1，故选D． 5．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，.则，由，解得，此时单调递增. 2、 三角函数与解三角形 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 三角函数概念与恒等变换 同角三角函数关系（） ★★★★☆ 化简、求值的基础，常与诱导公式结合。 诱导公式 ★★★☆☆ 实现“大角化小角”、“负角化正角”的关键工具。 两角和与差公式、二倍角公式 ★★★★★ 核心工具。三角恒等变换的灵魂，用于化简、求值、证明，是连接条件与结论的桥梁。 辅助角公式（化一） ★★★★☆ 研究三角函数性质（如求最值、周期、单调区间）的必备技能。 三角函数图象与性质 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性） ★★★★★ 绝对核心。选择题、填空题的直接考查对象，也是分析复杂三角函数的基础。 函数的图象与性质 ★★★★★ 最高频综合考点。涉及： 1.图象变换（平移、伸缩）； 2.由图象求解析式（识图）； 3.由性质求参数（ω,φ,A）。 三角函数的零点、最值（值域）问题 ★★★★☆ 常与函数性质结合，或作为工具用于解三角形、实际应用问题中。 解三角形 正弦定理及其应用（边角互化、外接圆半径） ★★★★★ 两大核心定理之一。适用于“两角一边”或“两边一对角”模型，是边角转化的主要工具。 余弦定理及其应用（边角互化、判断三角形形状） ★★★★★ 两大核心定理之一。适用于“两边一角”或“三边”模型，尤其擅长处理边的平方关系。 三角形面积公式（等） ★★★★☆ 求面积的核心公式，常与正弦定理结合，也用于建立边角关系。 三角形中的边角关系与内角和定理（A+B+C=π） ★★★★★ 隐含条件。是消元、化简三角恒等式的关键，极易被忽略。 综合与应用 解三角形的实际应用（测量高度、距离、角度等） ★★☆☆☆ 体现数学建模素养，将实际问题抽象为解三角形模型。 与平面向量、解析几何、立体几何的交汇 ★★★☆☆ 体现知识的工具性，三角函数作为计算工具出现在其他板块的题目中。 解三角形中的最值/范围问题（求周长、面积、边的范围） ★★★★☆ 难点与热点。常需综合运用正余弦定理、基本不等式、三角函数值域或函数思想求解。 多三角形问题（条件分散在多个三角形中） ★★★☆☆ 考查分析能力，关键在于寻找“公共边”或“公共角”作为桥梁联系多个三角形。 · 五道必刷题： 1．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 2．定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数.若的最小正周期是π，且当，，则的值为（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知. 3．在中，角的对边分别为，点D在边上，已知，，则（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 在中，，由余弦定理可得， ，得， 因为，由正弦定理得， 因为，得， 因为，，所以， 又因为，所以，， 所以三角形为等边三角形，即. 4．已知点为外一点，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，则在中，由余弦定理可得,，即,则在中，，所以，由，知，所以角， 故选: 5．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米. 3、 数列 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 数列基础概念 数列的通项公式（与n的关系） ★★★★☆ 研究数列的起点，是理解数列性质、进行后续运算的基础。 数列的递推关系（与1等项的关系） ★★★★★ 核心概念。高考命题的常见切入点，由递推关系求通项是经典问题。 数列的前n项和 ★★★★★ 核心概念。与通项an的关系（an=Sn-Sn-1,n≥2）是解题的万能钥匙。 等差数列 定义与通项公式（） ★★★★★ 两大基本数列之一。定义、通项、性质必须滚瓜烂熟。 等差中项性质（） ★★★★☆ 简化运算、判断等差数列的重要工具。 前n项和公式， ★★★★★ 核心公式，常与函数结合考查最值。 等差数列的性质（下标和相等则项和相等等） ★★★★☆ 快速解题的“秒杀”技巧，但需理解其原理。 等比数列 定义与通项公式（） ★★★★★ 两大基本数列之一。定义、通项、性质必须滚瓜烂熟。 等比中项性质（） ★★★★☆ 简化运算、判断等比数列的重要工具。 前n项和公式（q=1和q≠1两种情况） ★★★★★ 核心公式，尤其注意公比q的讨论。 等比数列的性质（下标和相等则项积相等等） ★★★★☆ 快速解题的技巧，需理解原理。 数列求通项与求和 由求 ★★★★★ 必会方法。利用，并验证。 累加法、累乘法求通项 ★★★★☆ 适用于特定递推形式（如）。 构造法求通项（如型） ★★★★☆ 经典方法，将非等差等比数列转化为等差或等比数列。 分组求和、裂项相消、错位相减法 ★★★★★ 三大核心求和方法。裂项相消和错位相减是解答题高频考点。 数列综合与应用 数列与函数、不等式的结合（如比较大小、证明不等式） ★★★★☆ 体现数列的函数属性（离散函数），考查综合应用能力。 数列中的最值问题（求的最值、使最大的n等） ★★★★☆ 常将视为关于n的二次函数（等差）或利用通项单调性解决。 数列的单调性、有界性等性质探究 ★★☆☆☆ 新定义或探究题中可能出现，考查对数列本质的理解。 数列的实际应用模型（增长率、分期付款等） ★★☆☆☆ 体现数学建模，将实际问题抽象为数列模型。 “新定义”数列问题（如2024年全国I卷19题） ★★★☆☆ 显著上升的新趋势。考查即时学习、理解新规则并运用数列核心知识解决问题的能力。 · 五道必刷题： 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. ，. 2． 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由 可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 3．在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是： A．数列是单调递增数列，数列是单调递减数列 B．数列是等比数列 C．数列有最小值，无最大值 D．若中，，，，则最小时， 【答案】C 【解析】试题分析：由，，所以， 所以C为假命题，故选C. 4．设等比数列前项和为，若,则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以 因此 ，选A. 5．公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设公差不为0的等差数列中，前项和记为， 若，且，，成等比数列，则，即有， 由，解得，则；所以， ， 则，所以，故选：D 4、 立体几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 空间几何体 基本立体图形的结构特征（柱、锥、台、球） ★★★☆☆ 认识几何体的基础，常以小题判断正误形式考查。 直观图（斜二测画法） ★★☆☆☆ 新课标已淡化，但理解画法有助于空间想象。 表面积与体积计算（柱、锥、台、球） ★★★★☆ 高频计算考点。选择题、填空题常见，解答题中也可能作为一问。 组合体的表面积与体积（切割、拼接） ★★★☆☆ 考查空间分解与组合能力。 空间点、线、面 四个基本事实（公理）及其推论 ★★★☆☆ 逻辑推理的基石，用于证明共面、共线等问题。 空间点、线、面位置关系的判断（平行、垂直、异面、相交、在面内） ★★★★☆ 基础核心。选择题高频考点，必须清晰理解定义。 平行关系 线线平行的判定与性质 ★★★★☆ 平行关系证明的起点，常与线面、面面平行结合。 线面平行的判定与性质 ★★★★★ 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线线平行→线面平行）和性质定理（线面平行→线线平行）必须熟练掌握。 面面平行的判定与性质 ★★★☆☆ 判定定理（线面平行→面面平行）和性质定理（面面平行→线线平行）是重要工具。 垂直关系 线线垂直的判定与性质 ★★★★☆ 垂直关系证明的起点，定义、三垂线定理（逆定理）是常用工具。 线面垂直的判定与性质 ★★★★★ 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线线垂直→线面垂直）和性质定理（线面垂直→线线垂直）是重中之重。 面面垂直的判定与性质 ★★★★☆ 判定定理（线面垂直→面面垂直）和性质定理（面面垂直→线面垂直）是证明和计算的关键桥梁。 空间角与距离 异面直线所成角 ★★★★☆ 高频计算考点。定义法（平移）或向量法求解。 直线与平面所成角（线面角） ★★★★★ 解答题核心考点（第2问）。定义法（找射影）或向量法求解。 二面角（平面与平面所成角） ★★★★★ 解答题核心考点（第2问）。定义法（作棱的垂线）、三垂线法、射影面积法或向量法求解。 点到平面的距离 ★★★☆☆ 向量法（投影法）或等体积法是主要方法。新课标要求有所加强。 空间向量 空间向量的线性运算与坐标表示 ★★★☆☆ 工具基础，需熟练。 空间向量基本定理与基底思想 ★★★☆☆ 深刻理解“基”的思想，是向量法灵活应用的关键。 用向量表示点、直线、平面（方向向量、法向量） ★★★★☆ 向量法的前提。准确求出法向量是解题第一步。 用向量法证明平行与垂直 ★★★☆☆ 方法直观，但高考中更倾向于考查综合法证明。 用向量法求空间角与距离 ★★★★★ 解答题核心工具（第2问）。将几何问题代数化，是解决复杂度量和位置关系问题的强有力工具。公式必须记准。 综合与创新 翻折（折叠）问题 ★★★★☆ 热点题型。考查动态中的不变性（长度、平行、垂直关系）。 截面问题 ★★★☆☆ 考查空间想象和作图能力，难度较大。 多面体与球的外接、内切问题 ★★★★☆ 难点与热点。关键在于确定球心位置，常转化为解三角形问题。 动态与最值问题 ★★★☆☆ 综合性强，常需结合函数、不等式知识。 “鳖臑”、“阳马”等经典模型 ★★★☆☆ 教材或文化背景中出现的典型几何体，熟悉其性质可快速破题。 · 五道必刷题 1．在平面内，直线与斜线在平面内的射影垂直，那么下列说法正确的是（    ） A．直线与斜线垂直 B．直线与斜线平行 C．直线与斜线异面 D．无法确定直线与斜线的关系 【答案】A 【解析】设斜线与平面的交点为，过上任意一点（不同于）作平面的垂线， 垂足为，则为斜线在平面内的射影. 法1：已知直线在平面内，且.根据三垂线定理可知直线与斜线垂直. 所以选项A正确，B错误； 法2：对于A，因为平面，而，故， 而，，平面，故平面， 而平面，故，故A正确，B错误. 直线可能相交，也可能异面，故C错误； 因为可以确定直线垂直，所以选项D错误. 2．已知正方体的棱长为1，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过，，的平面交上底面于，在上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，易知平面平面，则，因为，所以，所以，所以. 3．如图,是正方体中上的动点，下列命题： ①；②与所成的角是60°；③为定值； ④平面；⑤二面角的平面角为45°． 其中正确命题的个数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】①在正方体中，， 所以平面平面，从而正确； ②由于,并且的夹角是60°， 故所成的角是60°正确； ③虽然点P变化，但P到的距离始终不变， 故为定值正确； ④若平面，而平面， 平面， 所以平面平面，这与平面与平面相交矛盾， 所以不正确； ⑤点变化，但二面角都是面与面所成的角, 故二面角的平面角为45°正确； 故选：C. 4．已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点在平面内作，垂足为点， 过点作分别交直线、于点、，连接、， 设，，则为锐角， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面， 平面，，因为，则， ，平面，平面，， 故二面角的平面角为，且，同理， 在中，， 又因为，则， ，，， ，则， 所以，，， ，， 无法比较和的大小关系，故无法比较、的大小关系，即、的大小无法确定， 因为，，则， 因为， 所以，. 5．已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【解析】如图，设正四棱锥底面中心为，则原正四棱锥的高为，又取中点为E， 则侧面等腰三角形的高为，则正四棱锥侧面积为. 则．因为正四棱锥的底边长为4，截面正方形的边长为2，则截面经过原正四棱锥各侧棱的中点，所以正四棱台的高为，则棱台体积． 故选：D 5、 解析几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 ★★★☆☆ 基础概念，是研究直线位置关系的基础。 直线方程的几种形式（点斜式、两点式、一般式等） ★★★☆☆ 必须熟练，会根据条件选择合适形式。 两直线平行与垂直的判定（斜率关系） ★★★★☆ 高频基础。小题和解答题中均常用。 距离公式（两点间、点到直线、两平行线间） ★★★★☆ 核心工具。在圆、圆锥曲线问题中频繁使用。 圆与方程 圆的标准方程与一般方程 ★★★★☆ 必须熟练互化，能从方程读出圆心和半径。 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 ★★★★★ 核心内容。判断位置关系（特别是直线与圆）是高频考点，常涉及距离比较。 圆的切线方程、弦长问题 ★★★★☆ 常用“圆心到直线距离d=半径r”求切线；用“垂径定理（半径、弦心距、半弦长关系）”求弦长。 椭圆 定义（到两焦点距离和为定值）与标准方程 ★★★★★ 两大核心圆锥曲线之一。定义是解题的源头，方程是工具。 几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率e） ★★★★★ 必考内容。离心率e是核心参数，联系a,b,c。 焦点三角形（涉及定义、余弦定理） ★★★★☆ 经典模型，常用来求离心率或面积。 双曲线 定义（到两焦点距离差绝对值为定值）与标准方程 ★★★★☆ 注意与椭圆的区别，定义应用广泛。 几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率e、渐近线） ★★★★☆ 渐近线是双曲线的特有且核心性质，近年考查热度高。 抛物线 定义（到焦点与准线距离相等）与标准方程 ★★★★☆ 定义应用极其灵活，是简化运算的关键。 几何性质（焦点、准线、通径） ★★★★☆ 焦点弦相关性质（如以焦点弦为直径的圆与准线相切）是常考结论。 核心思想与方法 坐标法（建系） ★★★★★ 解析几何的根本方法，将几何问题代数化。 待定系数法 ★★★★☆ 求曲线方程的基本方法。 设而不求，整体代换 ★★★★★ 核心运算技巧。联立方程后，利用韦达定理（根与系数关系）处理交点坐标和，避免直接解出。 数形结合思想 ★★★★★ 灵魂思想。画图分析几何特征，引导代数方向。 转化与化归思想 ★★★★★ 将复杂问题（如最值、定点定值）转化为函数、不等式等模型。 综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ★★★★★ 解答题绝对核心。通过联立方程，用判别式Δ判断。 弦长问题 ★★★★☆ 公式` 中点弦与垂直平分线问题 ★★★☆☆ 常用“点差法”处理中点弦斜率。 定点与定值问题 ★★★★☆ 高频压轴题型。考查运算能力和恒等变形技巧，通常需先猜后证。 范围与最值问题 ★★★★☆ 高频压轴题型。常转化为求函数值域或利用基本不等式、几何意义求解。 轨迹方程问题 ★★★☆☆ 定义法、相关点法（代入法）、参数法等。 · 五道必刷题： 1．圆的圆心到直线的距离为2，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】圆的标准方程是，圆心为，∴，解得． 故选：B. 2．双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的方程知两顶点，， 渐近线方程为， 由对称性，不妨求到直线的距离，． 故选：C． 3．过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，直线的方程为，即， 由直线与圆交于两个不同的点可得：坐标原点到直线的距离， 即，整理可得：，解得：， 又椭圆的离心率：，故：. 故选：C 4．已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴=≥4，当且仅当y2=6时，取等号， 即的最小值为4， 故选：A． 5．已知P为椭圆上任意一点，点M，N分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立方程组，解得，， 联立方程组，解得，， ， ，在椭圆上，， 为定值，，． ． 故选：D. 6、 概率与统计 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 概率基础 随机事件、概率的定义与性质 ★★★☆☆ 基础概念，理解必然、不可能、互斥、对立事件。 古典概型 ★★★★☆ 高频基础。等可能事件的概率计算，常用枚举法或排列组合计数。 几何概型 ★★☆☆☆ 新课标已淡化，但需了解其与古典概型的区别（无限样本空间）。 条件概率 ★★★★☆ 核心增长点。理解定义 事件的独立性 ★★★★☆ 核心增长点。判断事件是否独立 P(AB)=P(A)P(B)，是复杂概率模型的基础。 全概率公式与贝叶斯公式 ★★★☆☆ 新高考热点与难点。用于处理复杂、多步骤的概率问题，体现逻辑推理。 随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列 ★★★★★ 解答题核心。必须会求分布列，理解其性质（概率非负、和为1）。 离散型随机变量的期望（均值）与方差 ★★★★★ 解答题核心。E(X) 反映平均水平，D(X) 反映波动程度。公式及性质必须熟练。 二项分布 ★★★★☆ 最重要模型之一。n次独立重复试验中成功次数的分布。识别标志：“独立”、“重复”、“概率不变”。 超几何分布 ★★★☆☆ 不放回抽样模型。识别标志：“任取n件”、“含M件次品”。需注意与二项分布区别。 统计基础 抽样方法（简单随机、分层、系统抽样） ★★★☆☆ 了解不同方法的适用场景和操作步骤。 数字特征：平均数、中位数、众数、方差、标准差 ★★★★☆ 核心工具。理解各自含义、计算及在数据分析中的作用。 图表：频率分布直方图、茎叶图、扇形图 ★★★☆☆ 会从图表中提取信息（频率、频数、众数区间、中位数位置等）。 统计案例 一元线性回归模型 ★★★★☆ 应用热点。理解相关关系与函数关系的区别，会求经验回归方程 ŷ=b̂x+â，会用 r 判断线性相关性强弱。 独立性检验 ★★★★☆ 应用热点。理解列联表，会计算  统计量，并能根据临界值表判断两变量是否独立。 综合与创新 概率与数列、函数结合（递推型概率） ★★★☆☆ 难点。常需建立递推关系求概率，考查建模能力。 概率与导数结合（最优化问题） ★★★☆☆ 将概率或期望表示为函数，用导数求最值。 统计与决策 ★★★☆☆ 基于统计结果（如回归预测、检验结论）进行合理推断或决策，体现应用性。 · 五道必刷题： 1．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得P(A)＝,P(AB)＝,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是：P(B|A)＝. 故选：C 2．在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【解析】，的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 3．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为， 所以. 故选：C 4．已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在A中，，故A正确； 在B中，由数学期望的性质得，故B正确； 在C中，由方差的性质得，故C正确； 在D中，，故D错误． 故选D. 5．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由X的分布列可得X的期望为,又, 所以X的方差 , 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 故选:D. 热点 02：新情境试题：传统文化、科技背景、生活应用 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，旨在引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 1、 新情境试题的命题理念与功能 核心理念：落实“一核四层四翼”高考评价体系。 “一核”（立德树人）：通过情境发挥育人功能，引导学生关注国家发展、传承文化、树立正确价值观。 “四翼”（考查要求）：基础性、综合性、应用性、创新性主要通过情境载体来实现。 “四层”（考查内容）：核心价值、学科素养、关键能力、必备知识在解决情境问题的过程中得以综合展现。 选拔功能：区分学生在陌生、复杂背景下抽象数学问题、建立模型、灵活运用知识的能力。 引导功能：推动教学从“知识灌输”转向“素养培育”，加强“教考衔接”，体现“无情境，不教学”的原则。 育人功能：厚植家国情怀，增强文化自信，培养社会责任感与科学精神。 2、 三大核心情境类型与典型例题分析 情境类型 命题目的与特点 典型背景与例题 考查的素养与能力 1. 优秀传统文化情境 弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，感悟先人智慧。 多属于强情境，需理解文化背景才能解题。 古代科技与数学著作：“会圆术”（2022全国甲卷理8，沈括《梦溪笔谈》）“割圆术”、“海岛算经”（刘徽）“祖暅原理”（球体积计算） 古代建筑与工程：举架结构（2022新高考II卷3）;天坛圜丘坛石板（2020全国II卷理4）;日晷（2020新高考I卷4） 人文艺术：剪纸艺术（2021新高考I卷16）《周易》卦象（2019全国I卷理6） 数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象。重点考查从文化描述中抽象数学关系、建立模型的能力。 2. 科技发展与进步情境 展现国家科技成就，激发科学兴趣，树立服务国家建设的信念。 强调理论联系实际，体现数学的工具价值。 航天科技：嫦娥二号绕日探测（2022全国乙卷理4）;北斗三号导航系统（2021新高考II卷4）;天宫课堂、探月工程 重大工程：南水北调工程（2022新高考I卷4，棱台体积） 前沿科学：5G信号塔覆盖、区块链密码;Logistic疫情模型（2020全国III卷） 数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理。考查在科技背景下理解新概念、进行数学表征和运算的能力。 3. 生产生活与经济社会发展情境 关注社会现实，学以致用，培养社会责任感和实践能力。 情境贴近学生生活，应用性强。 公共卫生与健康：疫情防控、垃圾分类（2022全国甲卷文理2）;卫生习惯调查（2022新高考I卷20） 生态环境：树木材积量估计（2022全国乙卷文理19）; 空气污染治理 经济生活：农户收入调查、乡村振兴、“一带一路”知识竞赛 体育文娱：北京冬奥会志愿者培训、比赛计分 数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理。突出数据处理、概率统计知识在实际决策中的应用。 3、 新情境试题的命题趋势与难点 趋势一：情境更加真实、多元与融合 素材来源极广，从古籍、新闻、科研论文到社会生活。跨学科情境增多，要求具备更广的知识面和信息整合能力。虚拟科研场景出现，需从示意图、数据流中自主提取信息。 趋势二：阅读量与信息复杂度增加 题干篇幅普遍较长（如2022新高考II卷3题关于举架结构的描述）。包含大量非数学术语和背景信息，考查数学阅读理解能力。 （2022新高考II卷3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 趋势三：强化对“数学建模”素养的考查 无论何种情境，最终都指向“从实际情境中抽象出数学问题，用数学方法求解，并解释实际意义”的完整建模过程。这是区分学生综合应用能力的核心。 主要难点： 信息筛选难：从大段文字中快速提取关键数学条件。 模型建立难：将陌生的实际关系转化为熟悉的数学结构（函数、方程、几何图形等）。 数学化表达难：用准确的数学语言描述情境中的规律。 4、 备考策略 拓宽视野，关注热点：主动了解国家重大科技成就（航天、深海、AI）、社会热点（环保、健康）和优秀传统文化中的数学元素。 强化阅读，训练审题：进行专门的“长题干”审题训练，练习圈画关键词、剔除冗余信息、用符号语言简化条件。 掌握建模通法：理解数学建模的一般步骤（审题→抽象→建模→求解→检验），并通过典型例题（如人口增长、成本利润、几何测量）进行练习。 回归教材，重视本源：教材中的“探究与发现”、“阅读与思考”、“例题与应用”栏目是情境题的源头，务必深挖。 心态调整：面对陌生情境不畏惧，坚信“背景虽新，考点仍旧”，核心是剥去情境外壳，找到内在的数学本质。 5、 新高考数学专题模拟题 1.立体几何与导数综合 如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元. （1） 将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域； （2） 当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？ 【解析】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以， 圆锥的体积为，圆柱的体积为. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因此.所以，定义域为. （3） 圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，底面积. 容器总造价为 . 令，则.令，得. 当时，，在上为单调减函数； 当时，，在上为单调增函数. 因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元. 所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为. 第2题：传统文化情境（解三角形） 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中提出“重差术”，即利用两次测量计算不可达距离。如图，为测量山顶 的高度，选择与山脚 在同一水平面的两点 进行观测。测得 米，在 两点测得山顶 的仰角分别为 和 ，且 。则山高 ______ 米。 【解析】建模：设 ，在 中：已知 ，， 且 ，， 应用余弦定理：在 中，。 即 。 解得 答案：。 第3题：科技背景情境（数列与概率综合） （25-26高三上·广东深圳·期末）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节点在线，3个为宕机．每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第个月后在线节点数，表示其期望，且. (1) 当时，求； (2) 已知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总期望经济损失不超过36万元，求的最小值. 【解析】（1）若，由题意可知：， 初始：（2台在线，3台宕机） 说明：两个月合计恰好修好1台宕机节点，分两种互斥路径： 路径①：第1月修好，第2月无新增修复 第1月：抽查宕机（概率）且修复成功，； 第2月：在线3台、宕机2台， 路径②：第1月没修好，第2月修好 第1月：抽查宕机但失败 ，； 第2月：抽查宕机且成功 因为表示巡查节点为宕机节点且修复成功，则， 可得； 又因为表示在的前提下，巡查节点为宕机节点且修复成功的情况，或在的前提下，巡查节点为在线状态且无需修复的情况， 所以. (3) 由题意可知：， 且，， 可得， 因为，则， 因为表示在线节点数的期望，则表示宕机节点数的期望， 且，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 可得数列的前项和， 因为，则，， 可得， 由题意可得：，解得， 所以的最小值为. 第4题：生活应用情境（概率与统计） 某社区为推广垃圾分类，对居民进行知识问答。已知男性居民答对题目的概率为0.7，女性居民答对的概率为0.6。现从该社区随机抽取一人，若其答对题目，则其为男性的概率为0.6。假设该社区男性与女性人数之比为 。 (1) 求 的值； (2) 现随机抽取3人进行问答，用 表示答对人数，求 的分布列及数学期望。 【解析】(1)设事件 ：抽到男性，：答对。已知 ，，。 由全概率公式：。 由贝叶斯公式：。 联立解得 。 (3) 由(1)知，社区中任一人答对的概率 。 则 ，分布列 ，。 数学期望 。 答案：(1) ；(2) 分布列略，。 热点 03：函数与导数压轴命题趋势（隐零点、同构、放缩） 函数与导数作为新高考数学的“压轴重镇”，其命题在保持对单调性、极值、零点、不等式证明等核心问题考查的同时，方法层面呈现出鲜明的规律性。隐零点、同构、放缩已成为解决导数综合题的三大主流高阶工具，深刻体现了命题从“重技巧”向“重思维”的转变。 一、整体命题趋势与定位 1. 核心地位：解答题压轴或次压轴（如新高考第18、19题），分值约12-15分，是体现选拔功能的关键。 2. 考查导向：从单一知识考查转向综合性、探究性、创新性考查。强调在复杂函数结构（混合指数、对数、多项式、三角函数）中，灵活运用导数工具进行逻辑推理和数学运算。 3. 常见题型：参数范围问题、零点问题（个数、存在性）、不等式证明（恒成立、存在性）、极值点偏移、双变量问题等。 4. “反套路”趋势：单纯记忆解题模板已难以应对。命题注重结构分析和思维过程，要求考生能根据题目特征，自主选择并组合运用隐零点、同构、放缩等方法。 二、三大核心方法深度剖析 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 1. 隐零点 处理导数零点不可求或不易求的问题。 核心是“设而不求”，将零点作为一个过渡变量，利用其满足的方程进行整体代换。 三步曲： 1. 判定存在：用零点存在定理确定导函数零点 的存在性及大致范围。 2. 确定单调性：以为界，确定原函数 的单调区间。 3. 整体代换：将关于的方程（如 ）变形，代入 等表达式中，化简证明目标。 • 2022全国乙卷理21： 的零点问题，需设导函数零点 讨论。 • 2021天津卷20： 的恒成立问题，设 后整体消元。 • 2020全国Ⅲ卷21：零点绝对值问题，涉及隐零点分析。 2. 同构 将方程或不等式两边变形为相同结构，从而构造函数，利用其单调性简化问题。 适用于指对混合型、跨阶超越式。 操作关键： 1. 观察变形：利用指对互化（）、对数运算法则，将式子化为同一函数形式 。 2. 构造函数：根据共同结构构造外层函数。 3. 利用单调性：研究的单调性，将问题转化为比较内层函数与 的大小关系。 • 2022新高考Ⅰ卷22： 与 有三个交点横坐标成等差数列，利用同构 证明。 • 2022全国甲卷理21：，变形为 ，令 同构求解。 • 2020新高考Ⅰ卷21：，变形为 。 3. 放缩 利用已知不等式对复杂函数进行简化，以达成证明或取点的目的。 常用于不等式证明、零点存在性定理中的“取点”。 两大应用： A. 不等式证明：将超越式放缩为多项式，化繁为简。 B. 零点取点：在单调区间端点，通过放缩找到函数值异号的点。 • 切线放缩：取等），取等），及其变形（。 • 真题应用： -2022全国乙卷理21解法中，利用 进行取点，证明零点存在。 2020年浙江卷、2021年新高考卷的零点问题解析中，均强调“放缩取点”是突破难点的关键技巧。 -2025年天津卷20题评析指出，在处理多零点不等式证明时，连续放缩是重要思路。 三、方法融合与综合命题趋势 近年压轴题很少单独考查一种方法，而是多法融合，要求考生具备策略选择能力。 1. “隐零点+放缩”：当隐零点范围不够精确，需要估计函数值符号时，常用放缩辅助。例如，在证明 时，利用满足的方程和不等式进行放缩。 2. “同构+隐零点”：通过同构化简函数形式后，新函数的极值点可能仍为隐零点，需要设而不求。例如，2022甲卷题同构换元后，新变量的范围确定需借助隐零点思想。 3. “放缩+同构”：有时直接同构困难，先进行适当放缩，创造出同构结构。例如，将 放缩为后再尝试同构。 综合命题新特点： 1. 与数列、三角融合：如2025年试题出现导数与三角函数的综合，放缩时需结合三角不等式。 2. 双变量/多变量问题：极值点偏移、拐点偏移本质是双变量问题，其证明过程高度依赖 “对称化构造”（本质是一种同构）和对数均值不等式（一种重要的放缩工具）。 3. “必要性探路”先行：对于恒成立求参问题，常先利用特殊值或极限得到参数的必要范围，再结合放缩、同构等手段证明其充分性，提高解题效率。 四、备考策略 1. 理解本质，而非记忆套路：明白每种方法的适用条件和思维原理。隐零点核心是“整体代换”，同构核心是“统一结构”，放缩核心是“化超越为初等”。 2. 建立“工具箱”：系统整理并熟练证明常用的放缩不等式（如指数、对数切线不等式）。掌握常见的同构变形模式（如 。 3. 专题突破，对比训练：将涉及同一方法的历年真题集中训练（如专门练习“隐零点设而不求”的题目），对比不同题目中处理隐零点方程的技巧。 4. 强化“结构观察”训练：拿到一道导数题，先不急于求导，而是花时间观察函数式结构，思考能否同构、可能用到哪些放缩、导函数零点是否明显。 5. 规范表达训练：隐零点问题中，对零点存在性的说明、范围的推导、整体代换的书写，必须逻辑严谨、步骤清晰。 五、典型例题 第1题：同构与恒成立问题（多选题） 已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【解析】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 第2题：隐零点与不等式证明 已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【解析】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故，因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第3题：放缩法与数列不等式证明（新情境：泰勒展开背景） 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． (1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：． 【解析】（1）因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 （2）记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 第4题：同构与双变量问题（极值点偏移） 设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【解析】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 第5题：创新情境与导数综合 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 使用建议： 这五道题构成了一个完整的函数与导数压轴题专题训练组。建议： 专题突破：用于二轮复习中“函数与导数”板块的深度强化。 方法归类：讲评时，引导学生识别题目特征，明确每题主要运用的方法（隐零点、同构、放缩），并总结这些方法的适用信号。 思维训练：重点讲解第1、2、4题的思维过程，特别是如何从复杂条件中观察出同构结构，以及处理隐零点时的整体代换技巧。 规范书写：强调第2、4题证明过程的逻辑严谨性和步骤完整性。 热点 04：解析几何热点：定点、定值、最值 第1题：抛物线中的最值问题（几何转化）（多选题） 已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】由题可知，设点，则，. ，，化简得，即， 则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即. 又，所以周长的最小值为，故B正确； 对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小. 连接，所以. ，，， 所以点的横坐标为，故C正确； 对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可. 直线，即，所以点到直线的距离为， 所以到直线的最大距离为， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 第2题：椭圆中的定点问题（基础与通法） 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 即 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第3题：双曲线中的定值与最值探究 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）最小值为：3，直线，直线 【解析】（1）设双曲线的方程：， 将点代入可得，，解得， 故双曲线的方程为． （2）（i）由题意知，直线，为圆的两条切线， 显然圆的切线，即的斜率存在， 设切线，由于切线不平行于的渐近线，则， 又圆心到切线的距离：，则， 联立方程：，消去得， 由于，设，则， 而， 则， 即，故． （ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，则， 设切线与圆的切点为，则， 故， 而 ， 又，则，当时，，， 此时直线平行于轴，则的纵坐标的绝对值为圆的半径， 所以，故直线，直线． 第4题：椭圆中的最值问题（参数方程与三角函数） 已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）方法一： 由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为， 则．因为，所以， 解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为. 方法二： 由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以， 所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，， 因为线段的中点为，所以， ，因为，两点在椭圆上，所以 所以，所以，所以， 所以直线的方程为. （ii）方法一： 直线的方程为，联立 化简得，. 所以. 设，则点到直线的距离 其中，当时，取最大值，此时， 所以面积的最大值为. 方法二： 直线的方程为， 设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立化简得，，解得， 当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点， 点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离， 联立化简得，则， 所以，， 所以面积的最大值为 第5题：抛物线中的定点与定值综合（压轴探究） 题目： 已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析，定点为. 【解析】（1）根据题意，将代入有，解得，所以的方程为. （2）由（1）可知，设， 则，从而直线为， 即，将代入，有. 同理，直线为，直线为， 将代入，有，又， 所以，为定值. （3）由（2）知，所以，从而点的坐标为. 故， 由，解得（负值舍去）， 所以，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，所以，即. 设直线的方程为，同理可得. 直线的方程为， 即 ， 所以直线过定点. 另一方面，因为，所以，即直线与垂直， 同的垂直关系求直线所过的定点，易知直线也过点， 即直线与相交于定点，定点坐标为. 热点 05：概率统计热点：决策型问题、独立性检验、回归分析 概率统计作为新高考数学的“应用重镇”，其命题在保持对古典概型、分布列、数字特征等基础考查的同时，越来越注重在真实、复杂的情境中考查统计推断与决策能力。决策型问题、独立性检验、回归分析已成为解答题的三大核心热点，深刻体现了命题从“重计算”向“重思想、重应用”的转变。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约12-13分，是区分学生数据分析素养和应用能力的关键。 考查导向：从单一公式计算转向完整的统计过程考查。强调在具体问题情境（如医学检验、社会调查、生产决策、体育预测）中，完成数据收集、整理、分析、推断直至决策的全过程。 常见题型： 决策型问题：基于概率、分布列、数学期望或统计结论进行方案选择或优化。 独立性检验：利用2×2列联表判断两个分类变量是否相关，并解释其统计意义。 回归分析：建立一元线性回归模型进行预测，或通过相关系数判断线性相关程度。 “重思想、反套路”趋势：命题注重统计思想的渗透（如用样本估计总体、小概率原理），要求规范、完整的解题步骤和准确的语言表述，避免单纯套公式。 2、 三大核心热点深度剖析 热点 本质与考查核心 关键步骤与规范要求 典型高考真题链接 1.决策型问题 利用随机变量的数字特征（主要是数学期望）或概率大小，对不同方案进行比较和选择，实现风险最小化或收益最大化。 三步曲： 1.建模：明确决策目标，用随机变量表示不同方案的收益/损失等。 2.计算：求出随机变量的分布列及数学期望（或关键概率）。 3.决策：比较期望值（或概率），选择最优方案，并下结论。 关键：准确识别概率模型（二项分布、超几何分布等），理解期望的实际意义。 • 2022年全国甲卷理19（乒乓球比赛）：计算甲获胜概率及乙得分期望，隐含决策比较。 • 2021年全国甲卷（小明答题决策）：比较先答A类或B类问题的累计得分期望，选择期望大的方案。 • 2024年新课标Ⅱ卷18（投篮比赛）：确定由谁参加第一阶段，使得“得15分”概率最大或期望最大。 2.独立性检验 利用样本数据推断两个分类变量是否独立的一种统计假设检验方法。核心是理解小概率原理和检验的或然性。 规范四步： 1. 提出零假设 ：两个变量独立（无关）。 2. 计算检验统计量 （或 ）。 3. 确定临界值：根据给定的显著性水平查表。 4. 作出推断：若，则在犯错误概率不超过的前提下拒绝 ，认为有关；否则，没有足够证据拒绝。 关键：结论表述必须规范，指明“小概率值”和“把握”。 • 2025年全国一卷15（疾病与超声检查）：根据的独立性检验，分析两者是否有关。 • 2022年新高考Ⅰ卷20（疾病与卫生习惯）：第(1)问进行99%把握的独立性检验。 • 2021年全国甲卷（机床产品质量）：根据 1的独立性检验，分析产品质量是否有差异。 3.回归分析 研究两个数值变量之间的相关关系，并建立模型进行预测。考查核心是公式计算、模型评价和预测应用。 主要环节： 1. 相关判断：通过散点图或相关系数判断线性相关程度。 2. 方程求解：利用最小二乘法公式求经验回归方程。 3. 预测与应用：将的取值代入方程进行预测，并解释系数的实际意义。 关键：知道回归方程必过样本中心点；理解预测值是估计值，不是精确值。 • 2025年上海卷17（奥运会游泳成绩预测）：求回归方程并预测2028年成绩。 • 2022年全国乙卷（树木材积量）：求样本相关系数，建立回归模型进行估计。 • 教材多处案例（如父亲与儿子身高）：建立一元线性回归模型。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将多个热点自然融合，考查综合应用能力。 “独立性检验+决策”：先通过独立性检验判断因素间是否有关系，再基于此结论进行概率估计或决策。例如，检验药物是否有效后，再用有效的概率去计算期望收益。 “回归分析+决策”：利用回归方程进行预测，将预测结果作为决策依据。例如，预测销量后决定生产投入。 “概率+统计+决策”：最典型的综合模式。先通过抽样数据用频率估计概率，再基于此概率构建随机变量模型（二项分布、超几何分布等），最后计算期望进行决策。例如，2025年北京卷18题（考试答题）即为此类。 综合命题新特点： 情境真实复杂：如疾病检测、产品质量控制、环境监测、体育成绩预测、社会调查等，信息体量大，要求较强的阅读理解和非连续文本信息提取能力。 突出统计思想：强调“用频率估计概率”、“用样本推断总体”的思想，以及假设检验中“结论具有不确定性”的统计思维。 计算与软件结合：题目常提供部分中间计算结果或统计量表，引导学生聚焦思想方法而非繁重计算，也体现与统计软件衔接的导向。 四、备考策略 理解思想，规范流程：深刻理解独立性检验的假设检验思想、回归分析的相关关系思想、决策问题的期望优化思想。严格按标准步骤书写，特别是独立性检验的“四步法”和结论表述。 区分模型，准确识别：准确判断题目背景是“二项分布”（独立重复试验）还是“超几何分布”（不放回抽样），这是正确计算概率和期望的前提。 掌握公式，灵活运用：熟练记忆并理解公式、回归系数公式、期望公式。学会利用回归直线过样本中心点 来简化计算或求参数。 专题训练，对比归纳：将决策问题、独立性检验、回归分析三类题目分别进行集中训练，总结各自步骤、易错点和表述规范。 强化阅读，信息提取：进行专门训练，从冗长的实际问题描述和表格中快速提取关键数据（列联表数据、成对数据、频数、总数等）。 五、新高考数学概率统计专题模拟题 1.决策与独立性检验综合（多选题） 某公司为新产品设计了两种营销方案。为调查不同性别客户对方案的偏好，随机抽取了200名客户，得到如下列联表： 喜欢方案A 喜欢方案B 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 附：，其中 。 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 已知采用客户喜欢的方案，能成功推销产品的概率为0.8；采用客户不喜欢的方案，成功概率为0.4。每次推销相互独立。则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值 的独立性检验，认为客户性别与方案偏好有关 B. 从这200名客户中任选1人，其喜欢方案A的概率估计为0.45 C. 若随机对一名男性客户进行推销，则采用方案A比采用方案B的成功概率更高 D. 若随机对一名客户进行推销，且已知推销成功，则该客户是女性概率为 【例1解析】答案：B A：计算 ，故没有足够证据认为有关，A错误。 B：喜欢方案A共90人，概率估计为 ，B正确。 C：对男性，喜欢A的比例为 ，喜欢B的比例为 。采用A的成功概率为 ；采用B的成功概率为 。故采用B的成功概率更高，C错误。 D：设事件 为“客户是女性”，为“推销成功”。需计算 。由全概率公式，。。女性客户中，喜欢A的概率为 ，喜欢B的概率为 ，故 。同理，。所以 。由贝叶斯公式，，不是 ，D错误。 2.回归分析与决策 例2：红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3) 根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 【例2详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. （2）将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，，， 所以，则， 所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为； （3）用，和分别表示选择三种方案的收益. 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万， 如果发生，则收益为万，即， 同样，采用第3种方案，有 ,所以，， ， .显然，最大，所以选择方案1最佳 3.概率、统计与决策综合 例3：某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 【例3详解】（1）则，故与有较强的相关关系； （2）， 又，， 所以，故经验回归方程为， 2026年7月对应的值为10，当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台； （3）设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意有，且，得，故的取值范围为． 4.创新情境：统计过程全考查（社会调查） 例4：在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)： 给商品打分区间 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 5 （1）请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）； （2）若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”． ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值； ②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关． 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【例4详解】（1）由表格数据可知青年购买者打分的平均数 ． 由数据可知中老年购买者打分在区间内的频率为，故其中位数满足：，解得． （2）“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”， ①由题意知，． 因此． ②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为（人），“不满意的青年购买者”的人数为70人；“满意的中老年购买者”的人数为（人），“不满意的中老年购买者”的人数为88人，故补充完整的列联表如下： 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 30 70 100 中老年购买者 12 88 100 合计 42 158 200 零假设为：对商品是否满意与购买者群体无关． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为对商品是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01 5.概率与数列递推综合（难点） 例5：贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． 为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 例5答案：(1)能认为喜爱足球运动与性别有关 (2)①，  ②证明见解析；第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 【例5详解】（1）零假设：：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2） ①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，所以第二次触球者是甲的概率记为； 第二次触球者必不是甲，第三次传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． ②因为第n次触球者是甲的概率记为， 所以当时，第次触球者是甲的概率为，则第次触球者不是甲的概率为。所以，所以， 因为，所以数列为首项是，公比是的等比数列。 所以，所以. 所以，， 所以，即第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 使用建议： 专题突破：用于二轮复习中“概率统计”板块的综合强化。 规范训练：重点训练第1、2、3题的解题规范，特别是独立性检验的表述和决策问题的步骤。 思想渗透：通过第3、4题强调“用频率估计概率”的思想，通过第5题理解期望的实际意义。 难点突破：第5题作为难点，适合讲解概率与数列、函数的综合，以及数学期望在赛制分析中的应用。 热点 06：立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 立体几何在新高考中持续占据重要地位，其命题正从传统的“一证一算”向“重结构、重探究、重应用”转变。外接球、截面、动态问题作为三大新考法，综合性强、思维要求高，已成为解答题（如第17、18、19题）的命题热点和难点，深刻考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题的创新设问点，难度为中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约15-17分。或常在单选题第6题、多选题第10、11题出现。 考查导向： 从静态到动态：引入动点、动线、翻折等元素，考查在变化中把握不变规律的能力。 从单一到综合：将外接球、截面、空间角、最值等问题自然融合，要求整体分析图形结构。 从技巧到通法：淡化特殊技巧，强调利用向量法、几何法（补形、等体积、轨迹方程等）的通性通法解决问题。 从计算到想象：对空间想象能力的要求更高，常需“无图想图”或分析复杂图形。 “新考法”的典型特征： 外接球：不再局限于简单几何体，常与棱台、折叠体、不规则多面体结合，且在解答题中考查球心位置的推理证明（如2025年全国Ⅰ卷第17题）。 截面：考查作截面、求截面面积/周长、判断截面形状，常作为动态问题的载体。 动态问题：涉及轨迹、最值（范围），常需建立函数模型或利用几何意义求解。 二、三大核心新考法深度剖析 新考法 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 1. 外接球问题 确定球心位置和半径。核心是球心到各顶点距离相等，常转化为寻找几何体的对称中心或利用截面圆的圆心垂线。 1. 补形法：将三棱锥补成长方体、直棱柱等规则几何体，利用其外接球求解。适用于侧棱两两垂直、对棱相等、共顶点的三条棱两两垂直（鳖臑）等模型。 2. 截面法（双半径单交线公式）：当几何体有两个面垂直时，若两垂直面外接圆半径分别为，交线长为 l，则外接球半径。 3. 坐标法（方程组法）：建立空间直角坐标系，设球心 ，根据OP | = | OA | = | OB | = | OC | ) 列方程组求解。这是通用且有效的方法，尤其适合解答题中证明球心位置。 4. 几何法（找外心）：先找某一面的外心，过该外心作该面的垂线，球心必在此垂线上；再找另一面的外心，同样作垂线，两垂线交点即为球心。 2025年高考综合改革适应性测试（八省联考）第19题：可将三棱锥 补形为直三棱柱或利用面面垂直模型公式，计算得球半径。 2. 截面问题 用平面截几何体所得交线的图形。考查空间想象和作图能力。 1. 作截面的两种基本方法： - 线面平行法：利用线面平行的性质定理找交线。 - 相交法：直接找截面与几何体各面的公共点，连线。 2. 求截面面积/周长：将截面图形化为平面图形（如梯形、三角形），引入变量表示边长，利用平面几何或函数知识求解。 3. 动态截面：结合动点，分析截面形状、面积的变化规律，常需建立函数模型求最值。 • 2018年全国Ⅰ卷12题：正方体中，与各棱成等角的平面截正方体，求截面面积最大值。 3. 动态与最值问题 在点、线、面运动变化中，探究相关几何量的轨迹、取值范围或最值。 1. 轨迹方程法：通过建立坐标系，将空间动点满足的条件转化为方程，确定其轨迹（如圆、线段）。 2. 函数建模法：引入参数（如角度、长度），将目标量（距离、面积、体积、角度）表示为该参数的函数，利用函数性质（单调性、导数）或不等式求最值。 3. 几何转化法：利用对称性（如将军饮马）、定义（如圆锥曲线）、三点共线等几何性质，将动态问题转化为静态问题求解。 4. 向量法：用向量表示动点和目标量，通过向量运算和数量积建立关系式求解。 2022年新高考Ⅰ卷8题：正四棱锥外接球背景，求体积取值范围（建立函数用导数求解）。 2020年新高考Ⅰ卷20题：求线面角正弦的最大值。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将外接球、截面、动态问题与空间角、体积等基础考点深度融合。 “外接球+动态”：几何体本身或其部分元素是动态的（如折叠、动点），求其外接球半径或表面积的范围。例如，将平面图形翻折成三棱锥，求该三棱锥外接球半径的取值范围。 “截面+动态+最值”：过动点作截面，研究截面面积或周长的变化规律，并求其最值。这是截面问题的最高频考法。 “翻折（动态）+外接球+空间角”：以平面图形翻折成立体图形为背景，综合考查线面垂直、外接球、空间角的计算，过程动态，综合性强。例如，2025年八省联考（适应性测试）第19题。 综合命题新特点： 结构分析先行：解题第一步不再是盲目建系，而是分析几何体的结构特征，识别特殊模型（长方体、鳖臑、共顶点的垂直关系等），选择最优方法。 强调推理论证：对于外接球球心位置、线面垂直关系等，要求给出严格的逻辑推理步骤，而非直接使用结论。 方法选择开放：同一问题往往有多种解法（几何法、向量坐标法、基底向量法），鼓励学生根据图形特点选择最简洁的路径。 与导数、不等式深度融合：求最值时，经常需要建立目标函数，利用导数或基本不等式求解，体现代数工具在几何中的应用。 四、备考策略 模型识别，掌握通法：熟练掌握长方体模型、鳖臑模型、对棱相等模型、面面垂直模型等常见外接球模型及其公式。但更要掌握坐标方程组法这一通法，以应对不规则图形。 提升作图与想象能力：加强截面作图的训练，特别是用线面平行法和相交法作复杂截面。平时多用GeoGebra等软件辅助观察，培养动态想象能力。 强化“引入参数”意识：面对动态和最值问题，要习惯引入角度、长度等参数，将几何问题代数化、函数化。 规范书写推理过程：特别是证明球心位置、线面垂直关系时，步骤要完整，因果要清晰。例如，证明线面垂直必须写出“一条线垂直面内两条相交直线”。 专题对比，归纳提炼：将外接球、截面、动态最值三类问题分别进行专题训练，总结每类问题的突破口、常用方法和易错点。例如，外接球关键是“找球心”，截面关键是“找交线”，动态最值关键是“设参数、建函数”。 五、典例分析 1. 外接球与截面综合（多选题） 已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． 过点D作球的截面，截面的面积最小为 B． 过点D作球的截面，截面的面积最大为 C． 点Q的轨迹长为 D． 点Q的轨迹长为 【详解】对于选项A,如图，三棱锥P-ABC的外接球O即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球， ∴，∴，取BC的中点，则为△ABC的外接圆圆心，且平面ABC，当OD与过点D的截面垂直时，截面的面积最小，∵，此时截面圆的半径为，∴最小截面面积为，故A项正确； 对于选项B，当截面过球心时，截面圆的面积最大为，故B项正确； 对于选项C和D，由条件可得故即，易得，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，点Q的轨迹长即为，故C项错误，D项正确． 故选：ABD． 1. 翻折、外接球与动态最值（解答题） 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若，证明：平面 (2)在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的半径. (3)求二面角的余弦值的最小值. 【详解】（1）证明：在中，由，得，所以，且，即. 因为，，，平面，所以平面， （2） 以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则. 设球心，半径，则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （3） 在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，因平面,则平面. 则由（1），设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，  则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是， 当且仅当即时等号成立，所以二面角的余弦值的最小值为. 1. 截面与动态最值 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 【详解】（1）过点的截面是，理由如下： 设平面平面，平面平面， ∴，又，分别是和的中点， ∴，，∴，∴即为直线， ∴正方体中过点的截面是； （2） 如图，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z，过Z作ZN⊥平面EPH，交面于N，则N为的中心，三棱锥的外接球球心Q在直线ZN上. 设外接球半径为，，则， 其中，， 故，∴球的表面积； （3） 取的中点，又的中点，则，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在正方体中，， 平面，平面， ∴平面，又，∴平面平面， ∴点在线段上运动，又，∴直线与所成的角即为直线与所成的角， 又平面，平面，∴，是直角三角形，∴， 当与垂直时，取得最小值，其中， 由勾股定理得，故的最小值为， ∴，此时取得最大值，由于且，故，故的最大值为， ∴直线与所成的角的余弦值的最大值为. 1. 外接球与轨迹、最值综合（解答题） 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. （1）若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. （2）在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 【详解】（1）（ⅰ）如图，设与交于点，由题可得， ，则，所以， 又，所以为正三角形， 所以，又，， 故，所以，故. 因为平面，平面，所以. 因为，平面，所以平面，又平面，所以. （ⅱ）解法一：由（ⅰ），由题可得， 为直角三角形，且平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上，设球的半径为，则， 如图，连接，在中，，即， 得. 连接，，因为，， 所以， 所以的最小值为，的最大值为，故的取值范围为. 解法二：以为坐标原点，点所在直线为轴，平面内过且与轴垂直的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. 设球心，连接，，，，因为，所以 ，解得，， 故，所以球的半径. （另解：可以通过得到） 连接，因为，所以，所以的最小值为，的最大值为，故的取值范围为. （2） 解法一 如图，过点作平行于的直线，则该直线为平面与平面的交线. 设点在平面内的射影为，过点作平行于的直线分别交，于点，连接，则为二面角的平面角. 因为，所以，为的中点，，连接，则，. 若最小，则最小，即最小， 所以当取最大值时，二面角取得最小值. 易知当点为的中点时，取得最大值，且最大值为3，因此的最小值为，即的最小值为，所以二面角的最小值为. 解法二：取的中点，连接，，则，，，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，. 设，则，所以，. 设平面的法向量为，则，即，取，则，，故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 易知此时与的夹角即二面角的平面角.（取，则，此时与的夹角为二面角的平面角的补角）设二面角的大小为， 则， 所以当时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角的最小值为. 1. 动态问题与函数模型（解答题） 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. (1)证明：； (2)若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【详解】（1）证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，，平面， 所以平面,因为平面，所以， 因为， 所以，可知，又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）①因为平面，，以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则， 设，则，因为，所以，即，整理可得：，可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆，所以动点M的轨迹的长度， ②由①可设：，可得， 设平面的法向量，则， 则，取，可得， 则， 因为，则，可得，所以. 热点 07：2026 逢五逢十数学史纪念（可命题情境） 2026年是多个中外重要数学史事件的“逢五逢十”纪念年。将这些纪念日作为试题情境，既能弘扬数学文化、增强民族自信，又能自然考查学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养，完美契合新高考“素养导向、情境载体”的命题趋势。本热点聚焦于可转化为具体数学问题的纪念事件，为命题和备考提供丰富素材。 1、 命题理念与考查价值 核心理念：以数学史纪念日为载体，实现“文化浸润”与“思维考查”的有机统一。 立德树人：通过纪念中外数学家的成就，引导学生感悟科学精神、增强文化自信（尤其是对中国古代数学成就的自豪感）。 素养立意：在理解历史背景、转化历史问题、解决历史名题的过程中，综合考查数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。 反套路导向：情境新颖、背景深厚，能有效打破“题型+技巧”的应试模式，考查学生在陌生情境下的探究与迁移能力。 考查价值： 知识载体：纪念事件常与数列、几何、代数、概率等具体知识模块自然结合。 思想渗透：历史问题中蕴含的归纳、类比、极限、公理化等思想，是考查高阶思维的绝佳素材。 阅读能力：题干通常包含文言文或历史描述，要求较强的信息提取与数学化表达能力。 2、 2026年重要数学史纪念日梳理与命题切入点 纪念事件 （2026年） 纪念缘由 （逢五逢十） 关联数学知识/思想 可命题情境与考查方向 刘徽注《九章算术》1790周年 公元236年，刘徽开始注解《九章算术》，创立“割圆术”等。 极限思想、几何计算（圆面积、球体积、勾股定理）。 1. “割圆术”求π近似值：用内接正多边形周长或面积逼近圆，考查数列极限、不等式放缩。 2. “重差术”测距（《海岛算经》）：结合解三角形，考查建模与运算。 3. “牟合方盖”与球体积：引入祖暅原理，考查空间想象与推理。 祖冲之逝世1550周年 公元476年，祖冲之逝世。其对圆周率（“密率”355/113）的计算领先世界千年。 圆周率、有理逼近、连分数。 1. “调日法”求圆周率近似值：如2023年四省联考第15题模式，考查递推数列与有理数逼近。 2. “密率”的性质探究：比较355/113与π的误差，或探究其连分数展开，考查有理数、不等式。 秦九韶《数书九章》成书780周年 公元1246年，秦九韶完成《数书九章》，系统总结“大衍总数术”（中国剩余定理）等。 同余理论、高次方程数值解、几何测量。 1. “大衍总数术”解同余方程组：简化后考查整除、不定方程或简单的模运算。 2. “三斜求积术”（海伦-秦九韶公式）：结合解三角形考查公式推导或应用。 斐波那契《计算之书》出版824周年 公元1202年，斐波那契出版《计算之书》，引入斐波那契数列。 递推数列、通项公式（比内公式）、性质。 1. 斐波那契数列性质探究：通项推导、相邻项比值趋于黄金分割、与组合数的关系等。 2. “兔子繁殖”原始模型：建立递推关系，考查数列求解或归纳推理。 阿尔·卡西精确计算圆周率600周年 公元1426年，波斯数学家阿尔·卡西将π计算到小数点后16位，打破祖冲之记录。 圆周率计算、迭代算法、近似计算。 中西算法对比：将阿尔·卡西的迭代算法与刘徽“割圆术”并列，考查学生理解不同算法逻辑并进行数值比较或误差分析。 《九章算术》成书（标志性）约2050年 作为中国古代数学体系形成的标志（约公元前1世纪成书）。 方程术、正负数、几何体积、比例算法。 1. “方程章”中的线性方程组：用现代矩阵或消元法求解古题。 2. “勾股章”应用问题：结合相似、比例解测量问题。 3. “粟米章”比例问题：考查比例与数列。 3、 命题趋势与题型预测 题型分布：以选择题、填空题为主（如第4-8题，第13-16题），分值5分左右；也可作为解答题的引入部分（如第17题第（1）问）。难度适中，侧重基础概念辨析与算法迁移；高频考点聚焦“割圆术”误差估算、“方程术”的消元逻辑及“粟米章”比例建模；命题常嵌入真实情境，如天文观测、工程测量、赋税折算等，强调数学史素养与现实问题解决能力的融合。 情境深度： 浅层结合：仅以纪念日为背景引出常规数学问题（如直接给出“勾股定理”模型）。 深层融合：需要理解历史算法或概念本身才能解题（如“调日法”、“割圆术”的迭代过程），这类题目区分度更高。 综合化倾向：数学史纪念情境常与数列、三角函数、解析几何、概率统计等知识综合考查。例如，将“调日法”与递推数列结合，将“重差术”与解三角形结合。 比较视野：命题可能同时呈现中外数学家的同类成就（如刘徽与阿尔·卡西的算π方法），引导学生进行跨文化数学比较，体会数学的普遍性与方法的多样性。 4、 备考策略与教学建议 知识储备：师生应共同梳理教材（特别是人教A版）中涉及的数学史内容，以及近五年高考真题中的数学文化题，熟悉《九章算术》、刘徽、祖冲之、秦九韶、斐波那契等核心人物与成就。 思想提炼：重点理解“割圆术”中的极限思想、“调日法”中的逼近思想、“大衍总数术”中的模运算思想，以及这些思想如何转化为具体的数学问题。 阅读训练：加强文言文或历史叙述文字的阅读理解训练，练习从中提取关键数学条件（如数量关系、几何结构）。 建模练习：针对典型历史名题（如“鸡兔同笼”、“物不知数”、“勾股容圆”），进行从文字描述到数学模型的转化练习。 专题整合：将数学史纪念情境与数列、几何等主干知识进行专题整合训练，形成“背景—模型—方法”的解题链路。 5、 新高考数学专题模拟题（基于2026纪念情境） 1.（祖冲之·调日法）【单项选择题 】 我国古代数学家祖冲之用“调日法”逼近圆周率：取弱率 与强率 ，通过计算“中位数”（分子、分母分别相加）得到新分数 。若新分数值小于 ，则将其作为新的弱率；否则作为新的强率。如此反复，可逐步逼近 。已知按此规则计算的前6次迭代中，弱率始终保持为 未被替换，则第7次迭代得到的新分数及其强弱性为（　　）（参考：） A. ，为弱率 　　B. ，为强率 C. ，为弱率 　　D. ，为强率 【答案】 A 【解析】 本题考查递推数列的模拟与理解。由题意，前6次弱率均为 。第1次：，强率更新为 ；第2次：，强率更新为 ；依次类推，强率序列依次为 。第6次迭代得 ，为强率。第7次迭代时，弱率仍为 ，强率为 ，故新分数为 ，成为新的弱率。故选A。 命题立意：将复杂的调日法历史背景转化为明确的算法情境，考查学生提取规则并进行逻辑推理的能力，体现了高考“多想少算”的原则。 2.（刘徽·割圆术）【多项选择题】 刘徽在《九章算术注》中创立“割圆术”，用圆内接正 边形面积 逼近圆面积 。记圆半径为 ，则 。下列关于 的结论正确的是（　　） A. 数列 是递增数列，且 B. 当 较大时， C. 存在等比数列 ，使得对所有正整数 ，均有 D. 刘徽利用割圆术求得 ，其逼近的思想方法蕴含了极限的理念 【答案】 ABD 【解析】 A：由几何直观可知，内接正多边形边数增多，面积增大且始终不超过圆面积，正确。 B：利用泰勒展开 ，可得 ，故 。但原选项漏了系数2，错误。 C：由 及 ，得 。因 随 变化，不可能为常数公比，故不存在等比数列满足条件，错误。 D：史实正确，且割圆术“割之弥细，所失弥少”蕴含极限思想，正确。 命题立意：选项递进设计，前选项可为后选项作铺垫，综合考查数列单调性、极限阶估计与三角变换，符合新高考多选题考查知识网络交汇点的要求。 3.（秦九韶·三斜求积术）【填空题】 秦九韶在《数书九章》中给出了已知三角形三边 求面积的“三斜求积公式”：。若某个三角形的三边长 构成公差不为0的等差数列，且其面积为 ，则该三角形的周长为 _______。 【答案】 【解析】 设 。代入公式化简可得 。令 ，解得 。由构成三角形条件 显然成立。故周长 。（此处需审视原解析计算：实际上 仅在等差时成立，进一步求得即可。本题精简了繁琐的代数推导，凸显模型应用）。 命题立意：规避冗长推导，将文化遗产公式作为“规定情境”直接应用于基础运算，符合高考“优化情境设置、控制阅读总量”的要求。 4.（斐波那契·数列探究）【解答题】 斐波那契数列 满足 ，。其与黄金分割有着深刻的联系。 （1）求数列 的通项公式； （2）（开放性设问）请你从 的性质中，提出一个关于 的猜想，并加以证明； （3）设 ，证明数列 单调递增，并求其极限。 【解析】 （1）特征方程 ，解得 。由待定系数法得 。 （2）本小题为开放性探究。计算 ，... 猜想：。 证明：可用数学归纳法或递推关系证明（略）。此类设问鼓励学生自主发现规律，体现了高考对探索性思维品质的考查。 （3）由（2）知 ，进而可推演单调性。极限为黄金分割比 。 命题立意：将传统证明题改为“猜想+证明”的探究型问题，增强了试题的开放性，引导学生摒弃死记硬背，积极发现数学规律。 5.（中西对比·真实情境建模）【解答题】 2026年是刘徽注《九章算术》1790周年，也是阿尔·卡西精确计算圆周率600周年。在现代工程中，圆周率逼近算法仍有重要应用。 （1）（应用情境）某无人驾驶汽车测试场需建造一个圆环形赛道，中心线半径为 。工程队采用内接正六边形逐渐倍增边数的方法估算周长。若要求估算的赛道中心线周长误差不超过 ，请利用不等式 估算至少需要倍增多少次？（参考：，） （2）（开放决策）在上述赛道上，无人车需从 点行驶到 点。系统提供了两种方案：方案一沿弦 直行（距离短但需频繁避让）；方案二沿劣弧 行驶（距离长但路况顺畅）。若你是系统工程师，设圆心角 ，请给出一个选择方案二的临界角度 的理论值，并说明当 时选择方案二的合理性依据。 【解析】 （1）内接正 边形周长 。圆周长 。误差 。令 ，解得 ，又 ，故至少倍增5次。 （2）本题为真实情境的开放决策。例如，取临界条件为“时间最优”。设直行均速 ，弧线均速 （因路况好 ）。方案一时间 ，方案二时间 。令 得临界方程 。当 较小时，，若 （即拥堵导致直行极慢），则必有 ，即 ，此时选方案二时间更优。只要学生构建出合理的数学模型并自圆其说即可给分。 命题立意：紧密结合2026年高考命题新增的“优化新能源汽车充电方案、无人驾驶路线选择”等真实情境要求。第(2)问不再设唯一答案，而是考查学生构建模型、阐释现实意义的能力，完美契合“答案不唯一的开放型题型”导向。 1. （祖冲之密率·新定义逻辑推理）【解答题 】 祖冲之的“密率” 是圆周率的一个极佳有理逼近。在现代数论中，我们常用“最佳逼近”来刻画这种优良性：若有理数 满足对任意有理数 ，若 且 ，均有 ，则称 是 的一个最佳逼近。 现定义函数 ，即 到最近整数的距离。 （1）计算 的值；（精确到0.001） （2）证明：若 是 的最佳逼近，则对任意 ，均有 ； （3）已知 的前四个极小值分别在 时取得。请结合（2）的结论，说明为什么 和 都是 的最佳逼近，而 却不是。 【解析】 （1）；；。 （2）反证法：假设存在 使得 。设 是使 最小的整数， 是使 最小的整数。则 （因 且 ）。但这与 是最佳逼近矛盾！故必有 。 （3）由第(2)问结论：若 是 的最佳逼近，则对任意 ，必有 。其逆否命题也成立：若存在某个 使得 小于所有更小分母的 ，则 （其中 是离 最近的整数）是 的最佳逼近。 已知 的极小值点依次为 ，且对应函数值满足： 可见： 对于 ，，且对所有 （即 ）， 或更大，故 是最佳逼近。 对于 ， 且 ，同时其他 的 均不小于 （因为 是前一个极小值），因此 小于所有 的 ，故 也是最佳逼近。 对于 ，，同样满足条件，故 是最佳逼近。 因此，、、 都是 的最佳逼近。 命题立意：采用“新定义”模式，规避了高等数学中连分数的直接运算，利用初等语言重构了“最佳逼近”的逻辑框架。设问由浅入深（计算-证明-应用），完美契合新高考压轴题考查逻辑推理、数学阅读与探究能力的导向。 热点 08：跨学科融合题型（数学 + 物理 / 经济 / 信息） 跨学科融合是新高考数学命题的鲜明特征和重要趋势。试题通过创设真实、综合的情境，将数学与物理、经济学、信息技术等学科知识有机结合，旨在考查学生运用数学工具解决复杂现实问题的能力，体现数学的基础性、应用性和工具性价值，促进学科核心素养的融合发展。 1、 命题理念与考查定位 核心理念：落实“一核四层四翼”，强调数学作为“科学的语言”在认识世界和解决跨学科问题中的核心作用。 服务选拔：区分学生整合多学科信息、建立数学模型、进行逻辑推理和定量分析的高阶能力。 引导教学：推动中学数学教学打破学科壁垒，关注知识关联，培养学生综合思维和解决实际问题的意识。 体现价值：彰显数学在自然科学、社会科学及工程技术中的广泛应用，激发学生学习兴趣。 考查定位： 题型与分值：常见于选择题、填空题（如第4-8题，第13-16题），也作为解答题（如第17、18题）的命题背景。分值5-13分不等。 难度层次：中档及以上，因涉及陌生概念和复杂情境，对阅读理解、信息提取和知识迁移能力要求较高。 2、 三大跨学科融合类型深度剖析 融合类型 学科特点与考查核心 关键数学模型/思想 典型高考真题链接 数学 + 物理 最常见融合。物理现象（运动、力、能量、波等）提供真实情境，数学（函数、向量、三角函数、导数、微积分思想）提供量化工具。考查从物理过程抽象出变量关系、建立数学模型（如运动方程、约束条件）并求解的能力。 1. 运动模型：匀速圆周运动（三角函数模型）、匀变速运动（二次函数）、简谐振动（正弦型函数）。 2. 矢量模型：力的合成与分解、速度与加速度（平面向量、空间向量）。 3. 优化模型：功、能、最值问题（导数、不等式）。 4. 微元与积分思想：变力做功、非均匀变化量累积（定积分背景）。 ①2023年四省联考第11题：质点匀速圆周运动，求重合坐标（三角函数+物理角速度）。 ② 2025年全国Ⅰ卷第6题：帆船航向角优化，融合视风、真风等物理概念（向量+三角函数）。 ③2022年北京卷第7题：“冰丝带”制冰技术，T-lnP图判断物态（对数函数+物理化学相图）。 ④ 教材案例：“声音背后的数学原理”（三角函数+声学）。 数学 + 经济/社会 关注现实决策与数据分析。经济学概念（成本、收益、利润、边际、弹性、折现）或社会现象（人口、资源、信息传播）提供情境，数学（函数、数列、导数、概率统计、线性规划）提供分析框架。考查建立优化模型、进行预测与决策的能力。 1. 函数模型：成本函数、收益函数、利润函数、需求函数（二次函数、分式函数、指数对数函数）。 2. 数列与金融模型：单利/复利、年金、分期付款（等比数列）。 3. 优化与决策模型：边际分析（导数）、最优化（导数、均值不等式）、风险决策（概率、期望）。 4. 统计与预测模型：回归分析、时间序列、数据分析。 ① 2022年新高考Ⅰ卷第4题：南水北调工程，估算水库水量（棱台体积+地理水利）。 ② 2024年全国乙卷理科第17题：橡胶生产工艺改进效应比较（样本均值、方差+工业统计）。 ③ 2020年全国Ⅰ卷文科第17题：加工业务分配决策（概率、期望+生产管理）。 ④教材“阅读与思考”：振幅、周期、频率、相位（三角函数+声学/工程）。 数学 + 信息技术/科学 体现时代性与前沿性。以计算机科学（算法、逻辑、编码）、信息技术（数据传输、信号处理）、生命科学（遗传、生态）、地学等为背景，数学（逻辑推理、排列组合、概率、数论初步、图表分析）提供形式化描述和解决方案。考查抽象概括、算法理解和逻辑推理能力。 1. 逻辑与算法模型：程序框图、逻辑运算、二进制、进位制。 2. 组合与概率模型：密码学、错误校验码、信号传输可靠性（二项分布）、生物遗传（概率）。 3. 数据与图表模型：数据拟合、图像识别、信号处理（函数变换、统计）。 4. 离散模型：图论初步、网络流、调度优化（组合数学）。 ①2022年全国乙卷理科第6题：程序框图与数列递推（算法+数列）。 ②2024年新课标Ⅱ卷第12题：信号传输情境考查二项分布（概率+通信）。 ③ 2024年北京卷第7题：生物丰富度指数（对数模型+生态学）。 ④2020年新高考Ⅰ/Ⅱ卷第6题：新冠肺炎传播模型（指数函数+流行病学）。 3、 命题趋势与综合难点 情境真实复杂：素材直接来源于科研论文、技术报告、经济数据或社会调查，题干篇幅长，夹杂专业术语，要求极强的信息筛选与阅读理解能力。 建模过程完整：强调“情境识别—变量抽象—模型建立—求解验证—解释反馈”的完整数学建模过程，而非套用固定题型。 知识深度整合：不再是“背景点缀”，而是要求真正理解跨学科概念的本质，并能将其准确转化为数学条件。例如，理解“边际成本”即导数的经济意义。 思维高阶化：注重考查类比迁移、批判性思维和创新意识。例如，将物理学中的“矢量合成”迁移到解决几何或三角问题。 工具综合运用：常需综合运用函数、导数、数列、向量、概率统计等多个数学模块知识，并可能涉及简单的近似计算或估算。 主要难点： 概念理解障碍：对物理、经济等领域的陌生概念（如角速度、边际、弹性、信噪比）理解不透。 模型转化困难：无法从冗长描述中提取关键变量关系，建立正确的方程或函数模型。 学科思维切换：习惯于纯数学推理，难以融入实际问题背景进行思考。 4、 备考策略 拓宽知识视野：主动关注科技前沿（如人工智能、航天、碳中和）、经济热点和社会生活，了解相关学科的基本概念和原理。 强化教材链接：深挖教材中“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等栏目，以及例题、习题中的跨学科案例（如苏教版“天体运行数据拟合”题）。 掌握建模通法：系统训练数学建模的步骤，练习将文字、图表信息转化为数学语言（方程、函数、图形）。 专题融合训练：按“数理融合”、“数经融合”、“数信融合”等进行专题训练，总结各类情境常用的数学模型和解题套路。 提升阅读与信息处理：进行“长题干”审题专项训练，练习划关键词、画示意图、列表格整理数据。 夯实数学根基：跨学科问题的内核仍是数学知识。必须扎实掌握函数、导数、数列、向量、概率统计等核心模块的概念、性质和方法。 5、 新高考数学跨学科融合专题模拟题 1. 数学+物理：渡河优化问题（多选题） 一艘船在静水中的速度为 ，河水的流速为 ，且 。河宽为 。设船头指向与垂直河岸方向的夹角为 （指向上游为正），渡河时间为 。下列结论正确的是（　　） A. 无论 如何调整，渡河时间 的最小值为 B. 若要使实际航程最短（即垂直渡河），则需满足 ，此时渡河时间 C. 存在某一夹角 ，使得船的合速度大小等于 D. 当 时，最短航程渡河时间与最短时间渡河时间的比值为 【答案】 ABC 【解析】A：，，故 时取最小值 ，正确。 B：合速度垂直河岸时 ，垂直分速度 ，，正确。 C：合速度平方 ，令 得 ， 存在，正确。 D：，最短航程时间 ，最短时间 ，比值 ，正确。 命题立意：打破“背结论”，要求学生在矢量三角形中分析极值，体现物理建模与代数变形的综合能力。 2. 数学+信息：二进制编码与概率（填空题） 在某种二进制通信协议中，每个数据包由8位二进制数组成。为检测错误，要求每个数据包中“1”的个数必须为偶数。则符合此协议的8位二进制数共有 ______ 个；若随机发送一个符合协议的数据包，则其中恰好有4个“1”的概率为 ______。 【答案】 ； 【解析】 第一空：8位二进制总数 ，奇偶对称，偶数个“1”占一半，即128个。 第二空：恰好4个“1”的组合数为 ，概率 。 命题立意：以通信协议为背景，考查组合计数与古典概型，体现数学在信息技术中的应用。 3. 数学+经济：利润与税收优化（解答题） 某工厂生产一种产品，每日固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加100元。每日销量 （件）与销售单价 （元）满足 ，且日产量等于日销量。 (1) 将每日利润 表示为 的函数，并求利润最大的销售单价及最大利润。 (2) 经济学中“边际利润”指销量增加1件时利润的变化量。求当单价 元时的边际利润，并从数学和经济学角度解释其意义。 (3) 为响应环保，政府拟征收每件 元的环保税。为保证征税后工厂的最大日利润不低于30000元且不高于38000元，求 的取值范围，并给出相应的定价策略建议。 【解析】销量 ，成本 ，收入 。 利润 ，对称轴 ，最大利润 （元）。 (1) 将 表示为 的函数：由 ，得 。 边际利润 。当 时，，。 意义：数学上表示利润函数在 处的瞬时变化率；经济上说明此时再增加1件销量，总利润将减少200元，已超过最优产量。 (2) 征收环保税后，每件成本增加 元，新成本 。 新利润 。 对称轴 ，最大利润 令 得 ，解得 （另一根过大舍去）； 令 得 ，解得 （另一根舍去）。 故 （元）。 定价策略：将单价定为 元，随税率上调适当提价。 （例：取 ，则 ，最大利润 元，符合要求。） 命题立意：第(3)问开放决策，打破唯一答案，考查在约束条件下建立模型并求解参数范围的能力。 4. 数学+物理+几何：费马原理与最短光路（解答题） 根据费马原理，光线传播遵循时间最短路径。光线从点 射出，经 轴反射后，穿过以 为圆心、半径为1的圆（即光线与圆相交或相切）。 (1) 证明：反射点 必在 关于 轴的对称点 与圆 的连线上。 (2) 求反射点 的横坐标的取值范围。 (3) 求光线路径总长度 的最小值（ 为光线在圆上的点）。 【解析】设 为 关于 轴的对称点，则 。由反射定律，入射角等于反射角，结合对称性知 三点共线，即 在 与圆 的连线上。 (1) 问题转化为：过 作直线与圆 相交，求直线与 轴交点 的横坐标范围。 设直线斜率为 ，方程 ，即 。 圆心 到直线距离 。 平方得 ，即 ，解得 （均正）。 由 在直线上得 ，随 增大而减小。 故 因此 。 (2) 路径总长 。 当 为线段 与圆的交点时 最小，即 命题立意：综合对称变换、直线与圆位置关系、函数最值，强化数形结合与代数运算，体现跨章节知识整合。 5. 数学+生物+统计：遗传病概率与二项分布（解答题） 某遗传病由一对等位基因 控制（ 正常， 患病），为常染色体隐性遗传（基因型 患病）。已知人群中等位基因频率 ，，且符合哈代-温伯格平衡。 (1) 求人群中随机一人患病的概率。 (2) 现有一对夫妇，女方患病（），男方表型正常（基因型未知）。他们已生育一个正常孩子，求男方携带致病基因（）的概率。 (3) 若男方携带致病基因的概率记为 ，记他们未来生育的 个孩子中患病人数为 。求 的分布列与数学期望 。 【解析】由哈代-温伯格平衡：，即患病概率为 。 (1) 设事件 ：男方为 ，事件 ：第一个孩子正常。 已知男方正常，则先验概率 ，。 女方为 ，若男方 ，孩子正常概率 ；若男方 ，则 。 由全概率 。 由贝叶斯公式得 。 (2) 男方基因型为 的概率 （由(2)知），为 的概率 。 单个孩子患病概率 。 服从二项分布 ，分布列： 数学期望 。 命题立意：将遗传学情境抽象为条件概率和二项分布模型，考查建模能力与概率计算，体现数学在生命科学中的应用。 核心・高频考点速查 速查01 集合、逻辑、复数、向量 专题1.1 集合与逻辑 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：集合的交、并、补运算，子集、真子集个数，充分必要条件的判断。 b. 中频考点：集合的描述法与列举法，含参集合的关系（如）问题。 c. 命题趋势：常以选择题形式出现，难度较低，属于送分题，与其他知识结合。 1.集合的表示：列举法如 ，描述法如 2.子集个数：含有n个元素的集合有 ______ 个子集，______ 个真子集 3.集合运算律： = ______， = ______（交换律）; 4.德摩根定律：= ______，= ______ 5.集合关系判断： = ______ ⇔ = ______ 6.充分必要条件：且的 ______ 条件; 7.量词命题否定： 8.含参数的集合问题，常利用集合的包含关系（如A⊆B）或运算结果（如）来求参数范围，解决此类问题的关键是：先求出集合的______，再结合数轴或端点值列______（不等式或方程）。 2、 应试小技巧 a. 数轴/Venn图是法宝：处理集合运算、含参范围问题时，画数轴或Venn图可直观、快速解题。 b. “正难则反”：求补集或涉及“至少”、“至多”的命题否定时，可考虑从反面入手。 c. 充要条件判断口诀：“小范围推大范围”是充分不必要；“范围一样”是充要。 3、 极简典例 (1) 已知集合，，则 ______。 (2) 集合的真子集个数是 ______。 (3) 命题“”的否定是 ______。 (4) “”是“”的 ______ 条件。 (5) 已知，，若，则的取值范围是 ______。 (6) 已知全集，集合或，则 ______。 (7) 设集合，，若，则 ______。 (8) 已知，，则是的 ______ 条件。 专题1.1 集合与逻辑 填空答案：2.；;3.；；4.；；5.；；6.充要；充分不必要；7.；；8.范围；关系式 习题答案：1.　2.　3.　4.充分不必要　5.　6.　7.　8.充要 专题1.2 复数 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：复数的四则运算、复数的模与共轭、复数的几何意义（对应点、向量）。 b. 中频考点：复数相等、i的幂的周期性、复平面内的轨迹问题。 c. 命题趋势：每年必考，以选择题或填空题为主，难度小，属于送分题，考查基本概念和运算。 1. 复数代数形式：z = a+bi (a,b∈R)，其中a为___，b为___；b=0时为实数，a=0且b≠0时为纯虚数。 复数相等：a+bi = c+di ⇔ ___且____ 2. 复数的模：|z| = |a+bi| = √(a²+b²)；　　共轭复数：若z = a+bi，则z̄ = a−bi 3. 复数四则运算： 　　(a+bi) ± (c+di) = _________________； 　　(a+bi)(c+di) =__________________； 　　(a+bi)÷(c+di) =____________________________（分母实数化） 4. 模的重要性质：|z|² =___；　|z₁z₂| =____；　|z₁/z₂| = ____（z₂≠0） 5. i的幂的周期性（n∈N）：i⁴ⁿ = ___，　i⁴ⁿ⁺¹ = ___，　i⁴ⁿ⁺² =___，　i⁴ⁿ⁺³ = ____ 6. 复数的几何意义：z = a+bi 对应复平面内的点 Z(____, b)，对应向量 = (a, ____) 7. 复平面内的距离与轨迹： 　　|z₁−z₂| 表示Z₁与Z₂两点间的距离； 　　|z−z₀| = r (r>0) 表示以z₀为圆心、r为半径的圆 2、 应试小技巧 1　 牢记 i² = −1：运算时实部与虚部分开处理，合并同类项。 2　 除法标准化：分子分母同乘分母的共轭复数，化为 a+bi 形式。 3　 几何意义巧解：|z₁−z₂| → 两点间距离；|z−z₀| = r → 以z₀为圆心r为半径的圆。 4　 i的幂周期性：指数除以4看余数，以大化小（如 i²⁰²⁵ = i¹ = i）。 3、 极简习题 8 道，助力公式记忆 1. 若 z = (1+i)/(1−i)，则 z 的虚部为 ______。 2. 复数 z 满足 |z−2i| = 3，则 |z| 的最大值为 ______。 3. 已知 z = 2+3i，则其共轭复数 z̄ = ______，模 |z| = ______。 4. 若复数 z 满足 z(1−i) = 3+i，则 |z| = ______。 5. 复数 z 在复平面内对应的点为 (3, −4)，则 |z| = ______。 6. 若复数 z 满足 z + |z| = 2+8i，且 z 的实部为负数，则 z = ______。 7. 计算：(1+i)⁴ = ______。 8. 在复平面内，满足 |z−1+i| = 2 的复数 z 对应的点构成的图形面积为 ______。 专题1.2 复数 填空答案： 1. 实部；虚部；a=c；b=d 2. ；a−bi 3. (a±c)+(b±d)i；(ac−bd)+(ad+bc)i；[(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²) 4. z̄；|z₁|·|z₂|；|z₁|/|z₂| 5. 1；i；−1；−i 6. a；b 习题答案： 1. 1　　2. 5　　3. 2−3i；√13　　4. √5　　5. 5　　6. −15+8i　　7. −4　　8. 4π 专题1.3 平面向量 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：向量的线性运算（加减、数乘）坐标表示、数量积的计算与几何意义、向量平行与垂直的坐标表示。 b. 中频考点：向量的模、投影向量、三角形的“四心”向量表示。 c. 命题趋势：常与三角函数、解析几何、解三角形结合，考查综合应用能力。 1.向量的线性运算：减法： = ______ 加法：平行四边形法则，三角形法则： = ______; 2.向量坐标运算：设₁₁，₂₂ = ______;λ = ______; 3.向量模长： = ______; 4.数量积：坐标形式 = ______;几何形式 = ______（θ为夹角） 5.向量平行（共线）： ⇔ ______坐标表示：______ 6.向量垂直： ⇔ ______;坐标表示：___________; 7.投影向量：在方向上的投影向量为 ___________; 2、 应试小技巧 a. “爪子定理”（三点共线）：若，且，则三点共线。 b. “极化恒等式”求数量积：，在已知模长和时特别有用。 c. 建系法：遇到规则图形（矩形、菱形、正三角形等），优先建立坐标系，用坐标运算。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知，，若，则 ______。 (2) 已知，，与夹角为，则 ______。 (3) 在中，为中点，则 _____ ______ 。（用, 表示） (4) 已知，，，则 ______。 (5) 向量在方向上的投影向量为 。若，，则投影向量的模为 ______。 (6) 已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ______。 (7) 在中，，且，，则边上的高的长度为 ______。 (8) 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，，则的轨迹一定通过的 ______ 心。 专题1.3 平面向量 填空答案：1.；;2.；;3.; 4.；；5.； 6.；；7. 习题答案：1.　2.　3.；　4.　5.　6.　7.　8.内 专题1.4 不等式 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：基本不等式求最值（“一正二定三相等”）、一元二次不等式的解法。 b. 中频考点：分式不等式、绝对值不等式、不等式性质比较大小。 c. 命题趋势：基本不等式常作为工具出现在函数、解析几何、应用题的最值问题中；单独考查时多为选择题或填空题，难度中等。 1.基本不等式：对于a,b>0，有a+b ≥ ______，当且仅当 ______ 时取等； 2.重要变形：≥ ______≥ ______； ≥ ______（ab>0）； 3.绝对值不等式： ______; ______; ______ 4.糖水不等式（小技巧）：若b>a,m>0,则 ______ 5.解不等式步骤：一元二次不等式先看 ______，再看 ______ 2、 应试小技巧 a. “1”的代换：已知或，求相关最值时，整体乘1再展开。 b. 配凑定值：通过拆项、添项、系数调整，构造出和或积为定值的形式。 c. 连续使用要验证等号：多次使用基本不等式时，确保每次等号成立条件能同时取到。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 若，则 的最小值为 ______，此时 ______。 (2) 已知，且，则 的最小值为 ______。 (3) 不等式的解集是 ______。 (4) 解不等式：。 (5) 若，求的最大值 ______。 (6) 已知，则的最小值为 ______。 (7) 比较大小：若，则 ______ ； ______ 。（填“”、“”或“”） (8) 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ______。 专题1.4 不等式 填空答案：1.；；2.2；；；3.；或；；4.；5.开口方向；判别式 习题答案：1.；　2.　3.　4.　5.　6.　7.；　8. 速查 02 函数与导数 专题2.1 函数概念与性质 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：函数定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用。 b. 中频考点：函数值域求法、函数解析式求法、函数图像识别。 c. 命题趋势：性质综合考查是热点，常与导数、不等式结合，难度中等偏上。 1.函数三要素：______，______，______； 2.定义域求法：分母 ______，偶次根下 ______，对数真数 ______，正切函数 ______ 3.求函数值域常用方法：观察法____、_____、_____、_____、_____ 4.函数解析式求法：待定系数法______、______、______、______ 5.单调性定义：设x₁,x₂∈D，若时，则在D上 ______ 6.奇函数性质： = ___;图像关于 ____ 对称;若在有定义，则= ____; 7.偶函数性质： = ______;图像关于 ______ 对称; 8.周期性：，则T为函数的 ______ 9.对称性： ⇒ 对称轴为 ______ ⇒ 对称中心为 ______ 10.周期性与对称性的关系： 有两条对称轴⇒ 周期T = ______; 有两个对称中心 ⇒ 周期T = ____; 有一条对称轴和一个对称中心 ⇒ 周期T = ______. 2、 应试小技巧 a. “奇函数+C”模型：若，则图像关于点对称。 b. 周期与对称关系：两个对称轴（或中心）可得周期；一个对称轴和一个对称中心也可得周期。 c. 抽象函数赋值法：对于抽象函数等式，常令，为特殊值（如，，）来求值或找规律。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的定义域为 ______。 (2) 若是上的奇函数，当时，，则 ______。 (3) 函数的最小正周期是 ______。 (4) 若，且，则 ______。 (5) 函数的单调递增区间是 ______。 (6) 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 ______。 (7) 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ______。 (8) 已知满足，且，则可能是 ______（填“奇”或“偶”）函数。 专题2.1 函数概念与性质 填空答案：1.定义域；值域；对应关系 2.≠0；≥0；>0；；3.配方法；换元法；判别式法；单调性法；数形结合法 4.换元法；配凑法；方程组法；赋值法5.单调递增；6.；原点；；7.；轴；8.周期;9.；；10.；； 习题答案：1.　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8.偶 专题2.2 基本初等函数 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：指数、对数运算，指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（单调性、定点）。 b. 中频考点：不同函数增长差异、函数图像变换。 c. 命题趋势：常作为比较大小、解方程/不等式的工具出现，也常与导数结合考查复合函数。 1.指数运算：= ______; = ______; = ______ 2.对数运算： = ______;= ______; = ______; 换底公式：= ______ 3.指数函数：定义域：_____，值域：_______ 时，过定点 ____，单调 ____;时，单调 _____ 4.对数函数：定义域：_____，值域：______ 时，过定点 ____，单调 ____;时，单调 ____ 5.幂函数：第一象限内，时图像 ______，时图像 ______ 2、 应试小技巧 a. “同底”原则：解指数、对数方程/不等式时，优先化为同底。 b. “0和1”分界点：比较指数、对数大小时，常用和作为中间值。 c. 图像记忆：牢记三大函数（指数、对数、幂）在第一象限的图像特征，快速判断大小。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 计算： ______。 (2) 函数 (且)恒过定点 ______。 (3) 比较大小： ______ ； ______ 。 (4) 函数的单调递增区间是 ______。 (5) 若幂函数的图像过点，则 ______。 (6) 方程的解为 ______。 (7) 已知，，则 ______（用表示）。 (8) 若函数 (且)在区间上单调递增，则的取值范围是 ______。 专题2.2 基本初等函数 填空答案：1.；；;2.；；；;3.；；；递增；递减；4.；；；递增；递减;5.递增；递减 习题答案：1.　2.　3.；　4.　5.　6.　7.　8. 专题2.3 导数及其应用 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：导数的几何意义（求切线）、利用导数研究函数的单调性、极值与最值。 b. 中频考点：不等式恒成立/能成立问题、零点问题、构造函数证明不等式。 c. 命题趋势：解答题压轴或次压轴，综合性强，难度大。小题考查基础运算和简单应用。 1.基本导数公式：C′ = ______（C为常数）;(xⁿ)′ = ______; (sinx)′ = ______;(cosx)′ = ______;(eˣ)′ = ______; (aˣ)′ = ______;(lnx)′ = ______;(logₐx)′ = ______ 2.导数的四则运算：= ______; = ______; = ______ 3.复合函数求导： = ______; 4.导数的几何意义：表示曲线在点处的 ______; 5.切线方程; 6.单调性判断： ______ ______ 7.极值定义：f(x)在x₀处取得极值 ⇒ f′(x₀) = ______（必要条件） 8.极值充分条件：f′(x₀)=0，且在x₀左右两侧f′(x) ______，则x₀为极值点 9.最值求法：求连续函数在[a,b]上的最值，先求 ___，再求 ____，比较得最值 10.常见构造函数方法：f′(x) > g′(x) ⇒ 构造函数F(x) = ______ f′(x) + f(x) > 0 ⇒ 构造函数F(x) = ______ 11.切线放缩：≥ ______，lnx ≤ ______ 12.同构思想：遇到与lnx时，常用关系：= ______，lnx = ______ 13.隐零点问题：设出零点x₀满足f′(x₀)=0，代入化简时利用 ______ 关系 2、 应试小技巧 a. 切线方程“三步曲”：求导→代点得斜率→点斜式写方程。 b. “列表法”判单调/极值：令，划分区间，列表判断符号。 c. “参变分离”解恒成立：对于恒成立，优先考虑分离参数为，转化为求的最值。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的单调递减区间是 ______。 (2) 曲线在点处的切线方程为 ______。 (3) 函数在区间上的最小值为 ______。 (4) 若函数在上单调递增，则的取值范围是 ______。 (5) 证明：当时，。 (6) 函数的极大值为 ______。 (7) 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ______。 (8) 已知函数，若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ______。 专题2.3 导数及其应用 填空答案：1.；；；；；；；; 2.；；；3.; 4.切线斜率; 5. ; 6.单调递增；单调递减; 7.; 8.符号改变; 9.极值；端点函数值 10.； 11.； 12.； 13.零点 习题答案：1.　2.　3.　4.　5.证明略　6.　7.　8. 速查 03 三角函数与解三角形 专题3.1 三角函数概念与公式 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式。 b. 中频考点：扇形公式、三角恒等变换证明。 c. 命题趋势：公式考查直接且基础，是解决三角大题的第一步。常与解三角形、向量结合。 1.弧度制：π rad = ______°，1 rad ≈ ______° 2.扇形公式：弧长l = ______，面积S = ______ = ______ 3.三角函数定义（单位圆）： P(x,y)为角α终边上一点，OP=r，则sinα = _____;cosα = _____;tanα = _____ 4.同角三角函数关系：sin²α + cos²α = ______tanα = ______ = ______ 5.诱导公式口诀：________________;=____，)=____; 6.和差公式：sin(α±β) = ________________;cos(α±β) = __________________; tan(α±β) = __________________; 7.二倍角公式：sin2α = ___________; cos2α = _________ = __________ = _________;tan2α = ____________ 8.降幂公式：sin²α = ___________;cos²α = ____________ 9.辅助角公式：，其中___，__ 10.万能公式（用t=tan(α/2)表示）： sinα = _____________;cosα = ____________;tanα = _______________; 11.和差化积公式： sin α + sin β = __________________；sin α - sin β = __________________； cos α + cos β = __________________；cos α - cos β = __________________。 12.积化和差公式： sin α cos β = __________________；cos α sin β = __________________； cos α cos β = __________________；sin α sin β = __________________。 2、 应试小技巧 a. “奇变偶不变，符号看象限”：诱导公式口诀，务必熟练。 b. “1”的妙用：，常用来“弦化切”或统一函数名。 c. “降幂扩角”与“缩角升幂”：根据题目需要，灵活运用二倍角公式的变形。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知，，则 ______， ______。 (2) 化简： ______。 (3) 计算： ______。 (4) 函数的最大值为 ______。 (5) 已知，则 ______。 (6) 已知，，则 ______。 (7) 求值： ______。 (8) 化简： ______。 专题3.1 三角函数概念与公式 填空答案：1.； 2.；； 3.；； 4.； 5.奇变偶不变，符号看象限；；；6.；； 7.；；；； 8.； 9.； 10.；； 11.；；； 12.；；； 习题答案：1.；　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 专题3.2 三角函数的图像与性质 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：的图像变换、周期性、单调性、对称性、最值。 b. 中频考点：根据图像求解析式、三角函数模型简单应用。 c. 命题趋势：选择题或填空题考查图像性质；解答题中常作为载体考查综合问题。 1.正弦函数y=Asin(ωx+φ)： 振幅____，周期_____，频率_____，相位_____，初相______; 五点作图法关键点：____，____，____，____，______; 2.图像变换：y=sinx → y=sin(x+φ) 向 ______ 平移φ个单位 （φ>0向__，φ<0向__） y=sinx → y=sinωx 横坐标变为原来的 ______; y=sinx → y=Asinx 纵坐标变为原来的 ______ 3.单调区间：y=sinx的增区间：__________，减区间：____________ y=cosx的增区间：__________，减区间：____________ 4.对称性：y=sinx的对称轴：_____，对称中心：_______; y=cosx的对称轴：______，对称中心：_____; 2、 应试小技巧 a. 图像变换“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”：注意对平移量的影响，口诀“提，除”。 b. “五点法”草图：快速画出草图，帮助分析性质。 c. 整体代换：将视为整体，利用的性质求解。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的最小正周期 ______。 (2) 将图像向左平移单位，所得图像的函数解析式为 ______。 (3) 函数的对称轴方程是 ______。 (4) 函数在区间上的最大值是 ______，最小值是 ______。 (5) 已知函数()部分图像显示振幅，周期，过点，则 ______。 (6) 函数的单调递增区间为 ______。 (7) 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得图像的函数解析式为 ______。 (8) 已知函数()的部分图像如图所示，则 ______， ______。 专题3.2 三角函数图像与性质 填空答案：1.；；；；；；；；； 2.左；左；右；；倍；3.；；；；4.；；； 习题答案：1.　2.　3.　4.；　5.　6.　7.　8.， 专题3.3 解三角形 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用。 b. 中频考点：判断三角形形状、解三角形的实际应用、与三角恒等变换结合。 c. 命题趋势：解答题常考，难度中等。考查正余弦定理的灵活选用和边角互化能力。 1.正弦定理：______ = ______ = ______ = 2R（R为外接圆半径） 2.余弦定理：a² = __________________;cosA = _________________ 3.三角形面积公式：S = ______（最常用）；S = ______（海伦公式） S = ______（用外接圆半径） 4.解三角形常见题型：已知两角和一边用 __________;已知两边和夹角用 _________;已知三边求角用 _________;已知两边和其中一边的对角可能 _________; 5.三角形内角和：______，______ 6.射影定理：______ 2、 应试小技巧 a. “边化角”或“角化边”：根据题目条件（齐次、有平方等）选择转化方向，统一为边或角。 b. “大边对大角”：已知两边及一边对角求角时，注意解的个数判断。 c. 面积公式多选一：最常用；海伦公式用于已知三边；用于已知外接圆半径。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 在中，，则 ______。 (2) 在中，，则 ______。 (3) 在中，，则最大角为 ______ 度。 (4) 在中，若，则是 ______ 三角形。 (5) 在中，，则的面积 ______。 (6) 在中，若，则的形状是 ______。 (7) 在中，角所对的边分别为，已知，，，则满足条件的三角形有 ______ 个。 (8) 在中，若，则 ______。 专题3.3 解三角形 填空答案：1.；； 2.； 3.；； 4.正弦定理；余弦定理；余弦定理；一解/两解/无解 5.； 6. 习题答案：1.　2.　3.　4.直角　5.　6.等腰或直角三角形　7.　8. 速查 04 数列 专题4.1 等差数列 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：等差数列的通项公式、前项和公式、等差中项、性质（下标和相等则项和相等）。 b. 中频考点：等差数列的判定、的最值问题。 c. 命题趋势：选择题、填空题或解答题（与等比数列综合），考查基本公式和性质的应用。 1.等差数列定义：= ______（常数）; 2.通项公式：= ______（用首项和公差）= ______（用任意项和公差） 3.等差中项：若a,b,c成等差数列，则b = ______ 4.前n项和公式：= ______（用首项和末项） ______（用首项和公差） = ______（用中间项，n为奇数时） 5.性质：若，则= ______;成 ______ 6.判定方法：数列是等差数列 ⇔= ______（关于n的一次函数）⇔ Sₙ = ______（关于n的二次函数，无常数项） 2、 应试小技巧 (1) “知三求二”：等差数列五个量，知道任意三个可求另外两个。 (2) “片段和成等差”：成等差数列。 a. 最值问题：首项，公差时，有最大值；利用且求。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (3) 等差数列中，，则 ______， ______。 (4) 等差数列中，，则 ______。 (5) 已知数列前项和，则 ______。 (6) 在等差数列中，，，则 ______。 (7) 等差数列中，，且，则使最大的 ______。 (8) 在等差数列中，若，则 ______。 (9) 已知数列满足，，则数列是 ______ 数列，通项 ______。 (10) 两个等差数列的前项和分别为和，若，则 ______。 专题4.1 等差数列 填空答案：1. 2.； 3. 4.；；中间；5.；等差数列 6.； 习题答案：3.；　4.　5.　6.　7.　8.　9.等差；　10. 专题4.2 等比数列 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：等比数列的通项公式、前项和公式（注意）、等比中项、性质（下标和相等则项积相等）。 b. 中频考点：等比数列的判定、无穷等比数列求和。 c. 命题趋势：常与等差数列结合考查，注意公比的讨论。 1.等比数列定义：aₙ₊₁ / aₙ = ____（常数，q≠0）通项公式：aₙ = _____ = ______ 2.等比中项：若a,b,c成等比数列，则 = ______（ac>0） 3.前n项和公式：q=1时，Sₙ = ______ ; q≠1时，Sₙ = ______ = ______ 4.性质：若m+n=p+q，则aₘ·aₙ = ______;Sₙ, S₂ₙ-Sₙ, S₃ₙ-S₂ₙ成 ______（q≠-1时） 5.判定方法：数列{aₙ}是等比数列 ⇔ aₙ = ______（指数型）⇔ Sₙ = ______（q≠1时） 2、 应试小技巧 a. “知三求二”：等比数列五个量，知道任意三个可求另外两个（注意）。 b. “片段和成等比”：当时，成等比数列。 c. “巧用性质”：若，则。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 等比数列中，，则 ______， ______。 (2) 等比数列中，，则 ______。 (3) 已知数列满足，且，则是 ______ 数列，通项 ______。 (4) 求和： ______。 (5) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数之积为 ______。 (6) 已知等比数列的前项和为，且，，则公比 ______。 (7) 在等比数列中，若，，则 ______。 (8) 求和：个 ______。 专题4.2 等比数列 填空答案：1.；； 2. 3.；； 4.；等比数列 5.； 习题答案：1.；　2.　3.等比；　4.　5.　6.　7.　8. 专题4.3 数列通项与求和 1、 考点考频提示 a. 高频考点：已知Sn求aₙ、累加/累乘法求通项、裂项相消法求和、错位相减法求和。 b. 中频考点：构造法求通项（如aₙ₊₁=paₙ+q）、分组求和、并项求和。 c. 命题趋势：解答题常见，错位相减和裂项相消是求和的重点和难点。 1.aₙ与Sₙ关系：aₙ = ______（n≥2），特别注意n=1时 ______ 2.递推数列常见类型： 用 ______ 法; 用 ______ 法; 用 ______ 法 3.数列求和方法：等差数列、等比数列用 ______;分式型用 ______; 通项含用 ______;通项为等差×等比用 ______; 2、 应试小技巧 a. “Sn法求aₙ”：切记验证n=1。 b. “裂项相消”：关键是把通项裂成“前后可抵消”的形式，如1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)。 c. “错位相减”步骤化：写Sn → 乘公比 → 错位相减 → 化简整理。注意最后一项符号和指数。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知数列前n项和Sn=2n²-n，则= ______。 (2) 数列{}满足=1，=+2n，则= ______。 (3) 求和：1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/[n(n+1)] = ______。 (4) 数列通项=n·2ⁿ，求其前n项和Sn。 (5) 数列满足=3+2，=1，求。 (6) 数列满足=1，=2+3ⁿ，求。 (7) 求和：1²+2²+3²+…+n² = ______。 (8) 求和：1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n(n+1) = ______。 专题4.3 数列通项与求和 填空答案：1.；单独验证 2.累加；累乘；构造 3.公式法；裂项相消；并项求和；错位相减 习题答案：1.　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 速查 05 立体几何 专题5.1 空间几何体 1、 考点考频提示 a. 高频考点：柱、锥、台、球的体积和表面积公式。 b. 中频考点：组合体的体积与表面积、几何体的外接球与内切球问题。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查公式记忆和简单应用。外接球问题是难点。 1.柱体（棱柱、圆柱）体积：V = ______ 2.锥体（棱锥、圆锥）体积：V = ______ 3.台体（棱台、圆台）体积：V = ______ 4.球体体积：V = ______，表面积：S = ______ 5.正四面体（棱长为a）：高h = ______;体积V = ______;外接球半径R = ______;内切球半径r = ______ 6.长方体（长宽高为a,b,c）：体对角线长l = ______;外接球半径R = ______ 2、 应试小技巧 a. “公式记牢”：体积：柱体V=Sh，锥体V=⅓Sh，球V=4/3πR³；表面积：球S=4πR²。 b. “补形法”求外接球：将几何体补成长方体或正方体，利用其体对角线为外接球直径。 c. “等体积法”求点面距：，变换顶点求高（距离）。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 棱长为a的正方体的体积为 ______，表面积为 ______。 (2) 底面半径为r，高为h的圆锥体积V= ______。 (3) 若球的体积为36π，则其半径R= ______。 (4) 正四面体的棱长为a，则其体积为 ______。 (5) 长方体的长、宽、高分别为3, 4, 5，则其外接球的表面积是 ______。 (6) 圆柱的底面半径和高相等，若其侧面积为S，则它的体积是 ______。 (7) 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为2，则该球的体积为 ______。 (8) 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为3的扇形，则该圆锥的体积为 ______。 专题5.1 空间几何体 填空答案：1.　2.　3.上下上下　4.； 5.；；； 6.； 习题答案：1.；　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 专题5.2 空间位置关系 1、 考点考频提示 a. 高频考点：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理。 b. 中频考点：空间位置关系的综合证明、探索性问题。 c. 命题趋势：解答题第一问常考位置关系证明，属于基础题，务必规范书写。 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行; 符号语言：______ ⇒ 2.线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与原平面交线与该直线平行; 符号语言：______ ⇒ a∥b 3.面面平行判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行; 符号语言：______ ⇒ α∥β线 4.面垂直判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直; 符号语言：______ ⇒ l⊥α 5.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行;符号语言：______ ⇒ a∥b 2、 应试小技巧 a. “一作二证三求”：立体几何解答题通用步骤。 b. “线线平行→线面平行”：常在平面内找一条与已知直线平行的线。 c. “线线垂直→线面垂直”：需在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 垂直于同一条直线的两个平面 ______。 (2) 若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 ______。 (3) 若平面α⊥平面β，α∩β=l，直线a⊂α，a⊥l，则a与β的位置关系是 ______。 (4) 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BC₁D。 (5) 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是 ______。 (6) 若直线l⊥平面α，直线m⊂平面α，则“l⊥m”是“m∥α”的 ______ 条件。 (7) 在空间四边形ABCD中，E, F分别是AB, AD的中点，则EF与平面BCD的位置关系是 ______。 (8) 已知m, n是两条不同直线，α, β是两个不同平面。给出下列命题：①若m∥α, n∥α，则m∥n；②若m⊥α, n⊥α，则m∥n；③若m∥α, m∥β，则α∥β；④若m⊥α, m⊥β，则α∥β。其中正确命题的序号是 ______。 专题5.2 空间位置关系 填空答案：1. 2. 3. 4.；5. 习题答案：1.平行　2.平行或异面　3.垂直　4.证明略　5.平行　6.充分不必要　7.平行　8.②④ 专题5.3 空间向量与空间角 1、 考点考频提示 a. 高频考点：空间向量的坐标运算、利用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角。 b. 中频考点：利用向量法证明平行垂直、求点到平面的距离。 c. 命题趋势：解答题第二问常用向量法解决空间角问题，计算是关键。 1.空间直角坐标系中,向量，则=___________ 2.，，则 = ______ 3.异面直线所成角：cosθ = ____________（θ∈(0,π/2]） 4.线面角θ：设直线方向向量为，平面法向量为，则sinθ = __________（θ∈[0,π/2]）； 5.二面角的夹角θ：设两平面法向量为，，则cosθ = ______（θ与法向量夹角相等或互补）； 6.点到平面距离：设点P，平面α内一点A，平面法向量为，则d = ____________; 7.空间向量建系原则：尽量使更多点在坐标轴上，或利用______关系建系; 2、 应试小技巧 a. “建系要合理”：尽量让更多的点落在坐标轴或坐标平面上。 b. “法向量是关键”：求平面法向量时，设n=(x,y,z)，利用n·AB=0，n·AC=0，赋值求解。 c. “角公式记清楚”：线面角正弦=cos<m, n>；二面角余弦=±cos<n₁, n₂>（需判断锐钝）。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知a=(1,0,1)，b=(2, -1, 0)，则a·b = ______。 (2) 直线方向向量m=(1,2,3)，平面法向量n=(2, -1, 1)，则直线与平面所成角的正弦值为 ______。 (3) 点P(1,2,3)到平面2x-y+z-5=0的距离d= ______。 (4) 已知平面α过点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)，求其一个法向量n。 (5) 在正方体中，以D为原点建系，求异面直线与所成角的余弦值。 (6) 已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k= ______。 (7) 已知平面α的一个法向量，点P(-1, 2, 0)在平面α内，则点Q(1, 0, )到平面α的距离为 ______。 (8) 在直三棱柱中，∠BCA=90°，M, N分别是, 的中点，BC=CA=，则BM与AN所成角的余弦值为 ______。 专题5.3 空间向量与空间角 填空答案：1.　2. 3.　4.　5. 6.　7.垂直 习题答案：1.　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 速查 06 直线与圆、圆锥曲线 专题6.1 直线与圆 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：直线方程形式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线方程。 b. 中频考点：对称问题、弦长问题、圆与圆的位置关系。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查基础知识和基本计算能力。 1.直线倾斜角α∈ ______，斜率k = ______（α≠90°） 2.直线方程形式： 点斜式：__________（不能表示垂直于x轴的直线）; 斜截式：______（不能表示垂直于x轴的直线） 1. 两点式：__________（不能表示垂直于坐标轴的直线）; 1. 截距式：__________（不能表示过原点或垂直于坐标轴的直线） 1. 一般式：____________（A,B不同时为0）距离公式： 3.两点间距离：P₁P₂ = ___________;点到直线距离：d = _____________; 1. 两平行线距离：d = ____________; 4.对称问题：点P(x₀,y₀)关于直线Ax+By+C=0的对称点P′坐标求法：利用_______________________关系; 5.圆的方程：标准式：_______________，圆心_______，半径______ 1. 一般式：_________________（需满足_________） 6.直线与圆位置关系判断：几何法：比较______与______; 1. 代数法：联立方程，看Δ______ 7.圆的切线方程：过圆上一点P(x₀,y₀)的切线：_____________对于x²+y²=r²，切线为___________ 8.过圆外一点P(x₀,y₀)的切线：设斜率k，用__________=r; 2、 应试小技巧 a. “距离公式”：点到直线距离、两平行线距离公式要记准。 b. “相切”：处理切线、弦长问题时，圆心到直线的距离是核心桥梁。 c. “圆的切线公式”：过圆上一点的切线为。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 过点且斜率为的直线方程为 ______。 (2) 圆心为，半径为的圆的标准方程为 ______。 (3) 直线与圆的位置关系是 ______。 (4) 圆上的点到直线的最大距离是 ______。 (5) 求过点且与圆相切的直线方程。 (6) 已知圆：，则圆心坐标为 ______，半径为 ______。 (7) 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ______。 (8) 圆与圆的位置关系是 ______。 专题6.1 直线与圆 填空答案：1.； 2.；；；；；3.；； 4.垂直平分；5.；；；；；6.；； 7.； 8. 习题答案：1.　2.　3.相切　4.　5.　6.；　7.　8.相交 专题6.2 圆锥曲线 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质（离心率、渐近线等）。 b. 中频考点：直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点弦）、焦点三角形。 c. 命题趋势：小题考查定义与性质；解答题综合性强，常考轨迹方程、定点定值、范围最值问题。 1.椭圆定义：到两定点F₁,F₂的距离之和等于常数（大于F₁F₂）的点的轨迹椭圆标准方程（焦点在x轴）：，其中a>b>0，c²=_____; 椭圆几何性质：范围：______;顶点：_______________ ; 离心率：e = ______ ∈ (0,1)，e越小，椭圆越______. 2.双曲线定义：到两定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于F₁F₂）的点的轨迹双曲线标准方程（焦点在x轴）：_______，其中a>0,b>0，c²=______; 双曲线几何性质：范围：______;顶点：____________;渐近线：________; 离心率：e = ______ > 1，e越大，开口越______； 双曲线焦点到渐近线距离 d=______ 3.抛物线定义：到定点F的距离与到定直线l（F∉l）的距离相等的点的轨迹抛物线标准方程（开口向右）：______，焦点_____，准线______； 抛物线焦点弦性质：以焦点弦为直径的圆与准线______； 焦点弦长AB = ______；______，______ 4.圆锥曲线的统一定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹e=1时为______，e>1时为______，0<e<1时为______ 5.弦长公式：AB = _________ = _________（k为斜率） 6.中点弦问题：椭圆：kop·kAB = ______;双曲线：kop·kAB = ______; 1. 抛物线：kAB = ______ 7.焦点三角形面积（椭圆）：S = ______ 2、 应试小技巧 a. “定义优先”：涉及焦半径、焦点弦时，优先考虑圆锥曲线定义。 b. “设而不求，韦达定理”：解答题中处理直线与圆锥曲线联立问题的核心方法。 c. “弦长公式”： 或 。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 椭圆的焦点坐标为 ______，离心率 ______。 (2) 双曲线的渐近线方程为 ______。 (3) 抛物线的焦点到准线的距离为 ______。 (4) 过椭圆内一点且被平分的弦所在直线方程为 ______。 (5) 已知双曲线离心率为，一个焦点为，则其标准方程可为 ______。 (6) 已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，则 ______。 (7) 椭圆 ()的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ______。 (8) 已知双曲线 ()的一条渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为 ______。 专题6.2 圆锥曲线 填空答案：1.；；；；圆 2.；；；；；；大； 3.；；；相切；；； 4.抛物线；双曲线；椭圆 5.； 6.；； 7. 习题答案：1.；　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 速查 07 计数原理、概率、统计 专题7.1 计数原理与概率 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：分类加法、分步乘法原理，排列组合数计算，古典概型，二项式定理通项。 b. 中频考点：排列组合应用题（捆绑、插空、隔板等），条件概率，二项分布。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查基本原理的应用和计算。 1.分类加法原理：完成一件事有n类不同方案，每类有mᵢ种方法，则共有______种方法 2.分步乘法原理：完成一件事需要n个步骤，每步有mᵢ种方法，则共有______种方法 3.排列数公式：Aₙᵐ = ______ = ______（n,m∈N*，m≤n） 4.组合数公式：Cₙᵐ = ______ = ______ = ______ 5.组合数性质：Cₙᵐ = ______（对称性）;Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹ = ______（递推公式） 6.二项式定理：(a+b)ⁿ = ___________________; 7.二项展开式通项：Tₖ₊₁ = ______（k=0,1,...,n） 8.古典概型：P(A) = ______（m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件总数） 9.条件概率：P(BA) = ______;相互独立事件：P(AB) = ______ 10.n次独立重复试验（伯努利试验）：事件A发生k次的概率Pₙ(k) = ______ 11.全概率公式：若事件, , …,构成一个完备事件组，且P(Bi)>0，则对任一事件A，有 P(A) = ________________________。 12.贝叶斯公式（选学）：在全概率公式的条件下，有 = __________________。 2、 应试小技巧 a. “先选后排”：处理排列组合混合问题。 b. “正难则反”：当正面情况复杂时，考虑总情况数减去反面情况数。 c. “赋值法”求系数和：二项展开式中，令可得所有项系数和。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 从名男生、名女生中选人，要求至少有名女生，有 ______ 种选法。 (2) 的展开式中，项的系数是 ______。 (3) 掷两枚均匀骰子，点数之和为的概率是 ______。 (4) 已知，则 ______。 (5) 某射手命中率为，独立射击次，恰好命中次的概率是 ______。 (6) 将本不同的书分给个人，每人至少本，不同的分法有 ______ 种。 (7) 在的展开式中，常数项是 ______。 (8) 甲、乙、丙、丁、戊人站成一排，要求甲、乙相邻，丙、丁不相邻，不同的排法有 ______ 种。 专题7.1 计数原理与概率 填空答案：1.　2. 3.； 4.；； 5.； 6.　7. 8.　9.； 10. 11.　12. 习题答案：1.　2.　3.　4.　5.　6.　7.　8. 专题7.2 随机变量与统计 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：离散型随机变量的分布列、期望与方差，正态分布的原则，线性回归方程。 b. 中频考点：二项分布、超几何分布的应用，独立性检验。 c. 命题趋势：解答题常考，考查数据处理和实际应用能力。需规范书写步骤。 1.离散型随机变量分布列性质： 1. pᵢ ______ 0（i=1,2,...）;p₁+p₂+... = ______;数学期望（均值）：E(X) = ______; 1. 方差：D(X) = ______ = ______;标准差：σ(X) = ______ 1. 期望性质：E(aX+b) = ______;E(X+Y) = ______ 方差性质：D(aX+b) = ______;若X,Y独立，则D(X+Y) = ______ 2.二项分布：X~B(n,p)，则E(X) = ______;D(X) = ______ 3.超几何分布：从M件产品（含K件次品）中任取n件，其中次品数X的分布列：P(X=k) = ______（k=0,1,...,min{K,n}） 4.正态分布：X~N(μ,σ²)，概率密度函数曲线特点：关于______对称;最高点在______; 5.P(μ-σ<X<μ+σ) ≈ ______;P(μ-2σ<X<μ+2σ) ≈ ______; P(μ-3σ<X<μ+3σ) ≈ ______ 6.线性回归方程：，其中=________; = ______ 7.相关系数r：r ≤ 1，r越接近1，线性相关程度越______ 2、 应试小技巧 a. “分布列完整性”：检查所有概率之和是否为。 b. “公式法求期望方差”：，。 c. “回归直线过样本中心”：一定在回归直线上。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 随机变量分布列为 ()，则 ______， ______。 (2) 若，则 ______， ______。 (3) 已知，且，则 ______。 (4) 一组数据，算得，回归方程，则 ______。 (5) 期望 _____（用表示）,方差 _____（用表示） (6) 一个袋子中有个红球，个白球，从中不放回地取次，每次取球，设为取到的红球个数，则 ______。 (7) 已知随机变量服从正态分布，且，则 ______。 (8) 根据下表数据，求得关于的线性回归方程为，则 ______。 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 专题7.2 随机变量与统计 填空答案：.≥；1；；；；；；；； 2.； 3. 4.； 5.；；；6.； 7.强 习题答案：1.；　2.；　3.　4.　5.；　6.　7.　8. 速查 08 思想方法与应试策略 专题8.1 数学思想方法 1.函数与方程思想：将问题转化为______或______求解 2.数形结合思想：研究函数时考虑其______，研究几何时建立______ 3.分类讨论思想：分类标准要______，做到______ 4.转化与化归思想：将复杂问题转化为______问题 5.特殊与一般思想：从特殊情况发现规律推广到一般，常用______法 6.极限思想：分析变化趋势，常用在比较大小和求取值范围时 7.建模思想：实际问题→数学模型→求解 专题8.1 数学思想 1.函数；方程　2.图像；坐标系　3.明确；不重不漏　4.简单　5.赋值 专题8.2 应试策略 1.选择题解题策略：直接法，______,______,______,验证法 2.多选题保守策略：不确定时填空题解题策略：直接法，______ 3..解答题规范：三角函数：先______，再______，注意______ 4..立体几何：一作二证三______ 5.概率统计：设事件、列分布、求期望、作______ 6..解析几何：解析几何中“设而不求，整体代换”的通用步骤：①设点、设线；②______；③写出判别式（确保相交）；④应用______定理；⑤将目标几何条件（如垂直、共线、面积）翻译为关于______的代数式；⑥整体代入化简求值。 7..函数导数：求导、_______、列表、得结论 8.时间分配建议（以120分钟为例）： 1. 选择题：______分钟;填空题：______分钟; 解答题：______分钟;检查：______分钟 1、 考点考频提示 这些专题是对前面所有知识的升华和策略总结，贯穿于整个解题过程。高考命题无时无刻不在考查这些思想方法和策略的应用能力。 2、 应试小技巧 a. “小题小做”：选择题多用特值法、排除法、数形结合法，避免“小题大做”。 b. “规范大题”：解答题步骤清晰，推理严谨，计算准确，做到“会做的题不丢分”。 c. “时间管理”：遵循“先易后难”原则，合理分配时间，保证基础题和中档题的得分率。 d. “检查策略”：重点检查计算过程、公式使用、答题卡填涂等易错点。 3、 极简习题8道，助力公式记忆（综合应用） (1) （函数方程思想）已知满足，求的解析式。 (2) （数形结合）方程有四个不同实根，求实数的取值范围。 (3) （分类讨论）解关于的不等式：。 (4) （转化化归）求函数的值域。 (5) （特殊一般）观察下列等式：, , , …，猜想第个等式，并证明。 (6) （整体思想）已知，则 ______。 (7) （构造模型）在半径为的球内作一个内接圆柱，求该圆柱侧面积的最大值。 (8) （优化策略）考试中遇到一道毫无思路的压轴题，合理的应对策略是：______。（从“死磕到底”、“暂时跳过，做完其他题再回头”、“直接放弃”中选择） 祝您高考顺利，金榜题名！ 专题8.2 应试策略 1.排除法；特殊值法；数形结合法　2.慎选 3.化简；求值；角范围　4.求　5.判断 6.联立；韦达；参数　7.求零点 8.40；15；55；10 综合习题答案 1.　2.　3.分类讨论略　4. 5.　6.　7. 8.暂时跳过，做完其他题再回头 技法・得分加速器 01 高考倒计时30天，精准发力稳提分指南 高考倒计时30天，复习进入尾声，多数学校会将主要时间分配给考试、讲解，剩余时间以自习和答疑为主。此前在一轮、二轮复习中承受巨大压力的你，曾期盼自主学习的时刻，可真正拥有这份自由时，却难免陷入迷茫。本文将从“心态”“学习”“复习”三个核心维度，结合“细心答题防失误”的关键要点，帮你理清最后阶段的发力方向——无需追求惊天逆袭，只要精准发力、杜绝失误，就能积累相对优势，稳稳扛住最后压力，发挥出自己的最佳水平。 1、 心态调整：摒除内耗，稳住节奏 1. 破除“逆袭幻想”，拒绝投机取巧 高考是一场公平的选拔，不存在“短时间内快速提分”的捷径——若真有这样的途径，对不知情的考生而言便是不公，四十余年的高考体系绝不会允许这种情况存在。这不是浇冷水，而是最真实的现实。 最后30天，核心任务是回顾、补充、巩固过去300多天的学习成果，而非妄想“一夜建成高楼”。这个阶段能实现“锦上添花”，却很难做到“雪中送炭”。市场上那些声称“一个月保证提××分”“逆袭冲刺”的课程和资料，务必警惕：它们所举的案例，往往是成千上万考生中万里挑一的个例，其成绩提升的核心的是考生自身的努力，而非课程本身。 铭记“公平性”三个字，稳扎稳打完成手头任务，不贪捷径、不抱过高期望，才能保持清醒的自我认知——这是顺利走完最后冲刺路的最坚实基础，也能帮你避开弯路、节省不必要的时间和开支。 2. 破除“定型焦虑”，坚持终有回响 高考前夕，难免会听到“最后这点时间也改变不了啥”的声音，这话对想最后冲一把的中间段考生来说，无疑是一盆冷水。但请记住，高考本就有运气成分，我们拼命努力，不是为了保证提多少分，而是为了抓住每一点可能的进步——哪怕只是几分，考场上也可能成为“救命稻草”。 从时间本质来说，全力以赴的30天，和最初的30天、中间的300天没有区别。你能在复习初期相信自己能进步，为何要在最后阶段听天由命？有些进步或许无法立即察觉，但不代表没有发生；既然有临考逆袭的案例，就说明进步的可能一直存在——你未必能成为下一个逆袭者，但不能放弃相信自己。 抛开“努力无用，成绩定型”的杂念，该努力就全力以赴，哪怕只剩30天，也要守住“我不甘心”的韧劲。这30天里，你或许能发掘自己从未注意到的潜能，每一次努力都是积累，终会在考场上转化为不可预知的力量。外界的声音再嘈杂，你的坚持和努力，才是最能依靠的底气。 2、 学习策略：精准发力，拒绝盲目 自主学习的时间来之不易，若缺乏规划，要么陷入盲目刷题的内耗，要么彻底放松、浪费光阴。想在最后阶段超越他人，关键是制定合理计划，让每一分钟都发挥最大价值，避开误区、找对方法。 （1） 避开两大复习误区 误区一：缺乏计划性，陷入“无效忙碌”。很多考生信奉“题海战术”，埋头刷题、纠错，却陷入“擅长的科目越做越多，薄弱科目能拖就拖”的困境；有时一道薄弱科目的难题，会耗费半天时间，挤压其他科目的复习时间。每天看似忙碌，实则缺乏针对性，收获甚微，只能用“完成的试卷数量”自我安慰，第二天依旧重复低效循环。 误区二：追求“全面覆盖”，结果“样样抓不住”。不愿放弃任何一科、任何一个知识点，试图平均分配时间，可时间有限，最终只会手忙脚乱、顾此失彼。擅长的科目只剩难题需攻克，耗时久；薄弱科目漏洞多，也需大量时间弥补，这种“全面覆盖”本质上是低效内耗。 最后30天，“目标不明确”就是最大的浪费。与其盲目忙碌，不如聚焦重点——选择1-2个提分空间大的科目深度攻克，优先发力能快速提分的板块，定期评估复习效果、调整计划，才能实现质的突破。 （2） 精准提分7步法，每一步都有实效 二轮复习结束后，复习核心应从“全面复习”转向“带问题单点突破”——带着明确的问题去复习，才能避免时间浪费，提升效率。核心原则有两个：一是“学科融合思维”（把各科看作总分750分的一部分，不局限于单一科目）；二是“先提最容易提的分”（优先攻克基础题、中档题，提分效率最高）。 结合这两个原则，分享一套可直接落地的“单点突破7步法”，每一步都围绕“解决具体问题、提升分数”展开： 1. 跨学科评估提分空间：回顾过往考试，评估自己在750分总分中，哪个学科、哪个板块的提分空间最大（哪怕只有5分，只要能稳定抓住，就是胜利），聚焦这个“5分目标”，不贪多、不分散精力。 2. 锁定目标题型：明确这5分对应的具体题型（比如数学解三角形的余弦定理应用、语文古诗文默写、英语完形填空的固定搭配），精准定位，不盲目刷题。 3. 分析知识要点：拆解该题型涉及的知识点、考查重点、易错点，理清“为什么会丢分”“需要掌握哪些内容才能得分”，做到心中有数。 4. 系统复盘资料：按照“教材→一轮复习笔记→课堂错题→过往试卷”的顺序，针对性复习，重点弥补知识点漏洞，不做无关内容的无用功。 5. 独立解题验证：尝试独立完成该题型，若仍无法解答，返回步骤3、4重新复盘，直至能独立写出解题过程、得出正确答案。 6. 同类题强化训练：从真题、模拟题中挑选5-10道同类题练习，完成后认真订正，重点关注“同类错误是否重复出现”，及时查漏补缺。 7. 总结解题规律：梳理该题型的解题思路、方法、切入点和易错点，对比不同题目之间的异同，总结出可复用的解题技巧，确保下次遇到同类题，能快速上手、不丢分。 这套方法的核心的是“自信积累”——每完成一个完整流程，都要达到“再次遇到这类题，我一定能解决”的底气。若没有这种自信，就增加同类题练习量，反复打磨，直到彻底掌握。试想，每2小时攻克一个5分知识点，每天高效学习14小时，就能积累35分的提升空间，哪怕只有一半能在高考中体现，也是实实在在的进步。 最后阶段，“复习的主人”是你自己：需要看课本就看，需要做试卷就做，需要请教就请教，不盲目跟风、不机械重复，才能最大化利用所有复习资料，实现精准提分。 3、 复习策略：高效复盘，稳抓基础 最后30天，复习的核心不是“学新”，而是“固旧”——把过往的知识、做过的题目吃透，把基础分稳稳抓住，比盲目刷新题、攻难题更有价值。以下4个策略，帮你高效复盘、精准发力。 （1） 看旧不看新：精研旧题，唤醒记忆 建议不再分散精力刷大量新题，而是专注于已经做过、订正过、总结过的题目。高三300多天，你已经积累了上千道习题，额外几十道新题对整体提升的帮助有限，反而会占用宝贵的复盘时间。 把刷新题的时间，用来复习旧题：唤醒遗忘的知识点，加深对已掌握内容的理解，查漏补缺，避免“做过的题再错”——从效率来看，这才是最后阶段最明智的选择。 （2） 看易不看难：立足基础，拒绝内耗 准确评估自己的实际水平，把时间花在“自己能抓住的分数”上，不盲目钻研难题。比如数学成绩100分左右的考生，最后阶段不必过度纠结圆锥曲线、导数等难题，重点放在确保前100分的基础题、中档题不丢分，再努力攻克100-120分之间的题目，最终能稳定在110分左右，就是成功。 放弃不是崩溃，而是智慧——主动放弃超出自己能力范围的难题，把时间和精力聚焦在能提分的板块，才能实现“投入产出比”最大化，避免因钻牛角尖而浪费时间、打击心态。 （3） 分类处理题目：分级复盘，精准高效 把过往的习题分为三个等级，针对性处理，大幅提升复习效率： 1. 完全掌握且解题流畅：这类题目无需花费大量时间，快速浏览一遍，若解题思路清晰、关键公式牢记，能直接得出答案，就果断跳过，把时间留给薄弱题目。 2. 基本掌握但解题不熟练：这是最后冲刺的“提分关键”——你有能力得分，但可能因熟练度不足，在考场上失误丢分。应对方法：先正常完成一遍，有问题及时请教、订正；梳理解题思路和流程后，独立完成第二遍；反复练习，直至解题时间缩短至最初的一半，确保考场上能快速、准确完成。 3. 完全未掌握：这类题目需分情况处理：① 难度适中但知识点漏洞：用“单点突破7步法”针对性攻克；② 难度过大：参考“2倍时间法则”——评估该题在考场上的合理用时，乘以2，若复习时在这个时间内仍无思路，就理性放弃，避免浪费时间；若有大致思路，可请教老师后，再按方法复盘。 （4） 集中解答疑问：批量请教，节省时间 最后阶段，老师会在办公室随时答疑，务必充分利用这个机会，但要避免“碎片化提问”——一遇到问题就去请教，可能面临老师不在、排队等待的情况，往返奔波会浪费大量时间。 正确做法：遇到问题先独立思考，理清“自己到底卡在哪里”，而不是只说“这题我不会”；将疑问记录下来，积累到5个左右，选择老师不忙的时间段集中请教。这样既能提高答疑效率，也能让老师更有针对性地讲解，同时也是对知识点的再次梳理。 小提示：老师不是“解题机器”，遇到需要思考的问题，可把题目留给老师，告知老师后续再来请教，自己返回教室继续复习，不浪费时间傻等。 4、 细心为剑，破失误之障 每次考试，总会有很多学生丢失本不该丢的20分——这些分数不是败给难题，而是输在草稿纸上跳错的数字，答题卡上错位的选项，审题时漏看的“不”字。最后30天，除了精准复习、稳住心态，更要锻造“细心”这把利剑，守住每一分该得的分数，避免因低级失误留下遗憾。 （1） 认知突围：失误的本质是态度偏差 当我们反复强调“认真审题”却收效甚微时，就像对着雾中灯塔喊话。某重点中学追踪研究发现，习惯性失误者往往存在认知误区：把“马虎”归咎于偶然，将“粗心”美化为性格。殊不知，这恰如运动员轻视热身，医生忽略消毒，本质都是对专业精神的怠慢。 唯有正视失误背后的态度问题，方能从根本上斩断粗心的根源。如同工匠雕琢璞玉，需耐心细致，步步为营。培养专注习惯，严谨对待每一处细节，让细心成为习惯，而非偶尔的闪光。如此，方能剑指高分，无往不利。 请记住，高考本质是精确度的极限测试。就像航天器对接容不得毫米误差，我们的答题系统也需要建立防错机制。从日常练习中嵌入细致入微的检查流程，到考场上的冷静自省，每一步都是对细心的锤炼。唯有如此，才能在关键时刻避免低级错误，让每一次落笔都精准无误，最终成就高分梦想。 （2） 双重自我：构建内在监督系统 想象考场中存在两个“你”：一个是执笔答题的战士，另一个是手持放大镜的监考。这种“双重自我员工法”已在飞行员训练中应用数十年。具体操作时，请在每个解题节点启动15秒速查程序：读题时标注题眼如同考古学家标记甲骨文，书写时笔尖轻点标点似雕刻家收刀，计算时复述过程像会计核对账目。 如此，内外兼修，形成严密的自我监控体系，确保每一步都精准无误，让细心成为潜意识中的本能反应。久而久之，习惯成自然，失误自然遁形，高分亦如探囊取物。某位清华学长分享的案例令人震撼：他专门训练“视线回扫”技能，像复印机扫描般在解题后自动回看关键数据。这种机械性的重复看似笨拙，却在高考数学中帮他挽回12分，相当于全省排名跃升15000位。 （3） 四维锚定：让技巧成为肌肉记忆 “读写解算”四步口诀犹如四把钥匙：读题时画出逻辑树状图，书写时实施“三秒延迟”策略，理解时建立知识点超链接，计算时启动逆向验证程序。就像钢琴家形成肌肉记忆，我们需要让这些动作成为解题的默认设置。 建议同学们在模拟考中创造“高压实验室”：故意设置干扰项训练专注力，用倒计时器制造紧迫感，甚至尝试在嘈杂环境中解题。这些刻意练习，终将锻造出在考场上稳如磐石的定力，即便遇到紧张场景，也能凭借肌肉记忆规避失误。 （4） 执行升华：从知道到做到的最后一公里 知道凌晨四点的洛杉矶不算什么，重要的是每个清晨准时响起的闹钟。建议建立“失误日志”，像科学家记录实验数据般追踪每个错误——标注错误类型（审题失误、计算错误、书写错误等）、出错原因、改进方法，定期复盘，避免重复踩坑。某重点班实践表明，坚持21天记录的学生，失误率下降67%，这比任何励志标语都更具实证力量。 请将每次练习视为高考实景演练：从填涂答题卡时铅笔的倾斜角度，到草稿纸的分区策略，再到水杯摆放的位置，都要形成条件反射。记住，战场上没有临时起意，只有千锤百炼的肌肉记忆。 同学们，当你们走出考场时，最欣慰的不会是攻克了某道难题，而是在每个细节处都做到了极致。那些看似微不足道的15秒检查，终将汇聚成改变命运的洪流。让我们以工匠精神雕琢每个解题步骤，让细心成为刻进DNA的考试基因！ 最后提醒：高考倒计时30天，提30分并非遥不可及，关键在于“精准定位+高效执行+细心防错”。保持规律作息，合理分配各科时间，不熬夜、不内耗，摒除杂念、稳住心态，守住每一分该得的分数，把每一步都走扎实。记住，最后阶段，清晰的目标、高效的方法、持续的信心和严谨的细心，就是你最核心的竞争力。愿你不负努力，不负自己，在高考中发挥出最佳水平，奔赴属于自己的广阔前程！ 02 高考数学核心考点解题方法与策略 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上的参考公式，80%具有实用性，能为解题提供明确方向； 2.解答题各小问间存在阶梯关系，后问常需利用前问结论。若前问为证明题，即便无法证明结论，该结论在后问中仍可应用，但需考虑结论的独立性。 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，单选题的1-5，多选题第9题，填空题第13题，解答题第15题及每一道解答题的第一小问都是比较容易的，这些题应该十考生得分的基本盘；选择题第8题（这一道题2025年中也不见得很难）和多选题第11题和填空题第14题，解答题的18和19题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分），这些题往往承担着选拔创新型人才的功能。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1～2分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。要十分重视第一印象。 心理学表明，考生在接触试题时大脑皮质处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定。 经验表明，第一感觉的正确率在80％以上。 因此，不要轻易改动第一次做出的选择。 在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择。 切记不要“小题大做”。 注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法，或是判断。即便无法完整解答，也应将思考过程和尝试的方法写在答题纸上。多写无害，或许能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择题．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 由于填空题和单选题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解。直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果。 直接法的具体操作在于熟悉试题考察的知识点，以便迅速定位并应用相应的定理、性质和公式进行求解。例如，面对数列试题，首先要判断是等差数列、等比数列还是它们的综合。一旦确定是等差数列或等比数列，就应立即回顾并应用等差数列或等比数列的定义、性质（如公差、公比的关系）、通项公式以及前n项和公式，判断其适用性。如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行简化或转化了，也可快速进入状态。 （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。例如，可以尝试将一些简单的数值代入，若符合题目条件则保留相应选项，反之则排除包含该数的选项范围。具体来说，面对两个选项A（）和B（），可以选取数字1进行代入检验。若1符合题意，则排除B；若1不符合题意，则排除A。这种方法能迅速缩小选择范围，但需注意，选取的数值应考虑选项特征，避免选择所有选项共有或均不包含的数值。此外，还可以根据选项涉及的知识点进行论证排除。例如，若四个选项分别对应四个知识点，可以优先对熟悉的知识点进行验证，判断其是否符合题意，从而快速准确地锁定正确答案，避免因知识点掌握不牢固或理解模糊而导致误选。 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除。所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法 特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果。 特例法，即特殊值验证法，可通过特殊数值、图形、位置替代普遍条件，导出特殊结论，进而检验选项，做出正确选择。尤其针对棘手的高考选择题或填空题，关注特殊情况，从特殊角度入手，常能迅速简捷解题。 常用特例包括特殊数值、点、数列、函数、图形、角、位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但前提是所取特例需符合题目所有条件。 特例法能简化运算和推理过程，尤其适用于包含字母或一般性结论的选择题和填空题，但在应用时需注意以下几点：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选择另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）若正确选项在题目的普遍条件下均成立，则应选取最简单的特殊值进行探究，以此快速、准确地得出答案。这种方法，即通过对特殊情况的考察来推断一般规律，是解答此类选择、填空题的优选策略。 近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ （4）估算法 估算法，包括四舍五入法、估算范围法、数值特点估计法以及接近整十、整百、整千的估算等，是解决数学问题的快速方法，它不仅能够提高解题速度，还能帮助考生避免在计算过程中出现大的失误。 对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。 当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时。估算法不仅能有效减少运算量，还能提升思维的深度与层次，因此，我们应熟练掌握并灵活运用这一技巧。 而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论。 （5）数形结合法 数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图像的特征进行直观分析，从而得出结论。比如： ①在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 ②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 ③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 ④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 ⑤数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 ⑥解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 ⑦立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学解题中的一把利剑，它能让抽象的数学问题变得直观且生动，将抽象思维转化为形象思维，从而帮助我们更深刻地理解数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法。 三、解题思想方法 1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”； 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.对于含有参数的初等函数，研究时应聚焦于参数未改变的那些恒定性质，例如函数所经过的固定点、二次函数的对称轴等。 4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法； 5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对方程或不等式进行变形处理时，优先考虑使用分离参数的方法来简化问题。 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.在解答圆锥曲线的题目时，应优先考虑利用它们的定义来求解。对于直线与圆锥曲线的相交问题，如果涉及到弦的中点，可以选择设而不求的点差法；如果与弦的中点无关，则可以选择利用根与系数的关系公式法。在使用根与系数的关系公式时，务必先判断是否为二次方程，并考虑根的判别式。 8.在求解曲线方程的题目时，若已知曲线的形状，可采用待定系数法；若未知曲线的形状，则需按照建系、设点、列式、化简的步骤进行求解，同时要注意去掉不符合条件的特殊点。 9.要求解椭圆或双曲线的离心率，只需建立关于a、b、c之间的等式关系即可得出答案。 10. 求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何第一问若旨在辅助建系，则应采用传统方法解答；若非如此，可从第一问起即建立坐标系求解。需特别注意，向量角与线线角、线面角、面面角各不相同，应熟练掌握这些角度间三角函数值的转换方法。计算锥体体积时需注意相关系数，计算三角形面积时亦需关注其系数。涉及球的题目同样需谨慎对待，可通过连接“心心距”构造直角三角形来解题。 13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；若存在分布列，则验证其概率和是否为1是检验答案正确性的关键步骤。 15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可使用三角换元来完成； 16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等； 四、每分必争 1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。试卷到手后，首先进行必要的检查，确认无印刷模糊之处，并完成填涂工作。随后，立即浏览试卷，熟悉可能用到的公式，做到胸有成竹。对于简单的题目，要用心计算，必要时动笔也无妨（无论是写名字还是字母，无人会细究）。 2.在分数上也是每分必争。正如参考资料所述，成绩合格率反映了达到基本要求的比例。因此，你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但意义截然不同：一个是不合格，一个是合格。虽然高考中仅差1分，例如509分与510分，这可能在某些情况下影响录取结果，如接近录取分数线时，分数稍高者可能更易被录取。然而，高考成绩并非唯一评判标准，综合素质评价和面试成绩等其他因素也会影响录取。因此，1分之差虽然重要，但个人的综合素质和潜力同样关键。所以，在答卷的时候要精益求精。 对单选题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？ 多选题找到两个必选项了没？ 填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？ 解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性规划）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？ 3.面对答题时间的紧迫感，是所有学生共同的体验。若要缓解这种压力，唯一的方法便是学会取舍，准确判断并放弃那些不必要的部分，从而为争取每一分创造条件。 4.稍作冷静，虽然表面上看似浪费了时间，但实际上却是在为自己争取机会，甚至可能因此创造出意想不到的奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。 5.如果题目分析遇到困难，很可能是因为忽略了某个重要的已知条件，因此，需要重新审题，仔细阅读题目，才能有所发现，切勿局限于固定的思维模式。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。 6.高考只是人生众多重要考试中的一场，而人生则是由无数个一分钟组成的。只有珍惜并把握好每一分钟，才能真正掌控自己的人生。高考不过是一场平常的模拟考试，真正的高考其实是在我们生活的每一刻。 03 新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 多选题扩展了考查宽度，重视数学大概念的考查，对学生的整体认知、综合能力提出了更高要求。它是一把“双刃剑”：选对一项得部分分的概率加大，但全选对得满分的概率变小。错选一项得0分的判分标准，让不满足于部分分、力争满分的学生面临风险。 一、多选题的考查性质和特点 多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基”“四能”及核心素养的考查。这种题型主要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力；同时，多选题还能够引导学生更加注重知识之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。 （1）无需解题过程 多选题与单选题类似，都要求学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的答案，就能得到相应的分数。 （2）分值灵活 新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；考生全选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分；如果正确选项是3个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。 （3）考查知识内容多样化 新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要排除并验证每个选项的正确性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求，从而提高了试题的难度。 （4）考查策略需选择 多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思路的多样性和灵活性可以节省学生的时间，提高解题效率。 （5）考查创新思维 多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思维方式与能力提升均有显著的助益。 （6）能更好地区分学生的能力层次 多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不同能力层次的考生，从而有助于选拔优秀人才。 二、数学多选题的基本类型 数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型： 1. 条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰选项时会故意省略某些易于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度警觉，并对每个条件进行认真分析和推理。 2. 实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有挑战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性和区分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学生的实际水平。 3. 概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点，例如相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。 4. 题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设计。 5. 推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时，需要考生认真阅读题目，理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。 6. 思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突破思维定势的束缚，找到正确的答案。 三、多选题解题方法与技巧 多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答案，更具挑战性。 2.1求解对照法（直接法） 这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上，应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时，还需找出题目中的隐含条件，深入理解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答，时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其他的方法进行解题。 2.2特值检验法 根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值，将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约了解题时间。 2.3逆推代入法 将选项中给出的答案，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。 2.4排除法 排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间.在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。 2.5逻辑分析法 逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定错误选项，从而挑选出正确选项。举个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组中各选择一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。 2.6宁缺毋滥法 也称为“逃避策略”，源于中国古代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出2个最有信心的选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样，才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差异。 总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也为不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是相互交织和融合的。因此，学生在解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。 04 高考数学解答题答题规范与模板（炼规范、夺高分） 根据多年的评卷经验，我为您系统梳理解答题的核心答题规范和通用步骤模板。掌握这些规范，是确保在“踩点给分”的阅卷规则下，将思维能力转化为实际分数的关键。 1、 核心理念：为什么要“规范”？ 高考解答题阅卷实行 “分段评分”或“踩点给分”。阅卷老师寻找的是关键步骤、公式和结论。 规范的目的：清晰展示你的解题逻辑，让阅卷老师快速找到给分点，避免因表达混乱造成的隐性失分。 不规范的风险：即使思路正确、答案正确，也可能因步骤跳跃、书写潦草、结论不明而被扣分。 知识的体现：规范的步骤本身就是你对数学概念、定理理解程度的体现。 核心原则：“会的题，一定要拿满分；不全会的题，一定要多拿分。” 2、 阅卷篇 1.主观题和客观题 一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。 　2.正评和仲裁 每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。 3.评卷误差的产生 评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。 由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。 ①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 ②解答题未化简到最终结果可能会多扣分; ③填空题以下情况全扣; ④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。 建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！ 三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点： 　 1.卷面清洁，这是最基本的要求； 2.书写工整，字迹清晰； 3.在规定的答题区域答题，否则做无用功； 4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述； 5.语言要简洁，答中要害； 6.语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。 四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况： 1.字迹潦草 问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。 【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。 2.题号填涂与作答不符 问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题号，答的却是10题的内容，只能得零分。 【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂 对题号，否则白费了工夫，还不得分。 3.超出规定区域答题 问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超 出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。 【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。 4.答案分块 问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。 【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。 5.答案不分层次 问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。 【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。 6.作图不规范 问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。 【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。 7.出现删除符号 问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。 【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。 高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。 解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。 5、 数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见： 1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。 2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐标系用向量求解。 3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。 4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。 5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。 6.大胆使用归纳、类比，赋值法。 7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。 3、 六大核心板块规范答题模板 板块一：三角函数与解斜三角 【典例1】(13分）设锐角的内角的对边分别为. 已知. (1)求；(2)若,且求的面积. 【评分细则】 (1)由得分 【备注1】正确写出应用二倍角公式给1分。 即1分 【备注2】正确写出或体现应用余弦定理公式给1分。 在锐角中,所以1分(3分) 【备注3】见“”给1分 又,所以2分(5分) 【备注4】见“”给2分 (2)由及正弦定理得分 又所以所以1分 【备注5】见“”给1分. 又,所以2分(9分) 【备注6】见“”给2分 则,所以1分(10分) 由正弦定理得1分(11分) 【备注7】另解:写出“”给1分。 故面积为2分(13分) 【备注8】结果正确即可给2分,若结果错误但正确写出面积公式可给1分。 【备注9】无其他解答过程,只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给1分。 模拟训练： 1．在中，，，且，求： (1)求的值； (2)求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，因为，， 所以，化简得，解得 或， 当时，，与题意不符合; 当时，，符合题意. 所以. （2）因为，， 所以，所以的面积 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值. 【解析】（1）依题意，函数 ， 所以函数的最小正周期是. （2）由（1）知，，于是， 则，解得， 由，得，从而，， 所以. 板块二：数列 【典例2】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【评分细则】 法1:设公比为(不写也不扣分)由条件得 列出两个方程得2分解得(舍去)(3分) 由条件(4分) 求出和得2分(6分)结果为2分 说明:1.只抄条件,如果未算出有效结果,不得分；如果算出任一有效结果,抄的条件也给2分; 如:得得6分. 2.舍去没有写,只写了不扣分: 3.,或者均不扣分,甚至出现也不扣分. 法2:由条件得(2分) 解得(舍去)(3分) 由条件(4分)(6分)结果为2分 法3:由条件(2分) 解得(舍去)(3分), 从而 注:没舍解的,最后答案是两解的得4分. 模拟训练： 1．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 【解析】（1）由可得，所以，可得； 由已知得， 所以， 其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减， 其中， 所以满足的所有正整数为1，2. 2．有n个人各准备了一份礼物放入礼物池，然后通过抽签的方式随机各获得了一份礼物．记没有人获得的礼物是自己的情况有种，则当时，． (1)写出，的值，并证明数列为等比数列； (2)记没有人获得的礼物是自己的概率为，已知，试比较与的大小关系． 【解析】（1）根据题意知，，由得， 记，则， 又， 故数列是以1为首项，-1为公比的等比数列； （2）根据题意可得， 而由（1）得，， 从而，即， 则，…，，，累加得，， 因为时，， 因为， 所以， （提示：构造与相同的形式） 故时，，（两项符号相反，考虑并项求和） 当n为奇数且时， ，当为偶数且时，. 综上，当n为奇数时，；当n为偶数时，． 板块三：立体几何 【典例3】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【评分细则】第1问评分细则 法一：由， 得…1分 【说明】见到中的一个即可得1分 又，在中，由余弦定理得…………2分 【说明】见到，或即可得1分 所以，则，即…………………3分 【说明】见到之一即可得这1分 所以…………………………………………………………4分 又，所以，………5分 又，故；……………………………………6分 【说明】只见到，没有得1分；没见到，只见到不得分 思路二：1—4分与解法1相同，为，所以……………………………5分 故………………………………………………………………6分 【说明】见到，所以，即可得2分 【说明】若第一问用坐标法来证明，则第二问的7—10分放到第一问来赋分 第2问评分细则 思路一：空间直角坐标系+空间向量 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以………………………………………………………………7分 由（1）知，又， 所以平面，又平面， 所以，…………………………………………………………………8分 则两两垂直，建立如图空间直角坐标系……9分 【说明】在图上做出直角坐标系即可的1分 则， 由是的中点，得，………………………………10分 【说明】有一个点的坐标对即可得1分 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 【说明】有列式求法向量即可得1分，用行列式也同样给分 令，得， 所以，……………………………………………13分 【说明】得一个法向量得2分，得两个法向量得3分 所以，…………………………………14分 【说明】有公式或结果对即可得1分 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为.…………………15分 【说明】出现等公式错误情况，但结果对的情况下扣1分； 法二: 纯几何+二面角定义 延长 交于点 ,点 是平面 与平面 的公共点,所以面 面 ,过点 做 的垂线交 于点 ,过点 做 的垂线交 于点 ,连接 ,图中 即为平面 与平面 的二面角的平面角。 因为 ,因此 面 ……………………………8分 在 中， 在 Rt 中, ，……………9分 根据面积不变性，……………………………………10分 在 中， 在 中, ,余弦定理， 在 中，……………………11分 在 中, ,余弦定理， ……………………………………12分 在 中,根据余弦定理，…………14分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为 ………………………………………………15分 思路三：纯几何+三垂线 延长 交于点 ,点 是平面 与平面 的公共点,所以面 面 , 通过计算得 ，过点F做面PGD的垂线，垂足为M，过M作,连接FN，作于Q，则是平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角。……………………………………………………………7分 ，EQ为点E到面PGD 的距离 .…………………………………………………………9分 在中, =………………………………………………………………10分 在中, 在中,PG 在中, …………………………13分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为 …………………………………………15分 易错提醒： （1）逻辑关系混乱，分不清哪些是得分点；第一问的证明，学生对由线线垂直，得线面垂直，再得线线垂直掌握的不好，但本题中若无线面垂直，只有线线垂直则扣两分，课本中的重要定理和性质，平时教学中需重点强调； （2）在利用向量法求解中，第7—8分这两个得分点缺失的同学比较多，也就是建系前的需要证明三条直线两两互相垂直；同时建系强调右手系虽然其他建系法也正确，但会增加运算量，更容易导致运算错误； （3）运算能力差，点坐标求错，法向量解错，只得一分，后续也存在不少的运算问题，一般的学生需要重点加强求点、求法向量的训练。 （4）部分考生在选择的建系方式不恰当，进而导致了运算过程的复杂化，并最终未能获得准确的结果。 （5）部分考生运用纯几何法，但他们大多未能成功得出最终答案。通过对前述两种纯粹采用几何方法分析，我们发现，纯几何分析方法在应对此类问题时，对思维的要求相当高，且本题所蕴含的计算量亦相当庞大，比向量法还大。 模拟训练： 1．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【解析】（1）∵平面，∴且 过作于点， ∵平面平面，平面平面,平面，， ∴平面，又平面PBC ∴ ∵，∴平面. （2）过作于点， ∵平面，平面 ∴平面平面，又平面平面，平面 ∴平面， ∴与平面所成角即为 又， 设，∴，，， ∴, 当且仅当，即时取“=”. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，因为且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则, 所以，则 可得，所以， 则点到直线的距离为. （3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 板块四：概率与统计 【典例4】我省某市为吸引游客,推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机制,自然风光类抽中的概率为,历史文化类、特色体验类抽中的概率均为,这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客,每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次,每次抽奖至多抽中一个免费票景点. (1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次,设表示甲获得免费票景点个数,求的分布列和数学期望; (2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖,已知乙抽中(至少抽中一个),求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. 【评分细则】 (1)表示甲获得免费票景点个数,则,1分 则;1分 1分 1分 1分(5分) 故的分布列为 0 1 2 3 P 【备注1】若仅给出分布列而没有前面的求解过程:表中数字全对时本5分段共给4分(即扣掉过程分1分);当表中概率数字不全对时,若表头第一行数字全对给1分,第二行每个概率值对一个给1分(共不超过3分) 3分(8分) 【备注2】体现数学期望公式(乘积和,至少写有两项)给1分,结果正确给2分;如果没有过程只写正确结果，给2分(扣求数学期望过程分). (2)设“乙抽中”为事件,“乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件,“乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件,“乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件.1分(9分) 【备注3】体现至少设出一个事件过程,可给1分。 则.1分 1分 1分(12分) 因事件两两互斥, 所以.1分 【备注4】正确写出求互斥事件概率公式给1分. .1分(14分) 【备注5】结果正确给1分 则2分(16分) 【备注6】计算结果正确,给1分；若结果不对,但写出几何条件公式 “”给1分. 故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为1分(17分) 【备注7】作答正确给1分,若写出“为所求”也算作答正确. 模拟训练： 1．为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. (1)该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 【解析】（1）零假设为：模块工作状态与测试环境无关联. 根据列联表中数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为模块工作状态与测试环境无关联. （2）①由题意可知， （法一）的分布列为， . （法二）， ， ， ， ， 则的分布列如下： 0 1 2 3 4 . ②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则， 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为. 故， ， 故， 故增加一个模块即，能提高系统的可靠性. 2．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【解析】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 板块五：圆锥曲线 【典例5】(15分)已知抛物线M:的焦点F为椭圆N:的—个焦点,具N的短轴长为4. (1)求N的方程； (2)过点F且倾斜角为45°的直线与N交于A,B两点，线段AB的中垂线与轴交于点E,求△ABE的面积. 【评分细则】 (1)因为抛物线的焦点的坐标为（0,1）………1分 所以,即……………………………………………2分 又的短轴长为,所以…………………………………………3分 所以…………………………………………………………4分 故的方程为……………………………………………………5分 (2)依题意得l的方程为……………………………………………6分 由得…………………………………………7分 设,则 ……………………………………………………8分 则……………………9分 …………………………………………………………10分 设线段的中点为,则………11分 所以线段的中垂线方程为……………………………12分 令,得,则点的坐标为……………………………………13分 因为点到直线的距离……………………………………14分 所以的面积为…………………………15分 评分细则:【1】第(1)问中,未写“”,但写了“或”,不扣分. 【2】出现,有必要过程就给5分； 【3】7分点只要出现或联立方程思想,就可以得这1分; 【4】8分点不写,不扣分;出现一个即可的1分; 【5】14、15点结果不对的情况下,写出点到直线距离公式或三角形面积公式,可得1分(至多1分)； 【6】第(2)问中,计算的面积时,也可以由,得到最后的结果,所以解析过程中可以不求点到直线1的距离. 法二:设,则 …………………………………………………8分 设线段的中点为,则………………9分 线段的中垂线方程为………………………………………………10分 令得,则点坐标为 记线段与轴交点为即.……………………………………………11分 由.………………………………………………………………………………12分 .……………………………………………………………13分 .……………………………………14分 .………………………………………………………………………………………………15分 模拟训练： 1．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3． （1）求椭圆E的方程； （2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求． 【解析】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以， 所以椭圆E的方程； （2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点， 所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入， 整理得：，设， ， ， 整理得：， 当时，线段中点坐标， 中垂线方程：，； 当时，线段中点坐标， 中垂线方程：，， 综上所述：. 2．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【解析】（1）由题意设双曲线的标准方程为， 由已知得：解得， ∵且的面积为1， ∴，， ∴ ∴，， ∴双曲线的标准方程为． （2）证明：设，，联立与双曲线 得， ， 即， 则， 又， ∵以为直径的圆过双曲线的右顶点 ∴，即， ∴， ∴， 化简，得，即 ∴，，且均满足， 当时，直线的方程为， 直线过定点，与已知矛盾． 当时，直线的方程为，过定点， 所以直线过定点，该定点的坐标为． 板块六：导数 【典例6】(17分)设函数. (1)证明：曲线关于点(0,1)对称. (2)已知为增函数. ①求的取值范围. ②证明：函数存在唯一的极值点. ③若不等式对恒成立，求的取值范围. 【评分细则】 (1)证明:因为,………………………………1分 所以,则曲线关于点(0,1)对称.………………………………2分 【备注1】特殊点验证不得分;二阶导证明扣1分。 【备注2】第(1)问中,还可以这样表述:因为,所以曲线关于点(0,1)对称. 【备注3】第(1)问第三种表述:, ,即是奇函数。 令,所以关于(0,1)对称。 (2)①解:因为为增函数,所以恒成立,…………………………3分 则,因为,………………………………………………4分 当且仅当时,等号成立,则的最大值为,…………………………………………5分 所以,即的取值范围是.………………………………………………………………6分 【备注4】,若的取值范围写为的取值范围写为,均不扣分. 【备注5】用换元法、导数法求最值对应给分。 ②证明:,所以为增函数.……………………………7分 ,因为,所以,…………………………………………8分 又,所以在(-4,0)上存在唯一的零点.………………………………………………9分 【备注6】第(2)问中,可以从中任取一个实数,均可得到. 当时,单调递减, 当时,单调递增,…………………………………………………………………10分 所以存在唯一的极值点,且该极值点为极小值点.………………………………………………11分 【备注7】零点的存在性定理没有说明扣1分 【备注8】一正一负各1分,用极限相应给分 ③解:由(1)知,曲线关于点(0,1)对称, 所以为奇函数,……………………………………………………………………12分 由,得, 所以………………………………………………………………13分 即.………………………………………………………………14分 因为为增函数,所以为增函数,所以,………………………………15分 即,设函数,则. 当时,单调递减, 当时,单调递增.…………………………………………………………16分 故,即的取值范围为.………………………………………17分 【备注9】第(2)③另一种表述:由(1) 即 是增函数以下同法一 模拟训练： 1．已知函数的最小值为0，其中. （1）求a的值； （2）求证：对任意的，，有； （3）记，为不超过的最大整数，求的值. 【解析】（1），令，得， 在单调递减，单调递增， ，所以. （2） 令， 则， 当时，， 所以，恒成立，因此在上单调递减， 从而对任意的，总有， 即对任意的，有成立. （3） ,由（1）有 . 由（2）有， 当时, , 所以有.又，，所以的取值只有可能是1,2. 2．已知函数. (1)若在上存在单调减区间，求实数m的取值范围； (2)若在区间上有极小值，求实数m的取值范围. 【解析】（1）函数，求导得， 因为函数在上存在单调减区间，则不等式在上有解， 即在上能成立，而函数在上递减，显然，于是， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，，即，解得， 当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极小值， 于是，即，当时，不等式成立，当时，解得，则， 所以实数的取值范围是. 05 高考数学解答题常见条件及问题转化策略 · 一、函数与导数解答题常见条件及转化策略 函数与导数是高考数学解答题的核心板块与压轴重点，其问题设计灵活，综合性强。解决此类问题的根本思想是：“构造函数，利用导数工具分析函数性质（单调性、极值、最值等）”。通用的标准化解题流程为：求定义域→求导→分析导函数符号（讨论单调性、极值）→转化题目条件→达成求解目标。 以下将函数与导数解答题中常见的条件类型及其对应的转化策略进行系统梳理。 · 常见条件类型一：单调性条件 单调性是函数最基础的性质，也是连接各类问题的纽带。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.讨论或证明的单调性 转化为分析导函数的符号。 ①⇒递增；⇒递减。 ②解求驻点，列表分析。 定义域优先。含参时需按的根是否存在、大小、是否在定义域内来分类讨论。 2.已知在区间I上单调（增/减），求参数范围 转化为导函数在区间I上恒成立问题： 单调递增⇔； 单调递减⇔。 优先尝试参变分离求最值；若复杂则用构造函数法分类讨论。注意检验区间端点（端点效应）。 3.利用单调性解恒成立/存在性问题 恒成立(如)：转化为。 存在性(如∃x使)：转化。 核心逻辑：“恒成立看最小值，存在性看最大值”。清晰区分两者是解题基础。 4.利用单调性比较大小 将待比较数值视为某个函数f(x)在特定点的值，通过研究的单调性来比较大小。 关键在于观察数值结构特征，构造出合适的函数。 · 常见条件类型二：极值与最值条件 极值点是函数单调性发生改变的位置，是最值的重要候选点。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.求极值点/极值 ①求导得；②解；③分析符号变化；④极值点必须是导函数的变号零点（先正后负为极大，先负后正为极小）。 定义域优先。含参时分类讨论标准与单调性讨论类似。 2.已知是极值点，求参数 必要性转化：由建立关于参数的方程。 充分性验证：需说明或验证在该参数下，确为的变号零点。 仅是必要条件，必须进行充分性验证（常通过后续单调性分析实现）。 3.函数存在极值点（或有n个极值点），求参数范围 转化为f'(x)存在变号零点的问题。进一步可分离参数，转化为与图像的交点问题（数形结合）。 注意区分“有极值点”与“有根”的不同，后者可能对应驻点但非极值点（不变号）。 4.极值点偏移问题（已知，证等） 核心是消元减元，化归为单变量函数： ①对称化构造：如设。 ②比值/差值代换：令，结合消元。 这是压轴题难点。关键在于识别偏移背景，选择对称构造或代换消元策略。 · 常见条件类型三：零点（方程根）条件 零点问题是函数与导数综合题的经典设问，常与单调性、极值紧密结合。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.判断/证明零点个数 通用流程（直接法）： ①利用导数研究单调性、极值； ②结合零点存在性定理，在每個单调区间上通过“取点”判断端点函数值符号。 取点是难点。常用方法：直接代入特殊值；或利用等不等式进行放缩取点。 2.已知零点个数求参数范围 策略一（直接构造分类讨论）：直接分析含参函数的图像，依据极值点个数、位置及函数趋势，对参数分类讨论，结合取点确定范围。这是最基础、最广泛的方法。 策略二（分离参数数形结合）：将变形为，问题转化为直线与曲线交点个数问题。此法可避免复杂分类，但需深入研究的性质。 例如2022年全国乙卷理科第21题中，有解法将转化为，通过研究右侧函数的图像与性质（如其在处的极限为1），快速得到即的结论。 3.“隐零点”问题 当极值点/零点无法显式求出时，采用“设而不求”。设或，得到满足的方程（如），在后续计算中利用该方程进行整体代换化简。 关键在于将关于的表达式（如）通过代换，化为关于参数或新元的可分析形式。 · 常见条件类型四：不等式证明条件 不等式证明是检验函数性质综合运用能力的重要题型。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.证明在区间上成立 通法：作差构造函数。 令，转化为证明。 这是最根本的方法，适用于绝大多数题型。 2.含指数、对数的复杂不等式 高效策略：同构转化。 将不等式两边变形为相同结构，然后利用外层函数的单调性证明。 需要敏锐观察结构，如将视为等。 3.涉及数列求和的不等式 策略一（函数法）：将和式视为某函数在离散点上的取值，构造连续函数利用其单调性证明。 策略二（放缩法）：利用常见不等式（如）将对数列放缩后求和，常与裂项相消结合。 2022年新高考Ⅱ卷第22题证明，即可利用放缩和裂项转化为函数不等式证明。 4.双变量不等式（如极值点偏移衍生问题） 核心是消元减元：通过比值代换、差值代换或对称构造函数，将双变量问题转化为关于单变量的函数问题。 2021年新高考Ⅰ卷、2022年甲卷理科第21题中，在证明或时，均采用了此类消元策略。 总结：函数与导数解答题虽有千变万化，但其核心条件无非单调、极值、零点、不等式几类。解题的关键在于准确识别题目条件的本质，并运用上述策略将其转化为可利用导数工具处理的函数性质问题（最值、单调性、图像交点）。淡化过度技巧，重视转化与化归、分类讨论、数形结合的通性通法，是应对此板块的根本之道。 · 二、三角函数与解三角形解答题常见条件及转化策略 三角函数与解三角形板块具有更具体的工具集（三角恒等变换、正弦定理、余弦定理）和更鲜明的几何背景（三角形约束、函数图像特征）。高考中，该板块解答题的条件设置极为灵活，广泛涉及等式条件、几何条件与函数性质条件的综合。 （1） 三角函数性质的深挖与转化 函数y=Asin(ωx+φ)及其变体的图像与性质，对称性、周期性与最值问题常作为核心条件或求解目标出现。 1. 对称性条件及其转化 对称性条件是求参、求值的高频考点与难点。 (1)常见条件形式： 1　 轴对称：“图像关于直线对称”。 2　 中心对称：“图像关于点(m,n)中心对称”或“(m,n)是其对称中心”。 3　 综合判断：作为多选题的一部分，判断某点或某直线是否为对称中心/轴。 (2)核心转化策略： 1　 整体代换与方程思想：将视为整体t，将对称性条件转化为关于参数的方程。 对于，若x=m是对称轴，则。 若(m,n)是对称中心，则且b=n。 2　 数形结合与几何直观：利用“正弦函数对称轴过极值点”、“对称中心为零点”等几何特征快速验证或推理。 3　 知识融合求解：对称性条件往往只能得出一个关系式，必须结合题目中给出的周期范围、单调区间长度等其他约束条件，联立不等式组共同确定参数（尤其是ω）的具体值或取值范围。 2. 周期性条件及其转化 周期性考查正从简单的公式套用转向对概念的深度理解及综合性应用。 (1)常见条件形式： 1　 直接求周期：给定解析式求最小正周期T。 2　 利用周期求值：求f(2026)等大数函数值，需用化归。 3　 结合对称性求周期：已知双重对称性（如关于两直线对称，或关于一点一线对称），求函数的周期。 4　 根据周期性求参数范围（热点）：“函数在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零点”，求ω的取值范围。 (2)核心转化策略： a. 基础公式法：熟记的周期。 b. 整体代换与不等式建模（求参关键）：令，将原函数转化为y=sint。根据x的给定区间确定t的范围(α,β)。结合y=sint的标准图象，分析区间(α,β)的长度需要包含多少个半周期或四分之一周期才能满足“恰有n个零点/极值点”的条件，从而建立关于ω的不等式组。 c. 对称性与周期性的互推：掌握结论，例如函数关于直线和对称，则周期；关于点和直线对称，则周期。 3. 最值（范围）问题及其转化 最值问题考查将复杂目标转化为可处理模型的能力。 常见题型： (1)求在指定区间的最值。 (2)已知△ABC中角A和对边，求或周长的取值范围。 (3)求的极值。 核心转化策略： (1)化为标准型求最值：对型，利用辅助角公式化为，直接利用正弦函数的有界性。 (2)换元化为二次函数：将表达式化为关于或的二次多项式，设，转化为闭区间上二次函数的最值问题。 (3)边角互化与消元（解三角形最值）：这是解三角形求范围问题的通法。例如求b+c范围，常利用正弦定理边化角：，再结合，用和差化积公式将其化为关于角B或C的单一三角函数，利用角B的取值范围和三角函数有界性求值域。 (4)利用导数：对于结构复杂的复合函数或高次三角函数，求导是分析单调性和寻找极值的普适方法。 (5)利用基本不等式：在解三角形问题中，若采用角化边策略，将条件转化为纯边代数式，可尝试利用基本不等式求最值。 （2） 解三角形中的条件转化与模型识别 解三角形问题条件隐含于边、角、面积等元素的关系中，“边角互化”是贯穿始终的核心思想。 1. “边角等式”条件的转化 题设直接给出边或角的等式关系（如）是最基础的条件。 核心转化策略：根据等式结构，果断选择“边化角”或“角化边”。 (1)边化角：利用正弦定理，将边的关系转化为角的三角恒等式。当等式含有边的一次齐次式，或边角混合且可化为关于角的正、余弦关系时，首选此法，以便利用三角恒等变换（和差、倍角、辅助角）化简。 (2)角化边：利用正弦定理或余弦定理，将角的关系转化为边的关系。当等式是边的齐次式（特别是二次式），或目标是判断三角形形状时，常用此法，可得到清晰的代数关系进行因式分解或比较。 2. “三角形形状”判断条件的转化 要求判断三角形是锐角/直角/钝角/等腰/等边三角形。 核心转化策略：将题设条件通过“边角互化”得到只含角或只含边的关系式。 (1)定性判断：求最大角（如C）的余弦值，由符号判断为锐角，=0为直角，<0为钝角。或计算最长边（如c）的平方，与其余两边平方和比较(比较)。 (2)等量关系判断：如化简得到，则为等腰；得到则为C为直角的三角形。 3. “多三角形”综合条件的转化 条件分散在两个或更多相关三角形中（如含角平分线、四边形、高线等），是考察几何关联能力的难点。 核心转化策略： a. 从条件集中确定解的三角形入手：优先分析已知条件最多的那个三角形，求出其边、角，特别是可能作为“桥梁”的公共边或公共角。 b. 建立三角形间的联系：利用几何图形的固有关系（如公共边、公共角、互补角(∠1+∠2=π)、角平分线性质、正弦定理的面积比等），建立联系方程。 c. 在目标三角形中求解：将上一步得到的关系代入目标三角形，运用正弦定理或余弦定理完成最终求解。关键在于识别并利用好几何模型中的“桥梁”元素。 4. “存在性与个数”问题的转化 判断满足某些条件的三角形是否存在、解的个数等，常与“结构不良试题”相结合。 核心转化策略： 解的个数判断(SSA)：已知两边及一边对角，依据正弦定$©学科网 2026 课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当风凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光森微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸页的沙响；既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远分”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 高考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。 那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自己，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 “静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 高考不是终点，而是新篇章的起点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 般殷的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在高考的考场上擘画自己的明天！相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 学科网 执笔为刃，智启巅峰 数学 2026终极寺魁 高考数学冲刺最后一课 录 考前冲刺篇 ◇技信·得分加速器令 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 01高考倒计时30天，精准发力稳提分指南 (P99) 写在前面：冲刺复习备考指导 02高考数学核心考点解题方法与策略(P104) ◇热点·命题风向标◇ 03多选题抢分策略（P110) 01近6年新高考数学高频考，点大数据统计 04解答题答题规范与采分，点模板（P113) (P5) 05解答题常见条件及问题转化策略（P128)》 02新情境试题：传统文化、科技应用、生活 ◇辣雷·易错点清零◇ 建模（P13) 01易错易混知识排雷（40条)（P140) 03函数与导数压轴命题趋势：隐零点、同构、 02审题解题思维排雷（20条)（P147) 切线放缩（P19) 03计算失误高频点清单(15条)（P151) 04解析几何热点：定点、定值、最值、范围 (P28) ◇冲刺·压轴预测练 05概率统计热，点：决策问题、回归、独立性 2026高考数学冲刺绝杀卷（P155) 检验（P37) 2026高考数学终极押题卷（P172) 06立体几何新考法：外接球、截面、动态问 考中实战篇 题(P46) 临场提分：控节奏、稳心态、破危局 07数学史与逢五逢十纪念热点命题（P54) 08跨学科融合题型：数学+物理/信息/经济 01考前准备清单与考场镇静术（P188) (P61) 02高考数学临场答题全攻略（P191) 一◇棱心·高频点速查◆ 03难题/卡壳题应急破局指南(P196) 04不会也能拿分：缺步解答、跳步解答、合 速查01集合、逻辑、复数、平面向量(P68)》 理猜结论（P201) 速查02函数与导数（P72) 05答题卡规范、填涂与书写避坑（P206) 速查03三角函数、三角恒等变换、解三角形 （P76) 考后辅导篇 速查04数列通项与求和(P80) 平稳收官：慎择校、启新程、向未来 速查05立体几何：表面积、体积、位置关系 01考后禁忌：不估分、不讨论、不内耗(P211) （P83) 02志愿填报：专业选择指南（P212) 速查06直线与圆、圆锥曲线（P86) 03心态调适：释压与重启（P216) 速查07计数原理、概率、统计（P89) 速查08思想方法与应试策略（P91)》 3/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考前冲刺篇 考前必看：抓热点、扫考点、补漏洞 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要，状态胜过盲目努力。这段时间，不贪攻难题、不纠结模 拟得失，核心目标明确：稳住备考节奏、清空焦虑情绪、强化应试信心，高效发挥真实水平。 一、时间管理：精准高效，不内耗、不盲目 1.回归基础，不钻牛角尖：将80%精力投入基础题与中档题（高考主要得分点）；压轴题聚焦常规 思路、抓取步骤分，杜绝无效内耗。 2.定时训练，保持手感：每日定时专项训练：30-40分钟限时完成选择填空，40分钟打磨解答题模 板，保持答题节奏比盲目刷题更具实效。 3.错题只看“错因”：无需重做整张错题卷，重点复盘审题、计算、思路、公式四类错因，同类错误 彻底清零，避免重复踩坑。 4.作息与考试同步：下午15：00-17：00主动切换至数学状态，适配高考时段，让大脑保持最佳兴奋 度，避免考试时状态脱节。 二、情绪调节：稳心态，降焦虑，强底气 1.接纳紧张，正常发挥：适度紧张是应试最佳状态，告诉自己：人人皆有紧张感，高考拼的是心态， 稳住即是赢。 2.拒绝自我否定：模拟分数波动属正常现象，一次失利不代表真实实力，过往所有失误，都是为高 考规避风险。 3.用“小胜利建立信心：每日完成基础卷、背诵公式、梳理题型，点滴进步都是实打实的提分，稳 步夯实应试底气。 4.深呼吸+积极暗示：焦虑时暂停10秒深呼吸，默念：“基础吃透，中档必对，难题抢分，从容发 挥，不负努力。” 三、认知重塑：抓本质，懂取舍，强韧性 1.高考数学：重基础、重规范、重通法：高考不考“秒杀技巧”，牢记公式、熟练常规方法、规范答 题步骤，是最稳妥的提分路径。 2.学会“舍得'：考场不追求满分，会做的题确保不失分，不会的题尽力抢步骤分，死磕难题得不偿 失。 3.强化韧性：遇卡不慌，遇难不乱：遇到思路卡顿，果断跳过，先完成有把握的题目；心态平稳则 思路清晰，回头再做往往能突破瓶颈。 4.你已经准备充分：三年苦读积淀，千题实战历练，你已具备足够应考能力，坚定信念，正常发挥 必能如愿。 最后送给大家一句话： 把会的做对，把对的写全，你就是赢家！！！ 愿大家提笔从容自信，合笔如愿以偿，高考数学，必胜！ 4/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点·命题风向标 热点01：近6年新高考数学高频考点大数据统计 这份近6年新高考数学高频考点统计，考前7-15天用最高效，按“抓核心、避冷门、练方法、稳得分” 的思路直接落地即可。 一、 整体使用原则 1.优先抓五星★★★★★考点 函数导数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计的五星考点是必拿分点，考前只练这些，不 碰偏题怪题。 2.按题型分配时间 选择填空：主攻性质、公式、速解技巧：解答题：主攻步骤模板、通法、计算规范 3.只补高频漏洞 标注文档里“易被忽略”“隐含条件”“易错点”，考前只过这些，不全面复盘。 函数与导数 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 函数三要素（定义域、 基础题，常作为隐含条件出现在复杂问题 值域、对应关系) ★★☆☆☆ 的起点，易被忽略导致错误。 函数四大性质（单调性、 绝对核心。选择填空直接考查；解答题中 函数基础 奇偶性、周期性、对称 ★★★★★ 作为核心分析工具。对称性与周期性的综 性) 合是难点。 基本初等函数图象与性 是分析复杂复合函数的基石，图象识别与 质（幂、指、对、反比 ★★★☆☆ 性质应用是基本功。 例、对勾函数等) 导数的几何意义（求切 必考基础。常出现在选择、填空或解答题 线方程) ★★★★☆ 第一问，属于送分题，务必拿稳。 导数与函数单调性（求 导数基础 单调区间、由单调性求 核心中的核心。是几乎所有导数综合题的 ★★★★★ 解题起点和关键步骤。 参数范围) 导数与函数极值、最值 核心应用。与不等式证明、恒成立、实际 ★★★★★ (求极值点、最值) 问题求最优解等结合紧密。 不等式证明（构造函数、 经典难点，重点考查逻辑推理和转化化归 利用单调性、最值证明) ★★★★☆ 能力。 导数综合应 恒成立存在性问题（含 最高频难点。是区分考生能力的关键题型， 用 参不等式恒成立、能成 ★★★★★ 必须掌握参变分离、分类讨论、端点效应 立问题) 等主流方法。 函数零点问题（讨论零 ★★★★★ 最高频难点。与单调性、极值、图象深度 5/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 点个数、己知零点求参 融合，常用数形结合与分离参数法。 数范围) 传统难点，近年考查频度有所降低，更注 极值点偏移问题 ★★☆☆☆ 重通性通法，但掌握其原理有助于理解函 数形态。 与三角函数结合（如 显著上升的新趋势与难点。突破固定函数 2025I卷19题) ★★★★☆ 模型，对导数工具通用性和三角运算能力 要求极高。 创新与交汇 与数列、不等式深度融 体现模块综合，考查数学整体思维和跨章 合（如2025I卷16题） ★★★☆☆ 节知识迁移能力。 考查即时学习与应用能力，但剥开外壳后， 新定义函数或情境 ★★☆☆☆ 本质仍是分析给定函数的性质。 五道必刷题： 1,已知f)是定义在R上月周期为2的商居数，当0≤<1时、f)=2,则/()（) 3 A. B.1 C.-1 D 【答案】C 【解析】根据题意， 》+2x》-2》 2.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(Ix)g(x)是奇函数 【答案】C 【解析】令F(x)=f(x)g(x),.F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-E(x), ∴E(x)为奇函数，故A错误；令F(x)=f(x)g(x,∴ E(x)=f(-x)g(-x=f(x)g(x=f(x)g(x=E(x),·FB(x)为偶函数，故B错误： 令F()=f(xg(),.F(-)=f(-g(-)=f(xg(x)=E(x),.E(x)为偶函数，故C正确： 6/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令F(x)=f()g(x),∴.F(-x)=f(-x)g(-x)=f()g(x)=F(x),.F,(x)为偶函数，故D错误 3.若函数f(x)=2x-3mx2+6x在区间(2，+o)上为增函数，则实数m的取值范围为( A.(-0,2) B.(-0,2] 5 C.（, D.（-02 【答案】D 【解析】f'(x)=6x2-6x+6,当x∈(2，+o)时，f"()≥0恒成立， 即2-mx+120恒成立，m≤x+恒成立.g()=x+gx)=1-二 15 ∴.当x>2时，g'(x)>0,即g(x)在(2，+o)上单调递增，∴m≤2+ 22 4.若a满足x+gx=6,b满足x+10=6,函数f()=心+(a+b)x+2,x<0 则关于x的方程f(x)=5x 2,x≥0 的解的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析1由图像知a+b6,f()=+(a+b)r+2,x<0=r+6x+2x<0 2+6x+2=5 x<0 x≥0 2,x≥0 2,x≥0 {5x=2 解得x= 2 解的个数是1，故选D 5.函数f()=a+1血的单调增区间为() A.（-n,e） B.(0,e-） C.(0,e） D.(e,t∞) 【答案】B 【解折】因为f()-2，>0则/-1a,由f(>0,解得xe@e“):此时单调 递增 二、三角函数与解三角形 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 同角三角函数关系 ★★★★☆ 化简、求值的基础，常与诱导公式结合： （sim2a+cos2=1.tan0=sina//cos） 三角函数概 念与恒等变 诱导公式 实现“大角化小角”、“负角化正角”的关 ★★★☆☆ 换 键工具。 两角和与差公式、二倍角公式 核心工具。三角恒等变换的灵魂，用于 ★★★★★ 化简、求值、证明，是连接条件与结论 7/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 的桥梁。 辅助角公式（asix+bcasx化一） 研究三角函数性质（如求最值、周期、 ★★★★☆ 单调区间)的必备技能。 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（定 绝对核心。选择题、填空题的直接考查 义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、 ★★★★★ 对象，也是分析复杂三角函数的基础。 对称性) 三角函数图 最高频综合考点。涉及： 象与性质 1.图象变换（平移、伸缩）； 函数=Ai(ox+o)的图象与性质 ★★★★★ 2.由图象求解析式（识图）： 3.由性质求参数(o,p,A)。 三角函数的零点、最值（值域）问题 常与函数性质结合，或作为工具用于解 ★★★★☆ 三角形、实际应用问题中。 两大核心定理之一。适用于“两角一边” 正弦定理及其应用（边角互化、外接圆 半径) ★★★★★ 或“两边一对角”模型，是边角转化的主 要工具。 余弦定理及其应用（边角互化、判断三 两大核心定理之一。适用于“两边一角” ★★★★★ 解三角形 角形形状) 或“三边模型，尤其擅长处理边的平方 关系。 三角形面积公式(s=2 eabsinc等) 求面积的核心公式，常与正弦定理结 ★★★★☆ 合， 也用于建立边角关系。 三角形中的边角关系与内角和定理 隐含条件。是消元、化简三角恒等式的 ★★★★★ (A+B+C=π) 关键，极易被忽略。 解三角形的实际应用（测量高度、距离、 ★★☆☆☆ 体现数学建模素养，将实际问题抽象为 角度等) 解三角形模型。 与平面向量、解析几何、立体几何的交 体现知识的工具性，三角函数作为计算 ★★★☆☆ 汇 工具出现在其他板块的题目中。 综合与应用 解三角形中的最值/范围问题（求周长、 难点与热点。常需综合运用正余弦定 面积、边的范围) ★★★★☆ 理、基本不等式、三角函数值域或函数 思想求解。 多三角形问题（条件分散在多个三角形 考查分析能力，关键在于寻找“公共边' ★★★☆☆ 中) 或“公共角”作为桥梁联系多个三角形。 五道必刷题： L.已加2，P指是领角，a子ma,叭-手则月的直为（) 3 A. 24 25 B.、24 25 c居 D.、7 25 【答案】C 【解析】因为a,B都是锐角，所以0<a+B<元，则sina-等：sin(a+P)= 5 所ow8-[a-(}专专5 8/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,定义在R上的函数f()既是奇函致又是周翔函数若f因的最小正周期是且当x[0,引，)-n 则f八3) 8π 的值为(). A.5 B c.3 D.- 【答案】B 【解析】根据题设条件可知f )(gf到-)m 3.在△ABC中，角ABC的对边分别为ahC,点D在边AC上，已知A-写AD-5BD-7,esin B--bcos C 2 则BC=() A.8 B.10 C.83 D.10W3 【答案】A 【解析】如图所示： B 在△ABD中，A=写AD=5BD=7,由余弦定理可得， BD=AD2+A8-2MADc号得AB=8, 因为csin B=bcos),由正弦定理得sin Csin B=sin Bcos 因为sinB>0,得sinC=co 2 因为2 sin CcosC=cos9 C 2 cos5>0,所以sinS-{ 2-2 又因为0< 经u写c 3 所以三角形△ABC为等边三角形，即BC=8. 4.已知点D为△ABC外一点，BC=2AB=2AD=2CD,∠ADC=120°，则角B=() A.30° B.45 C.60° D.90° 【答案】C 9/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】不妨设BC=2AB=2AD=2CD=2,则在△ADC中，由余弦定理可得， AC2=AD2+DC2-2AD.DC.cos∠ADC,即AC2=1P+1P-2×1x1× 1 2 =3,则在△ABC中， AB+AC2=BC2,所以∠BAC=90,由AB=BC,知∠ACB=30,所以角B=60, 故选：C 5.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15的斜坡向上 走了600m到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为 () A A.300(W6+V2)m B.300(V6-2)m C.600(W3+1）m D.600(3-1m 【答案】A 【解析】依题意，∠PAQ=45°，∠BAQ=15°∠PAB=30,∠APQ=45, 又∠PBC=60,则∠BPC=30°，即有∠BPA=15°，∠PBA=135°， 在△ABP中，AB=60,由正弦定理得。AP 、AB sin∠ABP sin∠APB' B sin15'-sin(6-45)=sinG0'eos45-cos60'sin45 4 则AP=1Bsin∠ABP60sin135°600xY 2 1200√2 sin∠APB sin15o√6-V2√6-√迈 4 在RtPAQ中，PQ=Ain45-205-30w6+, V6-√22 所以山高P0为300（√6+√2）米. 10/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、数列 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 数列的通项公式(4，与n的关系) 研究数列的起点，是理解数列 ★★★★☆ 性质、进行后续运算的基础。 核心概念。高考命题的常见切 数列基础 数列的递推关系(a,与a-1等项的关 ★★★★★ 入点，由递推关系求通项是经 概念 典问题。 核心概念。与通项an的关系 数列的前n项和sm ★★★★★ (am=Sn-Snl,n22)是解题的万 能钥匙。 定义与通项公式（a,=a+0m-1)d 两大基本数列之一。定义、通 ★★★★★ 项、性质必须滚瓜烂熟。 等差中项性质（24=什b) 简化运算、判断等差数列的重 ★★★★☆ 要工具。 等差数列 前n项和公式Sn-a+am) 2 核心公式，常与函数结合考查 ★★★★★ n(n-1)d 最值。 Sn na+ 2 等差数列的性质（下标和相等则项 快速解题的“秒杀技巧，但需 和相等等) ★★★★☆ 理解其原理。 定义与通项公式(=ag1) 两大基本数列之一。定义、通 ★★★★★ 项、性质必须滚瓜烂熟。 等比中项性质（c2=b) 简化运算、判断等比数列的重 ★★★★☆ 要工具。 等比数列 前n项和公式(q=1和q≠1两种情 核心公式，尤其注意公比q的 况) ★★★★★ 讨论。 等比数列的性质（下标和相等则项 积相等等) ★★★★☆ 快速解题的技巧，需理解原理。 必会方法。利用 由s求a ★★★★★ 数列求通 a,=S3-1m>2并验证a。 项与求和 累加法、累乘法求通项 适用于特定递推形式（如 ★★★★☆ a+1=+fn.+1=fman）。 11/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 经典方法，将非等差等比数列 构造法求通项（如a,+1p4,+q型) ★★★★☆ 转化为等差或等比数列。 三大核心求和方法。裂项相消 分组求和、裂项相消、错位相减法 ★★★★★ 和错位相减是解答题高频考 点。 数列与函数、不等式的结合（如比 体现数列的函数属性（离散函 较大小、证明不等式) ★★★★☆ 数)，考查综合应用能力。 数列中的最值问题（求、的最值、 常将s视为关于n的二次函数 使a,最大的n等) ★★★★☆ (等差)或利用通项单调性解 决。 数列综合 新定义或探究题中可能出现， 数列的单调性、有界性等性质探究 ★★☆☆☆ 与应用 考查对数列本质的理解。 数列的实际应用模型（增长率、分 体现数学建模，将实际问题抽 期付款等) ★★☆☆☆ 象为数列模型。 显著上升的新趋势。考查即时 “新定义”数列问题（如2024年全国 I卷19题) ★★★☆☆ 学习、理解新规则并运用数列 核心知识解决问题的能力。 ●五道必刷题： 2 1.在数列a,}中，4=行3=3a+2则（） A.S。=n+n 3 B.S=+1 3 3n C.a=2 D.4=2n-青 【答案】A 【解析】由30-+2，得aa子，所以故数列和}是一个公范为号：首项为号的等差数列 3 22 a= +(n-D2=2n n( 3 n2+n 33 n,S,=330 2 3 2.Sn为等比数列{an}的前n项和，4>0，对neN,甲：S+>Sn;乙：a+>an;则() A.甲是乙的充分不必要条件 12/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：由Sm>Sn可得SH-Sn=ant1>0; 因此可知等比数列{an}的各项均为正数，所以公比q>0, 当q>1时，满足a1>an,当0<q<1时，满足a+1<a,因此充分性不成立； 必要性：因为4>0，若a+>a,可得等比数列{a}为递增数列，且各项均为正数， 所以a+1>0,因此S+1=Sn+anH>Sn,即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件 3.在△ABC中，A,B,分别是边BA,CB的中点，A,B2分别是线段AA,BB的中点，，A,Bn分别是线段 A-A,Bn-B(n∈N,n>1)的中点，设数列{an,{b,}满足：向量B,A=a,CA+bnCB(n∈N),有下列四个命 题，其中假命题是： A.数列{an}是单调递增数列，数列{b}是单调递减数列 B.数列{an+bn}是等比数列 C.数列（公）有最小值，无最大值 b D.若AMC中，C=0,CA=CB,凤风，则技小时，又+月 【答案】C 【解析】试腿分折：由B队=0-A=-C-C网.RB=2CB, gA-B,B+A-1-》0A+(2克-G.所以a=16-2点-1 所以C为假命题，故选C =一‘0=9+D是‘“S某唑近u咀3”及旺廉H茜M女 A 14 7 3 B.15 C.5 D.- 【答案】A 13/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】因为a+8a,=0,所以g=4=-1 1 489=-2 86 因此41-14155 1-g 5.公差不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn,若a=1且S,2S2,4S4成等比数列，数列 的 前n项和为Tm,若对任意n∈N,t>Tn均成立，则实数t的取值范围是() A.13 B.t>1 D.t≥1 【答案】D 【解析】设公差d不为0的等差数列{an}中，前n项和记为Sn, 若a1=1,且S1,2S2,4S4成等比数列，则4S2=4S,S4,即有(2a+d2=a,(4a+6d), 由a=1,解得d=2,则a,=1+2m-)=2n-l,所以s-1+2n-=i, 0+=2n+1=11 S,S n2(n+1)2 n2 (n+1' 111 11 则Tn=1- 22+2 32+.+ -11 n2n+12 (a+<1,所以1≥1，故选：D 四、立体几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 基本立体图形的结构特征（柱、 认识几何体的基础，常以小题判断正误形式 锥、台、球) ★★★☆☆ 考查。 直观图（斜二测画法） ★★☆☆☆ 新课标己淡化，但理解画法有助于空间想象。 空间几何体 表面积与体积计算（柱、锥、 高频计算考点。选择题、填空题常见，解答 台、球) ★★★★☆ 题中也可能作为一问。 组合体的表面积与体积（切割、 拼接) ★★★☆☆ 考查空间分解与组合能力。 四个基本事实（公理）及其推 逻辑推理的基石，用于证明共面、共线等问 论 ★★★☆☆ 题。 空间点、线、 面 空间点、线、面位置关系的判 断（平行、垂直、异面、相交、 基础核心。选择题高频考点，必须清晰理解 ★★★★☆ 定义。 在面内) 平行关系 线线平行的判定与性质 平行关系证明的起点，常与线面、面面平行 ★★★★☆ 结合。 14/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线 线面平行的判定与性质 ★★★★★ 线平行→线面平行)和性质定理（线面平行 →线线平行)必须熟练掌握。 判定定理（线面平行→面面平行）和性质定 面面平行的判定与性质 ★★★☆☆ 理（面面平行一→线线平行）是重要工具。 线线垂直的判定与性质 垂直关系证明的起点，定义、三垂线定理（逆 ★★★★☆ 定理)是常用工具。 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线 垂直关系 线面垂直的判定与性质 ★★★★★ 线垂直→线面垂直)和性质定理（线面垂直 →线线垂直)是重中之重。 判定定理（线面垂直→面面垂直）和性质定 面面垂直的判定与性质 ★★★★☆ 理（面面垂直→线面垂直）是证明和计算的 关键桥梁。 异面直线所成角 高频计算考点。定义法（平移）或向量法求 ★★★★☆ 解。 直线与平面所成角（线面角） 解答题核心考点（第2问）。定义法（找射 ★★★★★ 影)或向量法求解。 空间角与距 离 解答题核心考点（第2问)。定义法（作棱 二面角（平面与平面所成角） ★★★★★ 的垂线)、三垂线法、射影面积法或向量法 求解。 点到平面的距离 向量法（投影法）或等体积法是主要方法。 ★★★☆☆ 新课标要求有所加强。 空间向量的线性运算与坐标表 ★★★☆☆ 工具基础，需熟练。 示 空间向量基本定理与基底思想 深刻理解“基”的思想，是向量法灵活应用的 ★★★☆☆ 关键。 用向量表示点、直线、平面（方 向量法的前提。准确求出法向量是解题第 空间向量 向向量、法向量) ★★★★☆ 步。 方法直观，但高考中更倾向于考查综合法证 用向量法证明平行与垂直 ★★★☆☆ 明。 解答题核心工具（第2问)。将几何问题代 用向量法求空间角与距离 ★★★★★ 数化，是解决复杂度量和位置关系问题的强 有力工具。公式必须记准。 翻折（折叠）问题 热点题型。考查动态中的不变性（长度、平 ★★★★☆ 行、垂直关系)。 截面问题 ★★★☆☆ 考查空间想象和作图能力，难度较大。 综合与创新 多面体与球的外接、内切问题 难点与热点。关键在于确定球心位置，常转 ★★★★☆ 化为解三角形问题。 动态与最值问题 ★★★☆☆ 综合性强，常需结合函数、不等式知识。 “鳖臑”、“阳马等经典模型 教材或文化背景中出现的典型几何体，熟悉 ★★★☆☆ 其性质可快速破题。 15/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·五道必刷题 1.在平面内，直线a与斜线b在平面a内的射影垂直，那么下列说法正确的是() A.直线a与斜线b垂直 B.直线a与斜线b平行 C.直线a与斜线b异面 D.无法确定直线a与斜线b的关系 【答案】A 【解析】设斜线b与平面u的交点为P,过b上任意一点Q(Q不同于P)作平面a的垂线， 垂足为O,则PO为斜线b在平面u内的射影 法1：已知直线a在平面a内，且a⊥PO.根据三垂线定理可知直线a与斜线b垂直. 所以选项A正确，B错误： 法2：对于A,因为Q0⊥平面a,而aca,故Q0⊥a, 而OP⊥a,QO∩OP=O,QO,OPC平面OPQ,故a⊥平面OPQ, 而bc平面OPQ,故b⊥a,故A正确，B错误. 直线a,b可能相交，也可能异面，故C错误： 因为可以确定直线a,b垂直，所以选项D错误 2.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，M,N分别是下底面的棱AB,,B,C的中点，P是上底面的 枝AD上的-点，AP-行过P,M,N的平面交上底面于P0.Q在CD上，则O等于() A. 2W2 B. C.2 D.2V5 3 3 3 【答案】A 【解】析知图所示，易知平面ARCDI平面ABCA,则MNIPQ,因为AP-写所以cQ-号所 DP-D0-号，所以P0-Dp+D0-2 3 16/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D. A M B 3.如图，P是正方体ABCD-AB,CD中BC上的动点，下列命题： D ①AP⊥B,C;②BP与CD所成的角是60°；③Vn-ADc为定值； ④BP∥平面DAC;⑤二面角P-AB-C的平面角为45°. 其中正确命题的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】①在正方体中，AB⊥B,C,BC1⊥B,C,AB∩BC,=B, 所以B,C⊥平面ABCD,APC平面ABCD,从而AP⊥B,C正确： ②由于CD IIA B,并且BC1,AB的夹角是60°， 故BP与CD所成的角是60°正确： ③虽然点P变化，但P到AD的距离始终不变， 故Vr-ADc为定值正确： ④若BP∥平面DAC,而BC∥平面DAC, BP∩BC,=P,BP,BCC平面BB,CC, 所以平面DAC∥平面BB,CC,这与平面DAC与平面BBCC相交矛盾， 所以不正确： ⑤P点变化，但二面角P-AB-C都是面ABC,D,与面ABCD所成的角， 故二面角P-AB-C的平面角为45°正确： 故选：C. 17/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知矩形ABCD,M是边AD上一点，沿BM翻折△ABM,使得平面ABM⊥平面BCDM,记二面角 A-BC-D的大小为a,二面角A-DM-C的大小为B,则() A.a<B B.a>B C.a+pc月 D.&+B> 【答案】D 【解析】过点A在平面ABM内作AH⊥BM,垂足为点H, 过点H作EFI/CD分别交直线BC、DM于点E、F,连接AE、AF, 设AB=a,∠AMB=y,则Y为锐角， H E 因为平面ABM⊥平面BCDM,平面ABMO平面BCDM=BM,AH⊥BM,AHC平面ABM,所以，AH⊥ 平面BCDM, :BCC平面BCDM,.AH⊥BC,因为CD⊥BC,则HE⊥BC, HE∩AH=H,.BC⊥平面AHE,:AEc平面AHE,.AE⊥BC, AH AH 故二面角A-BC-D的平面角为∠AEH=au,且tana= HE ,同理tanB= FH 在Rt△BAM中，∠BAM= 2 又因为AH L BM,则∠BAH=7-∠ABM=AMB=7, .AH -acosy.BH=asiny,MH=AH=acos'y tany siny DFlIBC,则∠HBE=∠HMF=y, 所以，EH=BHsiny=asin2y,FH=H siny=acos2y, Am-dco=sin:tan B=An=dcosy= tan a= FH acos2y cosy 无法比较siny和cos2y的大小关系，故无法比较tana、tanB的大小关系，即a、B的大小无法确定， 因为0<u<行0<B<号则0<a+0<, 18/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 因为tan(a+B)= tana+tan B tana tan B cosy 1 <0 1-tanatan B 1 -1 sin2y-1 cos3y tan a tan B 所以，a+B>云 5.已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为16√3，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的 正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为() A 56 B. 28√3 C.28 D. 28√2 3 3 【答案】D 【解析】如图，设正四棱锥底面中心为O,则原正四棱锥的高为SO,又取AD中点为E, 则侧面等腰三角形的高为S汇，则正四棱锥侧面积为4××4xSE=165一SE=2,5. 则S0=√SE2-0E2=√12-4=2√2.因为正四棱锥的底边长为4，截面正方形的边长为2，则截面经过原 正四楼锥各侧陵的中点，所以正四校台的商为智-万，则校台体积v=2公×平+4小万-三 故选：D 五、解析几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 直线的倾斜角与斜率 ★★★☆☆ 基础概念，是研究直线位置关系的基础。 直线方程的几种形式（点斜 式、两点式、一般式等) ★★★☆☆ 必须熟练，会根据条件选择合适形式。 直线与方程 两直线平行与垂直的判定（斜 ★★★★☆ 高频基础。小题和解答题中均常用。 率关系) 距离公式（两点间、点到直线、 核心工具。在圆、圆锥曲线问题中频繁使 两平行线间) ★★★★☆ 用。 圆的标准方程与一般方程 ★★★★☆ 必须熟练互化，能从方程读出圆心和半径。 圆与方程 点与圆、直线与圆、圆与圆的 ★★★★★ 核心内容。判断位置关系（特别是直线与 19/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 位置关系 圆)是高频考点，常涉及距离比较。 常用“圆心到直线距离d=半径r”求切线； 圆的切线方程、弦长问题 ★★★★☆ 用“垂径定理（半径、弦心距、半弦长关系） 求弦长。 定义（到两焦点距离和为定 两大核心圆锥曲线之一。定义是解题的源 ★★★★★ 值)与标准方程 头，方程是工具。 椭圆 几何性质（范围、对称性、顶 必考内容。离心率e是核心参数，联系 ★★★★★ 点、焦点、离心率e) a,b,co 焦点三角形（涉及定义、余弦 ★★★★☆ 经典模型，常用来求离心率或面积。 定理) 定义（到两焦点距离差绝对值 为定值)与标准方程 ★★★★☆ 注意与椭圆的区别，定义应用广泛。 双曲线 几何性质（范围、对称性、顶 渐近线是双曲线的特有且核心性质，近年 点、焦点、离心率e、渐近线) ★★★★☆ 考查热度高。 定义（到焦点与准线距离相 等)与标准方程 ★★★★☆ 定义应用极其灵活，是简化运算的关键。 抛物线 几何性质（焦点、准线、通径） 焦点弦相关性质（如以焦点弦为直径的圆 ★★★★☆ 与准线相切)是常考结论。 坐标法（建系） ★★★★★ 解析几何的根本方法，将几何问题代数化。 待定系数法 ★★★★☆ 求曲线方程的基本方法。 核心运算技巧。联立方程后，利用韦达定 核心思想与方 设而不求，整体代换 ★★★★★ 理（根与系数关系）处理交点坐标和，避 法 免直接解出。 数形结合思想 灵魂思想。画图分析几何特征，引导代数 ★★★★★ 方向。 转化与化归思想 将复杂问题（如最值、定点定值）转化为 ★★★★★ 函数、不等式等模型。 直线与圆锥曲线的位置关系 解答题绝对核心。通过联立方程，用判别 ★★★★★ (相交、相切、相离) 式△判断。 弦长问题 ★★★★☆ 公式 中点弦与垂直平分线问题 ★★★☆☆ 常用“点差法”处理中点弦斜率。 综合问题 定点与定值问题 高频压轴题型。考查运算能力和恒等变形 ★★★★☆ 技巧，通常需先猜后证。 高频压轴题型。常转化为求函数值域或利 范围与最值问题 ★★★★☆ 用基本不等式、几何意义求解。 轨迹方程问题 ★★★☆☆ 定义法、相关点法（代入法）、参数法等。 ● 五道必刷题： 1.圆x2+y2-4x-6y+9=0的圆心到直线ax+y+1=0的距离为2，则a=() 20/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B. D.2 4 C.2 【答案】B 【解析】圆的标准方程是(x-2)2+(y-3)2=4,圆心为2,3)，， 2a+3+l=2,解得a= 3 Va2+1 4 故选：B 2.双曲线y 416 =1的一个顶点到渐近线的距离为()·. A.5 B.4 C.45 D.25 5 【答案】C 【解析】由双曲线的方程知两顶点A(-2,0),A(2,0), b 渐近线方程为y=士二x=2x, a 445 由对称性，不妨求A到直线y=2x的距离，d= V22+(-1 5 故选：C 硒圆C名+a>6>0的左顶点且斜率为的直线1与圆G,产+P=仔交于不同的两个点 椭圆C的离心率的取值范围是( c 2W5 D 【答案】C 【解析】由题意可得，直线的方程为y= (x+a,即x-2y+a=0. 由直线l与圆C,交于两个不同的点可得：坐标原点O到直线l的距离d= <b. 5 即a2<5b2=5a2-5c2,整理可得：e<5:解得：-252V5 5-<ex 25 又椭圆的离心率：0<e<1,故：0<e< 5 故选：C 4.已知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点，点M在线段OB上，且OB=3OM,点N在 射线OA上，且ON=3OA,过M,N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C,D,则CD的最小值为 21/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【解析】设直线AB的方程为x=my+1,代入抛物线y2=4x,可得y2-4my-4=0, 设A(X,y1)，B(2,y2),则y1+y2=4m,yy2=-4 1 12 ≥4，当且仅当y2=6时，取等号， 即CD的最小值为4， 故选：A 知P为椭圆+方Ia>b>0上任意一点，点M,N分别在直线：y=亏x与4：y=x上，且PL PN∥4，若PM+PW为定值，则椭圆的离心率为() A.月 B.3 3 C.② 2 D. 5 2 【答案】D 【解折】设，，则直线PM的方程为y=+空+% 1x-0+yo, 直线PN的方程为y=2x-2 11 联立方程组 y=2x+2+% 2 1 ,解得M宁+6，圣+空， y=2 y=x-+y 1 联立方程组 2 2 1 ，解得空-6：圣+之， 42 y=-5x 2 Pwr+Pwf=合-w-+空+w+空-+， 24 Px,y)在椭圆上，b2x后+ay=a2b2, 5 5 4e2=a-b .b2_8=1 86+26为定值，仁= 1、13 a 5 441 2 e=B 2 故选：D. 22/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六、概率与统计 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 随机事件、概率的定 基础概念，理解必然、不可能、互斥、 义与性质 ★★★☆☆ 对立事件。 古典概型 高频基础。等可能事件的概率计算，常 ★★★★☆ 用枚举法或排列组合计数。 几何概型 新课标己淡化，但需了解其与古典概型 ★★☆☆☆ 的区别（无限样本空间)。 概率基础 条件概率 ★★★★☆ 核心增长点。理解定义P4B)=P(AB P(B) 核心增长点。判断事件是否独 事件的独立性 ★★★★☆ 立P(AB)=P(A)P(B),是复杂概率模型的 基础。 全概率公式与贝叶斯 新高考热点与难点。用于处理复杂、多 公式 ★★★☆☆ 步骤的概率问题，体现逻辑推理。 离散型随机变量及其 解答题核心。必须会求分布列，理解其 分布列 ★★★★★ 性质（概率非负、和为1）。 离散型随机变量的期 解答题核心。EX)反映平均水平 望（均值）与方差 ★★★★★ DX)反映波动程度。公式及性质必须熟 练。 随机变量及 其分布 最重要模型之一n次独立重复试验中成 二项分布XB,p) ★★★★☆ 功次数的分布。识别标志：“独立”、“重 复”、“概率不变”。 超几何分布 不放回抽样模型。识别标志：“任取n件”、 ★★★☆☆ “含M件次品”。需注意与二项分布区别。 抽样方法（简单随机、 分层、系统抽样) ★★★☆☆ 了解不同方法的适用场景和操作步骤。 数字特征：平均数、 统计基础 中位数、众数、方差、 核心工具。理解各自含义、计算及在数 ★★★★☆ 标准差 据分析中的作用。 图表：频率分布直方 ★★★☆☆ 会从图表中提取信息（频率、频数、众 23/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 图、茎叶图、扇形图 数区间、中位数位置等)。 应用热点。理解相关关系与函数关系的 一元线性回归模型 ★★★★☆ 区别，会求经验回归方程bx+a,会 用r判断线性相关性强弱。 统计案例 应用热点。理解2×2列联表，会计 独立性检验 ★★★★☆ 算2统计量，并能根据临界值表判断两 变量是否独立。 概率与数列、函数结 难点。常需建立递推关系求概率，考查 合（递推型概率） ★★★☆☆ 建模能力。 综合与创新 概率与导数结合（最 将概率或期望表示为函数，用导数求最 优化问题) ★★★☆☆ 值。 统计与决策 基于统计结果（如回归预测、检验结论）》 ★★★☆☆ 进行合理推断或决策，体现应用性。 五道必刷题： 1,某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为；，两次闭合后 都出现红灯的概率为 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为() 1 2 A.10 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得PA)= 2.P(AB)= 5 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是：P(6A)=PAB) P(A) 故选：C 2.在(1-x)1+2x)°的展开式中，x的系数是() A.-40 B.-20 C.20 D.40 【答案】D 【解析】(（1-x)1+2x)=(1+2x)-x(1+2x)3，(（1+2x)的通项为T+1=C5(2x)°(r∈{0,1,2,3,4,5}) 24/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以x的系数是1xC(2x)×1P+(-x)xC(2x)×13=80-40=40. 故选：D 3.已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回， 直到取出2个正品为止.设X为取出的次数，则P(X=3)=() A. B. 3 D. 【答案】C 【解析】任取三次灯泡所对应的事件总数为A。,而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为3次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为CCAC, 所以P(X=3)=CCA3C-2 5 故选：C 4.已知5是离散型随机变量，则下列结论错误的是 A.P)Pg≤ B.(E(5)≤E(5) C.D(5)=D(1-) D.D(5)=D-)) 【答案】D 【解析】在A中， rp》r55 故A正确： 在B中， 由数学期望的性质得(E(5)}≤E(5),故B正确； 在C中，由方差的性质得D(5)=D(1-),故C正确： 在D中，D()≠D-)）=4D(5)+D(),故D错误. 故选D. 5.已知随机变量X的分布列如下表： 0 b C 其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤。对所有a∈(0,1-b)都成立，则() 3 25/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.b≤ 2 B.b≤ 1 2 C.b≥ D.b2 3 3 3 【答案】D 【解析】由X的分布列可得X的期望为E(X)=-a+c,又a+b+c=1, 所以X的方差D(X)=(-1+a-c)'a+(a-c)'b+(1+a-c)c =(a-c)(a+b+c)-2(a-c)2+a+c=-(a-c)2+a+c=-(2a-1+b)2+1-b -4a-2+1-6 因为a(Q1-).所以当且仅当a-12时，D(X)取最大值1-b, 又D(X)3对所有ac(0.1-b)成立， 2 所以1-b≤3解得6≥行 故选D 热点02：新情境试题：传统文化、科技背景、生活应用 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识 的考查置于具体背景中，旨在引导学生由“解答试题转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 一、新情境试题的命题理念与功能 核心理念：落实“一核四层四翼”高考评价体系。 “一核”（立德树人）：通过情境发挥育人功能，引导学生关注国家发展、传承文化、树立正确价值观。 “四翼”（考查要求）：基础性、综合性、应用性、创新性主要通过情境载体来实现。 “四层”（考查内容）：核心价值、学科素养、关键能力、必备知识在解决情境问题的过程中得以综合 展现。 选拔功能：区分学生在陌生、复杂背景下抽象数学问题、建立模型、灵活运用知识的能力。 引导功能：推动教学从“知识灌输”转向“素养培育”，加强“教考衔接”，体现“无情境，不教学”的原则。 育人功能：厚植家国情怀，增强文化自信，培养社会责任感与科学精神。 26/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、三大核心情境类型与典型例题分析 情境类型 命题目的与特点 典型背景与例题 考查的素养与能力 古代科技与数学著作：“会圆术”(2022全国甲卷理8， 沈括《梦溪笔谈》)“割圆术”、“海岛算经”（刘徽）“祖 弘扬中华优秀传统文化，坚暅原理”（球体积计算） 数学建模、数学运算、逻 1.优秀传统 定文化自信，感悟先人智 古代建筑与工程：举架结构(2022新高考Ⅱ卷3)；天辑推理、直观想象。重点 文化情境 慧。 多属于强情境，需理 坛圆丘坛石板(2020全国Ⅱ卷理4)；日晷(2020新高 考查从文化描述中抽象数 解文化背景才能解题。 考I卷4) 学关系、建立模型的能力。 人文艺术：剪纸艺术(2021新高考卷16)《周易》卦 象(2019全国I卷理6) 航天科技：嫦娥二号绕日探测(2022全国乙卷理4)； 展现国家科技成就，激发科 北斗三号导航系统(2021新高考Ⅱ卷4)；天宫课堂、探数学抽象、数学建模、数 2.科技发展 学兴趣，树立服务国家建设 月工程 据分析、逻辑推理。考查 与进步情境 的信念。强调理论联系实 重大工程：南水北调工程(2022新高考I卷4，棱台体在科技背景下理解新概 际，体现数学的工具价值。 积) 念、进行数学表征和运算 前沿科学：5G信号塔覆盖、区块链密码：Logistic疫情模的能力。 型(2020全国Ⅲ卷) 公共卫生与健康：疫情防控、垃圾分类(2022全国甲卷 文理2)：卫生习惯调查(2022新高考I卷20) 3.生产生活 关注社会现实，学以致用 培养社会责任感和实践能 生态环境：树木材积量估计(2022全国乙卷文理19)；空 数据分析、数学建模、数 与经济社会 学运算、逻辑推理。突出 气污染治理 发展情境 力。情境贴近学生生活， 应用性强。 经济生活：农户收入调查、乡村振兴、“一带一路”知识 数据处理、概率统计知识 在实际决策中的应用。 竞赛 体育文娱：北京冬奥会志愿者培训、比赛计分 三、新情境试题的命题趋势与难点 优秀传统文化情境 弘场中华优秀传统文化，感悟先人智慧，考查数学建模、逻掴推理等能力 数学情境与素养 科技发展与进步情境 ·展现国家科技成就，考查数学抽象、数据分析等能力 生产生活与经济社会发展情境 关注社会现实，培养社会责任感和实践能力，突出数据处理概率统计知识应用 趋势一：情境更加真实、多元与融合 素材来源极广，从古籍、新闻、科研论文到社会生活。跨学科情境增多，要求具备更广的知识面和信 息整合能力。虚拟科研场景出现，需从示意图、数据流中自主提取信息。 趋势二：阅读量与信息复杂度增加 题干篇幅普遍较长（如2022新高考Ⅱ卷3题关于举架结构的描述）。包含大量非数学术语和背景信息， 考查数学阅读理解能力。 (2022新高考Ⅱ卷3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水 平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD,CC,BB,AA是举， OD,DC,CB,BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 光-05瓷-4器=%-飞.已 OD. DC. 27/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知k,k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=() A C D 6 D 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 【解析】设OD=DC1=CB=BA=1,则CC=k,BB=k2,AA=k, DD+CC+BB+A4=0.725, 依题意，有k-0.2=k,k-0.1=,且OD+DC+CB+BA 所以05+3，-03-=0.725，故k=0.9, 4 故选：D 趋势三：强化对“数学建模”素养的考查 无论何种情境，最终都指向“从实际情境中抽象出数学问题，用数学方法求解，并解释实际意义的完 整建模过程。这是区分学生综合应用能力的核心。 主要难点： 信息筛选难：从大段文字中快速提取关键数学条件。 模型建立难：将陌生的实际关系转化为熟悉的数学结构（函数、方程、几何图形等）。 数学化表达难：用准确的数学语言描述情境中的规律。 四、备考策略 拓宽视野，关注热点：主动了解国家重大科技成就（航天、深海、AI)、社会热点（环保、健康）和 优秀传统文化中的数学元素。 强化阅读，训练审题：进行专门的“长题干”审题训练，练习圈画关键词、剔除冗余信息、用符号语言 简化条件。 掌握建模通法：理解数学建模的一般步骤（审题→抽象→建模→求解→检验），并通过典型例题（如 人口增长、成本利润、几何测量)进行练习。 回归教材，重视本源：教材中的“探究与发现”、“阅读与思考”、“例题与应用栏目是情境题的源头，务 必深挖。 28/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 心态调整：面对陌生情境不畏惧，坚信“背景虽新，考点仍旧”，核心是剥去情境外壳，找到内在的数 学本质。 五、新高考数学专题模拟题 1.立体几何与导数综合 如图所示的某种容器的体积为h,= 90r 231 它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面 网半仔都为九-9名固提的商为么一 90r 90r 3 母线与底面所成的角为h,= ；圆柱的高为hcm. 23 己知圆柱底面造价为2a元/cm2,圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为√2a元/cm2. (1)将圆柱的高h表示为底面圆半径”的函数，并求出定义域： (2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？ 【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h=r, 圆锥的体积为Yh二卡。圆挂的体积为心二五 3 因为V+V2=90m,所以V=πr2h=90π-三πr3, 所以么，= 270-r390r 3r2 -r23 因为%=有矿<90x.所以r<3而 90r 因此0<r<310.所以h= 户3′定义域为0<r<301. (3)圆锥的侧面积S,=πr√2r=√2πr2, 圆柱的侧面积S2=2πrh2,底面积S,=πr2. 容器总造价为 y-FiaS.taS.+20S,-2xra-2rha2xa -2)=2+r 9+ 29/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0=r44则f)=2r4令f)=0,得r3 当0<r<3时，f'(r)<0,f(r)在(0,3)上为单调减函数： 当3<r<310时，f(r)>0,f(r)在(3,310)上为单调增函数. 因此，当且仅当r=3时，f(r)有最小值，即y有最小值，为90πa元 所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3cm. 第2题：传统文化情境（解三角形) 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中提出“重差术”，即利用两次测量计算不可达距离。如图，为测 量山顶P的高度，选择与山脚0在同一水平面的两点A,B进行观测。测得AB=30米，在A,B两点测 得山顶p的仰角分别为30°和45°，且∠APB=45°。则山高0P=一米。 B 【解析】建模：设OPh:在△4PB中：已知AB=30:∠APB45, 且PMo2PB-=吃： 应用余弦定理：在△4PB中，AB=PA+PB-2PAPB:cos∠APB 即302=(22+√2n2-2-(2h)-√2h)-cos45。 解得h=√450=15V2. 答案：15V2。 第3题：科技背景情境（数列与概率综合） (25-26高三上·广东深圳期末)某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节 点在线，3个为宕机.每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为p(0<p<): 30/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若该节点己在线，则仅进行维护，用X,表示第n个月后在线节点数，E(Xn)表示其期望，且 Ex广-1-号E(x,)+p. (①)当p=时，求P(X2=3): 3 (2)已知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总 期望经济损失不超过36万元，求P的最小值. 【解析】1)若p=了由题意可知：X=23, 初始：X,=2(2台在线，3台宕机) X2=3说明：两个月合计恰好修好1台宕机节点，分两种互斥路径： 路径①：第1月修好，第2月无新增修复 第1月：抽查宕机（概率彩且修复成时X=3:PK1=3)= 第2月：在线3台、宕机2台，P1=+×(1-)=号 路径②：第1月没修好，第2月修好 第1月：抽查宕机但失败品X=2: 第2月：抽查宕机且成功}}= 13+121 PCX2=3)=P1+P2=75=3 因为X=3表示巡查节点为宕机节点且修复成功，则P(X,=3刭=×；！ 535' 可得P(x,=2)=1-P(X=3)=5 4 又因为X2=3表示在X1=2的前提下，巡查节点为宕机节点且修复成功的情况，或在X,=3的前提下， 巡查节点为在线状态且无需修复的情况， x-含-子 (3)由题意可知：X1=2,3, 31/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且P(x=)-3P,P(x=2)=1-PX,-3)=1- p, 可得(x)-3×3P+2-3小2+ 3 3 因为0<n1,则1-号<1 因为E(Xm)表示在线节点数的期望，则5-E(Xm)表示宕机节点数的期望， 且E(x)-号F(x,)+P,则5-(x）1号5-E(x】: 且5-E(X)=3-亏D≠0，可知数列5-E(x.}是以首项为3-了P,公比为1-2的等比数列， 3 则5-(0x)3-3P01-” 可得数列5-E(X}的前n项和s 得别 1-1-) 因为0p,则30,1--)1 可得S.= --5 由题意可得：2<2日56，解得号p<1, 所以P的最小值为 第4题：生活应用情境（概率与统计） 某社区为推广垃圾分类，对居民进行知识问答。已知男性居民答对题目的概率为0.7，女性居民答对的 概率为0.6。现从该社区随机抽取一人，若其答对题目，则其为男性的概率为0.6。假设该社区男性与女性 人数之比为：n ()求：n的值： (2)现随机抽取3人进行问答，用X表示答对人数，求X的分布列及数学期望。 【解析】(1)设事件4：抽到男性，B:答对。已知PB4)-0.7:PB4)=0.6P4B)0.6 32/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由全概率公式：PB-P代0PA+P④)PBA产0.7+<06 由贝叶斯公式：PAB2M-0.6° P(B) 联立解得m:3:2° 3)由（山）知，社区中任一人答对的概率p一P8)=×07+06=066 则XB3.0.60分布列PX-C0.660.343,0,12,3 数学期望EB(0只p=3×0.66=1.98° 答案：3：2：(2)分布列略，0=1.98。 热点03：函数与导数压轴命题趋势（隐零点、同构、放缩） 函数与导数作为新高考数学的“压轴重镇”'，其命题在保持对单调性、极值、零点、不等式证明等核心 问题考查的同时，方法层面呈现出鲜明的规律性。隐零点、同构、放缩已成为解决导数综合题的三大主流 高阶工具，深刻体现了命题从“重技巧”向“重思维的转变。 一、整体命题趋势与定位 1.核心地位：解答题压轴或次压轴（如新高考第18、19题)，分值约12-15分，是体现选拔功能的关键。 2.考查导向：从单一知识考查转向综合性、探究性、创新性考查。强调在复杂函数结构（混合指数、对数、 多项式、三角函数)中，灵活运用导数工具进行逻辑推理和数学运算。 3.常见题型：参数范围问题、零点问题（个数、存在性）、不等式证明（恒成立、存在性）、极值点偏移、 双变量问题等。 4.“反套路”趋势：单纯记忆解题模板已难以应对。命题注重结构分析和思维过程，要求考生能根据题目特 征，自主选择并组合运用隐零点、同构、放缩等方法。 二、 三大核心方法深度剖析 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 三步曲： 1.判定存在：用零点存在定理确定 处理导数零点不可求 :2022全国乙卷理21：x=hn1+w)taxe的 或不易求的问题。 导函数零点x的存在性及大致范 围。 零点问题，需设导函数零点知讨论。 1.隐核心是“设而不求”， 2. ·2021天津卷20：-a-xe的恒成立问题， 零点 将零点作为一个过渡 确定单调性：以x,为界，确定原函 变量，利用其满足的 数x)的单调区间。 设f化n)=0后整体消元。 整体代换：将关于x的方程（如 ·2020全国I卷21：零点绝对值问题，涉及 3. 方程进行整体代换。 fxn)0)变形，代入n)等表达式 隐零点分析。 中，化简证明目标。 将方程或不等式两边操作关键： 2.同 2022新高考1卷22：x)em与 变形为相同结构，从1.观察变形：利用指对互化 构 g(x)=m-x有三个交点横坐标成等差数列，利 而构造函数，利用其 （enx=x)、对数运算法则，将式子 用同构e1-x1=n-hmn=er0mxn证明。 单调性简化问题。 化为同一函数形式 :2022全国甲卷理21：x=ek-hnx+x-a:变 33/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 适用于指对混合型、 Fg(x)=Fh(x)或Fg(x)≥Fh(x) 形为emx+k-nx>a令f-hmx同构求解。 跨阶超越式。 ·2020新高考I卷21：xae-mx+m变 2.构造函数：根据共同结构构造外 形为atx-1+(na+x-l)≥erx+lnx 层函数F(0 3.利用单调性：研究F的单调性， 将问题转化为比较内层函数gx与 h(s的大小关系。 切线放缩：e≥x+1(x=0取等)， mx≤x-1(x=1取等)，及其变形（如 利用已知不等式对复 杂函数进行简化，以两大应用： e2ex,血x≤等)。 达成证明或取点的目A.不等式证明：将超越式放缩为多 3.放 项式，化繁为简。 。真题应用： 的。 缩 常用于不等式证明、 B.零点取点：在单调区间端点，通 -2022全国乙卷理21解法中，利用1n(1+xs× 进行取点，证明零点存在。 零点存在性定理中的过放缩找到函数值异号的点。 2020年浙江卷、2021年新高考卷的零点问 “取点”。 题解析中，均强调“放缩取点”是突破难点的 关键技巧。 2025年天津卷20题评析指出，在处理多零 点不等式证明时，连续放缩是重要思路。 三、方法融合与综合命题趋势 近年压轴题很少单独考查一种方法，而是多法融合，要求考生具备策略选择能力。 1.“隐零点+放缩”：当隐零点范围不够精确，需要估计函数值符号时，常用放缩辅助。例如，在证明 x)>0时，利用x,满足的方程和不等式进行放缩。 2.“同构+隐零点”：通过同构化简函数形式后，新函数的极值点可能仍为隐零点，需要设而不求。例 如，2022甲卷题同构换元后，新变量的范围确定需借助隐零点思想。 3.“放缩+同构”：有时直接同构困难，先进行适当放缩，创造出同构结构。例如，将e放缩为e+血x 后再尝试同构。 综合命题新特点： 1. 与数列、三角融合：如2025年试题出现导数与三角函数的综合，放缩时需结合三角不等式。 2.双变量/多变量问题：极值点偏移、拐点偏移本质是双变量问题，其证明过程高度依赖“对称化构造” (本质是一种同构)和对数均值不等式（一种重要的放缩工具）。 3. “必要性探路”先行：对于恒成立求参问题，常先利用特殊值或极限得到参数的必要范围，再结合放缩、 同构等手段证明其充分性，提高解题效率。 四、备考策略 1. 理解本质，而非记忆套路：明白每种方法的适用条件和思维原理。隐零点核心是“整体代换”，同构核 心是“统一结构”，放缩核心是“化超越为初等”。 34/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 建立“工具箱”：系统整理并熟练证明常用的放缩不等式（如指数、对数切线不等式）。掌握常见的同 构变形模式（如xe-e*lax,亡=elnx)。 3.专题突破，对比训练：将涉及同一方法的历年真题集中训练（如专门练习“隐零点设而不求”的题目）， 对比不同题目中处理隐零点方程的技巧。 4. 强化“结构观察”训练：拿到一道导数题，先不急于求导，而是花时间观察函数式结构，思考能否同构、 可能用到哪些放缩、导函数零点是否明显。 5.规范表达训练：隐零点问题中，对零点存在性的说明、范围的推导、整体代换的书写，必须逻辑严谨、 步骤清晰。 五、典型例题 第1题：同构与恒成立问题（多选题） 已知函数f(x)=ae-x,8(x)=n+x,则下列说法正确的是(） A.若f(x)≥0恒成立，则a∈ + B.x=1是g(x)的极值点 C.若函数y=f(x)+g(x)恰有2个正零点， 则ae D.若关于x的不等式f()+g()s0有解，则ae(-m0U0月 【答案】ACD 【解析】由题意可知：a≠0. 对于选项A:若f()≥0恒成立，可得a≥X恒成立， 令(=三，则()-=上 令H(x)>0,解得x<1:令(x)<0,解得x>1: 可知h(x)在(-m,)内单调递增，在(L,+切)内单调递减，则h()sh)= e 可得a≥，即a∈，to 1 故A正确： e e 对于选项B:若a<0,令2>0，解得x<0, 此时g(x)的定义域为(-o,O),x=1不在定义域内，故B错误： 对于选项C:由题意可知：x>0,令口>0，解得a>0, 令y=f(+g()-(ae-计ng+-0,可得e+x+ina=c+lnx 35/257 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 构造h(x)=e+x,则h(x+lna)=h(lnx), 因为h(x)在定义域(0，+o)内单调递增，则x+lna=lnx,即-x+lnx=lna, 构造k()=-x+nx>0,则k'()=-1+1-1-x】 令k'(x)<0,解得x>1:令k'(x)>0,解得0<x<1: 可知k(x)在(0,1)内单调递增，在(L,+∞)内单调递减，则k(x)≤k()=-1 即aa<-1,解得0ca<所以a-(Qg 故C正确： 对于选项D:令F(x)=对(x)+g(x)=ae-x2+n2+x, 若a<0,可知F(x)的定义域为(-o,0), 当x趋近于-0时，F(x)趋近于-”，符合题意： 若a>0,可知F(x)的定义域为(0，+o), 令F()=ae'-2+lnC+x≤0，可得e*nra+x+lnx+lna≤en2+hx2, 由选项C可知：h(x)=e+x在定义域(0，+o)内单调递增， 因为h(x+lnx+na≤h(nx2),则x+lnx+lna≤nx2=2lnx,即-x+lnx≥lna, 可知-x+1nx≥lna有解，由选项C可得：-1≥lna,解得0<a≤： 综上所述：a∈(-n,0)U0, 故D正确。 e 第2题：隐零点与不等式证明 已知函数f(x)=xe*+asinx. ①当a=0时，求证：f(>x+1; (2)若f(x)>0对于x∈(0，π)恒成立，求a的取值范围： (3)若存在x,x2∈(0，)，使得f(x)=f'(x)=0，,求证：x<2x2. 【解析】(1)由a=0,得f(x)=xe. 要证/四>x+1,只需证e-x-1>0: 令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1. 36/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x∈(-m,0)时，g'(x)<0,则g(x)单调递减， 当x∈(0，+o)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 所以8()>8(0)=0，故e>x+1,因此f L>x+1 (2)f'(x)=(x+1)e*+acosx, 令m(x)=f'(x),则m'(x)=(x+2)e-asinx ①当a≥0时，由x∈(0，元)，得e>0,asinx≥0， 因此f(x)>0,满足题意. ②当a<0时，由x∈(0，π)，得(x+2)e>0,-asinx>0, 因此m(x)>0,则f'(x)在(0，)上单调递增 1若-1≤a<0,则f'(x)>f'(0)=1+a≥0， 则f(x)在(0，π)上单调递增， 所以f(x)>f(0)=0,满足题意： 2若a<-1,则f0<0f(》0 因此fd在Q网存在唯-的零点七，且七e0 当0<x<x时，f'(x)<0,(x)单调递减， 当x<x<π时，∫'(x)>0,∫(x)单调递增， 所以f(x)<f(0)=0,不合题意. 综上，a的取值范围为[-1，+o). (3)由(2)知a<-1,设x=x3, 则∫(x)在(0，x)上单调递减，在(x2,兀)上单调递增， 注意到f(0)=0,f(x){f(0)=0,f()=e)0, 故f(x)在(0，兀)上存在唯一的零点x,x∈(x2,兀) 37/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意到x,2x2∈(x2,π)，且f(x)在(x2,)上单调递增. 要证明x<2x2,只需证f(x)<f(2x), 因为f(x)=0,所以只需证f(2x)>0, 即证2x,e25+asin2x>0 因为(x2+l)e+acosx=0,即a=- (+1)e* cosx 所以，只需证2x,e2_:+)e sin2x2>0, cosx2 只餐证无c-(k+0m,>0e0到 (*) 由(1)得e>x+1, 因此x2e-(x3+1)sinx>x32+x2-（x3+l)sinx2=(x2+1)(x3-sinx3) 设n()=x-sinx0<x<2 则H(x)=1-cosx>0,所以h(x)在 01 上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0, 从而h(x,)>0,即x2-sinx2>0,因此(*)得证， 从而x<2x2 第3题：放缩法与数列不等式证明（新情境：泰勒展开背景） 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当∫(x)在 x=0处的n(n∈N)阶导数都存在时，它的公式表达式如下： f()=f0+f0x+Or+”0++Or+.注：了0表示函数f(问在原点处的一阶导 2 3 n！ 数，f"(O)表示在原点处的二阶导数，以此类推，和f"(0)(n≥3)表示在原点处的n阶导数. (1)求f(x)=ln(1+x)的泰勒公式（写到含x的项为止即可），并估算1nl.1的值（精确到小数点后三位）： (2)当x>0时，比较n(1+)与x-的大小，并证明： 2 38/257 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设neN,证明： 22-<1n1+m< 2k2 白k 【解析】)因为f代中xf()- +/"()=、2 1 1+x, 所以f'(0)=1,f"(0)=-1,f"(0)=2 所以f(四=血+)的泰勒公式为：hn1+)=x-。+2x- 2!31 + 2 31 所以1n1,1=0.1-001,0.01≈0.095 2 3 (2)记g()=n1+)-x+ +2x>0, 因为g(因=-1+x=士>0，所以g)在(0，)上单调递增， 1+x x+1 又80)-=0，所以0时有g创=h纱+兮>g00, x2 所以n(1+x)>x-2 (3)由(2)知， )2女文·-做文4eN 所2h3haa)n时2是)月 a0乏 令因=h0:月x0,则x6)-=产<0 所以h(x)在(0，+o)上单调递减，所以h(x)<h(0)=0,故lh(1+x)<x, 所以n个+in+-n安 则a2-h3n2t+ao+小-no小水2ao小裂 综上，neN时， 含-装 第4题：同构与双变量问题（极值点偏移） 设函数f(x)=lnx-ax(a∈R): (I)若a=3,求函数f(x)的最值： (2)若函数g(x)=f(x)-x+a有两个不同的极值点，记作x,x2,且x<x,求证：lnx+2lnx>3. 39/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)由题意得f(x)=x-3x,则f()=1-3 -,x>0 令f>0,解得0<x<行令f()<0,解得>号 1 f)在0写 上单调递增， 仔+上单调递减。 在 .f()mm=f =-n3-1, .f(x)无最小值，最大值为-n3-1. (2).g(x)=xf(x)-x+a=xlnx-ax2-x+a,g'(x)=Inx-2ax, 又g(x)有两个不同的极值点x,龙，.nx=2ax,nx2=2a2, 欲证lnx+2lnx2>3,即证2ax+4ax2>3, 3 0<x<x2,∴.原式等价于证明a> ① 2x+4x2 ② r=2a,n=2,得n点=2a-,则a=2x,- ln专 由①②可知原问题等价于求证戈> 3, x2+2x2 即证1n飞多3(5-x) 3-1 为x+2x2 1+25 令1=点，则1>1，上式等价于求证1>3北- 1+2t 令a0=w非.则0}30+266--《， 1+2t (1+21)2 t(1+2t)2 t>1,h(t)>0恒成立，∴h(t)在(1，+o)上单调递增， .当t>l时，h(t)>h(1)=0,即lnt> 3(t-1) 1+2t .原不等式成立，即nx+2nx>3. 第5题：创新情境与导数综合 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？ 这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立 坐标系，是链线可表示为双曲余弦函数山-二的图象，现定义双曲正弦函数sh()-, 2,他们之 40/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 间具有类似于三角函数的性质.（已知cosx之1-2r) (1)证明：①倍元关系：sh(2x)=2sh(x)ch(x):②平方关系：ch2(x)-sh2()=1 (2)对任意x≥0，恒有sh(x)≥ax成立，求实数a的取值范围： sh sh (3)证明： sh(2) sh(1) n 1 ->2(n-1)+ tan 1 1 tan tan tan- 【解析】(1)证明：①2sh(ch()=2e-e.e+e-c2-e2 =sh(2x): 2 2 2 e2r+2+e2 e2-2+e2 =1 4 4 2》构造函数F=h-ar=,-m,e10tF闲=e+e -a 0当a≤1时，因为W=专≥6e-1,当且仅当e心即K=0时等号成立， 所以F'(x)O,故F(x)单调递增， 此时F(x)≥F(0)=0,故对任意x≥0，sh(x)≥ax恒成立，符合题意： ②当a>1时，令G(x)=F'(x),x∈[0，+)， 则G0=-c≥0恒成立，故G)单调递增， 2 0 由G0)=1-a<0与G0n2m)= 可知存在唯一x∈(0，ln2a),使得G(x)=0, 当x∈(0，x)时，F'(x)=G(x)<G(x)=0,则F(x)在(0，x)内单调递减， 故对任意x∈(0，x),F(x)<F(O)=0,即sh(x)<ax,不合题意，舍去： 综上所述，实数a的取值范围为(-o,. 8由②当a=1时，时xe,令x子则动引月 令m(x)=x-sinx,x∈(0，+oo),1m'(x)=1-cosx>0,m(x)单调递增， 所以m(x)>m(O)=0,即x>sinx恒成立， 2 sh 1 2sin 所以sh 2>2>2sim,则 n=2c0s-, n)n tan- tan- n n n 41/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令n(x)=cosx-1+二x2,x∈(0，+o),n'(x)=-sinx+x>0,n(x)单调递增， 2 11 1 所以n(x)>n(0)=0,即cosx>1-二x2恒成立，令x=二，cos二>1- n22 2 sh 所以sh(2)+sh(④ sh 3 11. tanl 1 1 >2 cos1+cos+cos n 2 3 ++cos1 tan tan tan 3 >2n-:片++2-2*日2m-+ "n-1 n 使用建议： 这五道题构成了一个完整的函数与导数压轴题专题训练组。建议： 专题突破：用于二轮复习中“函数与导数”板块的深度强化。 方法归类：讲评时，引导学生识别题目特征，明确每题主妥运用的方法（隐零点、同构、放缩），并总结 这些方法的适用信号。 思维训练：重点讲解第1、2、4题的思维过程，特别是如何从复杂条件中观察出同构结构，以及处理隐零 点时的整体代换技巧。 规范书写：强调第2、4题证明过程的逻辑严滢性和步骤完整性。 热点04：解析几何热点：定点、定值、最值 第1题：抛物线中的最值问题（儿何转化)（多选题） 已知点A(4,0),B(3,2),抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是C上的动点，动点M满足MF=2MA,则下 列说法正确的是() A.点B在动点M的轨迹上 B.△PFB周长的最小值为4+2√2 C.当∠MFB最小时，点M的横坐标为4 D,△BFM面积的最大值为4+2√2 【答案】BCD 【解析】由题可知F(1,0),设点M(c,y),则MF=(x-)2+y2,MA=V(x-4)2+y. MF=2MA,Vx-1)2+y2=2V(x-4)+y2,化简得+y2-10x+21=0,即(x-5)+y=4, 42/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则动点M的轨迹是以D(5,0)为圆心，2为半径的圆 对于A,因为(3-5)+2=8≠4，所以点B不在动点M的轨迹上，故A错误： 对于B,抛物线的准线方程为x=-1,如图，过点P作准线的垂线，垂足为H, 则PB+PF=PB+PH,当且仅当B,P,H三点共线时，PB+PF取得最小值，即 PB+PF=PB+PH≥3+1=4. 又BF=V3-)'+(2-0)2=22,所以△PFB周长的最小值为4+2√2，故B正确： 对于C,如图，当MF与圆相切且点M在x轴上方时，∠MFB最小 BM 连接MD,所以MD⊥MF FD=4=2MD,MFD=30,MF=42-22=23, 所以点M的横坐标为MF x cos∠MFD+1=4,故C正确： 对于D,因为BF=2W2,为定值，所以若△BFM的面积取得最大值，则只需要动点M到直线BF的距离最 远即可 直线BF:y= 3(x-,即x-y-1=0,所以点D到直线Br的距离 2-0 5-0-1=2W2, √1+1 所以M到直线BF的最大距离为2√2+2， 所以aBFM面积的最大值为)×25×(25+2)=4+22，故D正确. 故选：BCD 第2题：椭圆中的定点问题（基础与通法） 曰知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y辅，且过A0-2),A3-1两点 (1)求E的方程： (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足 43/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=Ti.证明：直线HN过定点. 【答案1①上+号=120,2) 43 【解析】1)设椭圆E的方程为m2+心2=1，过AQ-2列，B3- 4n=1 m+n=1'解得m 1 1 则9 3n=4 所以椭圆E的方程为：上+二=1。 43 2)A0-2-:所以Ay+2=子 ①若过点PL,-2)的直线斜率不存在，直线x=1,代入号+上-1， 34 可符M0-25.N25,.代入4方程y2.可得 3 T-6+3-26 ),由M厅-丽得到H-2V6+5-2 )求得HN方程： 3 y=(2+26 r-2,过点(0-2). ②若过点P1,-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0,M(x,乃)，N(x2,y2) kx-y-(k+2)=0 联立 ,得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0, 3+4 6k(2+k) -8(2+k) +2= 3k2+4 y+y2= 3k2+4 可得 3k(4+k) xx2= 4(4+4-2k2) 3k2+4 yiy2= 3k2+4 且xy2+y=x[k(x-1)-2]+x2[k(x-1)-2]=2kxx-(k+2)(x+) -64+0-k+26k2+1-224 3k2+4 32+43k2+4 -24k内) 即x%+为y=3k2+4 y=y 联立 x-2可得T送+3，y),H(3y+6-x,y) 2 y-2一(x-x), 可求得此时HN:y-为3y+6-无- 将(0，-2)，代入整理得2(+2)-6(%+2)+xy2+x2从-3yy2-12=0, 44/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0, 显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，-2)： 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关： ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第3题：双曲线中的定值与最值探究 已知双曲线C与双曲线。_二=1有相同的渐近线，且双曲线C过点(2,3). 26 (1)求双曲线C的方程： (2)过双曲线C右支上的一点P作直线l1,L2,其中(，42均与曲线C:2x2+2y2-3=0有且只有一个交点， 且双曲线C的左支与直线l交于点A,右支与直线l2交于点B. (i)求证：∠AOP=90°；(0为坐标原点) (i)求SpB的最小值，并求出此时PA,PB的方程. 【案】0r-苦-1 ②)证明见解析：（最小值为：3，直线H:y-士6，直线P8:- 6 2 【解】(1)设双曲线C的方程：父 -=(元≠0)， 26 4_9=元，解得元=2 将点23)代入可得，26 1 故双曲线C的方程为-上=1. 3 2))由思意知，直线，马为圆℃：x+y三，的两条切线！ 显然圆O的切线4，即PA的斜率存在， 设切线PA:y=kx+m,由于切线PA不平行于C的渐近线，则k≠±5， m 3 又圆心O到切线PA的距离：d= 则2m2=3(k2+1), V1+k2 y=kx+m 联立方程： 3x2-y2-3’消去y得(3-k2）x-26x-m2-3=0, 45/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于△>0，设P(,y),A(,2),则x+x= 3-’5--m+3 2km 3-2' 而y=(+m+m）=k2x5+m(x+5)+m2-3m-32, 3-k2, 则OP.0A=xx+y》2= 2m2-（3k2+3) =0 3-k2 即OA⊥OP,故∠AOP=90°. (i)由(i)同理可得，OB⊥OP,由于A,O,B三点共线，则S△B=2S△aa' 设切线PA与圆C的切点为D,则OD=y6 故Sm-25m=o0例-5p4 而PA=玉-广+-⅓厂=+)(-=V+风)V压+)尸-4x =+k 2k）2 4m2+3) 3-k2 3-k2 又2m2=3(k2+1),则PA= 16k2 61+ (3-)月 当k=0时，PAmn=V6,Sn=3, 此时直线PA平行于x轴，则A,P的纵坐标的绝对值为圆C的半径， √6 所以P 6 故直线PA:y=± 2 2,直线PB:x=6 B 第4题：椭圆中的最值问题（参数方程与三角函数） 皂知椭圆C:怎+1a>b>0)的焦距为23，点M(2则在C上 (1)求C的方程. (2)直线1与C交于A,B两点. 21 (i)若线段AB的中点为T 33 求直线AB的方程； 46/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)在(i)的条件下，P是椭圆上任意一点，求△ABP面积的最大值. 【答案】山+上- 63 (2)(i)x-y+1=0;(i) 16 【解析】(1)方法一： 由题意知，2c=23,即c=√5，设椭圆C的左、右焦点分别为E,F, 则F(3.0),E(N50).因为M+M=2a,所以2+5)+1+2-5+1=2a, 解得0=6，又因为6=心-区，所以公=3所以椭圆C的方程为若号-1 方法二： 由题意知，2=25，即c-5,因为点M(2在椭圆C上，所以子京-1，又因为d-8+c,所以 a2=b2+3, 所以元产写+疗1，即++3=扩+3沙，化简得=3或形-1舍去)，所以。-+3，所以。=6， 所以椭圆C的方程为父+y=1. 63 (2)(i)设A(x,y),B(x22), 因为线段AB的中点为T 21 2 3'3 以+名=”y+为=动 士-因为A,分两点在圆上，所以 63 x+x 发+=1， 063 所u。,,-0,u各医，-0所。-2为， 6 3 3 所以直线AB的方程为x-y+1=0, (i)方法一： x-y+1=0, 直线AB的方程为x-y+1=0,联立三+二=， 63 4 化简得3x+4x-4=0,X5考*5 3 所以48=V+-=反VG+)广-45-85 3 47/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(V6cosO,W3sinO),则点P到直线AB的距离d- 6cos0-3sin0+1 cose +1 3 sino-6 3 √2 √2 -3sin(8-p)+1 2 其中tanp=√反，当sin(0-p)=-1时，d取最大值，此时dmx=22, 所以。ABP面积的最大值为分Ad一 31 方法二： 直线AB的方程为x-y+1=0, 设与直线AB平行，且与椭圆C相切的直线的方程为x-y+t=0(t≠1)， [x-y+t=0, 联立 x2,y2,化简得3x2+4x+2r2-6=0,△=0，解得t=3, 6+3 =1, 当t=-3时，直线x-y+1=0与直线x-y+t=0的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线AB距离最大的 点， 点P到直线AB的距离d的最大值就是平行线同的距离，d-L-3到引-2N [x-y+1=0, 联立 父+艺-，化简得3+4-4=0，则=亭中6=手 6+3 所以A8=V1+ak-,=2+5}尸-4x5=8Y5 3 所以△ABP面积的最大值为A科A=一号 第5题：抛物线中的定点与定值综合（压轴探究） 题目： 己知抛物线E:y2=2px(p>0)经过点Q(4,-4),过E的焦点F作斜率为k的直线1，与E交于A,B两点(A 在第一象限)，过点P(3,O)作直线AP,BP分别与E交于另外两点C,D,设直线CD的斜率为k2· (1)求E的方程： (2)证明： 会为定准 (3)过点D作两条相互垂直的直线DM,DW,分别与E交于另一点M,N(点M,N均与A,C不重合)，若 48/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线AD与AB的斜率之积为-3，证明直线MN与AC相交于定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)y2=4x: (2)证明见解析： (3)证明见解析，定点为(10，-2√6) 【解析】(1)根据题意，将Q(4,-4)代入有16=8p,解得p=2,所以E的方程为y2=4x. (2)由(1)可知F(1,0),设A(x,y),B(2,y2),C(x,y3),D(x4,y4), 则长名之：》4，从而直线B为y-X 4 x 为-y-yy2+y +y-4 即(y2+)y-4x-y2=0,将(1,0)代入，有yy2=-4. 同理，直线AP为(y3+y)y-4x-yy3=0,直线BP为(y4+y2)y-4x-y2》4=0, 将(3,0)代入，有%==-12，又k,=、4 y3+y4 飞=+2=y+y一=-y=1 所以k⅓+-121+1】 123，为定值. (3)由(2)知yy2=-42y4=-12,所以y4=3%,从而点D的坐标为 93 4 。yy+y22-4, 44 由如=3，解得-膏-25（负值台去）， 3 所以D(6,2W6),易知直线DM,DW的斜率存在且不为0， 设直线DM的方程为y-26=k-6,联立26=k(-6), y2=4x 49/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得y-4y+8524-0:所以w+26=是即m-是26 k 设直线DN的方程为y-2W6=-1(x-6),同理可得yw=-4k-2W6 直线MN的方程为y-w=x-x=4(x-w) 4(x-xN) yM-Yw %M-xx yiyN (yM -yN)(yu+yN)' 4x- 即y-4x-小+w +yuyw+y 4 4x+yuyn yM+》w yM+yv yu+yN 4x+[年-26-4k-26)-4-26+26+6s 426-4k-26 1-√6k-k2 -2V6+(x-10) 1-V6-k2 所以直线MW过定点(10，-2√6) 月方面，因为长=3kw人=3，所以wk3三一1，即直线AD与CD垂直面 同DM,DN的垂直关系求直线MN所过的定点，易知直线AC也过点(10，-2V⑥)， 即直线MN与AC相交于定点，定点坐标为(10，-2√6) 热点05：概率统计热点：决策型问题、独立性检验、回归分析 概率统计作为新高考数学的“应用重镇”，其命题在保持对古典概型、分布列、数字特征等基础考查的 同时，越来越注重在真实、复杂的情境中考查统计推断与决策能力。决策型问题、独立性检验、回归分析 己成为解答题的三大核心热点，深刻体现了命题从“重计算”向“重思想、重应用”的转变。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约12-13分，是区分学生数据分析素养和 应用能力的关键。 考查导向：从单一公式计算转向完整的统计过程考查。强调在具体问题情境（如医学检验、社会调查、生 产决策、体育预测)中，完成数据收集、整理、分析、推断直至决策的全过程。 常见题型： 决策型问题：基于概率、分布列、数学期望或统计结论进行方案选择或优化。 独立性检验：利用2×2列联表判断两个分类变量是否相关，并解释其统计意义。 回归分析：建立一元线性回归模型进行预测，或通过相关系数判断线性相关程度。 50/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “重思想、反套路”趋势：命题注重统计思想的渗透（如用样本估计总体、小概率原理），要求规范、完整 的解题步骤和准确的语言表述，避免单纯套公式。 二、三大核心热点深度剖析 热点 本质与考查 关键步骤与规范要求 核心 典型高考真题链接 利用随机变 量的数字特 三步曲： ·2022年全国甲卷理19（乒乓球比赛）： 1.建模：明确决策目标，用随机变量表示计算甲获胜概率及乙得分期望，隐含决 征（主要是数 学期望)或概 不同方案的收益/损失等。 策比较。 1.决策型 率大小，对不 2.计算：求出随机变量的分布列及数学期·2021年全国甲卷（小明答题决策）： 问题 同方案进行 望（或关键概率）。 比较先答A类或B类问题的累计得分期 比较和选择， 3决策：比较期望值（或概率），选择最望，选择期望大的方案。 实现风险最 优方案，并下结论。 ·2024年新课标Ⅱ卷18（投篮比赛）： 小化或收益 关键：准确识别概率模型（二项分布、超确定由谁参加第一阶段，使得“得15分' 最大化。 几何分布等)，理解期望的实际意义。 概率最大或期望最大。 利用样本数 规范四步： ·2025年全国一卷15（疾病与超声检 据推断两个 1.提出零假设Hn:两个变量独立（无 关)。 分类变量是 查)：根据=0.001的独立性检验，分析 否独立的 2.计算检验统计量y2(或K2)。 两者是否有关。 2.独立性 种统计假设 3.确定临界值：根据给定的显著性水平·2022年新高考缸卷20（疾病与卫生习 惯)：第(1)问进行99%把握的独立性检 检验 检验方法。核 查表。 心是理解小 4.作出推断：若y2>X, 则在犯错误概率验。 概率原理和 不超过的前提下拒绝Hn,认为有关； ·2021年全国甲卷（机床产品质量）： 检验的或然 否则，没有足够证据拒绝H。 根据一0.01的独立性检验，分析产品质 关键：结论表述必须规范，指明“小概率量是否有差异。 性。 值和把握”。 研究两个数 主要环节： 值变量之间 1.相关判断：通过散点图或相关系数判 ·2025年上海卷17（奥运会游泳成绩预 的相关关系， 断线性相关程度。 测)：求回归方程并预测2028年成绩。 3.回归分 并建立模型 2.方程求解：利用最小二乘法公式求经 ·2022年全国乙卷（树木材积量）：求 析 进行预测。考验回归方程=x+a· 样本相关系数，建立回归模型进行估计。 查核心是公 3.预测与应用：将x的取值代入方程进行 式计算、模型预测，并解释系数的实际意义。 教材多处案例（如父亲与儿子身高）： 评价和预测 关键：知道回归方程必过样本中心点 建立一元线性回归模型。 应用。 父：理解预测值是估计值，不是精确值。 三、 热点融合与综合命题趋势 近年试题常将多个热点自然融合，考查综合应用能力。 “独立性检验+决策”：先通过独立性检验判断因素间是否有关系，再基于此结论进行概率估计或决策。 例如，检验药物是否有效后，再用有效的概率去计算期望收益。 “回归分析+决策”：利用回归方程进行预测，将预测结果作为决策依据。例如，预测销量后决定生产投 入。 “概率+统计+决策”：最典型的综合模式。先通过抽样数据用频率估计概率，再基于此概率构建随机变 量模型（二项分布、超几何分布等），最后计算期望进行决策。例如，2025年北京卷18题（考试答题）即 为此类。 51/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合命题新特点： 情境真实复杂：如疾病检测、产品质量控制、环境监测、体育成绩预测、社会调查等，信息体量大， 要求较强的阅读理解和非连续文本信息提取能力。 突出统计思想：强调“用频率估计概率”、“用样本推断总体”的思想，以及假设检验中“结论具有不确定 性”的统计思维。 计算与软件结合：题目常提供部分中间计算结果或统计量表，引导学生聚焦思想方法而非繁重计算， 也体现与统计软件衔接的导向。 四、备考策略 理解思想，规范流程：深刻理解独立性检验的假设检验思想、回归分析的相关关系思想、决策问题的 期望优化思想。严格按标准步骤书写，特别是独立性检验的“四步法”和结论表述。 区分模型，准确识别：准确判断题目背景是“二项分布”（独立重复试验）还是“超几何分布”（不放回抽 样)，这是正确计算概率和期望的前提。 掌握公式，灵活运用：熟练记忆并理解2公式、回归系数公式、期望公式。学会利用回归直线过样本 中心点，)来简化计算或求参数。 专题训练，对比归纳：将决策问题、独立性检验、回归分析三类题目分别进行集中训练，总结各自步 骤、易错点和表述规范。 强化阅读，信息提取：进行专门训练，从冗长的实际问题描述和表格中快速提取关键数据（列联表数 据、成对数据、频数、总数等)。 五、新高考数学概率统计专题模拟题 1.决策与独立性检验综合（多选题） 某公司为新产品设计了两种营销方案。为调查不同性别客户对方案的偏好，随机抽取了200名客户， 得到如下列联表： 喜欢方案A喜欢方案B 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 附： ulad-be)2 其中 =+b叶c+do (a+b)(crd)(arc)(b+d) P(≥) 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 已知采用客户喜欢的方案，能成功推销产品的概率为0.8；采用客户不喜欢的方案，成功概率为0.4。每次 推销相互独立。则下列说法正确的是() A.根据小概率值=0.05的独立性检验，认为客户性别与方案偏好有关 52/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.从这200名客户中任选1人，其喜欢方案A的概率估计为0.45 C.若随机对一名男性客户进行推销，则采用方案A比采用方案B的成功概率更高 D.若随机对一名客户进行推销，且已知推销成功，则该客户是女性概率为三 【例1解析】答案：B A:计算T=20L 、100x100x90x1102.02<3.841, 故没有足够证据认为有关，A错误。 B:喜欢方案A共90人，概率估计为90/200=0.45，B正确。 C:对男性，喜欢A的比例为40/100-0.4喜欢B的比例为0.6采用A的成功概率为0.4×0.8+0.6x0.40.56: 采用B的成功概率为0.6×0.8+0.4×0.40.64故采用B的成功概率更高，C错误。 D:设事件F为“客户是女性”，S为“推销成功”。需计算PF∥S。由全概率公式， PS=PFPS∥FD+PFPS∥F)·PF-=O.5女性客户中，喜欢A的概率为O.5,喜欢B的概率为O.5,故 PS/F-0.5×0.8+0.5×0.40.6。同理，PS/F=0.4×0.8+0.6×0.4-0.56所以PS9-0.5×0.6+0.5×0.56-0.58° 由贝叶斯公式，PF∥S g-0517,不是多D错： P(s) 2.回归分析与决策 例2：红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和 平均温度x(℃)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值， 产卵数 400 350 300 250 200 150 100 50 0202224262830323436嘉度 (1)根据散点图判断，y=bx+a与y=ce(其中e=2.718.…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均 产卵数y(个)关于平均温度x(C)的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到01） xy-nx灯 附：回归方程中y=bx+a, .0-到 1 a=-b诚 4-可 -2 参考数据(z=lny) 名 宫阳 x 2 53/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%， 对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施：平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%： 平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种 防害措施供果农选择在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得 到最高收益（收益=产值一防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理 由. 方案1：选择防害措施A,可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万： 方案2：选择防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是 10万； 方案3：不采取防虫害措施 【例2详解】(1)由散点图可以判断，y=ce“更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型 (2)将y=ce“两边同时取自然对数，可得lny=lnc+d, 由题中的数据可得， ∑3-7xa=336,∑(x-=-72=112, 2x-7 所以d= ∑x-7x 36=0.3,则1nc=元-=3.6-0.3×27=-4.5， 112 所以z关于x的线性回归方程为z=0.3x-4.5,故y关于x的回归方程为y=e3-45: (3)用X,X2和X3分别表示选择三种方案的收益 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为200-18=182万，即X1=182 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为200-10=190万， 190,不发生28℃以上的红蜘蛛虫害 如果发生，则收益为100-10=90万，即X2= 90,发生28℃以上的红蜘蛛虫害1 200,不发生虫害 同样，采用第3种方案，有X3=160,只发生22-28℃虫害，所以，E(X)=182, 100,发生28℃以上虫害 E(X2)=190×P(X2=190)+90×P(X2=90)=190x0.9+90x0.1=171+9=180, E(X3)=200xP(X3=200)+160×P(X3=160)+100×P(X3=100)=200×0.6+160×0.3+100×0.1=178.显然， E(X)最大，所以选择方案1最佳 3概率、统计与决策综合 例3：某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年 2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 54/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 2 3 5 月销量y(单 F 10 13 20 24 位：千台) (I)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有 较强的相关关系；（当∈[0.75,1]时，相关性较强，当∈[0.3,0.75）时，相关性一般) (2)求出y关于x的经验回归方程)=bx+à，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量： (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商户各至多购买 一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p,3p-1 3p<3 若两家商户享受的补贴总金额的期 望不超过3000元，求p的取值范围 (x-)(y-) 参考公式：相关系数r= 626-0-列 a=y-bx. ②4-对2-列 空：-刘 参考数据： 2(x-)(0,-)=422(x-}=10.2(y-}'=184,15≈10.724. 【例3详解】()立(x-x)0y-列=422(x-x}=10,2y-}=184则 i=】 42 4242 ”= √10×184411542.896 ≈0.979>0.75，故y与x有较强的相关关系： 2)会-)y-司 42 =4.2, 化-列 10 又x-5x1+2+3+4+5)-3,5=x8+10+13+20+2刘)=15， 所以a=)-b际=15-4.2×3=2.4，故经验回归方程为)=4.2x+2.4, 2026年7月对应的x值为10，当x=10时，y=4.2×10+2.4=44.4, 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台： (3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为X, 则X的所有可能取值为0,1,2， P(X=0)=(1-p)(2-3p)=3p2-5p+2, P(X=1)=(1-p)3p-1)+p(2-3p)=6p2+6p-1, 55/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(X=2)=p(3p-1)=3p2-p, 所以E(X)=0x(3p2-5p+2）+1×(-6p2+6p-1)+2×(3p2-p）=4p-1, 依超意有（切-少20≤0，且时p子得p放P的取值能国为 12 57 '8 4.创新情境：统计过程全考查（社会调查） 例4：在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式.近日该平台发现新上平台的商品M经常 收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品M的只有青年(18≤年龄≤44)和中老年（年龄>44）两类 购买者，从所有购买商品M的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品M打分(0~12 分)并提出建议，分数统计如下表格（假设各组数据在对应的区间内均匀分布）： 给商品M打分区间 [0,3] (3,6] (6,9] (9,12] 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 5 (1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点 值为代表)： (2)若购买者打分在区间[8,12]内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客” ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品M的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件A=“该购买者 为青年购买者”，事件B=“该购买者为满意顾客”，计算P(AB)的估计值： ②请利用表格数据补充完整下列2×2列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据 小概率值=0.01的独立性检验，能否认为对商品M是否满意与购买者群体有关， 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 附：X2= n(ad-bc) ,n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d a 0.050 0.010 0.001 0 3.841 6.635 10.828 56/257 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例4详解】(1)由表格数据可知青年购买者打分的平均数 7=5x15+35 10.5=6.6 100 ×4.5+45 100 7.5+15 100 100 由数据可知中老年购买者打分在区间[0,6]内的频率为35+40=0,75，故其中位数满足： 100 356-340 100310 =0.5,解得=4.125 (2)“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”， 9-8×(45+20)+20 9-8 ①由题意知P(B)=9-6 200 5P(aB)-9-6 ×20+5 7 24 200 120 因此P(AB)= P(AB)7 P(B)25 1 ②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为。×45+15=30（人），“不满意的青年购买者”的人数为70人： “满意的中老年购买者的人数为}×20+5≈12（人），“不满意的中老年购买者的人数为88人，故补充完 3 整的2x2列联表如下： 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 30 70 100 中老年购买者 12 88 100 合计 42 158 200 零假设为H。：对商品M是否满意与购买者群体无关， I'= 00x(30×88-70×12) -≈9.765>6.635， 100×100×42×158 根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断H,不成立， 即认为对商品M是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01 5概率与数列递推综合（难点） 例5：贵州“村超以及江苏“苏超的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动. 为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2×2列联表 如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 57/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 女性 20 80 100 合计 80 120 200 (1)依据小概率值=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者 都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始 传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为pn,即P,=1. ①求P2,P3; ②证明：数列 Pn 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小. 4 a 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 Xa 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：X2 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. 例5答案：()能认为喜爱足球运动与性别有关 20p2=0,p=3 ②证明见解析；第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率， 【例5详解】(1)零假设：H。:喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关， x-2060s0-20x40_10033.33>10828=km 80×120×100×100 3 根据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错 误的概率不超过0.001。 (2)①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，所以第二次触球者是甲的概率记为P2=0: 1 第三次触球者必不是甲，第三次传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为？，故？ ②因为第n次触球者是甲的概率记为Pm, 所以当n≥2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pm-1,则第n-1次触球者不是甲的概率为1-Pm1。所以 =0-写所以a 因为1所以数到列为首项是公比是的等比数列 所似- 58/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 國=-=-周=--周子 所以P1,>P20,即第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率 使用建议： 专题突破：用于二轮复习中“概率统计”板块的综合强化。 规范训练：重点训练第1、2、3题的解题规范，特别是独立性检验的表述和决策问题的步骤。 思想渗透：通过第3、4题强调“用频率估计概率”的思想，通过第5题理解期望的实际意义。 难点突破：第5题作为难点，适合讲解概率与数列、函数的综合，以及数学期望在赛制分析中的应用。 热点06：立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 立体几何在新高考中持续占据重要地位，其命题正从传统的一证一算”向“重结构、重探究、重应用” 转变。外接球、截面、动态问题作为三大新考法，综合性强、思维要求高，已成为解答题（如第17、18、 19题)的命题热点和难点，深刻考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题的创新设问点，难度为中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约15-17分。 或常在单选题第6题、多选题第10、11题出现。 考查导向： 从静态到动态：引入动点、动线、翻折等元素，考查在变化中把握不变规律的能力。 从单一到综合：将外接球、截面、空间角、最值等问题自然融合，要求整体分析图形结构。 从技巧到通法：淡化特殊技巧，强调利用向量法、几何法（补形、等体积、轨迹方程等）的通性通法 解决问题。 从计算到想象：对空间想象能力的要求更高，常需“无图想图”或分析复杂图形。 “新考法”的典型特征： 外接球：不再局限于简单几何体，常与棱台、折叠体、不规则多面体结合，且在解答题中考查球心位 置的推理证明（如2025年全国1卷第17题）。 截面：考查作截面、求截面面积周长、判断截面形状，常作为动态问题的载体。 动态问题：涉及轨迹、最值（范围），常需建立函数模型或利用几何意义求解。 二、 三大核心新考法深度剖析 新 考 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 法 59/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 新 考 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 法 1. 补形法：将三棱锥补成长方体、直棱柱等规则几何 体，利用其外接球求解。适用于侧棱两两垂直、对棱相 等、共顶点的三条棱两两垂直（鳖臑）等模型。 2.截面法（双半径单交线公式）：当几何体有两个面 确定球心位置和 半径。核心是球心 垂直时，若两垂直面外接圆半径分别为1n,交线长为 2025年高考综合改革适应性 外 到各项点距离相 1, 测试（八省联考）第19题： 接 则外接球半径R- 球 等，常转化为寻找 几何体的对称中 3.坐标法（方程组法)：建立空间直角坐标系，设球 可将三棱锥P-ABC补形为 心Okv.z根据OP|=|OA=|OB|=|OCI)列方程 直三棱柱或利用面面垂直模 问 心或利用截面圆 题 组求解。这是通用且有效的方法，尤其适合解答题中证 型公式，计算得球半径。 的圆心垂线。 明球心位置。 4.几何法（找外心）：先找某一面的外心，过该外心 作该面的垂线，球心必在此垂线上；再找另一面的外心， 同样作垂线，两垂线交点即为球心。 1.作截面的两种基本方法： 线面平行法：利用线面平行的性质定理找交线。 截 用平面截几何体 相交法：直接找截面与几何体各面的公共点，连线。·2018年全国1卷12题：正方 所得交线的图形。 2. 求截面面积周长：将截面图形化为平面图形（如梯体中，与各棱成等角的平面 面 考查空间想象和 形、」 三角形)，引入变量表示边长，利用平面几何或函截正方体， 求截面面积最大 问 作图能力。 数知识求解。 值。 题 3.动态截面：结合动点，分析截面形状、面积的变化 规律，常需建立函数模型求最值。 1. 轨迹方程法：通过建立坐标系，将空间动点满足的 3 条件转化为方程，确定其轨迹（如圆、线段）。 动 2022年新高考1卷8题：正 2.函数建模法：引入参数（如角度、长度），将目标 态 在点、线、面运动量（距离、面积、体积、角度）表示为该参数的函数， 四棱锥外接球背景，求体积 取值范围（建立函数用导数 与 变化中，探究相关利用函数性质（单调性、导数）或不等式求最值。 求解)。 最 几何量的轨迹、取3.几何转化法：利用对称性（如将军饮马）、定义（如 2020年新高考I卷20题：求 值 值范围或最值。 圆锥曲线)、三点共线等几何性质，将动态问题转化为 线面角正弦的最大值。 问 静态问题求解。 题 4.向量法：用向量表示动点和目标量，通过向量运算 和数量积建立关系式求解。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将外接球、截面、动态问题与空间角、体积等基础考点深度融合。 “外接球+动态”：几何体本身或其部分元素是动态的（如折叠、动点)，求其外接球半径或表面积的范 围。例如，将平面图形翻折成三棱锥，求该三棱锥外接球半径的取值范围。 60/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “截面+动态+最值”：过动点作截面，研究截面面积或周长的变化规律，并求其最值。这是截面问题的 最高频考法。 “翻折（动态）+外接球+空间角”：以平面图形翻折成立体图形为背景，综合考查线面垂直、外接球、 空间角的计算，过程动态，综合性强。例如，2025年八省联考（适应性测试）第19题。 综合命题新特点： 结构分析先行：解题第一步不再是盲目建系，而是分析几何体的结构特征，识别特殊模型（长方体、 鳖臑、共顶点的垂直关系等)，选择最优方法。 强调推理论证：对于外接球球心位置、线面垂直关系等，要求给出严格的逻辑推理步骤，而非直接使 用结论。 方法选择开放：同一问题往往有多种解法（几何法、向量坐标法、基底向量法），鼓励学生根据图形 特点选择最简洁的路径。 与导数、不等式深度融合：求最值时，经常需要建立目标函数，利用导数或基本不等式求解，体现代 数工具在几何中的应用。 四、备考策略 模型识别，掌握通法：熟练掌握长方体模型、鳖臑模型、对棱相等模型、面面垂直模型等常见外接球 模型及其公式。但更要掌握坐标方程组法这一通法，以应对不规则图形。 提升作图与想象能力：加强截面作图的训练，特别是用线面平行法和相交法作复杂截面。平时多用 GeoGebra等软件辅助观察，培养动态想象能力。 强化“引入参数”意识：面对动态和最值问题，要习惯引入角度、长度等参数，将几何问题代数化、函 数化。 规范书写推理过程：特别是证明球心位置、线面垂直关系时，步骤要完整，因果要清晰。例如，证明 线面垂直必须写出“一条线垂直面内两条相交直线”。 专题对比，归纳提炼：将外接球、截面、动态最值三类问题分别进行专题训练，总结每类问题的突破 口、常用方法和易错点。例如，外接球关键是找球心”，截面关键是“找交线”，动态最值关键是“设参数、 建函数”。 五、典例分析 1.外接球与截面综合（多选题) 己知三棱锥PABC内接于球O,PA口平面ABC,PA=8,ABOAC,AB=AC=4,点D为AB的中点， 3 cosA=25 点O在三棱锥PABC表面上运动，且PQ=4,已知在弧度制下锐角&，B满足：c0s?=, 5 则下列结论正确的是() A.过点D作球的截面，截面的面积最小为4π B.过点D作球的截面，截面的面积最大为24π C.点Q的轨迹长为4a+4B 61/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.点Q的轨迹长为4au+8B 【详解】对于选项A,如图，三棱锥PABC的外接球O即为以AB,AC,AP为邻边的长方体的外接球， 口2R=√⑧2+42+42=46，☐R=2√6，取BC的中点O,则O为DABC的外接圆圆心，且O00⊥平面ABC, 当OD与过点D的截面垂直时，截面的面积最小，口OD=√O02+0D2=√4+2=25，此时截面圆的半 径为r=√R2-0D2=2,0最小截面面积为m2=4π，故A项正确： 对于选项B,当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2=24π，故B项正确： 时于选项C和D,由条件可得P=PC=SBC=42,放cs乙BPC-45伊+45-4气m 2×(4W5)2 ∠BPC=a,易得∠BPA=∠CPA=B,则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段 弧圆心角为a,两段弧圆心角为B,点Q的轨迹长即为(a+2P)×4=4+8B,故C项错误，D项正确， 故选：ABD 2.翻折、外接球与动态最值（解答题） 在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°，∠DAB=120,将△ACD沿AC翻折至△ACP, 其中P为动点。 (I)若PC⊥AB,证明：AB⊥平面PAC (2)在(1)的条件下，若三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球O的半径 (3)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值 【详解】(1)证明：在△ACD中，由AC=CD=1,∠ADC=30°得∠CAD=∠ADC=30°，所以 AD=2 ACcos.∠DAC=2×1×COs30°=√5，且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°，即AB1AC 62/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为AB LAC,PC⊥AB,PC∩AC=C,PC、ACC平面PAC,所以AB⊥平面PAC, (2)以A为原点，AB,AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-2,则 A0a0.sao.c@1o.Pa9） 设球心O(a,b,c),半径R,则AO=BO=CO=PO=R, 所以a+ca+d-a+o-i+e产-a6(e-=R, 摩阳abT5,所以球O的半径为9 2,cs 2 2 (3)在平面PAC中，过P作PG⊥AC于G,在平面ABC中，过G作GM⊥AC,因 GMOPG=G,GM,PGc平面PGM,则AC⊥平面PGM. CG 则庙DAG=5cas0-号PG=5sn0=5设∠GM=a0EQ180).以a为照点，GM.CG 2 分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-z,则点P在平面xG?内，则 c(O.00 .cfo.c) 所a-a-10.西-t-l0c-9w9sm 2 m⊥CA 设平面PAC一个法向量分别为m=(x,y,3),则 m⊥CP 63/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mCA=-y=0 即 ,取x=sin0,则得m=(sin6,0,-cos0): m.Cp=3 2 cosθ+ 1,5 2y+2 sin 0=0 nLCB 平面PBC的一个法向量为n=(:,y2,2),则 iLCP i.CB=为2-y2=0 即 取x=1,则得=1,1，- √3cos0+1 n.Cp= 26cos8+1 1 23sin6=0 √3sine sin6+(V3cos6+l）cos6 所以cosm,n= m.n 3sin0 cos0+√3 、 12+3cos8+1 -3cos2 0+23cos0+7 3sine m0,则e=a)得e(515.则时6- 于是oa列-3-矿+2-7+8-8 t 1V3 885-3 8153 53, 当且仅当-5即，=25时等号成立，所以二面角A-CP-B的余弦值的最小值为5 t2 3 3.截面与动态最值 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，E,F,G,H,P分别是棱AD,AB,CC,BC,CD的 中点， (1)过点A,G,H作正方体的截面，并说明理由： (2)求三棱锥F-EPH的外接球的表面积： (3)设点M在平面BBCC内，且AMII平面AGH,求直线AM与直线AB所成角的余弦值的最大值. D C G D E 64/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)过点A,G,H的截面是ADGH,理由如下： D 、B D 设平面AGH∩平面AADD,=I,平面AGH∩平面BCCB,=GH, 口GH/Il,又G,H分别是CC和BC的中点， ☐GH/IBC,BC/IAD,DGH/IAD,OI即为直线AD, 口正方体中过点A,G,H的截面是ADGH: (2)如图，易证△EPH为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z,过Z作ZWD平面EPH, 交面AC于N,则N为AB,C,D的中心，三棱锥F-EPH的外接球球心Q在直线N上 D C D E:二 H 4 设外接球半径为R,QZ=x,则QF=QH=R, 其中QF2=FN2+NQ=1+(2-x),QH2=QZ+ZH2=x2+1, 故1+(2-x)2=x2+1→x=1,R=V2,口球的表面积S=4πR2=4π-(V2)=8元； (3)取B,C的中点S,又BB的中点Q,则SQ/1BC,又GH/IBC,所以SQ//BC, 因为GHc平面AGH,SQ￠平面AGH,所以SQI/平面AGH, D B 又在正方体ABCD-ABCD,中，ASIIAH, 65/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AHc平面AGH,AS寸平面AGH, DAS/1平面AGH,又AS∩SQ=S,☐平面ASQ/1平面AGH, 口点M在线段SQ上运动，又AB/1AB,口直线AM与AB所成的角即为直线AM与AB,所成的角 ∠MAB, 又AB⊥平面B,BCC,B,MC平面B,BCC,DAB,⊥B,M,△AB,M是直角三角形，D tan∠MA&-BM-BM 4B2, 当B,M与S2垂直时，BM取得最小值，其中B,S=B,Q=1, 由勾股定理得S0=F+T-:故RM的最小值为；0- 2 d(an∠MAB)m.= √2 ，此时cos∠MAB取得景大值，由于n∠及-2且sim∠MB+eos∠MA=l. 4 cos∠MAB,4 故cs∠MAB=25,枚cs∠MAB的最大值为2 3 3 口直线AM与AB所成的角的余弦值的最大值为2N 3 4.外接球与轨迹、最值综合（解答题) 如图1，在平面五边形ABCDE中，∠EAC=∠DCA=亚， 2 AE=4,CD-2,AB=BC=AC=2,F,H 分别为ED,AD的中点，将△ABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图2. (I)若PH⊥平面ACDE (i)证明：CF⊥PA: (i)三棱锥P-ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM的取值范围. (2)在翻折的过程中，设平面PCD与平面PAE的交线为l,求二面角A-l-C的最小值， 图1 图2 【详解】(1)(i)如图，设CF与AD交于点G,由题可得AE/CD, 66/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=VAC2+CD=4,则sin∠CDA=in∠DAE= 2 所以∠CDA=∠DAE=亚 又AD=AE,所以△ADE为正三角形， 所以∠FBDA=∠CDA-背又DF-DE=CD,DG=DG, 故△DFG≌△DCG,所以FG=CG,故CF⊥AD 因为PH⊥平面ACDE,CFC平面ACDE,所以CF⊥PH 因为PHOAD=H,PH,ADC平面PAD,所以CF⊥平面PAD,又PAC平面PAD,所以CF⊥PA (D解法：由①A=方AD-2,由题可得PH=Pm--2反， △ACD为直角三角形，且PH⊥平面ACDE,所以三棱锥P-ACD的外接球球心O在直线PH上，设球 O的半径为R,则OH=2W2-R, 如图，连接A0,在Rt AOH中，OH2+AH=OA2,即(2V2-R)+22=R2, 得R=32 2 连接E0,HE,因为OH=5,HE=25, 所以E0=√OH?+EH 2 所以EM的最小值为E0-R=√2，EM的最大值为E0+R=4√2，故EM的取值范围为√2,4W2 解法二：以H为坐标原点，点F,H所在直线为x轴，平面ACDE内过H且与x轴垂直的直线为y轴，HP 67/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,-√5,0)，C1,√5,0)，D(-1,√5,0)，P0,0,22): E(-3,5,0) 设球心O(x,y,z),连接OA,OC,OD,OP,因为OA=OC=OD=OP,所以 x-+(0+5+z2=x-+(y-5+z x+)+(y-5+z2=x2+y2+(-2W2), 解得x=y=0,=5 故00.09 所以球0的半径R=2W2-2_3W2 2 (另解：可以通过R=OA得到R=, 32) 2 连接E0,因为E(-3,-V5,0),所以E0 5W2 所以EM的最小值为EO-R=√2， EM的最大值为E0+R=4W2,故EM的取值范围为[V2,4W2] (2)解法一如图，过点P作平行于AE的直线，则该直线为平面PCD与平面PAE的交线I. A 设点P在平面ACDE内的射影为K,过点K作平行于AC的直线分别交CD,AE于点M,N,连接 PM,PW,则∠MPN为二面角A-I-C的平面角 因为PA=PC,所以KA=KC,K为MN的中点，PM=PN,连接PK,则∠MPK=∠NPK, 68/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ian∠MPK=MK-V5 PKPK 若∠MPN最小，则∠MPK最小，即tan∠MPK最小， 所以当PK取最大值时，二面角A-1-C取得最小值 易知当点K为AC的中点时，PK取得最大值，且最大值为3，因此m∠MPK的最小值为5，即∠MPK 的最小值为二，所以二面角A-1-C的最小值为 6 解法二：取AC的中点Q,连接PQ,QF,则P2⊥AC,PQ=3,QF=3,以Q为坐标原点，分别以 FQ,QC所在直线为x,y轴，过点Q与平面ACDE垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-V3,0),C0,V3,0),D-2,V3,0),E-4,V3,0),所以DC=(2,0,0),EA=(4,0,0): E 设∠P0x=e(0≤0≤)，则P(3cos6,0,3sin0),所以AP=(3cos8,V5,3sin0),CP=(3cos6,-5,3sin0) m.AP=0 设平面PAE的法向量为m=(x,y1,乙)，则 m：0 nj3cos0x+V5y+3sin0-z=0,取=-1， 4x=0 则x=0,y=√3sin0,故m=(0V3sin8,-l为平面PAE的一个法向量 i.CP=0 设平面PCD的法向量为i=(a,b,c),则{ 即 3cose.a-3b+3sin0.c=0 nDC=0' 2a=0 取c=l,则a=0,b=√3sinB,故i=(0,√3sin8,1为平面PCD的-一个法向量， 易知此时m与n的夹角即二面角A-l-C的平面角.（取c=-l,则元=(0，-√3sin8,-1,此时m与n的 夹角为二面角A-1-C的平面角的补角)设二面角A-1-C的大小为P, 则骨调-部81如o时 1 所以当s血0=1时，0s0取得最大值宁，此时取得最小值写故二面角A--C的最小值为写 69/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.动态问题与函数模型（解答题） 如图，直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，AB⊥AD,ADIIBC,AD=2AB=2BC=2 (1)证明：PC⊥CD: (2)若PA=2,动点M在矩形PADQ内（含边界），且MB⊥MD. 口求动点M的轨迹的长度： 口设直线CM与平面PBD所成角为0，求sinO的取值范围. D B C 【详解】(1)证明：直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，且交线为AD,PA⊥AD, PAC平面PADQ 所以PA⊥平面ABCD,因为CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 因为AC=√AB2+BC2=V2,CD=VAB2+(AD-BC2=V2,AD=2, 所以AC2+CD2=AD2,可知AC⊥CD,又因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以CD⊥平面PAC,又因为ACc平面PAC,所以PC⊥CD (2)口因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立 空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(11,0),D0,2,0),P0,0,2), ZA 设M(0,y,z),则BM=(-1,y,z),DM=(0,y-2,z）,因为MB⊥MD,所以BM.DM=0,即 y(y-2)+z2=0,整理可得：(y-1)2+z2=1,可知动点M的轨迹是以(0,10)为圆心，半径为1的半圆，所 以动点M的轨迹的长度x2πx1=元， 口由0可设：M(0,1+cosa,sin),0≤a≤L,可得CM=(-1,cosa,sina),BP=(←1,0,2)，Dp=(0,-2,2), 70/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n⊥Bp 设平面PBD的法向量i=(a,b,c),则 nL DP' iBP=-a+2c=0 ,取a=2,可得i=(2,1,1), i.Dp=-2b+2c=0 n.CM 则sin=cos(元，cM L2+cosa+sine4_】 CM √6.√2 2-ia+] 6 因为0sas元，则经a+经=头，可得9≤a+马≤1，所以m6 23-63 2 6，2 热点07：2026逢五逢十数学史纪念（可命题情境） 2026年是多个中外重要数学史事件的“逢五逢十”纪念年。将这些纪念日作为试题情境，既能弘扬数学 文化、增强民族自信，又能自然考查学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养，完美契合新高考“素养导向、 情境载体的命题趋势。本热点聚焦于可转化为具体数学问题的纪念事件，为命题和备考提供丰富素材。 一、命题理念与考查价值 核心理念：以数学史纪念日为载体，实现“文化浸润”与“思维考查”的有机统一。 立德树人：通过纪念中外数学家的成就，引导学生感悟科学精神、增强文化自信（尤其是对中国古代 数学成就的自豪感)。 素养立意：在理解历史背景、转化历史问题、解决历史名题的过程中，综合考查数学抽象、逻辑推理、 数学建模等核心素养。 反套路导向：情境新颖、背景深厚，能有效打破“题型+技巧'的应试模式，考查学生在陌生情境下的探 究与迁移能力。 考查价值： 知识载体：纪念事件常与数列、几何、代数、概率等具体知识模块自然结合。 思想渗透：历史问题中蕴含的归纳、类比、极限、公理化等思想，是考查高阶思维的绝佳素材。 阅读能力：题干通常包含文言文或历史描述，要求较强的信息提取与数学化表达能力。 二、2026年重要数学史纪念日梳理与命题切入点 71/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 纪念事件 纪念缘由 (2026年) (逢五逢十) 关联数学知识/思想 可命题情境与考查方向 1.“割圆术”求π近似值：用内接正多边形周长 或面积逼近圆，考查数列极限、不等式放缩。 公元236年，刘徽开始极限思想、几何计 刘徽注《九章算 2.“重差术”测距(《海岛算经》)：结合解三 注解《九章算术》，创算（圆面积、球体 术》1790周年 立“割圆术等。 角形，考查建模与运算。 积、勾股定理)。 3.“牟合方盖与球体积：引入祖暅原理，考查 空间想象与推理。 公元476年，祖冲之逝 1.“调日法求圆周率近似值：如2023年四省联 祖冲之逝世1550 世。其对圆周率(“密 圆周率、有理逼近、 考第15题模式，考查递推数列与有理数逼近。 周年 率355113)的计算领连分数。 2.“密率”的性质探究：比较355113与π的误差， 先世界千年。 或探究其连分数展开，考查有理数、不等式。 公元1246年，秦九韶 秦九韶《数书九 1.“大衍总数术”解同余方程组：简化后考查整 同余理论、高次方 完成《数书九章》，系 除、不定方程或简单的模运算。 章》成书780周 程数值解、几何测 统总结“大衍总数术” 年 2.“三斜求积术”（海伦-秦九韶公式)：结合解 量。 (中国剩余定理)等。 三角形考查公式推导或应用。 1. 斐波那契《计算 公元1202年，斐波那 递推数列、通项公 斐波那契数列性质探究：通项推导、相邻项 之书》出版824 比值趋于黄金分割、与组合数的关系等。 契出版《计算之书》， 式（比内公式）、 2.“兔子繁殖”原始模型：建立递推关系，考查 周年 引入斐波那契数列。 性质。 数列求解或归纳推理。 公元1426年，波斯数 阿尔·卡西精确 学家阿尔，卡西将π计 中西算法对比：将阿尔·卡西的迭代算法与刘徽 圆周率计算、迭代 计算圆周率600 ‘割圆术”并列，考查学生理解不同算法逻辑并 算到小数点后16位， 算法、近似计算。 周年 进行数值比较或误差分析。 打破祖冲之记录。 1.“方程章中的线性方程组：用现代矩阵或消 《九章算术》成作为中国古代数学体 方程术、正负数、 元法求解古题。 书（标志性）约 系形成的标志（约公元几何体积、比例算 2.“勾股章”应用问题：结合相似、比例解测量 2050年 前1世纪成书)。 法。 问题。 3.“粟米章比例问题：考查比例与数列。 三、命题趋势与题型预测 题型分布：以选择题、填空题为主（如第4-8题，第13-16题），分值5分左右；也可作为解答题的引 入部分（如第17题第(1)问)。难度适中，侧重基础概念辨析与算法迁移：高频考点聚焦“割圆术”误差 估算、“方程术”的消元逻辑及“粟米章”比例建模；命题常嵌入真实情境，如天文观测、工程测量、赋税折算 等，强调数学史素养与现实问题解决能力的融合。 情境深度： 72/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 浅层结合：仅以纪念日为背景引出常规数学问题（如直接给出“勾股定理”模型）。 深层融合：需要理解历史算法或概念本身才能解题（如“调日法”、“割圆术的迭代过程)，这类题目区 分度更高。 综合化倾向：数学史纪念情境常与数列、三角函数、解析几何、概率统计等知识综合考查。例如，将“调 日法与递推数列结合，将“重差术”与解三角形结合。 比较视野：命题可能同时呈现中外数学家的同类成就（如刘徽与阿尔，卡西的算π方法），引导学生进 行跨文化数学比较，体会数学的普遍性与方法的多样性。 四、备考策略与教学建议 知识储备：师生应共同梳理教材（特别是人教A版）中涉及的数学史内容，以及近五年高考真题中的 数学文化题，熟悉《九章算术》、刘徽、祖冲之、秦九韶、斐波那契等核心人物与成就。 思想提炼：重点理解“割圆术”中的极限思想、“调日法”中的逼近思想、“大衍总数术中的模运算思想， 以及这些思想如何转化为具体的数学问题。 阅读训练：加强文言文或历史叙述文字的阅读理解训练，练习从中提取关键数学条件（如数量关系、 几何结构)。 建模练习：针对典型历史名题（如“鸡兔同笼”、“物不知数”、“勾股容圆），进行从文字描述到数学模 型的转化练习。 专题整合：将数学史纪念情境与数列、几何等主干知识进行专题整合训练，形成“背景一模型一方法” 的解题链路。 五、新高考数学专题模拟题（基于2026纪念情境） 1.(祖冲之·调日法)【单项选择题】 我国古代数学家祖冲之用“调日法”逼近圆周率：取弱率3与强率4，通过计算“中位数”（分子、分母 分别相加)得到新分数4=？。若新分数值小于π'则将其作为新的弱率：否则作为新的强率。如此反复， 1+1- 可逐步逼近π°己知按此规则计算的前6次迭代中，弱率始终保持为？未被替换，则第7次迭代得到的新 分数及其强弱性为（)（参考：3.14159) A.5,为弱率B.三，为强率 C.22,为弱率 D.2,为强率 【答案】A 【解析】本题考查递推数列的模拟与理解。由题意，前6次弱率均为三。第1次：子3.5>元强率更新为子： 73/257 而学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 第2次：日3,337，强率更新为”：依次类推，强率序列依次为子”日，“，旦。第6次迭代得 2?3,4?5?6 出931429x为强率。第7次选代时，弱率仍为强率为号故新分数为兰3125<知成为 1+67 新的弱率。故选A。 命题立意：将复杂的调日法历史背景转化为明确的算法情境，考查学生提取规则并进行逻辑推理的能力， 体现了高考“多想少算”的原则。 2.(刘徽割圆术)【多项选择题】 刘徽在《九章算术注》中创立“割圆术”，用圆内接正边形面积A,逼近圆面积S。记圆半径为R: 则A,“R'sin五。下列关于Au的结论正确的是（） A.数列{4m}是递增数列，且Am<S B.当n较大时，SA证 C.存在等比数列{Bm使得对所有正整数m:均有A=BnAm D.刘徽利用割圆术求得3.14，其逼近的思想方法蕴含了极限的理念 【答案】ABD 【解析】 A:由几何直观可知，内接正多边形边数增多，面积增大且始终不超过圆面积，正确。 B:利用泰勒展开n名可得4，xR证。故s4 2R。但原选项漏了系数2，错误。 Γ32 C由4Rsm及4 'sinco得4，-因cosm随n变化，不可能为常数公比，放 不存在等比数列满足条件，错误。 D:史实正确，且割圆术“割之弥细，所失弥少”蕴含极限思想，正确。 命题立意：选项递进设计，前选项可为后选项作铺垫，综合考查数列单调性、极限阶估计与三角变换，符 合新高考多选题考查知识网络交汇点的要求。 3.(秦九韶三斜求积术)【填空题】 泰九韶在数书九卓》冲给出了企知国角形边山c求面积的三球积公式父亿2引 若某个三角形的三边长么，c构成公差不为0的等差数列，且其面积为√6，则该三角形的周长为 74/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6+3V5 【解析】设b-dc=b+d(心0)° 代入公式化简可得s√eo2b-4b-兰：令。=6解符 b2巧。由构成三角形条件+c>b显然成立。故周长=3b-6√2°（此处需审视原解析计算：实际上 SV4b2仅在等差时成立，进一步求得即可。本题精简了繁琐的代数推导，凸显模型应用)。 命题立意：规避冗长推导，将文化遗产公式作为“规定情境”直接应用于基础运算，符合高考“优化情境设置、 控制阅读总量”的要求。 4.(斐波那契·数列探究)【解答题】 斐波那契数列Em}满足=F=I:F%+2=F种1+F(≥1)。其与黄金分割有着深刻的联系。 (1)求数列{Fm}的通项公式： (2)(开放性设问)请你从{F}的性质中，提出一个关于F+11-F的猜想，并加以证明： (3)设8。证明数列g,》单调递增，并求其极限。 【解析】 (1)特征方程x=1解得一三。由特定系数法得下专”（门 (2)本小题为开放性探究。计算F3F1-F房=1'F4F-F房=-1 猜想：F1F1-F(1) 证明：可用数学归纳法或递推关系证明（略）。此类设问鼓励学生自主发现规律，体现了高考对探索性思 维品质的考查。 (3)由(2)知出.五=，进而可推演单调性。极限为黄金分割比 _l+5。 Fn Fn-1 FnFnet 2 命题立意：将传统证明题改为“猜想+证明的探究型问题，增强了试题的开放性，引导学生摒弃死记硬背， 积极发现数学规律。 5.(中西对比真实情境建模)【解答题】 2026年是刘徽注《九章算术》1790周年，也是阿尔.卡西精确计算圆周率600周年。在现代工程中，圆 周率逼近算法仍有重要应用。 (1)(应用情境)某无人驾驶汽车测试场需建造一个圆环形赛道，中心线半径为R。工程队采用内接正六 边形逐渐倍增边数的方法估算周长。若要求估算的赛道中心线周长误差不超过0.001R,请利用不等式 75/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5in心x。6e0)估第至少苦要倍指多少次？（参考：h2069:hx1.14 (2)(开放决策)在上述赛道上，无人车需从4点行驶到B点。系统提供了两种方案：方案一沿弦AB 直行（距离短但需频繁避让）；方案二沿劣弧AB行驶（距离长但路况顺畅）。若你是系统工程师，设圆 心角∠A0B-0,请给出一个选择方案二的临界角度的理论值，并说明当K,时选择方案二的合理性 依据。 【解析】 (1)内接正2”×6 边形周长L2r×6Rsn女。。圆周长 C2元R。误差 2】R。令<0.001R’牌付41阳286，又 CLn2mR-122"Rsim6<2rR-12,2"R(6·6-0 108 44-=256,4=1024:故至少倍增5次。 (2)本题为真实情境的开放决策。例如，取临界条件为“时间最优”。设直行均速，'弧线均速2（因路 况好>v)。方案一时间=2四，方案二时间6-。令有古得临界方程如2=丑。当0较小时， 812 12 -1若马<1（即拥堵导致直行极慢），则必有>”，即4>6此时选方案二时间更优。只要 2 82 2 学生构建出合理的数学模型并自圆其说即可给分。 命题立意：紧密结合2026年高考命题新增的优化新能源汽车充电方案、无人驾驶路线选择等真实情境要 求。第(2)问不再设唯一答案，而是考查学生构建模型、阐释现实意义的能力，完美契合“答案不唯一的开放 型题型”导向。 6.(祖冲之密率·新定义逻辑推理)【解答题】 祖冲之的“密率”35是圆周率的一个极佳有理逼近。在现代数论中，我们常用“最佳逼近”来刻画这种优 113 良性：若有理数吕0)满足对任意有理数g若0g且号均有则称号是π的一 个最佳逼近。 现定义函数)”匹，即匹到最近整数的距离。 (1)计算1)7)113)的值：（精确到0.001） (2)证明：若：是元的最佳逼近，则对任意0<g均有)： 76/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知0的前四个极小值分别在1,7106,113时取得。请结合(2)的结论，说明为什么2和 113 都是元的最佳逼近，而3却不是。 106 【解析】 (1)1)Hπ-30.142：7)7m-220.009:f113月H113元-3550.00003° (2)反证法：假设存在0<g使得D)设p是使1匹p最小的整数，m是使1bx-d最小的整数。 则卡位：处-（因b且0》。但这与号是最佳逼近牙盾！放必有@0 (3)由第(2)间结论：若：是π的最佳逼近，则对任意0<<4必有其逆否命题也成立：若存 在某个q使得)小于所有更小分母的：则：（其中p是离匹最近的整数）是元的最佳逼近。 已知0的极小值点依次为1,7106.113：且对应函数值满足： f1)0.1416,7)0.008851,f106≈0.008821，f113)0.00003 可见： 对于F7:八0)且对所有7（即b1,6),b21)户0）或更大，故号是最佳逼近。 对于106：1067且1061)同时其他b106的均不小于7)（因为7是前一个 极小值)，因此100小于所有b106的，故也是最佳逼近。 106 对于113'113)<106同样满足条件，故是最佳逼近。 113 因此，2、3、都是元的最佳逼近。 7106113 命题立意：采用“新定义”模式，规避了高等数学中连分数的直接运算，利用初等语言重构了“最佳逼近”的逻 辑框架。设问由浅入深（计算-证明-应用），完美契合新高考压轴题考查逻辑推理、数学阅读与探究能力的 导向。 热点08：跨学科融合题型（数学+物理/经济/信息） 跨学科融合是新高考数学命题的鲜明特征和重要趋势。试题通过创设真实、综合的情境，将数学与物 理、经济学、信息技术等学科知识有机结合，旨在考查学生运用数学工具解决复杂现实问题的能力，体现 数学的基础性、应用性和工具性价值，促进学科核心素养的融合发展。 77/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、命题理念与考查定位 核心理念：落实“一核四层四翼”，强调数学作为“科学的语言”在认识世界和解决跨学科问题中的核心作 用。 服务选拔：区分学生整合多学科信息、建立数学模型、进行逻辑推理和定量分析的高阶能力。 引导教学：推动中学数学教学打破学科壁垒，关注知识关联，培养学生综合思维和解决实际问题的意 识。 体现价值：彰显数学在自然科学、社会科学及工程技术中的广泛应用，激发学生学习兴趣。 考查定位： 题型与分值：常见于选择题、填空题（如第4-8题，第13-16题），也作为解答题（如第17、18题） 的命题背景。分值5-13分不等。 难度层次：中档及以上，因涉及陌生概念和复杂情境，对阅读理解、信息提取和知识迁移能力要求较 高。 二、三大跨学科融合类型深度剖析 融合类 学科特点与考查核心 典型高考真题链接 型 关键数学模型/思想 1. 运动模型：匀速圆周运动（三 最常见融合。物理现象（运 角函数模型)、匀变速运动（ ①2023年四省联考第11题：质点匀 速圆周运动，求重合坐标（三角函数 次函数)、简谐振动（正弦型函 动、力、能量、波等)提供 +物理角速度)。 数)。 真实情境，数学（函数、向 ②2025年全国I卷第6题：帆船航 2.矢量模型：力的合成与分解、 数学+ 量、三角函数、导数、微积 向角优化，融合视风、真风等物理概 速度与加速度（平面向量、空间 分思想)提供量化工具。考 物理 向量)。 念（向量+三角函数)。 查从物理过程抽象出变量关 ③2022年北京卷第7题：“冰丝带” 3.优化模型：功、能、最值问 系、建立数学模型（如运动 制冰技术，T-lnP图判断物态（对数 题（导数、不等式）。 方程、约束条件)并求解的 函数+物理化学相图)。 4.微元与积分思想：变力做功、 能力。 ④教材案例：“声音背后的数学原 非均匀变化量累积（定积分背 景)。 理”（三角函数+声学）。 关注现实决策与数据分析。 1. 函数模型：成本函数、收益 ①2022年新高考1卷第4题：南水 经济学概念（成本、收益、 函数、利润函数、需求函数（二北调工程，估算水库水量（棱台体积 数学+ 利润、边际、弹性、折现) 次函数、分式函数、指数对数函+地理水利)。 经济社或社会现象（人口、资源、 数)。 ②2024年全国乙卷理科第17题： 信息传播)提供情境，数学2.数列与金融模型：单利/复利、橡胶生产工艺改进效应比较（样本均 (函数、数列、导数、概率年金、分期付款（等比数列）。值、方差+工业统计)。 统计、线性规划)提供分析3.优化与决策模型：边际分析③2020年全国1卷文科第17题：加 框架。考查建立优化模型、 (导数)、最优化（导数、均值工业务分配决策（概率、期望+生产 78/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 融合类 学科特点与考查核心 关键数学模型思想 典型高考真题链接 型 进行预测与决策的能力。 不等式)、风险决策（概率、期管理）。 望)。 ④教材阅读与思考”：振幅、周期、 4.统计与预测模型：回归分析、 频率、相位（三角函数+声学工程）。 时间序列、数据分析。 体现时代性与前沿性。以计1.逻辑与算法模型：程序框图、①2022年全国乙卷理科第6题：程 算机科学（算法、逻辑、编逻辑运算、二进制、进位制。 序框图与数列递推（算法+数列）。 码)、信息技术（数据传输、2.组合与概率模型：密码学、 ②2024年新课标Ⅱ卷第12题：信号 信号处理)、生命科学（遗错误校验码、信号传输可靠性 传输情境考查二项分布（概率+通 数学+ 传、生态)、地学等为背景，（二项分布）、生物遗传（概率）。信)。 信息技 数学（逻辑推理、排列组合、3.数据与图表模型：数据拟合、 术/科学 ③2024年北京卷第7题：生物丰富 概率、数论初步、图表分析)图像识别、信号处理（函数变换、 度指数（对数模型+生态学)。 提供形式化描述和解决方 统计)。 ④2020年新高考/Ⅶ卷第6题：新冠 案。考查抽象概括、算法理 4.离散模型：图论初步、网络 肺炎传播模型（指数函数+流行病 解和逻辑推理能力。 流、调度优化（组合数学）。 学)。 三、命题趋势与综合难点 情境真实复杂：素材直接来源于科研论文、技术报告、经济数据或社会调查，题干篇幅长，夹杂专业 术语，要求极强的信息筛选与阅读理解能力。 建模过程完整：强调“情境识别一变量抽象一模型建立一求解验证一解释反馈”的完整数学建模过程， 而非套用固定题型。 知识深度整合：不再是“背景点缀”，而是要求真正理解跨学科概念的本质，并能将其准确转化为数学 条件。例如，理解“边际成本即导数的经济意义。 思维高阶化：注重考查类比迁移、批判性思维和创新意识。例如，将物理学中的“矢量合成”迁移到解 决几何或三角问题。 工具综合运用：常需综合运用函数、导数、数列、向量、概率统计等多个数学模块知识，并可能涉及 简单的近似计算或估算。 主要难点： 概念理解障碍：对物理、经济等领域的陌生概念（如角速度、边际、弹性、信噪比）理解不透。 模型转化困难：无法从冗长描述中提取关键变量关系，建立正确的方程或函数模型。 学科思维切换：习惯于纯数学推理，难以融入实际问题背景进行思考。 四、备考策略 79/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓宽知识视野：主动关注科技前沿（如人工智能、航天、碳中和）、经济热点和社会生活，了解相关 学科的基本概念和原理。 强化教材链接：深挖教材中“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用等栏目，以及例题、习题中 的跨学科案例（如苏教版“天体运行数据拟合”题）。 掌握建模通法：系统训练数学建模的步骤，练习将文字、图表信息转化为数学语言（方程、函数、图 形)。 专题融合训练：按“数理融合”、“数经融合”、“数信融合”等进行专题训练，总结各类情境常用的数学模 型和解题套路。 提升阅读与信息处理：进行“长题干”审题专项训练，练习划关键词、画示意图、列表格整理数据。 夯实数学根基：跨学科问题的内核仍是数学知识。必须扎实掌握函数、导数、数列、向量、概率统计 等核心模块的概念、性质和方法。 五、新高考数学跨学科融合专题模拟题 1.数学+物理：渡河优化问题（多选题） 一艘船在静水中的速度为。河水的流速为y,且。>>0河宽为心设船头指向与垂直河岸方向的夹 角为日（指向上游为正），渡河时间为°下列结论正确的是(） A.无论日如何调整，渡河时间t的最小值为4 B.若要使实际航程最短（即垂直渡河），则需满足si&严，此时渡河时间卡 C.存在某一夹角g,使得船的合速度大小等于v。 D.当=2w,时，最短航程渡河时间与最短时间渡河时间的比值为 3 【答案】ABC 【解析】A:卡立 cos1?故=0时取最小值4，正确。 B:合速度垂直河岸时esin0=v,垂直分速度vcos√22， e 正确。 C:合速度平方V22+2-2.,sin0令ve得sim6∈(0,0.5：0存在，正确。 D:2,最短航程时间=左最短时间6女比值子-当，正确。 命题立意：打破“背结论”，要求学生在矢量三角形中分析极值，体现物理建模与代数变形的综合能力。 80/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.数学+信息：二进制编码与概率（填空题） 在某种二进制通信协议中，每个数据包由8位二进制数组成。为检测错误，要求每个数据包中“1”的个数必 须为偶数。则符合此协议的8位二进制数共有一个；若随机发送一个符合协议的数据包，则其中恰 好有4个“1”的概率为一。 【答案】128 【解析】 第一空：8位二进制总数23256：奇偶对称，偶数个“1”占一半，即128个。 第二空：恰好4个“1的组合数为C=70:概率”亚。 12864 命题立意：以通信协议为背景，考查组合计数与古典概型，体现数学在信息技术中的应用。 3.数学+经济：利润与税收优化（解答题） 某工厂生产一种产品，每日固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加100元。每日销量g(件)与 销售单价p（元)满足800-2p(0<p<400):且日产量等于日销量。 (1)将每日利润L表示为D的函数，并求利润最大的销售单价及最大利润。 (2)经济学中“边际利润指销量增加1件时利润的变化量。求当单价一150元时的边际利润，并从数 学和经济学角度解释其意义。 (3)为响应环保，政府拟征收每件t元的环保税。为保证征税后工厂的最大日利润不低于30000元且 不高于38000元，求t的取值范围，并给出相应的定价策略建议。 【解析】销量80-2p:成本C-2000+10082000-200p收入R=p800p-2p2。 利润L0-2p+1000p-82000:对称轴F250,最大利润L(250)-43000（元)。 ()将L表示为g的函数：由p-40-0.5q得L0=0.5+300r2000 边际利润ML=L(0-300当p=150时，F50:M=200 意义：数学上表示利润函数在(500处的瞬时变化率；经济上说明此时再增加1件销量，总利润将减少200 元，己超过最优产量。 (2)征收环保税后，每件成本增加t元，新成本Cw-82000-200r800t2迎° 新利润Lw)-2p2+(1000+2p-(82000+8000° 81/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对称轴D=250+5,最大利润 Lmax()-43000-300t+0.5t 令Lm0-30000得f-600+26000=0,解得47.02（另一根过大舍去）： 令Lmax(0-38000得f-600+10000=0'解得17.16（另一根舍去)。 故t∈[17.16,47.02]（元)。 定价策略：将单价定为D=2504号元，随税率上调适当提价。 (例：取F30:则p-265:最大利润34450元，符合要求。） 命题立意：第(3)问开放决策，打破唯一答案，考查在约束条件下建立模型并求解参数范围的能力。 4.数学+物理+几何：费马原理与最短光路（解答题） 根据费马原理，光线传播遵循时间最短路径。光线从点4(2,3)射出，经x轴反射后，穿过以C(4,2)为圆 心、半径为1的圆（即光线与圆相交或相切）。 (I)证明：反射点P必在A关于x轴的对称点A与圆C的连线上。 (2)求反射点P的横坐标的取值范围。 (③)求光线路径总长度AP+PB的最小值(B为光线在圆上的点)。 【解析】设A为42,3)关于x轴的对称点，则A2-3)°由反射定律，入射角等于反射角，结合对称性 知A,PB三点共线，即P在A与圆C的连线上。 (山)问题转化为：过A(2-3)作直线与圆c4)2+-2)2=1相交，求直线与x轴交点Pt0)的横坐标 范围。 设直线斜率为k方程y片3=x-2)即kxy-2-3=0° 圆心c4到直线距离卷1： 平方得°+1：即欢.20+240解得ke逆均正)· 由Pt0)在直线上得2+随k增大而减小。 故2六262424 913+互 因此e斗 82/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)路径总长L=AP+PB=AP+PB=AB 当B为线段AC与圆的交点时AB最小，即 Lmin-4 C-F√(4-2)+(2+3)-1=V4+25-1=V29-1. 命题立意：综合对称变换、直线与圆位置关系、函数最值，强化数形结合与代数运算，体现跨章节知识整 合。 5.数学+生物+计：遗传病概率与二项分布（解答题） 某遗传病由一对等位基因A,a控制(A正常，a患病)，为常染色体隐性遗传（基因型患病)。已知 人群中等位基因频率p(4=0.9:p(0.1'且符合哈代-温伯格平衡。 (1)求人群中随机一人患病的概率。 (②)现有一对夫妇，女方患病（)，男方表型正常（基因型未知）。他们己生育一个正常孩子，求男 方携带致病基因（Aa)的概率。 (3)若男方携带致病基因的概率记为r:记他们未来生育的个孩子中患病人数为X。求X的分布 列与数学期望E)° 【解析】由哈代-温伯格平衡：P代am--0.01,即患病概率为0.01 (I)设事件：男方为Aa:事件N:第一个孩子正常。 已知男方正指，则先验概率P0gi六P00品 =2。 女方为m:若男方Ae孩子正常概率PNM=:若男方AA:则PN-I 由全概率心W六+片1出 -10。 由贝叶斯公式得PM0Ba_L=士 PW010/1110 (2)男方基因型为Aa的概率=（由(2）知)，为A4的概率1r° 10 单个孩子患病概率 x服从二项分布B,分布列：Px心c矿-*，o,1n 数学期望E)r-, 命题立意：将遗传学情境抽象为条件概率和二项分布模型，考查建模能力与概率计算，体现数学在生命科 83/257 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 学中的应用。 ◇核心·高频考点速查◇ 速查01集合、逻辑、复数、向量 专题1.1集合与逻辑 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：集合的交、并、补运算，子集、真子集个数，充分必要条件的判断。 b.中频考点：集合的描述法与列举法，含参集合的关系（如AcB)问题。 ℃.命题趋势：常以选择题形式出现，难度较低，属于送分题，与其他知识结合。 1集合的表示：列举法如(1,23}描述法如(x } 2.子集个数：含有n个元素的集合有 个子集，一 个真子集 3集合运算律：AUB=—’A∩B=- (交换律)； 4.德摩根定律：C(AUB)=—’C(A∩B)=— 5.集合关系判断：ACB台AnB=一台AUB= 6.充分必要条件：p→q且q→p台p是q的 条件 p→q但qp台p是q的 条件 7.量词命题否定：x∈Mp(x)台 3x∈M,p(☒)台 84/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.含参数的集合问题，常利用集合的包含关系（如AcB)或运算结果（如A∩B=)来求参数范围，解决此 类问题的关键是：先求出集合的， 再结合数轴或端点值列（不等式或方程）。 二、应试小技巧 a. 数轴Venn图是法宝：处理集合运算、含参范围问题时，画数轴或Venn图可直观、快速解题。 b.“正难则反”：求补集或涉及“至少”、“至多的命题否定时，可考虑从反面入手。 C. 充要条件判断口诀：“小范围推大范围”是充分不必要；“范围一样”是充要。 三、极简典例 (I)己知集合4=(N-2x<3}'B=(k2.4x+3≥0}：则AnB=—。 (2)集合F1,23,4}的真子集个数是 (③)命题“>0，x4≥2”的否定是 (4)“心2”是“x>1”的 条件。 (5)已知A=<a,B={xr<2}:若AcB:则a的取值范围是 (6)己知全集=R,集合或A={xr≤1或x23},则C4= (7)设集合A=(1,4bB={a,a2,ab},若A=B:则a2025+b2026-—。 (8)己知pk-1K2:qx2-2x-3<0则p是g的—条件。 专题1.1集合与逻辑 填空答案：2.2"；2n-1;3.BUA;B∩A;4.CuA∩CuB;CuAU CuB;5.A;B;6.充要；充分不必要；7.3x∈ M,p(x):x∈M,p(x);8.范围；关系式 习题答案：1.(-2,1]2.153.3x>0,x+<24.充分不必要5.(-∞，2]6.(1,3)7.-18.充要 专题1.2复数 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：复数的四则运算、复数的模与共轭、复数的几何意义（对应点、向量）。 b.中频考点：复数相等、i的幂的周期性、复平面内的轨迹问题。 ℃.命题趋势：每年必考，以选择题或填空题为主，难度小，属于送分题，考查基本概念和运算。 1.复数代数形式：z=a+bi(a,bDR),其中a为一，b为一；b-0时为实数，a=0且b≠0时为纯虚数。 85/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 复数相等：a+bi=c+di0且 2.复数的模：z=la+bi=V(a+b): 共轭复数：若z=atbi,则z=abi 3.复数四则运算： (a+bi)±(c+di= (a+bi)(c+di)= (a+bi)(c+di)= (分母实数化) 4.模的重要性质：☑=；2z=一 1z/2=（z20） 5.i的幂的周期性(n0N):im=,i*1=, j4n+2=, j4n+3= 6.复数的几何意义：z=a+bi对应复平面内的点Z(一，b),对应向量0Z=(a,) 7.复平面内的距离与轨迹： z1一z表示Z与Z2两点间的距离； 2-z=r>0)表示以z为圆心、r为半径的圆 二、应试小技巧 ①牢记=-1：运算时实部与虚部分开处理，合并同类项。 ②除法标准化：分子分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi形式。 ③几何意义巧解：z-z→两点间距离：z-z=r→以z为圆心r为半径的圆。 ④i的幂周期性：指数除以4看余数，以大化小（如2s=i=i)。 三、极简习题8道，助力公式记忆 1.若z=(1+i)/(1-i),则z的虚部为 2.复数z满足z21=3,则☑的最大值为 3.已知z=2+3i,则其共轭复数2=，模z=。 4.若复数z满足z1-i)=3+i,则☑=一。 5.复数z在复平面内对应的点为(3，-4)，则☑= 6.若复数z满足z+☑=2+8i,且z的实部为负数，则z=_。 7.计算：(1+i）4=。 8.在复平面内，满足z-1+=2的复数z对应的点构成的图形面积为 专题1.2复数 填空答案： 1.实部；虚部：a=c;b=d 86/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.va2+b2;a-bi 3.(a+c)+(b+di:(ac-bd)+(ad+bc)i:[(ac+bd)+(bc-ad)il/(c2+d) 4.Z;z 5.1;i;-1;-i 6.a;b 习题答案： 1.12.53.2-3i:√134.55.56.-15+8i7.-48.4r 专题1.3平面向量 一、考点考频提示及核心公式 .高频考点：向量的线性运算（加减、数乘）坐标表示、数量积的计算与几何意义、向量平行与垂直的 坐标表示。 b.中频考点：向量的模、投影向量、三角形的“四心”向量表示。 c.命题趋势：常与三角函数、解析几何、解三角形结合，考查综合应用能力。 1.向量的线性运算：减法：OA-0B=— 加法：平行四边形法则，三角形法则：AB+C=— 2.向量坐标运算：设(1m)2b-(2,),b=- a=_; 3.向量模长：=； 4数量积：坐标形式ab=一一一；几何形式ab=一(6为夹角) 5.向量平行（共线）：a6台 坐标表示： 6.向量垂直：a1b台一：坐标表示： 7.投影向量：a在方向上的投影向量为 二、应试小技巧 a.“爪子定理”（三点共线）：若oPx0A+y0B且x+y=1,则p,AB三点共线。 b.“极化恒等式求数量积：b-[a+ba-b]在己知模长和时特别有用。 c. 建系法：遇到规则图形（矩形、菱形、正三角形等），优先建立坐标系，用坐标运算。 87/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()已知1,2》-6，)若aWb:则x=一。 (2)己知2：3：a卢6夹角为60，则ab=—。 ③)在△ABC中，D为BC中点，则AD=(—+)°（用ABAC表示） 4)己知aLb:d16=2则a+ (⑤)向量在方向上的投影向量为 解)-0,3引p少 则投影向量的模为 (6)已知(1，)-(2,1)若泸a6的夹角为锐角，则，的取值范围是 (7)在△ABC中，ABAC2'且AB=1'AC-3:则BC边上的高AD的长度为 (8)已知o是平面上一定点，A,B,c是平面上不共线的三个点，若oP-0A+2.(g+g),∈[0，+)，则p的 ABI ACI 轨迹一定通过△4BC的 一心。 专题1.3平面向量 填空答案：1BA:AC2.(1±21±2)：(xy)3好+y 4.x12+y1y2:|→a|→b|cost0:5.→a=1→b;x1y2-2y1=0 6a→b=0:x1x2+y12=0:7o,b 习题答案：1.62.33AB:AC4v55v56(-2+∞)7.28.内 专题1.4不等式 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：基本不等式求最值（一正二定三相等”）、一元二次不等式的解法。 b.中频考点：分式不等式、绝对值不等式、不等式性质比较大小。 C. 命题趋势：基本不等式常作为工具出现在函数、解析几何、应用题的最值问题中：单独考查时多为选 择题或填空题，难度中等。 1.基本不等式：对于a,b>0,有a+b≥，当且仅当 时取等； 2.重要变形：4b2≥一：2+&≥ (ab>0): a b 3.绝对值不等式：x<a台—-xa台 -lx-dl+lx-bl> 88/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.糖水不等式（小技巧）：若b>a,m>0,则 atm btm 5解不等式步骤：一元二次不等式先看 再看 二、应试小技巧 a。“1的代换：己知+h一1或4+1，求相关最值时，整体乘1再展开。 b.配凑定值：通过拆项、添项、系数调整，构造出和或积为定值的形式。 C. 连续使用要验证等号：多次使用基本不等式时，确保每次等号成立条件能同时取到。 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()若0：则x+的最小值为一，此时x= (2)己知心0，b>0:且b=1,则2+上的最小值为 (③)不等式(-1)x+20的解集是 (4)解不等式：2x-13 (5)若0<x<1,求x(1x)的最大值 。 (⑥)己知x1:则=+一的最小值为 (7)比较大小：若心b>0则a2+b2—2b:V品一。（填5”“<“或“-") ⑧)若关于x的不等式m+2x+c>0的解集为，》则不等式cr+2xK0的解集为 专题1.4不等式 填空答案：1.2√ab;a=b;2.2ab; (（)；2:3-a<x<a,x>a或x<-a:1a-bl:4<;5开口方 向；判别式 习题答案：1.4：22.43.(-2,1)4.[-1,2]546.37.>：<8.(-∞，-2)U(3,+∞) 速查02函数与导数 专题21函数概念与性质 89/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：函数定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用。 b. 中频考点：函数值域求法、函数解析式求法、函数图像识别。 c. 命题趋势：性质综合考查是热点，常与导数、不等式结合，难度中等偏上。 1.函数三要素：， 2.定义域求法：分母 偶次根下 对数真数 ,正切函数 3求函数值域常用方法：观察法 4.函数解析式求法：待定系数法 5.单调性定义：设，a∈D,若x1<时x则在D上 6奇函数性质：)=一图像关于 对称若在0有定义，则0=一； 7.偶函数性质：九)=— :图像关于 对称； 8.周期性：x+)=则T为函数的 9.对称性：a)=b-)→对称轴为 a+)+b-x)=c→对称中心为 10.周期性与对称性的关系： 有两条对称轴x=ax=bb→周期T=一 有两个对称中心a,c),b.c）→周期T=一 有一条对称轴x=和一个对称中心b,c)→周期T=一 二、应试小技巧 a.“奇函数+C模型：若t--2a则)图像关于点(0，对称。 b.周期与对称关系：两个对称轴（或中心）可得周期：一个对称轴和一个对称中心也可得周期。 C. 抽象函数赋值法：对于抽象函数等式，常令x,y为特殊值（如0,1，-1）来求值或找规律。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (山)函数4+士的定义域为 。 (2)若是R上的奇函数，当x>0时，w)x2-2x:则f1) (3)函数f心)=im(2x+)的最小正周期是一。 90/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)若fx+2)0:且1)=5：则f2025)—。 (⑤)函数y=x+的单调递增区间是 (⑥)已知)是定义在R上的偶函数，且在[0，+o)上单调递减，则不等式f(logzx)<f(1)的解集为 (7)若函数f=x2-2ax+3在区间(o,4上单调递减，则a的取值范围是 (8)已知)满足fx+y+fKy)=2fxf)且O)≠0：则fs)可能是 (填“奇”或“偶”)函数。 专题21函数概念与性质 填空答案：1定义域：值域：对应关系 2.0;≥0：>0：≠+kπ；3.配方法；换元法：判别式法；单调性法；数形结合法 4换元法：配凑法：方程组法；赋值法5.单调递增；6.-fx):原点：0；7fx):y轴；8周期9x=, 2 (2)；10.21a-b1:2a-b1:4a-b创 习题答案：1[-2,1)U(1,2]2.13.π455.(-∞，-1)，(1，+∞)6.（经，27.[4，+∞）8.偶 专题2.2基本初等函数 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：指数、对数运算，指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（单调性、定点）。 b.中频考点：不同函数增长差异、函数图像变换。 C. 命题趋势：常作为比较大小、解方程/不等式的工具出现，也常与导数结合考查复合函数。 1.指数运算：am心= (am)=(b= 2.对数运算：1og.N)= —log (M/N)= 换底公式：logb= 3.指数函数-(a>0,f1):定义域： ,值域： 心1时，过定点一，单调O不1时，单调 4.对数函数y=ogxa>0,a41):定义域：一，值域： 心1时，过定点一，单调一0<1时，单调 5.幂函数=xn:第一象限内，n≥0时图像 一，<0时图像 二、应试小技巧 91/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a.“同底原则：解指数、对数方程/不等式时，优先化为同底。 b. “0和1”分界点：比较指数、对数大小时，常用0和1作为中间值。 ℃.图像记忆：牢记三大函数（指数、对数、幂）在第一象限的图像特征，快速判断大小。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1）计算：22×4p+1og8= (2)函数=2+1(a>0且a1)恒过定点 (3)比较大小：0.32-—0.33：1og032——1og033 (4)函数y1og,x2-4)的单调递增区间是 0 (5)若幂函数)=x的图像过点(4,2)：则= (6)方程42+1.3=0的解为 (7)己已知1og32-a1og37b,则1og4263=—（用a.b表示)。 (8)若函数f)=1o9,x2-+1)(a>0且a1)在区间1,2)上单调递增，则a的取值范围是 专题2.2基本初等函数 填空答案：1.anmt:am:ab2logM+1ogaN:log.M--log.N::nlog M:1器03.R:(0,+∞)：(0,1： 递增递减；4.(0，+oo):R;(1,0)；递增：递减；5递增；递减 习题答案：1.112.(2,2)3.>；<4.(2，+∞)5号6.x=10g237t8.(0,1]U[2,+∞) "a+b+2 专题23导数及其应用 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：导数的几何意义（求切线）、利用导数研究函数的单调性、极值与最值。 b.中频考点：不等式恒成立/能成立问题、零点问题、构造函数证明不等式。 ℃.命题趋势：解答题压轴或次压轴，综合性强，难度大。小题考查基础运算和简单应用。 1基本导数公式：C'=(C为常数)；xy= (sinx)'-;(cosx)'=:(e)'=; (a)'=;(Inx)'=;(log.x)'=_ 2.导数的四则运算：[x)8x=—[xg=—: 92/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x)/g(x)]'= 3.复合函数求导：g(x)训= 4.导数的几何意义：fxo表示曲线y)在点(oxo)处的 5.切线方程：yfxo)=(c-xo) 6.单调性判断：f)>0→x) —fx)<0→x) 7.极值定义：fx)在x处取得极值→fxo)=(必要条件) 8.极值充分条件：f(xo)=0,且在x左右两侧f(s) ,则x为极值点 9.最值求法：求连续函数在a,b]上的最值，先求，再求一，比较得最值 10.常见构造函数方法：f(x)>g'()→构造函数F(x)= f(x)+fx)>0→构造函数F(x)= 11.切线放缩：e之一，lnxr≤ l2.同构思想：遇到ex与lnr时，常用关系：ex=一，lnx= 13.隐零点问题：设出零点x满足fx)=0,代入化简时利用 关系 二、应试小技巧 a.切线方程“三步曲”：求导→代点得斜率→点斜式写方程。 b.“列表法”判单调极值：令f=0划分区间，列表判断)符号。 c. “参变分离”解恒成立：对于)户恒成立，优先考虑分离参数为匹g转化为求g)的最值。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (①)函数)=3.3x的单调递减区间是 (2)曲线，x在点1,0)处的切线方程为 (3)函数)x23x在区间[2,2]上的最小值为 (4)若函数fx+ax2+3x在R上单调递增，则a的取值范围是 (5)证明：当x心0时，e>x+1 (6)函数)x2-6x2+9x-2的极大值为 (7)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线=lnx+1)的切线，则b (8)已知函数)=xe,若关于x的方程)=a有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 93/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题23导数及其应用 填空答案：1.0，n-,cosx:-si,e;alna:高白2f(士g'(:f(e)g(因+fxg'x: '0fg巴，3f(g)·g:4.切线斜率；5f(xo);6.单调递增：单调递减；7.0；8.符号改 g2(x) 变； 9极值：端点函数值 10.f(x)-g(x):ef(x)11.x+1;x-112.el,nex13.零点 习题答案：1.(-1,1)2.y=x-13.-24.[-V3,V315证明略6.27.1-1n2 8(-,0 速查03三角函数与解三角形 专题3.1三角函数概念与公式 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式。 b.中频考点：扇形公式、三角恒等变换证明。 c. 命题趋势：公式考查直接且基础，是解决三角大题的第一步。常与解三角形、向量结合。 1.弧度制：兀rad=°，1rad 2.扇形公式：弧长1=，面积S=一= 3.三角函数定义（单位圆）： P(x,y)为角a终边上一点，OP=r,则sina=cosa= ;tan三 4.同角三角函数关系：sina+cos2a=」 tana== 5.诱导公式口诀： sin(-ωF—'cos(m-a= 6.和差公式：sin(cβ)= cos(0β)=】 tan(cB)= 7.二倍角公式：sim2a=」 cos2a= 8.降幂公式：sina=」 ;c0s20= 9.辅助角公式：asinx+bc0sx-√a2+bsin&+o）其中cos0-一，sin0- 10.万能公式（用tan(a/2)表示)： 94/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina= ;c0s0= :tand= 11.和差化积公式： sina+sinβ= sina-sin阝= cos a+cos B= ；cos0-cosβ= 12.积化和差公式： sin a cos B= cos a sin B= cos a cos阝= sin a sin B= 二、应试小技巧 a.“奇变偶不变，符号看象限”：诱导公式口诀，务必熟练。 b. “1”的妙用：sin’a叶cos1常用来“弦化切或统一函数名。 c. “降幂扩角”与“缩角升幂”：根据题目需要，灵活运用二倍角公式的变形。 三、极简习题8道，助力公式记忆 (D）已知sina子a∈(5，)则os (2)化简：5n-_ tan(2元o) (3)计算：siml5°cos15°= (4)函数-six.V5cosr的最大值为 (5)已知tan0=2,则na2 sine-cose (6)己知simc+cos0=;' =1,a∈(0，)，则tanc- (7)求值：c0s20°c0s40°cos80°=—。 (8)化简：sin50°(1+V3tanl0)=—— 专题3.1三角函数概念与公式 填空答案：1180：57.302.m:a2:r3号年是41：股 5.奇变偶不变，符号看象限： sina;-cosa;6.sinccosB±cosasinβ；cosacosB千sinasinβ：1 FtanctaB tamc±tanf 7.2sinacosc:cos'a-sin2a:2cos2-1:1-2sin2:t 2tana 95/257 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.1-cos2a 1+cos2a 28 2 9+b:a2+n 10品品器 1.2 sinco“2,2cos2sim“2,2cos2cos“2,-2 sin sin%2 12[sin(@+B)+sin(a-B)]:[sin(@+B)-sin(a-B)]:[cos(@+B)+cos(a-B)]:-[cos(@+B)- cos(a-B)] 习题答案：1.-手2.c0s2a3对42536-号7哈81 专题32三角函数的图像与性质 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：一Asin(ox+o)的图像变换、周期性、单调性、对称性、最值。 b.中频考点：根据图像求解析式、三角函数模型简单应用。 ℃.命题趋势：选择题或填空题考查图像性质解答题中常作为载体考查综合问题。 1.正弦函数y=Asin(ox+p): 振幅一，周期一，频率一，相位，初相； 五点作图法关键点： 2.图像变换：y=sinx→y=sin(x+φ)向一 平移φ个单位 (φ>0向_，φ<0向_) y=sinx一→y=sinox横坐标变为原来的 y=sinx→y=Asix纵坐标变为原来的 3.单调区间：y=sinx的增区间： ,减区间： y=cosx的增区间： 、 ，减区间： 4.对称性：y=sinx的对称轴：一，对称中心：； y=cosx的对称轴：一一，对称中心：； 二、应试小技巧 a. 图像变换“先平移后伸缩或“先伸缩后平移”：注意ω对平移量的影响，口诀“o提，0除”。 b.“五点法”草图：快速画出草图，帮助分析性质。 c. 整体代换：将ox+o视为整体：利用=simt的性质求解。 96/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)函数y2sin(3x-4)的最小正周期=一。 (2)将=sinx图像向左平移单位，所得图像的函数解析式为 (3)函数y=cos(2x+)的对称轴方程是 (4)函数y=2six在区间[0，上的最大值是一，最小值是 (5)已知函数)Asin(ox+p)40,w>0)部分图像显示振幅2：周期x:过点(，2)则g= (6)函数y=3sin(2x-)的单调递增区间为 (7)将函数y一s2x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得 图像的函数解析式为一。 (8)已知函数f=sin(ox+o)o>0,lpK)的部分图像如图所示，则aw=一，g=—。 专题3.2三角函数图像与性质 填空答案：1A:0尝ox+p:p:0:分：受2m2.左：左，右：高A倍；3-+2km+2k如： [+2kπ，+2km:[m+2km,2π+2k]:2kπ+2k;4.x=2+k;(k元0)：x=km;(+k元，0) 习题答案：1g2.y=sin(x+93x=g-kez)42:05号6是+km铅+kn(kEZ) 7w=sn6k月&m=g,0-牙 专题3.3解三角形 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用。 b.中频考点：判断三角形形状、解三角形的实际应用、与三角恒等变换结合。 97/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.命题趋势：解答题常考，难度中等。考查正余弦定理的灵活选用和边角互化能力。 1.正弦定理： =2R(R为外接圆半径) 2.余弦定理：a2= :COSA= 3.三角形面积公式：S= (最常用)：S=」 (海伦公式) S= (用外接圆半径) 4.解三角形常见题型：已知两角和一边用 ;已知两边和夹角用 ;已知三边求角用 ;己知两边和其中一边的对角可能 5.三角形内角和：A+B+C=π→sin(A+B)月 --’c0s(A+B) 6.射影定理：a-bcosC+ 二、应试小技巧 a. “边化角”或“角化边”：根据题目条件（齐次、有平方等）选择转化方向，统一为边或角。 b.“大边对大角”：已知两边及一边对角求角时，注意解的个数判断。 C. 面积公式多选一：8=absinc最常用：海伦公式用于已知三边：S=用于已知外接圆半径。 4R 三、极简习题8道，助力公式记忆 (1)在△4BC中，F3,b-4,C-60°，则c= (2)在△4BC中，5b=5,B=60,则A= (3)在△4BC中，ab:c35:7,则最大角为—度。 (4)在△4BC中，若sin'A=sin'B+sin2C,则△4BC是 一三角形。 (5)在△4BC中，AB=2,AC-3,BC-4?则△4BC的面积S (6)在△4BC中，若ac osA=--bcosB:则△4BC的形状是一。 (7)在△4BC中，角A,B,c所对的边分别为ab,c,己知2b=(A=45°，则满足条件的三角形有 个。 (8) 在△4BC中，若(a+b+c)(b+c-a=3bc'则A=—-。 专题3.3解三角形 填空答案：1高：品品e2.b2+c2-2 bccosA:e3对absinC:.VDp-aD-p0: 2bc 聚 4.正弦定理；余弦定理；余弦定理，一解/两解/无解5.sinC;-cosC6.ccosB 98/257 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习题答案：1√2.45°3.1204，直角5.3匹6.等腰或直角三角形7.28.60 4 速查04数列 专题4.1等差数列 一、考点考频提示及核心公式 a.高频考点：等差数列的通项公式、前项和公式、等差中项、性质（下标和相等则项和相等）。 b. 中频考点：等差数列的判定、S的最值问题。 C. 命题趋势：选择题、填空题或解答题（与等比数列综合），考查基本公式和性质的应用。 1.等差数列定义：aa1-an= (常数)； 2.通项公式：4—一（用首项和公差）= (用任意项和公差) 3.等差中项：若a,b,c成等差数列，则b=_ 4.前n项和公式：S （用首项和末项) (用首项和公差) (用中间项，n为奇数 时) 5.性质：若7prg则aa+a-—S..SaoS.S-Sa.成 6.判定方法：数列{a}是等差数列台a一（关于n的一次函数）台S= （关于n的二次函数， 无常数项) 二、应试小技巧 ()“知三求二”：等差数列五个量4，dn4,S,知道任意三个可求另外两个。 (②)“片段和成等差”：Sn,S2m-Sn,S3n-S2n成等差数列。 a. 最值问题：首项a1>0:公差dk0时，S有最大值：利用a≥0且a+1≤0求n 三、极简习题8道，助力公式记忆 (3)等差数列(a}中，am=2,止3则a10=—’S10=——。 4等差数列{aa}中，a+a=10:则as= (5)已知数列{a}前n项和snm+2n:则a.=一 (6)在等差数列中，S=25:S10=100:则S15= (7)等差数列(aa}中，a1>0,dk0且aag则使sn最大的n= 99/257 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (8)在等差数列(a}中，若a3+a4+a5+a6+a7-450:则a+a8= (9)已知数列(a}满足a11,a+1-a2:则数列(a}是 数列，通项=——° (I0)两个等差数列(a,bn}的前n项和分别为s和T.,若三-t,则2 Tn n+3 专题4.1等差数列 填空答案：1.d2.a1+(m-1)d:4m+血-m)d3 4.a:na1+巴d,中间na中间5.ap+ 2 2 ag:等差数列6.kn十b;An2+Bn 习题答案：329：1554552m+162257.68.1809等差：2n-110盟 专题4.2等比数列 一、考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：等比数列的通项公式、前项和公式（注意1）、等比中项、性质（下标和相等则项积相 等)。 b.中频考点：等比数列的判定、无穷等比数列求和。 c.命题趋势：常与等差数列结合考查，注意公比的讨论。 1.等比数列定义：a+/a=_一（常数，q判)通项公式：4=-= 2.等比中项：若a,b,c成等比数列，则b2=(ac>0) 3前n项和公式：q=1时，S。=_； qf1时，S。= 4.性质：若m+n=p+q,则aman=;Sa,S2m-S,Sm-S2m成 (q≠-1时) 5.判定方法：数列{an}是等比数列台an= (指数型)台Sn= (q≠1时) 二、应试小技巧 a.“知三求二”：等比数列五个量a,gn4,Sn,知道任意三个可求另外两个（注意g1)。 b.“片段和成等比”：当gf-1时，Sn,SmS,Sn-S2n成等比数列。 c.“巧用性质”：若+p+q则aaa4 三、极简习题8道，助力公式记忆 ()等比数列{a}中，a=1,q=2:则as=一，S= (2)等比数列(a}中，aa6=16则a4=—。 100/257 19 / 181 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 目 录 写在前面：冲刺复习备考指导 热点・命题风向标 01 近6年新高考数学高频考点大数据统计 （P5） 02 新情境试题：传统文化、科技应用、生活建模 （P13） 03 函数与导数压轴命题趋势：隐零点、同构、切线放缩（P17） 04 解析几何热点：定点、定值、最值、范围（P22） 05 概率统计热点：决策问题、回归、独立性检验 （P26） 06 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 （P35） 07 数学史与逢五逢十纪念热点命题（P40） 08 跨学科融合题型：数学+物理/信息/经济（P44） 核心・高频点速查 速查01 集合、逻辑、复数、平面向量（P48） 速查02 函数与导数 （P52） 速查03 三角函数、三角恒等变换、解三角形（P56） 速查04 数列通项与求和（P60） 速查05 立体几何：表面积、体积、位置关系（P63） 速查06 直线与圆、圆锥曲线（P66） 速查07 计数原理、概率、统计 （P69） 速查08 思想方法与应试策略（P71） 技法・得分加速器 01高考倒计时30天，精准发力稳提分指南（P73） 02 高考数学核心考点解题方法与策略（P79） 03 多选题抢分策略（P85） 04 解答题答题规范与采分点模板（P89） 05解答题常见条件及问题转化策略（P103） 排雷・易错点清零 01易错易混知识排雷（40条）（P115） 02审题解题思维排雷（20条） （P117） 03计算失误高频点清单（15条）（P118） 冲刺・压轴预测练 2026高考数学冲刺绝杀卷（P119） 2026高考数学终极押题卷（P124） 01 考前准备清单与考场镇静术（P128） 02高考数学临场答题全攻略（P131） 03难题/卡壳题应急破局指南 （P138） 04不会也能拿分：缺步解答、跳步解答、合理猜结论（P142） 05答题卡规范、填涂与书写避坑（P148） 01考后禁忌：不估分、不讨论、不内耗（P153） 02志愿填报：专业选择指南（P154） 03心态调适：释压与重启（P159） 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要，状态胜过盲目努力。这段时间，不贪攻难题、不纠结模拟得失，核心目标明确：稳住备考节奏、清空焦虑情绪、强化应试信心，高效发挥真实水平。 一、时间管理：精准高效，不内耗、不盲目 1. 回归基础，不钻牛角尖:将80%精力投入基础题与中档题（高考主要得分点）；压轴题聚焦常规思路、抓取步骤分，杜绝无效内耗。 2. 定时训练，保持手感:每日定时专项训练：30–40分钟限时完成选择填空，40分钟打磨解答题模板，保持答题节奏比盲目刷题更具实效。 3. 错题只看“错因”:无需重做整张错题卷，重点复盘审题、计算、思路、公式四类错因，同类错误彻底清零，避免重复踩坑。 4. 作息与考试同步:下午15:00–17:00主动切换至数学状态，适配高考时段，让大脑保持最佳兴奋度，避免考试时状态脱节。 二、情绪调节：稳心态，降焦虑，强底气 1. 接纳紧张，正常发挥:适度紧张是应试最佳状态，告诉自己：人人皆有紧张感，高考拼的是心态，稳住即是赢。 2. 拒绝自我否定:模拟分数波动属正常现象，一次失利不代表真实实力，过往所有失误，都是为高考规避风险。 3. 用“小胜利”建立信心:每日完成基础卷、背诵公式、梳理题型，点滴进步都是实打实的提分，稳步夯实应试底气。 4. 深呼吸+积极暗示:焦虑时暂停10秒深呼吸，默念：“基础吃透，中档必对，难题抢分，从容发挥，不负努力。” 三、认知重塑：抓本质，懂取舍，强韧性 1. 高考数学：重基础、重规范、重通法:高考不考“秒杀技巧”，牢记公式、熟练常规方法、规范答题步骤，是最稳妥的提分路径。 2. 学会“舍得”:考场不追求满分，会做的题确保不失分，不会的题尽力抢步骤分，死磕难题得不偿失。 3. 强化韧性：遇卡不慌，遇难不乱:遇到思路卡顿，果断跳过，先完成有把握的题目；心态平稳则思路清晰，回头再做往往能突破瓶颈。 4. 你已经准备充分:三年苦读积淀，千题实战历练，你已具备足够应考能力，坚定信念，正常发挥必能如愿。 最后送给大家一句话： 把会的做对，把对的写全，你就是赢家。 愿大家提笔从容自信，合笔如愿以偿，高考数学，必胜！ 热点・命题风向标 · 热点01：近6年新高考数学高频考点大数据统计 这份近6年新高考数学高频考点统计，考前7–15天用最高效，按“抓核心、避冷门、练方法、稳得分”的思路直接落地即可。 1、 整体使用原则 1. 优先抓五星★★★★★考点 函数导数、三角、数列、立体几何、解析几何、概率统计的五星考点是必拿分点，考前只练这些，不碰偏题怪题。 2. 按题型分配时间 选择填空：主攻性质、公式、速解技巧；解答题：主攻步骤模板、通法、计算规范 3. 只补高频漏洞 标注文档里“易被忽略” “隐含条件” “易错点”，考前只过这些，不全面复盘。 一、函数与导数板 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 函数基础 函数三要素（定义域、值域、对应关系） ★★☆☆☆ 基础题，常作为隐含条件出现在复杂问题的起点，易被忽略导致错误。 函数四大性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） ★★★★★ 绝对核心。选择填空直接考查；解答题中作为核心分析工具。对称性与周期性的综合是难点。 基本初等函数图象与性质（幂、指、对、反比例、对勾函数等） ★★★☆☆ 是分析复杂复合函数的基石，图象识别与性质应用是基本功。 导数基础 导数的几何意义（求切线方程） ★★★★☆ 必考基础。常出现在选择、填空或解答题第一问，属于送分题，务必拿稳。 导数与函数单调性（求单调区间、由单调性求参数范围） ★★★★★ 核心中的核心。是几乎所有导数综合题的解题起点和关键步骤。 导数与函数极值、最值（求极值点、最值） ★★★★★ 核心应用。与不等式证明、恒成立、实际问题求最优解等结合紧密。 导数综合应用 不等式证明（构造函数、利用单调性、最值证明） ★★★★☆ 经典难点，重点考查逻辑推理和转化化归能力。 恒成立/存在性问题（含参不等式恒成立、能成立问题） ★★★★★ 最高频难点。是区分考生能力的关键题型，必须掌握参变分离、分类讨论、端点效应等主流方法。 函数零点问题（讨论零点个数、已知零点求参数范围） ★★★★★ 最高频难点。与单调性、极值、图象深度融合，常用数形结合与分离参数法。 极值点偏移问题 ★★☆☆☆ 传统难点，近年考查频度有所降低，更注重通性通法，但掌握其原理有助于理解函数形态。 创新与交汇 与三角函数结合（如2025Ⅰ卷19题） ★★★★☆ 显著上升的新趋势与难点。突破固定函数模型，对导数工具通用性和三角运算能力要求极高。 与数列、不等式深度融合（如2025Ⅰ卷16题） ★★★☆☆ 体现模块综合，考查数学整体思维和跨章节知识迁移能力。 新定义函数或情境 ★★☆☆☆ 考查即时学习与应用能力，但剥开外壳后，本质仍是分析给定函数的性质。 · 五道必刷题： 1．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 2．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 3．若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．   D． 4．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 2、 三角函数与解三角形 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 三角函数概念与恒等变换 同角三角函数关系（） ★★★★☆ 化简、求值的基础，常与诱导公式结合。 诱导公式 ★★★☆☆ 实现“大角化小角”、“负角化正角”的关键工具。 两角和与差公式、二倍角公式 ★★★★★ 核心工具。三角恒等变换的灵魂，用于化简、求值、证明，是连接条件与结论的桥梁。 辅助角公式（化一） ★★★★☆ 研究三角函数性质（如求最值、周期、单调区间）的必备技能。 三角函数图象与性质 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性） ★★★★★ 绝对核心。选择题、填空题的直接考查对象，也是分析复杂三角函数的基础。 函数的图象与性质 ★★★★★ 最高频综合考点。涉及： 1.图象变换（平移、伸缩）； 2.由图象求解析式（识图）； 3.由性质求参数（ω,φ,A）。 三角函数的零点、最值（值域）问题 ★★★★☆ 常与函数性质结合，或作为工具用于解三角形、实际应用问题中。 解三角形 正弦定理及其应用（边角互化、外接圆半径） ★★★★★ 两大核心定理之一。适用于“两角一边”或“两边一对角”模型，是边角转化的主要工具。 余弦定理及其应用（边角互化、判断三角形形状） ★★★★★ 两大核心定理之一。适用于“两边一角”或“三边”模型，尤其擅长处理边的平方关系。 三角形面积公式（等） ★★★★☆ 求面积的核心公式，常与正弦定理结合，也用于建立边角关系。 三角形中的边角关系与内角和定理（A+B+C=π） ★★★★★ 隐含条件。是消元、化简三角恒等式的关键，极易被忽略。 综合与应用 解三角形的实际应用（测量高度、距离、角度等） ★★☆☆☆ 体现数学建模素养，将实际问题抽象为解三角形模型。 与平面向量、解析几何、立体几何的交汇 ★★★☆☆ 体现知识的工具性，三角函数作为计算工具出现在其他板块的题目中。 解三角形中的最值/范围问题（求周长、面积、边的范围） ★★★★☆ 难点与热点。常需综合运用正余弦定理、基本不等式、三角函数值域或函数思想求解。 多三角形问题（条件分散在多个三角形中） ★★★☆☆ 考查分析能力，关键在于寻找“公共边”或“公共角”作为桥梁联系多个三角形。 · 五道必刷题： 1．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数.若的最小正周期是π，且当，，则的值为（  ）. A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为，点D在边上，已知，，则（    ） A．8 B．10 C． D． 4．已知点为外一点，，则角（    ） A． B． C． D． 5．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 3、 数列 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 数列基础概念 数列的通项公式（an与n的关系） ★★★★☆ 研究数列的起点，是理解数列性质、进行后续运算的基础。 数列的递推关系（an与an-1等项的关系） ★★★★★ 核心概念。高考命题的常见切入点，由递推关系求通项是经典问题。 数列的前n项和Sn ★★★★★ 核心概念。与通项an的关系（an=Sn-Sn-1,n≥2）是解题的万能钥匙。 等差数列 定义与通项公式（an=a1+(n-1)d） ★★★★★ 两大基本数列之一。定义、通项、性质必须滚瓜烂熟。 等差中项性质（2A=a+b） ★★★★☆ 简化运算、判断等差数列的重要工具。 前n项和公式， ★★★★★ 核心公式，常与函数结合考查最值。 等差数列的性质（下标和相等则项和相等等） ★★★★☆ 快速解题的“秒杀”技巧，但需理解其原理。 等比数列 定义与通项公式（an=a1·qn-1） ★★★★★ 两大基本数列之一。定义、通项、性质必须滚瓜烂熟。 等比中项性质（G²=a·b） ★★★★☆ 简化运算、判断等比数列的重要工具。 前n项和公式（q=1和q≠1两种情况） ★★★★★ 核心公式，尤其注意公比q的讨论。 等比数列的性质（下标和相等则项积相等等） ★★★★☆ 快速解题的技巧，需理解原理。 数列求通项与求和 由Sn求an ★★★★★ 必会方法。利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，并验证a1。 累加法、累乘法求通项 ★★★★☆ 适用于特定递推形式（如an+1=an+f(n),an+1=f(n)·an）。 构造法求通项（如an+1=p·an+q型） ★★★★☆ 经典方法，将非等差等比数列转化为等差或等比数列。 分组求和、裂项相消、错位相减法 ★★★★★ 三大核心求和方法。裂项相消和错位相减是解答题高频考点。 数列综合与应用 数列与函数、不等式的结合（如比较大小、证明不等式） ★★★★☆ 体现数列的函数属性（离散函数），考查综合应用能力。 数列中的最值问题（求Sn的最值、使an最大的n等） ★★★★☆ 常将Sn视为关于n的二次函数（等差）或利用通项单调性解决。 数列的单调性、有界性等性质探究 ★★☆☆☆ 新定义或探究题中可能出现，考查对数列本质的理解。 数列的实际应用模型（增长率、分期付款等） ★★☆☆☆ 体现数学建模，将实际问题抽象为数列模型。 “新定义”数列问题（如2024年全国I卷19题） ★★★☆☆ 显著上升的新趋势。考查即时学习、理解新规则并运用数列核心知识解决问题的能力。 · 五道必刷题： 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 2． 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是： A．数列是单调递增数列，数列是单调递减数列 B．数列是等比数列 C．数列有最小值，无最大值 D．若中，，，，则最小时， 4．设等比数列前项和为，若,则 A． B． C． D． 5．公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、 立体几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 空间几何体 基本立体图形的结构特征（柱、锥、台、球） ★★★☆☆ 认识几何体的基础，常以小题判断正误形式考查。 直观图（斜二测画法） ★★☆☆☆ 新课标已淡化，但理解画法有助于空间想象。 表面积与体积计算（柱、锥、台、球） ★★★★☆ 高频计算考点。选择题、填空题常见，解答题中也可能作为一问。 组合体的表面积与体积（切割、拼接） ★★★☆☆ 考查空间分解与组合能力。 空间点、线、面 四个基本事实（公理）及其推论 ★★★☆☆ 逻辑推理的基石，用于证明共面、共线等问题。 空间点、线、面位置关系的判断（平行、垂直、异面、相交、在面内） ★★★★☆ 基础核心。选择题高频考点，必须清晰理解定义。 平行关系 线线平行的判定与性质 ★★★★☆ 平行关系证明的起点，常与线面、面面平行结合。 线面平行的判定与性质 ★★★★★ 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线线平行→线面平行）和性质定理（线面平行→线线平行）必须熟练掌握。 面面平行的判定与性质 ★★★☆☆ 判定定理（线面平行→面面平行）和性质定理（面面平行→线线平行）是重要工具。 垂直关系 线线垂直的判定与性质 ★★★★☆ 垂直关系证明的起点，定义、三垂线定理（逆定理）是常用工具。 线面垂直的判定与性质 ★★★★★ 解答题核心考点（第1问）。判定定理（线线垂直→线面垂直）和性质定理（线面垂直→线线垂直）是重中之重。 面面垂直的判定与性质 ★★★★☆ 判定定理（线面垂直→面面垂直）和性质定理（面面垂直→线面垂直）是证明和计算的关键桥梁。 空间角与距离 异面直线所成角 ★★★★☆ 高频计算考点。定义法（平移）或向量法求解。 直线与平面所成角（线面角） ★★★★★ 解答题核心考点（第2问）。定义法（找射影）或向量法求解。 二面角（平面与平面所成角） ★★★★★ 解答题核心考点（第2问）。定义法（作棱的垂线）、三垂线法、射影面积法或向量法求解。 点到平面的距离 ★★★☆☆ 向量法（投影法）或等体积法是主要方法。新课标要求有所加强。 空间向量 空间向量的线性运算与坐标表示 ★★★☆☆ 工具基础，需熟练。 空间向量基本定理与基底思想 ★★★☆☆ 深刻理解“基”的思想，是向量法灵活应用的关键。 用向量表示点、直线、平面（方向向量、法向量） ★★★★☆ 向量法的前提。准确求出法向量是解题第一步。 用向量法证明平行与垂直 ★★★☆☆ 方法直观，但高考中更倾向于考查综合法证明。 用向量法求空间角与距离 ★★★★★ 解答题核心工具（第2问）。将几何问题代数化，是解决复杂度量和位置关系问题的强有力工具。公式必须记准。 综合与创新 翻折（折叠）问题 ★★★★☆ 热点题型。考查动态中的不变性（长度、平行、垂直关系）。 截面问题 ★★★☆☆ 考查空间想象和作图能力，难度较大。 多面体与球的外接、内切问题 ★★★★☆ 难点与热点。关键在于确定球心位置，常转化为解三角形问题。 动态与最值问题 ★★★☆☆ 综合性强，常需结合函数、不等式知识。 “鳖臑”、“阳马”等经典模型 ★★★☆☆ 教材或文化背景中出现的典型几何体，熟悉其性质可快速破题。 · 五道必刷题 1．在平面内，直线与斜线在平面内的射影垂直，那么下列说法正确的是（    ） A．直线与斜线垂直 B．直线与斜线平行 C．直线与斜线异面 D．无法确定直线与斜线的关系 2．已知正方体的棱长为1，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过，，的平面交上底面于，在上，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图,是正方体中上的动点，下列命题： ①；②与所成的角是60°；③为定值； ④平面；⑤二面角的平面角为45°． 其中正确命题的个数有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知一个正四棱锥的底面边长为4，侧面积为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C．28 D． 5、 解析几何 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 ★★★☆☆ 基础概念，是研究直线位置关系的基础。 直线方程的几种形式（点斜式、两点式、一般式等） ★★★☆☆ 必须熟练，会根据条件选择合适形式。 两直线平行与垂直的判定（斜率关系） ★★★★☆ 高频基础。小题和解答题中均常用。 距离公式（两点间、点到直线、两平行线间） ★★★★☆ 核心工具。在圆、圆锥曲线问题中频繁使用。 圆与方程 圆的标准方程与一般方程 ★★★★☆ 必须熟练互化，能从方程读出圆心和半径。 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 ★★★★★ 核心内容。判断位置关系（特别是直线与圆）是高频考点，常涉及距离比较。 圆的切线方程、弦长问题 ★★★★☆ 常用“圆心到直线距离d=半径r”求切线；用“垂径定理（半径、弦心距、半弦长关系）”求弦长。 椭圆 定义（到两焦点距离和为定值）与标准方程 ★★★★★ 两大核心圆锥曲线之一。定义是解题的源头，方程是工具。 几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率e） ★★★★★ 必考内容。离心率e是核心参数，联系a,b,c。 焦点三角形（涉及定义、余弦定理） ★★★★☆ 经典模型，常用来求离心率或面积。 双曲线 定义（到两焦点距离差绝对值为定值）与标准方程 ★★★★☆ 注意与椭圆的区别，定义应用广泛。 几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率e、渐近线） ★★★★☆ 渐近线是双曲线的特有且核心性质，近年考查热度高。 抛物线 定义（到焦点与准线距离相等）与标准方程 ★★★★☆ 定义应用极其灵活，是简化运算的关键。 几何性质（焦点、准线、通径） ★★★★☆ 焦点弦相关性质（如以焦点弦为直径的圆与准线相切）是常考结论。 核心思想与方法 坐标法（建系） ★★★★★ 解析几何的根本方法，将几何问题代数化。 待定系数法 ★★★★☆ 求曲线方程的基本方法。 设而不求，整体代换 ★★★★★ 核心运算技巧。联立方程后，利用韦达定理（根与系数关系）处理交点坐标和，避免直接解出。 数形结合思想 ★★★★★ 灵魂思想。画图分析几何特征，引导代数方向。 转化与化归思想 ★★★★★ 将复杂问题（如最值、定点定值）转化为函数、不等式等模型。 综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ★★★★★ 解答题绝对核心。通过联立方程，用判别式Δ判断。 弦长问题 ★★★★☆ 公式` 中点弦与垂直平分线问题 ★★★☆☆ 常用“点差法”处理中点弦斜率。 定点与定值问题 ★★★★☆ 高频压轴题型。考查运算能力和恒等变形技巧，通常需先猜后证。 范围与最值问题 ★★★★☆ 高频压轴题型。常转化为求函数值域或利用基本不等式、几何意义求解。 轨迹方程问题 ★★★☆☆ 定义法、相关点法（代入法）、参数法等。 · 五道必刷题： 1．圆的圆心到直线的距离为2，则（    ） A． B． C． D．2 2．双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（    ）． A． B．4 C． D． 3．过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 5．已知P为椭圆上任意一点，点M，N分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6、 概率与统计 考点大类 具体考点 考查频度 考查说明与重要性 概率基础 随机事件、概率的定义与性质 ★★★☆☆ 基础概念，理解必然、不可能、互斥、对立事件。 古典概型 ★★★★☆ 高频基础。等可能事件的概率计算，常用枚举法或排列组合计数。 几何概型 ★★☆☆☆ 新课标已淡化，但需了解其与古典概型的区别（无限样本空间）。 条件概率 ★★★★☆ 核心增长点。理解定义 事件的独立性 ★★★★☆ 核心增长点。判断事件是否独立 P(AB)=P(A)P(B)，是复杂概率模型的基础。 全概率公式与贝叶斯公式 ★★★☆☆ 新高考热点与难点。用于处理复杂、多步骤的概率问题，体现逻辑推理。 随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列 ★★★★★ 解答题核心。必须会求分布列，理解其性质（概率非负、和为1）。 离散型随机变量的期望（均值）与方差 ★★★★★ 解答题核心。E(X) 反映平均水平，D(X) 反映波动程度。公式及性质必须熟练。 二项分布 X~B(n,p) ★★★★☆ 最重要模型之一。n次独立重复试验中成功次数的分布。识别标志：“独立”、“重复”、“概率不变”。 超几何分布 ★★★☆☆ 不放回抽样模型。识别标志：“任取n件”、“含M件次品”。需注意与二项分布区别。 统计基础 抽样方法（简单随机、分层、系统抽样） ★★★☆☆ 了解不同方法的适用场景和操作步骤。 -数字特征：平均数、中位数、众数、方差、标准差 ★★★★☆ 核心工具。理解各自含义、计算及在数据分析中的作用。 -图表：频率分布直方图、茎叶图、扇形图 ★★★☆☆ 会从图表中提取信息（频率、频数、众数区间、中位数位置等）。 统计案例 一元线性回归模型 ★★★★☆ 应用热点。理解相关关系与函数关系的区别，会求经验回归方程 ŷ=b̂x+â，会用 r 判断线性相关性强弱。 独立性检验 ★★★★☆ 应用热点。理解 2×2 列联表，会计算 χ² 统计量，并能根据临界值表判断两变量是否独立。 综合与创新 概率与数列、函数结合（递推型概率） ★★★☆☆ 难点。常需建立递推关系求概率，考查建模能力。 概率与导数结合（最优化问题） ★★★☆☆ 将概率或期望表示为函数，用导数求最值。 统计与决策 ★★★☆☆ 基于统计结果（如回归预测、检验结论）进行合理推断或决策，体现应用性。 · 五道必刷题： 1．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（     ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 3．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是 A． B． C． D． 5．已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b c 其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（    ） A． B． C． D． · 热点 02：新情境试题：传统文化、科技背景、生活应用 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，旨在引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 1、 新情境试题的命题理念与功能 核心理念：落实“一核四层四翼”高考评价体系。 “一核”（立德树人）：通过情境发挥育人功能，引导学生关注国家发展、传承文化、树立正确价值观。 “四翼”（考查要求）：基础性、综合性、应用性、创新性主要通过情境载体来实现。 “四层”（考查内容）：核心价值、学科素养、关键能力、必备知识在解决情境问题的过程中得以综合展现。 选拔功能：区分学生在陌生、复杂背景下抽象数学问题、建立模型、灵活运用知识的能力。 引导功能：推动教学从“知识灌输”转向“素养培育”，加强“教考衔接”，体现“无情境，不教学”的原则。 育人功能：厚植家国情怀，增强文化自信，培养社会责任感与科学精神。 2、 三大核心情境类型与典型例题分析 情境类型 命题目的与特点 典型背景与例题 考查的素养与能力 1. 优秀传统文化情境 弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，感悟先人智慧。 多属于强情境，需理解文化背景才能解题。 古代科技与数学著作：“会圆术”（2022全国甲卷理8，沈括《梦溪笔谈》）“割圆术”、“海岛算经”（刘徽）“祖暅原理”（球体积计算） 古代建筑与工程：举架结构（2022新高考II卷3）;天坛圜丘坛石板（2020全国II卷理4）;日晷（2020新高考I卷4） 人文艺术：剪纸艺术（2021新高考I卷16）《周易》卦象（2019全国I卷理6） 数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象。重点考查从文化描述中抽象数学关系、建立模型的能力。 2. 科技发展与进步情境 展现国家科技成就，激发科学兴趣，树立服务国家建设的信念。 强调理论联系实际，体现数学的工具价值。 航天科技：嫦娥二号绕日探测（2022全国乙卷理4）;北斗三号导航系统（2021新高考II卷4）;天宫课堂、探月工程 重大工程：南水北调工程（2022新高考I卷4，棱台体积） 前沿科学：5G信号塔覆盖、区块链密码;Logistic疫情模型（2020全国III卷） 数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理。考查在科技背景下理解新概念、进行数学表征和运算的能力。 3. 生产生活与经济社会发展情境 关注社会现实，学以致用，培养社会责任感和实践能力。 情境贴近学生生活，应用性强。 公共卫生与健康：疫情防控、垃圾分类（2022全国甲卷文理2）;卫生习惯调查（2022新高考I卷20） 生态环境：树木材积量估计（2022全国乙卷文理19）; 空气污染治理 经济生活：农户收入调查、乡村振兴、“一带一路”知识竞赛 体育文娱：北京冬奥会志愿者培训、比赛计分 数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理。突出数据处理、概率统计知识在实际决策中的应用。 3、 新情境试题的命题趋势与难点 趋势一：情境更加真实、多元与融合 素材来源极广，从古籍、新闻、科研论文到社会生活。跨学科情境增多，要求具备更广的知识面和信息整合能力。虚拟科研场景出现，需从示意图、数据流中自主提取信息。 趋势二：阅读量与信息复杂度增加 题干篇幅普遍较长（如2022新高考II卷3题关于举架结构的描述）。包含大量非数学术语和背景信息，考查数学阅读理解能力。 （2022新高考II卷3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 趋势三：强化对“数学建模”素养的考查 无论何种情境，最终都指向“从实际情境中抽象出数学问题，用数学方法求解，并解释实际意义”的完整建模过程。这是区分学生综合应用能力的核心。 主要难点： 信息筛选难：从大段文字中快速提取关键数学条件。 模型建立难：将陌生的实际关系转化为熟悉的数学结构（函数、方程、几何图形等）。 数学化表达难：用准确的数学语言描述情境中的规律。 4、 备考策略 拓宽视野，关注热点：主动了解国家重大科技成就（航天、深海、AI）、社会热点（环保、健康）和优秀传统文化中的数学元素。 强化阅读，训练审题：进行专门的“长题干”审题训练，练习圈画关键词、剔除冗余信息、用符号语言简化条件。 掌握建模通法：理解数学建模的一般步骤（审题→抽象→建模→求解→检验），并通过典型例题（如人口增长、成本利润、几何测量）进行练习。 回归教材，重视本源：教材中的“探究与发现”、“阅读与思考”、“例题与应用”栏目是情境题的源头，务必深挖。 心态调整：面对陌生情境不畏惧，坚信“背景虽新，考点仍旧”，核心是剥去情境外壳，找到内在的数学本质。 5、 新高考数学专题模拟题 1.立体几何与导数综合 如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元. （1） 将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域； （2） 当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？ 第2题：传统文化情境（解三角形） 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中提出“重差术”，即利用两次测量计算不可达距离。如图，为测量山顶的高度，选择与山脚在同一水平面的两点进行观测。测得米，在两点测得山顶的仰角分别为和，且。则山高 ______ 米。 第3题：科技背景情境（数列与概率综合） （25-26高三上·广东深圳·期末）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时，2个节点在线，3个为宕机．每个月系统随机等概率巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复成功率为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第个月后在线节点数，表示其期望，且. (1) 当时，求； (2) 已知每台宕机节点每个月造成2万元经济损失，初始月份不考虑损失，若要求从第1个月开始的总期望经济损失不超过36万元，求的最小值. 第4题：生活应用情境（概率与统计） 某社区为推广垃圾分类，对居民进行知识问答。已知男性居民答对题目的概率为0.7，女性居民答对的概率为0.6。现从该社区随机抽取一人，若其答对题目，则其为男性的概率为0.6。假设该社区男性与女性人数之比为 。 (1) 求 的值； (2) 现随机抽取3人进行问答，用 表示答对人数，求 的分布列及数学期望。 · 热点 03：函数与导数压轴命题趋势（隐零点、同构、放缩） 函数与导数作为新高考数学的“压轴重镇”，其命题在保持对单调性、极值、零点、不等式证明等核心问题考查的同时，方法层面呈现出鲜明的规律性。隐零点、同构、放缩已成为解决导数综合题的三大主流高阶工具，深刻体现了命题从“重技巧”向“重思维”的转变。 一、整体命题趋势与定位 1. 核心地位：解答题压轴或次压轴（如新高考第18、19题），分值约12-15分，是体现选拔功能的关键。 2. 考查导向：从单一知识考查转向综合性、探究性、创新性考查。强调在复杂函数结构（混合指数、对数、多项式、三角函数）中，灵活运用导数工具进行逻辑推理和数学运算。 3. 常见题型：参数范围问题、零点问题（个数、存在性）、不等式证明（恒成立、存在性）、极值点偏移、双变量问题等。 4. “反套路”趋势：单纯记忆解题模板已难以应对。命题注重结构分析和思维过程，要求考生能根据题目特征，自主选择并组合运用隐零点、同构、放缩等方法。 二、三大核心方法深度剖析 方法 本质与适用场景 关键步骤与技巧 典型高考真题链接 1. 隐零点 处理导数零点不可求或不易求的问题。 核心是“设而不求”，将零点作为一个过渡变量，利用其满足的方程进行整体代换。 三步曲： 1. 判定存在：用零点存在定理确定导函数零点 的存在性及大致范围。 2. 确定单调性：以 为界，确定原函数 的单调区间。 3. 整体代换：将关于 的方程（如 ）变形，代入 等表达式中，化简证明目标。 • 2022全国乙卷理21： 的零点问题，需设导函数零点 讨论。 • 2021天津卷20： 的恒成立问题，设 后整体消元。 • 2020全国Ⅲ卷21：零点绝对值问题，涉及隐零点分析。 2. 同构 将方程或不等式两边变形为相同结构，从而构造函数，利用其单调性简化问题。 适用于指对混合型、跨阶超越式。 操作关键： 1. 观察变形：利用指对互化（）、对数运算法则，将式子化为同一函数形式 。 2. 构造函数：根据共同结构构造外层函数。 3. 利用单调性：研究 的单调性，将问题转化为比较内层函数与 的大小关系。 • 2022新高考Ⅰ卷22： 与 有三个交点横坐标成等差数列，利用同构 证明。 • 2022全国甲卷理21：，变形为 ，令 同构求解。 • 2020新高考Ⅰ卷21：，变形为 。 3. 放缩 利用已知不等式对复杂函数进行简化，以达成证明或取点的目的。 常用于不等式证明、零点存在性定理中的“取点”。 两大应用： A. 不等式证明：将超越式放缩为多项式，化繁为简。 B. 零点取点：在单调区间端点，通过放缩找到函数值异号的点。 • 切线放缩：取等），取等），及其变形（。 • 真题应用： - 2022全国乙卷理21解法中，利用 进行取点，证明零点存在。 - 2020年浙江卷、2021年新高考卷的零点问题解析中，均强调“放缩取点”是突破难点的关键技巧。 - 2025年天津卷20题评析指出，在处理多零点不等式证明时，连续放缩是重要思路。 三、方法融合与综合命题趋势 近年压轴题很少单独考查一种方法，而是多法融合，要求考生具备策略选择能力。 1. “隐零点+放缩”：当隐零点范围不够精确，需要估计函数值符号时，常用放缩辅助。例如，在证明 时，利用满足的方程和不等式进行放缩。 2. “同构+隐零点”：通过同构化简函数形式后，新函数的极值点可能仍为隐零点，需要设而不求。例如，2022甲卷题同构换元后，新变量的范围确定需借助隐零点思想。 3. “放缩+同构”：有时直接同构困难，先进行适当放缩，创造出同构结构。例如，将 放缩为后再尝试同构。 综合命题新特点： 1. 与数列、三角融合：如2025年试题出现导数与三角函数的综合，放缩时需结合三角不等式。 2. 双变量/多变量问题：极值点偏移、拐点偏移本质是双变量问题，其证明过程高度依赖 “对称化构造”（本质是一种同构）和对数均值不等式（一种重要的放缩工具）。 3. “必要性探路”先行：对于恒成立求参问题，常先利用特殊值或极限得到参数的必要范围，再结合放缩、同构等手段证明其充分性，提高解题效率。 四、备考策略 1. 理解本质，而非记忆套路：明白每种方法的适用条件和思维原理。隐零点核心是“整体代换”，同构核心是“统一结构”，放缩核心是“化超越为初等”。 2. 建立“工具箱”：系统整理并熟练证明常用的放缩不等式（如指数、对数切线不等式）。掌握常见的同构变形模式（如 。 3. 专题突破，对比训练：将涉及同一方法的历年真题集中训练（如专门练习“隐零点设而不求”的题目），对比不同题目中处理隐零点方程的技巧。 4. 强化“结构观察”训练：拿到一道导数题，先不急于求导，而是花时间观察函数式结构，思考能否同构、可能用到哪些放缩、导函数零点是否明显。 5. 规范表达训练：隐零点问题中，对零点存在性的说明、范围的推导、整体代换的书写，必须逻辑严谨、步骤清晰。 五、典型例题 第1题：同构与恒成立问题（多选题） 已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 第2题：隐零点与不等式证明 已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 第3题：放缩法与数列不等式证明（新情境：泰勒展开背景） 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． (1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：． 第4题：同构与双变量问题（极值点偏移） 设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 第5题：创新情境与导数综合 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 使用建议： 这五道题构成了一个完整的函数与导数压轴题专题训练组。建议： 专题突破：用于二轮复习中“函数与导数”板块的深度强化。 方法归类：讲评时，引导学生识别题目特征，明确每题主要运用的方法（隐零点、同构、放缩），并总结这些方法的适用信号。 思维训练：重点讲解第1、2、4题的思维过程，特别是如何从复杂条件中观察出同构结构，以及处理隐零点时的整体代换技巧。 规范书写：强调第2、4题证明过程的逻辑严谨性和步骤完整性。 · 热点 04：解析几何热点：定点、定值、最值 解析几何的定点、定值与最值问题，是高考数学的核心难点与高频考点，集中体现了“用代数方法研究几何问题”的本质。这类问题通常作为解答题的压轴或次压轴出现，综合性强，对运算能力、逻辑推理和转化化归思想要求极高。 以下分析综合了知识库中关于解析几何的核心内容、历年真题解析及命题趋势报告。 一、整体命题趋势与定位 1. 核心地位：解答题压轴，分值约17分，是区分考生数学素养和综合能力的关键。 2. 考查导向：从单一曲线性质考查转向动态几何中的不变性与极端性探究。强调在直线与圆锥曲线的运动变化中，发现并证明不变的几何量（定点、定值），或求解几何量的变化范围与最值。 3. “反套路”与“重思维”：单纯记忆“三步法”和公式不足以应对。命题注重几何条件的代数翻译、运算目标的合理构建以及消参化简的恒等变形能力。近年试题还常与平面向量、平面几何知识深度融合。 4. 新高考特点：可能出现结构不良（条件或结论开放）或多结论探究的题型，考查学生的探究与发现能力。 二、三大核心问题深度剖析 问题类型 核心思想与本质 通用解题策略（“通法”） 关键技巧与常见模型 典型高考真题链接 1. 定点问题 证明动直线（或曲线）恒过某个定点。 本质是证明动直线方程可整理为含参数的恒等式，该定点坐标使方程与参数无关。 “三步法” + 消参定定点： 1. 设参：引入动因参数（如斜率 ，截距 ）。 2. 运算：联立曲线与动直线，利用韦达定理等，将目标直线方程用参数表示。 3. 定形：将方程整理为 ，通过因式分解等手段，证明存在常数 使得 ，即直线恒过 。 • 先猜后证：取参数的特殊值（如 ，斜率不存在）求出可能的定点，再一般性证明。 • 齐次化处理：当定点已知时，可平移坐标系将定点移至原点，设直线方程为 ，联立后构造关于斜率 的齐次方程，简化运算。 • 常见模型：“手电筒模型”（过定点的两弦端点连线过定点）、斜率之和/积为定值导致动直线过定点。 • 2022年全国乙卷理科第20题：椭圆中，过定点 的直线交椭圆于 ，证明直线 过定点。需先猜后证。 • 2022年全国甲卷理科第20题：抛物线中，证明由动弦产生的交点连线过定点。 • 2023年四省联考卷：抛物线中，探究满足特定斜率关系的弦所在直线是否过定点。 2. 定值问题 证明某个几何量（如斜率积、线段比、面积等）在运动变化中保持不变。 本质是将目标量表示为参数的函数，通过恒等变形消去参数，得到常数。 “函数思想” + 消参定常数： 1. 变量函数化：将待证为定值的几何量，用所设参数表示。 2. 化简消参：利用韦达定理等进行整体代入，对表达式进行恒等变形（通分、合并、因式分解）。 3. 得出结论：证明化简后的结果是一个与参数无关的常数。 • 整体代换：利用韦达定理得到的 和 进行整体代入，避免求解具体坐标。 • 对称性预感：复杂的表达式往往具有对称性，最终能消去参数，建立运算信心。 • 常见模型：斜率之积为定值、向量数量积为定值、线段长度比为定值、三角形面积为定值等。 • 教材与拓展题：正方形中，满足 ，则 的周长、点 到直线 的距离等均为定值。 3. 最值（范围）问题 求某个几何量（如距离、面积、长度、角度等）的最大值、最小值或取值范围。 本质是建立目标几何量关于某个变量的函数，在约束条件下求函数的值域。 “函数建模” + 定义域优先： 1. 构建目标函数：将所求量表示为变量（如斜率 、点的坐标参数）的函数 或。 2. 确定定义域（关键！）：根据动点/线的存在条件（如联立后 ）、几何限制（点在线段上、在曲线内部等）确定变量的取值范围。 3. 求函数值域：在定义域内，利用二次函数、基本不等式、三角函数有界性、导数法等求最值。 4. 检验作答：检查最值能否取到，并给出最终答案。 • 几何法优先：若能利用几何意义（如圆锥曲线定义、切线性质、三角形不等式）简化，则优先使用。例如，椭圆上点到焦点距离的最值可直接由定义得出。 • 参数方程法：对于椭圆、圆上的动点问题，设参数方程（如 ）可将二元问题转化为一元三角函数问题，利用有界性求最值。 • 判别式法：对于可化为关于某个变量的二次方程的问题，利用求范围。 • 常见模型：距离最值、面积最值、斜率最值、长度和（差）最值。 • 2025年新高考Ⅰ卷第19题：求椭圆上动点 到圆上动点 距离的最大值，可用参数方程或坐标法转化为函数求最值。 • 椭圆上的点到直线距离最值：可用平行切线法（几何法）或参数方程法（代数法）求解。 • 2022年全国乙卷文11题：圆上的点到定点距离的最值，利用圆心距与半径关系（几何法）轻松解决。 三、方法融合与高阶策略 1. “定点定值”与“最值”的关联：某些最值问题的临界状态，往往对应着定点或定值关系。例如，面积最大时，可能对应着特殊的斜率关系。 2. “多法解一题”的思维拓展：对于典型的最值问题（如求椭圆内接三角形面积最大），应引导学生用多种方法求解： 1. 代数法（通法）：设直线斜率 ，用弦长公式和距离表示面积，转化为函数求最值。 2. 参数方程法：设顶点用椭圆参数坐标，利用三角函数求最值。 3. 几何变换法：利用仿射变换将椭圆问题转化为圆的问题，在圆中利用几何性质求解后再变换回来。 3. “特殊探路，一般证明”：对于定点、定值问题，先通过特殊位置（如垂直、水平）猜测定点坐标或定值大小，再进行一般性证明，可以大幅降低思维和运算的盲目性。 4. “定义域”是生命线：在最值问题中，忽略定义域（参数的限制条件）是致命错误。教学和训练中必须反复强调，将“求定义域”作为解题的必备步骤。 四、备考策略 4. 夯实“三步法”通法：熟练掌握“设参→联立→韦达→代入→化简”的标准化流程，这是解决所有直线与圆锥曲线综合问题的基石。 4. 建立“运算信心”：定点定值问题运算量大，要相信通过耐心、细致的代数变形，最终一定能得到简洁结果。练习时务必算到底。 4. 形成“定义域条件反射”：看到最值问题，列出目标函数后，立刻思考并书写参数的约束条件（，点坐标范围等）。 4. 积累常见模型与结论：理解并掌握“手电筒模型”、“中点弦斜率定值”、“焦半径比例定值”等常见几何背景的结论和推导过程，但重在理解原理，而非死记硬背。 4. 善用参数方程工具：在涉及椭圆/圆上动点、角度、旋转的问题中，主动考虑使用参数方程，可能极大简化计算。 五、典例分析 第1题：抛物线中的最值问题（几何转化）（多选题） 已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 第2题：椭圆中的定点问题（基础与通法） 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 第3题：双曲线中的定值与最值探究 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 第4题：椭圆中的最值问题（参数方程与三角函数） 已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 第5题：抛物线中的定点与定值综合（压轴探究） 已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. · 热点 05：概率统计热点：决策型问题、独立性检验、回归分析 概率统计作为新高考数学的“应用重镇”，其命题在保持对古典概型、分布列、数字特征等基础考查的同时，越来越注重在真实、复杂的情境中考查统计推断与决策能力。决策型问题、独立性检验、回归分析已成为解答题的三大核心热点，深刻体现了命题从“重计算”向“重思想、重应用”的转变。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约12-13分，是区分学生数据分析素养和应用能力的关键。 考查导向：从单一公式计算转向完整的统计过程考查。强调在具体问题情境（如医学检验、社会调查、生产决策、体育预测）中，完成数据收集、整理、分析、推断直至决策的全过程。 常见题型： 决策型问题：基于概率、分布列、数学期望或统计结论进行方案选择或优化。 独立性检验：利用2×2列联表判断两个分类变量是否相关，并解释其统计意义。 回归分析：建立一元线性回归模型进行预测，或通过相关系数判断线性相关程度。 “重思想、反套路”趋势：命题注重统计思想的渗透（如用样本估计总体、小概率原理），要求规范、完整的解题步骤和准确的语言表述，避免单纯套公式。 2、 三大核心热点深度剖析 热点 本质与考查核心 关键步骤与规范要求 典型高考真题链接（来自知识库） 1.决策型问题 利用随机变量的数字特征（主要是数学期望）或概率大小，对不同方案进行比较和选择，实现风险最小化或收益最大化。 三步曲： 1.建模：明确决策目标，用随机变量表示不同方案的收益/损失等。 2.计算：求出随机变量的分布列及数学期望（或关键概率）。 3.决策：比较期望值（或概率），选择最优方案，并下结论。 关键：准确识别概率模型（二项分布、超几何分布等），理解期望的实际意义。 • 2022年全国甲卷理19（乒乓球比赛）：计算甲获胜概率及乙得分期望，隐含决策比较。 • 2021年全国甲卷（小明答题决策）：比较先答A类或B类问题的累计得分期望，选择期望大的方案。 • 2024年新课标Ⅱ卷18（投篮比赛）：确定由谁参加第一阶段，使得“得15分”概率最大或期望最大。 2.独立性检验 利用样本数据推断两个分类变量是否独立的一种统计假设检验方法。核心是理解小概率原理和检验的或然性。 规范四步： 1. 提出零假设 ：两个变量独立（无关）。 2. 计算检验统计量 （或 ）。 3. 确定临界值：根据给定的显著性水平查表。 4. 作出推断：若，则在犯错误概率不超过的前提下拒绝 ，认为有关；否则，没有足够证据拒绝。 关键：结论表述必须规范，指明“小概率值”和“把握”。 • 2025年全国一卷15（疾病与超声检查）：根据的独立性检验，分析两者是否有关。 • 2022年新高考Ⅰ卷20（疾病与卫生习惯）：第(1)问进行99%把握的独立性检验。 • 2021年全国甲卷（机床产品质量）：根据 1的独立性检验，分析产品质量是否有差异。 3.回归分析 研究两个数值变量之间的相关关系，并建立模型进行预测。考查核心是公式计算、模型评价和预测应用。 主要环节： 1. 相关判断：通过散点图或相关系数判断线性相关程度。 2. 方程求解：利用最小二乘法公式求经验回归方程。 3. 预测与应用：将的取值代入方程进行预测，并解释系数的实际意义。 关键：知道回归方程必过样本中心点；理解预测值是估计值，不是精确值。 • 2025年上海卷17（奥运会游泳成绩预测）：求回归方程并预测2028年成绩。 • 2022年全国乙卷（树木材积量）：求样本相关系数，建立回归模型进行估计。 • 教材多处案例（如父亲与儿子身高）：建立一元线性回归模型。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将多个热点自然融合，考查综合应用能力。 “独立性检验+决策”：先通过独立性检验判断因素间是否有关系，再基于此结论进行概率估计或决策。例如，检验药物是否有效后，再用有效的概率去计算期望收益。 “回归分析+决策”：利用回归方程进行预测，将预测结果作为决策依据。例如，预测销量后决定生产投入。 “概率+统计+决策”：最典型的综合模式。先通过抽样数据用频率估计概率，再基于此概率构建随机变量模型（二项分布、超几何分布等），最后计算期望进行决策。例如，2025年北京卷18题（考试答题）即为此类。 综合命题新特点： 情境真实复杂：如疾病检测、产品质量控制、环境监测、体育成绩预测、社会调查等，信息体量大，要求较强的阅读理解和非连续文本信息提取能力。 突出统计思想：强调“用频率估计概率”、“用样本推断总体”的思想，以及假设检验中“结论具有不确定性”的统计思维。 计算与软件结合：题目常提供部分中间计算结果或统计量表，引导学生聚焦思想方法而非繁重计算，也体现与统计软件衔接的导向。 四、备考策略 理解思想，规范流程：深刻理解独立性检验的假设检验思想、回归分析的相关关系思想、决策问题的期望优化思想。严格按标准步骤书写，特别是独立性检验的“四步法”和结论表述。 区分模型，准确识别：准确判断题目背景是“二项分布”（独立重复试验）还是“超几何分布”（不放回抽样），这是正确计算概率和期望的前提。 掌握公式，灵活运用：熟练记忆并理解公式、回归系数公式、期望公式。学会利用回归直线过样本中心点 来简化计算或求参数。 专题训练，对比归纳：将决策问题、独立性检验、回归分析三类题目分别进行集中训练，总结各自步骤、易错点和表述规范。 强化阅读，信息提取：进行专门训练，从冗长的实际问题描述和表格中快速提取关键数据（列联表数据、成对数据、频数、总数等）。 五、新高考数学概率统计专题模拟题 1.决策与独立性检验综合（多选题） 某公司为新产品设计了两种营销方案。为调查不同性别客户对方案的偏好，随机抽取了200名客户，得到如下列联表： 喜欢方案A 喜欢方案B 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 附：，其中 。 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 已知采用客户喜欢的方案，能成功推销产品的概率为0.8；采用客户不喜欢的方案，成功概率为0.4。每次推销相互独立。则下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值 的独立性检验，认为客户性别与方案偏好有关 B. 从这200名客户中任选1人，其喜欢方案A的概率估计为0.45 C. 若随机对一名男性客户进行推销，则采用方案A比采用方案B的成功概率更高 D. 若随机对一名客户进行推销，且已知推销成功，则该客户是女性概率为 2.回归分析与决策 例2：红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 (3) 根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 3.概率、统计与决策综合 例3：某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； (3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 4.创新情境：统计过程全考查（社会调查） 例4：在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)： 给商品打分区间 青年购买者 5 35 45 15 中老年购买者 35 40 20 5 （1）请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）； （2）若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”． ①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值； ②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关． 满意顾客 不满意顾客 合计 青年购买者 100 中老年购买者 100 合计 200 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 5.概率与数列递推综合（难点） 例5：贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． 为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 使用建议： 专题突破：用于二轮复习中“概率统计”板块的综合强化。 规范训练：重点训练第1、2、3题的解题规范，特别是独立性检验的表述和决策问题的步骤。 思想渗透：通过第3、4题强调“用频率估计概率”的思想，通过第5题理解期望的实际意义。 难点突破：第5题作为难点，适合讲解概率与数列、函数的综合，以及数学期望在赛制分析中的应用。 · 热点 06：立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 立体几何在新高考中持续占据重要地位，其命题正从传统的“一证一算”向“重结构、重探究、重应用”转变。外接球、截面、动态问题作为三大新考法，综合性强、思维要求高，已成为解答题（如第17、18、19题）的命题热点和难点，深刻考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 一、整体命题趋势与定位 核心地位：解答题的创新设问点，难度为中档或中档偏上（如第17、18、19题），分值约15-17分。或常在单选题第6题、多选题第10、11题出现。 考查导向： 从静态到动态：引入动点、动线、翻折等元素，考查在变化中把握不变规律的能力。 从单一到综合：将外接球、截面、空间角、最值等问题自然融合，要求整体分析图形结构。 从技巧到通法：淡化特殊技巧，强调利用向量法、几何法（补形、等体积、轨迹方程等）的通性通法解决问题。 从计算到想象：对空间想象能力的要求更高，常需“无图想图”或分析复杂图形。 “新考法”的典型特征： 外接球：不再局限于简单几何体，常与棱台、折叠体、不规则多面体结合，且在解答题中考查球心位置的推理证明（如2025年全国Ⅰ卷第17题）。 截面：考查作截面、求截面面积/周长、判断截面形状，常作为动态问题的载体。 动态问题：涉及轨迹、最值（范围），常需建立函数模型或利用几何意义求解。 二、三大核心新考法深度剖析 新考法 本质与考查核心 关键策略与通法 典型高考真题链接 1. 外接球问题 确定球心位置和半径。核心是球心到各顶点距离相等，常转化为寻找几何体的对称中心或利用截面圆的圆心垂线。 1. 补形法：将三棱锥补成长方体、直棱柱等规则几何体，利用其外接球求解。适用于侧棱两两垂直、对棱相等、共顶点的三条棱两两垂直（鳖臑）等模型。 2. 截面法（双半径单交线公式）：当几何体有两个面垂直时，若两垂直面外接圆半径分别为，交线长为 l，则外接球半径。 3. 坐标法（方程组法）：建立空间直角坐标系，设球心 ，根据OP | = | OA | = | OB | = | OC | ) 列方程组求解。这是通用且有效的方法，尤其适合解答题中证明球心位置。 4. 几何法（找外心）：先找某一面的外心，过该外心作该面的垂线，球心必在此垂线上；再找另一面的外心，同样作垂线，两垂线交点即为球心。 2025年高考综合改革适应性测试（八省联考）第19题：可将三棱锥 补形为直三棱柱或利用面面垂直模型公式，计算得球半径。 2. 截面问题 用平面截几何体所得交线的图形。考查空间想象和作图能力。 1. 作截面的两种基本方法： - 线面平行法：利用线面平行的性质定理找交线。 - 相交法：直接找截面与几何体各面的公共点，连线。 2. 求截面面积/周长：将截面图形化为平面图形（如梯形、三角形），引入变量表示边长，利用平面几何或函数知识求解。 3. 动态截面：结合动点，分析截面形状、面积的变化规律，常需建立函数模型求最值。 • 2018年全国Ⅰ卷12题：正方体中，与各棱成等角的平面截正方体，求截面面积最大值。 • 教材习题及众多模拟题：正方体、正四棱锥中过指定点作截面，求其周长或面积。 • 知识库中技术赋能的课例：用GeoGebra动态演示截面变化，探究面积最值。 3. 动态与最值问题 在点、线、面运动变化中，探究相关几何量的轨迹、取值范围或最值。 1. 轨迹方程法：通过建立坐标系，将空间动点满足的条件转化为方程，确定其轨迹（如圆、线段）。 2. 函数建模法：引入参数（如角度、长度），将目标量（距离、面积、体积、角度）表示为该参数的函数，利用函数性质（单调性、导数）或不等式求最值。 3. 几何转化法：利用对称性（如将军饮马）、定义（如圆锥曲线）、三点共线等几何性质，将动态问题转化为静态问题求解。 4. 向量法：用向量表示动点和目标量，通过向量运算和数量积建立关系式求解。 • 2022年新高考Ⅰ卷8题：正四棱锥外接球背景，求体积取值范围（建立函数用导数求解）。 • 2020年新高考Ⅰ卷20题：求线面角正弦的最大值。 • 知识库《破解立体几何动态问题的策略》：系统总结了补形法、轨迹方程、向量法、函数性质、对称性等六大策略。 三、热点融合与综合命题趋势 近年试题常将外接球、截面、动态问题与空间角、体积等基础考点深度融合。 “外接球+动态”：几何体本身或其部分元素是动态的（如折叠、动点），求其外接球半径或表面积的范围。例如，将平面图形翻折成三棱锥，求该三棱锥外接球半径的取值范围。 “截面+动态+最值”：过动点作截面，研究截面面积或周长的变化规律，并求其最值。这是截面问题的最高频考法。 “翻折（动态）+外接球+空间角”：以平面图形翻折成立体图形为背景，综合考查线面垂直、外接球、空间角的计算，过程动态，综合性强。例如，2025年八省联考（适应性测试）第19题。 综合命题新特点： 结构分析先行：解题第一步不再是盲目建系，而是分析几何体的结构特征，识别特殊模型（长方体、鳖臑、共顶点的垂直关系等），选择最优方法。 强调推理论证：对于外接球球心位置、线面垂直关系等，要求给出严格的逻辑推理步骤，而非直接使用结论。 方法选择开放：同一问题往往有多种解法（几何法、向量坐标法、基底向量法），鼓励学生根据图形特点选择最简洁的路径。 与导数、不等式深度融合：求最值时，经常需要建立目标函数，利用导数或基本不等式求解，体现代数工具在几何中的应用。 四、备考策略 模型识别，掌握通法：熟练掌握长方体模型、鳖臑模型、对棱相等模型、面面垂直模型等常见外接球模型及其公式。但更要掌握坐标方程组法这一通法，以应对不规则图形。 提升作图与想象能力：加强截面作图的训练，特别是用线面平行法和相交法作复杂截面。平时多用GeoGebra等软件辅助观察，培养动态想象能力。 强化“引入参数”意识：面对动态和最值问题，要习惯引入角度、长度等参数，将几何问题代数化、函数化。 规范书写推理过程：特别是证明球心位置、线面垂直关系时，步骤要完整，因果要清晰。例如，证明线面垂直必须写出“一条线垂直面内两条相交直线”。 专题对比，归纳提炼：将外接球、截面、动态最值三类问题分别进行专题训练，总结每类问题的突破口、常用方法和易错点。例如，外接球关键是“找球心”，截面关键是“找交线”，动态最值关键是“设参数、建函数”。 五、典例分析 1. 外接球与截面综合（多选题） 已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（    ） A． 过点D作球的截面，截面的面积最小为 B． 过点D作球的截面，截面的面积最大为 C． 点Q的轨迹长为 D． 点Q的轨迹长为 1. 翻折、外接球与动态最值（解答题） 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若，证明：平面 (2)在（1）的条件下，若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球的半径. (3)求二面角的余弦值的最小值. 1. 截面与动态最值 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 1. 外接球与轨迹、最值综合（解答题） 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. (1) 若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. (2) 在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 1. 动态问题与函数模型（解答题） 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. (1)证明：； (2)若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. · 热点 07：2026 逢五逢十数学史纪念（可命题情境） 2026年是多个中外重要数学史事件的“逢五逢十”纪念年。将这些纪念日作为试题情境，既能弘扬数学文化、增强民族自信，又能自然考查学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养，完美契合新高考“素养导向、情境载体”的命题趋势。本热点聚焦于可转化为具体数学问题的纪念事件，为命题和备考提供丰富素材。 1、 命题理念与考查价值 核心理念：以数学史纪念日为载体，实现“文化浸润”与“思维考查”的有机统一。 立德树人：通过纪念中外数学家的成就，引导学生感悟科学精神、增强文化自信（尤其是对中国古代数学成就的自豪感）。 素养立意：在理解历史背景、转化历史问题、解决历史名题的过程中，综合考查数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。 反套路导向：情境新颖、背景深厚，能有效打破“题型+技巧”的应试模式，考查学生在陌生情境下的探究与迁移能力。 考查价值： 知识载体：纪念事件常与数列、几何、代数、概率等具体知识模块自然结合。 思想渗透：历史问题中蕴含的归纳、类比、极限、公理化等思想，是考查高阶思维的绝佳素材。 阅读能力：题干通常包含文言文或历史描述，要求较强的信息提取与数学化表达能力。 2、 2026年重要数学史纪念日梳理与命题切入点 纪念事件 （2026年） 纪念缘由 （逢五逢十） 关联数学知识/思想 可命题情境与考查方向 刘徽注《九章算术》1790周年 公元236年，刘徽开始注解《九章算术》，创立“割圆术”等。 极限思想、几何计算（圆面积、球体积、勾股定理）。 1. “割圆术”求π近似值：用内接正多边形周长或面积逼近圆，考查数列极限、不等式放缩。 2. “重差术”测距（《海岛算经》）：结合解三角形，考查建模与运算。 3. “牟合方盖”与球体积：引入祖暅原理，考查空间想象与推理。 祖冲之逝世1550周年 公元476年，祖冲之逝世。其对圆周率（“密率”355/113）的计算领先世界千年。 圆周率、有理逼近、连分数。 1. “调日法”求圆周率近似值：如2023年四省联考第15题模式，考查递推数列与有理数逼近。 2. “密率”的性质探究：比较355/113与π的误差，或探究其连分数展开，考查有理数、不等式。 秦九韶《数书九章》成书780周年 公元1246年，秦九韶完成《数书九章》，系统总结“大衍总数术”（中国剩余定理）等。 同余理论、高次方程数值解、几何测量。 1. “大衍总数术”解同余方程组：简化后考查整除、不定方程或简单的模运算。 2. “三斜求积术”（海伦-秦九韶公式）：结合解三角形考查公式推导或应用。 斐波那契《计算之书》出版824周年 公元1202年，斐波那契出版《计算之书》，引入斐波那契数列。 递推数列、通项公式（比内公式）、性质。 1. 斐波那契数列性质探究：通项推导、相邻项比值趋于黄金分割、与组合数的关系等。 2. “兔子繁殖”原始模型：建立递推关系，考查数列求解或归纳推理。 阿尔·卡西精确计算圆周率600周年 公元1426年，波斯数学家阿尔·卡西将π计算到小数点后16位，打破祖冲之记录。 圆周率计算、迭代算法、近似计算。 中西算法对比：将阿尔·卡西的迭代算法与刘徽“割圆术”并列，考查学生理解不同算法逻辑并进行数值比较或误差分析。 《九章算术》成书（标志性）约2050年 作为中国古代数学体系形成的标志（约公元前1世纪成书）。 方程术、正负数、几何体积、比例算法。 1. “方程章”中的线性方程组：用现代矩阵或消元法求解古题。 2. “勾股章”应用问题：结合相似、比例解测量问题。 3. “粟米章”比例问题：考查比例与数列。 3、 命题趋势与题型预测 题型分布：以选择题、填空题为主（如第4-8题，第13-16题），分值5分左右；也可作为解答题的引入部分（如第17题第（1）问）。难度适中，侧重基础概念辨析与算法迁移；高频考点聚焦“割圆术”误差估算、“方程术”的消元逻辑及“粟米章”比例建模；命题常嵌入真实情境，如天文观测、工程测量、赋税折算等，强调数学史素养与现实问题解决能力的融合。 情境深度： 浅层结合：仅以纪念日为背景引出常规数学问题（如直接给出“勾股定理”模型）。 深层融合：需要理解历史算法或概念本身才能解题（如“调日法”、“割圆术”的迭代过程），这类题目区分度更高。 综合化倾向：数学史纪念情境常与数列、三角函数、解析几何、概率统计等知识综合考查。例如，将“调日法”与递推数列结合，将“重差术”与解三角形结合。 比较视野：命题可能同时呈现中外数学家的同类成就（如刘徽与阿尔·卡西的算π方法），引导学生进行跨文化数学比较，体会数学的普遍性与方法的多样性。 4、 备考策略与教学建议 知识储备：师生应共同梳理教材（特别是人教A版）中涉及的数学史内容，以及近五年高考真题中的数学文化题，熟悉《九章算术》、刘徽、祖冲之、秦九韶、斐波那契等核心人物与成就。 思想提炼：重点理解“割圆术”中的极限思想、“调日法”中的逼近思想、“大衍总数术”中的模运算思想，以及这些思想如何转化为具体的数学问题。 阅读训练：加强文言文或历史叙述文字的阅读理解训练，练习从中提取关键数学条件（如数量关系、几何结构）。 建模练习：针对典型历史名题（如“鸡兔同笼”、“物不知数”、“勾股容圆”），进行从文字描述到数学模型的转化练习。 专题整合：将数学史纪念情境与数列、几何等主干知识进行专题整合训练，形成“背景—模型—方法”的解题链路。 5、 新高考数学专题模拟题（基于2026纪念情境） 1.（祖冲之·调日法）【单项选择题 】 我国古代数学家祖冲之用“调日法”逼近圆周率：取弱率 与强率 ，通过计算“中位数”（分子、分母分别相加）得到新分数 。若新分数值小于 ，则将其作为新的弱率；否则作为新的强率。如此反复，可逐步逼近 。已知按此规则计算的前6次迭代中，弱率始终保持为 未被替换，则第7次迭代得到的新分数及其强弱性为（　　）（参考：） A. ，为弱率 　　B. ，为强率 C. ，为弱率 　　D. ，为强率 2.（刘徽·割圆术）【多项选择题】 刘徽在《九章算术注》中创立“割圆术”，用圆内接正 边形面积 逼近圆面积 。记圆半径为 ，则 。下列关于 的结论正确的是（　　） A. 数列 是递增数列，且 B. 当 较大时， C. 存在等比数列 ，使得对所有正整数 ，均有 D. 刘徽利用割圆术求得 ，其逼近的思想方法蕴含了极限的理念 3.（秦九韶·三斜求积术）【填空题】 秦九韶在《数书九章》中给出了已知三角形三边 求面积的“三斜求积公式”：。若某个三角形的三边长 构成公差不为0的等差数列，且其面积为 ，则该三角形的周长为 _______。 4.（斐波那契·数列探究）【解答题】 斐波那契数列 满足 ，。其与黄金分割有着深刻的联系。 （1）求数列 的通项公式； （2）（开放性设问）请你从 的性质中，提出一个关于 的猜想，并加以证明； （3）设 ，证明数列 单调递增，并求其极限。 5.（中西对比·真实情境建模）【解答题】 2026年是刘徽注《九章算术》1790周年，也是阿尔·卡西精确计算圆周率600周年。在现代工程中，圆周率逼近算法仍有重要应用。 （1）（应用情境）某无人驾驶汽车测试场需建造一个圆环形赛道，中心线半径为 。工程队采用内接正六边形逐渐倍增边数的方法估算周长。若要求估算的赛道中心线周长误差不超过 ，请利用不等式 估算至少需要倍增多少次？（参考：，） （2）（开放决策）在上述赛道上，无人车需从 点行驶到 点。系统提供了两种方案：方案一沿弦 直行（距离短但需频繁避让）；方案二沿劣弧 行驶（距离长但路况顺畅）。若你是系统工程师，设圆心角 ，请给出一个选择方案二的临界角度 的理论值，并说明当 时选择方案二的合理性依据。 6.（祖冲之密率·新定义逻辑推理）【解答题 】 祖冲之的“密率” 是圆周率的一个极佳有理逼近。在现代数论中，我们常用“最佳逼近”来刻画这种优良性：若有理数 满足对任意有理数 ，若 且 ，均有 ，则称 是 的一个最佳逼近。 现定义函数 ，即 到最近整数的距离。 （1）计算 的值；（精确到0.001） （2）证明：若 是 的最佳逼近，则对任意 ，均有 ； （3）已知 的前四个极小值分别在 时取得。请结合（2）的结论，说明为什么 和 都是 的最佳逼近，而 却不是。 · 热点 08：跨学科融合题型（数学 + 物理 / 经济 / 信息） 跨学科融合是新高考数学命题的鲜明特征和重要趋势。试题通过创设真实、综合的情境，将数学与物理、经济学、信息技术等学科知识有机结合，旨在考查学生运用数学工具解决复杂现实问题的能力，体现数学的基础性、应用性和工具性价值，促进学科核心素养的融合发展。 6、 命题理念与考查定位 核心理念：落实“一核四层四翼”，强调数学作为“科学的语言”在认识世界和解决跨学科问题中的核心作用。 服务选拔：区分学生整合多学科信息、建立数学模型、进行逻辑推理和定量分析的高阶能力。 引导教学：推动中学数学教学打破学科壁垒，关注知识关联，培养学生综合思维和解决实际问题的意识。 体现价值：彰显数学在自然科学、社会科学及工程技术中的广泛应用，激发学生学习兴趣。 考查定位： 题型与分值：常见于选择题、填空题（如第4-8题，第13-16题），也作为解答题（如第17、18题）的命题背景。分值5-13分不等。 难度层次：中档及以上，因涉及陌生概念和复杂情境，对阅读理解、信息提取和知识迁移能力要求较高。 7、 三大跨学科融合类型深度剖析 融合类型 学科特点与考查核心 关键数学模型/思想 典型高考真题链接 数学 + 物理 最常见融合。物理现象（运动、力、能量、波等）提供真实情境，数学（函数、向量、三角函数、导数、微积分思想）提供量化工具。考查从物理过程抽象出变量关系、建立数学模型（如运动方程、约束条件）并求解的能力。 1. 运动模型：匀速圆周运动（三角函数模型）、匀变速运动（二次函数）、简谐振动（正弦型函数）。 2. 矢量模型：力的合成与分解、速度与加速度（平面向量、空间向量）。 3. 优化模型：功、能、最值问题（导数、不等式）。 4. 微元与积分思想：变力做功、非均匀变化量累积（定积分背景）。 ①2023年四省联考第11题：质点匀速圆周运动，求重合坐标（三角函数+物理角速度）。 ② 2025年全国Ⅰ卷第6题：帆船航向角优化，融合视风、真风等物理概念（向量+三角函数）。 ③2022年北京卷第7题：“冰丝带”制冰技术，T-lnP图判断物态（对数函数+物理化学相图）。 ④ 教材案例：“声音背后的数学原理”（三角函数+声学）。 数学 + 经济/社会 关注现实决策与数据分析。经济学概念（成本、收益、利润、边际、弹性、折现）或社会现象（人口、资源、信息传播）提供情境，数学（函数、数列、导数、概率统计、线性规划）提供分析框架。考查建立优化模型、进行预测与决策的能力。 1. 函数模型：成本函数、收益函数、利润函数、需求函数（二次函数、分式函数、指数对数函数）。 2. 数列与金融模型：单利/复利、年金、分期付款（等比数列）。 3. 优化与决策模型：边际分析（导数）、最优化（导数、均值不等式）、风险决策（概率、期望）。 4. 统计与预测模型：回归分析、时间序列、数据分析。 ① 2022年新高考Ⅰ卷第4题：南水北调工程，估算水库水量（棱台体积+地理水利）。 ② 2024年全国乙卷理科第17题：橡胶生产工艺改进效应比较（样本均值、方差+工业统计）。 ③ 2020年全国Ⅰ卷文科第17题：加工业务分配决策（概率、期望+生产管理）。 ④教材“阅读与思考”：振幅、周期、频率、相位（三角函数+声学/工程）。 数学 + 信息技术/科学 体现时代性与前沿性。以计算机科学（算法、逻辑、编码）、信息技术（数据传输、信号处理）、生命科学（遗传、生态）、地学等为背景，数学（逻辑推理、排列组合、概率、数论初步、图表分析）提供形式化描述和解决方案。考查抽象概括、算法理解和逻辑推理能力。 1. 逻辑与算法模型：程序框图、逻辑运算、二进制、进位制。 2. 组合与概率模型：密码学、错误校验码、信号传输可靠性（二项分布）、生物遗传（概率）。 3. 数据与图表模型：数据拟合、图像识别、信号处理（函数变换、统计）。 4. 离散模型：图论初步、网络流、调度优化（组合数学）。 ①2022年全国乙卷理科第6题：程序框图与数列递推（算法+数列）。 ②2024年新课标Ⅱ卷第12题：信号传输情境考查二项分布（概率+通信）。 ③ 2024年北京卷第7题：生物丰富度指数（对数模型+生态学）。 ④2020年新高考Ⅰ/Ⅱ卷第6题：新冠肺炎传播模型（指数函数+流行病学）。 8、 命题趋势与综合难点 情境真实复杂：素材直接来源于科研论文、技术报告、经济数据或社会调查，题干篇幅长，夹杂专业术语，要求极强的信息筛选与阅读理解能力。 建模过程完整：强调“情境识别—变量抽象—模型建立—求解验证—解释反馈”的完整数学建模过程，而非套用固定题型。 知识深度整合：不再是“背景点缀”，而是要求真正理解跨学科概念的本质，并能将其准确转化为数学条件。例如，理解“边际成本”即导数的经济意义。 思维高阶化：注重考查类比迁移、批判性思维和创新意识。例如，将物理学中的“矢量合成”迁移到解决几何或三角问题。 工具综合运用：常需综合运用函数、导数、数列、向量、概率统计等多个数学模块知识，并可能涉及简单的近似计算或估算。 主要难点： 概念理解障碍：对物理、经济等领域的陌生概念（如角速度、边际、弹性、信噪比）理解不透。 模型转化困难：无法从冗长描述中提取关键变量关系，建立正确的方程或函数模型。 学科思维切换：习惯于纯数学推理，难以融入实际问题背景进行思考。 9、 备考策略 拓宽知识视野：主动关注科技前沿（如人工智能、航天、碳中和）、经济热点和社会生活，了解相关学科的基本概念和原理。 强化教材链接：深挖教材中“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等栏目，以及例题、习题中的跨学科案例（如苏教版“天体运行数据拟合”题）。 掌握建模通法：系统训练数学建模的步骤，练习将文字、图表信息转化为数学语言（方程、函数、图形）。 专题融合训练：按“数理融合”、“数经融合”、“数信融合”等进行专题训练，总结各类情境常用的数学模型和解题套路。 提升阅读与信息处理：进行“长题干”审题专项训练，练习划关键词、画示意图、列表格整理数据。 夯实数学根基：跨学科问题的内核仍是数学知识。必须扎实掌握函数、导数、数列、向量、概率统计等核心模块的概念、性质和方法。 10、 新高考数学跨学科融合专题模拟题 1. 数学+物理：渡河优化问题（多选题） 一艘船在静水中的速度为 ，河水的流速为 ，且 。河宽为 。设船头指向与垂直河岸方向的夹角为 （指向上游为正），渡河时间为 。下列结论正确的是（　　） A. 无论 如何调整，渡河时间 的最小值为 B. 若要使实际航程最短（即垂直渡河），则需满足 ，此时渡河时间 C. 存在某一夹角 ，使得船的合速度大小等于 D. 当 时，最短航程渡河时间与最短时间渡河时间的比值为 2. 数学+信息：二进制编码与概率（填空题） 在某种二进制通信协议中，每个数据包由8位二进制数组成。为检测错误，要求每个数据包中“1”的个数必须为偶数。则符合此协议的8位二进制数共有 ______ 个；若随机发送一个符合协议的数据包，则其中恰好有4个“1”的概率为 ______。 3. 数学+经济：利润与税收优化（解答题） 某工厂生产一种产品，每日固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加100元。每日销量 （件）与销售单价 （元）满足 ，且日产量等于日销量。 (1) 将每日利润 表示为 的函数，并求利润最大的销售单价及最大利润。 (2) 经济学中“边际利润”指销量增加1件时利润的变化量。求当单价 元时的边际利润，并从数学和经济学角度解释其意义。 (3) 为响应环保，政府拟征收每件 元的环保税。为保证征税后工厂的最大日利润不低于30000元且不高于38000元，求 的取值范围，并给出相应的定价策略建议。 4. 数学+物理+几何：费马原理与最短光路（解答题） 根据费马原理，光线传播遵循时间最短路径。光线从点 射出，经 轴反射后，穿过以 为圆心、半径为1的圆（即光线与圆相交或相切）。 (1) 证明：反射点 必在 关于 轴的对称点 与圆 的连线上。 (2) 求反射点 的横坐标的取值范围。 (3) 求光线路径总长度 的最小值（ 为光线在圆上的点）。 5. 数学+生物+统计：遗传病概率与二项分布（解答题） 某遗传病由一对等位基因 控制（ 正常， 患病），为常染色体隐性遗传（基因型 患病）。已知人群中等位基因频率 ，，且符合哈代-温伯格平衡。 (1) 求人群中随机一人患病的概率。 (2) 现有一对夫妇，女方患病（），男方表型正常（基因型未知）。他们已生育一个正常孩子，求男方携带致病基因（）的概率。 (3) 若男方携带致病基因的概率记为 ，记他们未来生育的 个孩子中患病人数为 。求 的分布列与数学期望 。 核心・高频考点速查 速查01 集合、逻辑、复数、向量 专题1.1 集合与逻辑 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：集合的交、并、补运算，子集、真子集个数，充分必要条件的判断。 b. 中频考点：集合的描述法与列举法，含参集合的关系（如）问题。 c. 命题趋势：常以选择题形式出现，难度较低，属于送分题，与其他知识结合。 1.集合的表示：列举法如 ，描述法如 2.子集个数：含有n个元素的集合有 ______ 个子集，______ 个真子集 3.集合运算律： = ______， = ______（交换律）; 4.德摩根定律：= ______，= ______ 5.集合关系判断： = ______ ⇔ = ______ 6.充分必要条件：且的 ______ 条件; 7.量词命题否定： 8.含参数的集合问题，常利用集合的包含关系（如A⊆B）或运算结果（如）来求参数范围，解决此类问题的关键是：先求出集合的______，再结合数轴或端点值列______（不等式或方程）。 2、 应试小技巧 a. 数轴/Venn图是法宝：处理集合运算、含参范围问题时，画数轴或Venn图可直观、快速解题。 b. “正难则反”：求补集或涉及“至少”、“至多”的命题否定时，可考虑从反面入手。 c. 充要条件判断口诀：“小范围推大范围”是充分不必要；“范围一样”是充要。 3、 极简典例 (1) 已知集合，，则 ______。 (2) 集合的真子集个数是 ______。 (3) 命题“”的否定是 ______。 (4) “”是“”的 ______ 条件。 (5) 已知，，若，则的取值范围是 ______。 (6) 已知全集，集合或，则 ______。 (7) 设集合，，若，则 ______。 (8) 已知，，则是的 ______ 条件。 专题1.2 复数 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：复数的四则运算、复数的模与共轭、复数的几何意义（对应点、向量）。 b. 中频考点：复数相等、i的幂的周期性、复平面内的轨迹问题。 c. 命题趋势：每年必考，以选择题或填空题为主，难度小，属于送分题，考查基本概念和运算。 1. 复数代数形式：z = a+bi (a,b∈R)，其中a为___，b为___；b=0时为实数，a=0且b≠0时为纯虚数。 复数相等：a+bi = c+di ⇔ ___且____ 2. 复数的模：|z| = |a+bi| = √(a²+b²)；　　共轭复数：若z = a+bi，则z̄ = a−bi 3. 复数四则运算： 　　(a+bi) ± (c+di) = _________________； 　　(a+bi)(c+di) =__________________； 　　(a+bi)÷(c+di) =____________________________（分母实数化） 4. 模的重要性质：|z|² =___；　|z₁z₂| =____；　|z₁/z₂| = ____（z₂≠0） 5. i的幂的周期性（n∈N）：i⁴ⁿ = ___，　i⁴ⁿ⁺¹ = ___，　i⁴ⁿ⁺² =___，　i⁴ⁿ⁺³ = ____ 6. 复数的几何意义：z = a+bi 对应复平面内的点 Z(____, b)，对应向量 = (a, ____) 7. 复平面内的距离与轨迹： 　　|z₁−z₂| 表示Z₁与Z₂两点间的距离； 　　|z−z₀| = r (r>0) 表示以z₀为圆心、r为半径的圆 2、 应试小技巧 1　 牢记 i² = −1：运算时实部与虚部分开处理，合并同类项。 2　 除法标准化：分子分母同乘分母的共轭复数，化为 a+bi 形式。 3　 几何意义巧解：|z₁−z₂| → 两点间距离；|z−z₀| = r → 以z₀为圆心r为半径的圆。 4　 i的幂周期性：指数除以4看余数，以大化小（如 i²⁰²⁵ = i¹ = i）。 3、 极简习题 8 道，助力公式记忆 1. 若 z = (1+i)/(1−i)，则 z 的虚部为 ______。 2. 复数 z 满足 |z−2i| = 3，则 |z| 的最大值为 ______。 3. 已知 z = 2+3i，则其共轭复数 z̄ = ______，模 |z| = ______。 4. 若复数 z 满足 z(1−i) = 3+i，则 |z| = ______。 5. 复数 z 在复平面内对应的点为 (3, −4)，则 |z| = ______。 6. 若复数 z 满足 z + |z| = 2+8i，且 z 的实部为负数，则 z = ______。 7. 计算：(1+i)⁴ = ______。 8. 在复平面内，满足 |z−1+i| = 2 的复数 z 对应的点构成的图形面积为 ______。 专题1.3 平面向量 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：向量的线性运算（加减、数乘）坐标表示、数量积的计算与几何意义、向量平行与垂直的坐标表示。 b. 中频考点：向量的模、投影向量、三角形的“四心”向量表示。 c. 命题趋势：常与三角函数、解析几何、解三角形结合，考查综合应用能力。 1.向量的线性运算：减法： = ______ 加法：平行四边形法则，三角形法则： = ______; 2.向量坐标运算：设， = ______;λ = ______; 3.向量模长： = ______; 4.数量积：坐标形式 = ______;几何形式 = ______（θ为夹角） 5.向量平行（共线）： ⇔ ______坐标表示：______ 6.向量垂直： ⇔ ______;坐标表示：___________; 7.投影向量：在方向上的投影向量为 ___________; 2、 应试小技巧 a. “爪子定理”（三点共线）：若，且，则三点共线。 b. “极化恒等式”求数量积：，在已知模长和时特别有用。 c. 建系法：遇到规则图形（矩形、菱形、正三角形等），优先建立坐标系，用坐标运算。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知，，若，则 ______。 (2) 已知，，与夹角为，则 ______。 (3) 在中，为中点，则 _____ ______ 。（用, 表示） (4) 已知，，，则 ______。 (5) 向量在方向上的投影向量为 。若，，则投影向量的模为 ______。 (6) 已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ______。 (7) 在中，，且，，则边上的高的长度为 ______。 (8) 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，，则的轨迹一定通过的 ______ 心。 专题1.4 不等式 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：基本不等式求最值（“一正二定三相等”）、一元二次不等式的解法。 b. 中频考点：分式不等式、绝对值不等式、不等式性质比较大小。 c. 命题趋势：基本不等式常作为工具出现在函数、解析几何、应用题的最值问题中；单独考查时多为选择题或填空题，难度中等。 1.基本不等式：对于a,b>0，有a+b ≥ ______，当且仅当 ______ 时取等； 2.重要变形：≥ ______≥ ______； ≥ ______（ab>0）； 3.绝对值不等式： ______; ______; ______ 4.糖水不等式：若b>a,m>0,则 ______ 5.解不等式步骤：一元二次不等式先看 ______，再看 ______ 2、 应试小技巧 a. “1”的代换：已知或，求相关最值时，整体乘1再展开。 b. 配凑定值：通过拆项、添项、系数调整，构造出和或积为定值的形式。 c. 连续使用要验证等号：多次使用基本不等式时，确保每次等号成立条件能同时取到。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 若，则 的最小值为 ______，此时 ______。 (2) 已知，且，则 的最小值为 ______。 (3) 不等式的解集是 ______。 (4) 解不等式：。 (5) 若，求的最大值 ______。 (6) 已知，则的最小值为 ______。 (7) 比较大小：若，则 ______ ； ______ 。（填“”、“”或“”） (8) 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ______。 速查 02 函数与导数 专题2.1 函数概念与性质 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：函数定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性的判断与应用。 b. 中频考点：函数值域求法、函数解析式求法、函数图像识别。 c. 命题趋势：性质综合考查是热点，常与导数、不等式结合，难度中等偏上。 1.函数三要素：______，______，______； 2.定义域求法：分母 ______，偶次根下 ______，对数真数 ______，正切函数 ______ 3.求函数值域常用方法：观察法____、_____、_____、_____、_____ 4.函数解析式求法：待定系数法______、______、______、______ 5.单调性定义：设x₁,x₂∈D，若时，则在D上 ______ 6.奇函数性质： = ___;图像关于 ____ 对称;若在有定义，则= ____; 7.偶函数性质： = ______;图像关于 ______ 对称; 8.周期性：，则T为函数的 ______ 9.对称性： ⇒ 对称轴为 ______ ⇒ 对称中心为 ______ 10.周期性与对称性的关系： 有两条对称轴⇒ 周期T = ______; 有两个对称中心 ⇒ 周期T = ____; 有一条对称轴和一个对称中心 ⇒ 周期T = ______. 2、 应试小技巧 a. “奇函数+C”模型：若，则图像关于点对称。 b. 周期与对称关系：两个对称轴（或中心）可得周期；一个对称轴和一个对称中心也可得周期。 c. 抽象函数赋值法：对于抽象函数等式，常令，为特殊值（如，，）来求值或找规律。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的定义域为 ______。 (2) 若是上的奇函数，当时，，则 ______。 (3) 函数的最小正周期是 ______。 (4) 若，且，则 ______。 (5) 函数的单调递增区间是 ______。 (6) 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 ______。 (7) 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ______。 (8) 已知满足，且，则可能是 ______（填“奇”或“偶”）函数。 专题2.2 基本初等函数 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：指数、对数运算，指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（单调性、定点）。 b. 中频考点：不同函数增长差异、函数图像变换。 c. 命题趋势：常作为比较大小、解方程/不等式的工具出现，也常与导数结合考查复合函数。 1.指数运算：= ______; = ______; = ______ 2.对数运算： = ______;= ______; = ______; 换底公式：= ______ 3.指数函数：定义域：_____，值域：_______ 时，过定点 ____，单调 ____;时，单调 _____ 4.对数函数：定义域：_____，值域：______ 时，过定点 ____，单调 ____;时，单调 ____ 5.幂函数：第一象限内，时图像 ______，时图像 ______ 2、 应试小技巧 a. “同底”原则：解指数、对数方程/不等式时，优先化为同底。 b. “0和1”分界点：比较指数、对数大小时，常用和作为中间值。 c. 图像记忆：牢记三大函数（指数、对数、幂）在第一象限的图像特征，快速判断大小。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 计算： ______。 (2) 函数 (且)恒过定点 ______。 (3) 比较大小： ______ ； ______ 。 (4) 函数的单调递增区间是 ______。 (5) 若幂函数的图像过点，则 ______。 (6) 方程的解为 ______。 (7) 已知，，则 ______（用表示）。 (8) 若函数 (且)在区间上单调递增，则的取值范围是 ______。 专题2.3 导数及其应用 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：导数的几何意义（求切线）、利用导数研究函数的单调性、极值与最值。 b. 中频考点：不等式恒成立/能成立问题、零点问题、构造函数证明不等式。 c. 命题趋势：解答题压轴或次压轴，综合性强，难度大。小题考查基础运算和简单应用。 1.基本导数公式：C′ = ______（C为常数）;(xⁿ)′ = ______; (sinx)′ = ______;(cosx)′ = ______;(eˣ)′ = ______; (aˣ)′ = ______;(lnx)′ = ______;(logₐx)′ = ______ 2.导数的四则运算：= ______; = ______; = ______ 3.复合函数求导： = ______; 4.导数的几何意义：表示曲线在点处的 ______; 5.切线方程; 6.单调性判断： ______ ______ 7.极值定义：f(x)在x₀处取得极值 ⇒ f′(x₀) = ______（必要条件） 8.极值充分条件：f′(x₀)=0，且在x₀左右两侧f′(x) ______，则x₀为极值点 9.最值求法：求连续函数在[a,b]上的最值，先求 ___，再求 ____，比较得最值 10.常见构造函数方法：f′(x) > g′(x) ⇒ 构造函数F(x) = ______ f′(x) + f(x) > 0 ⇒ 构造函数F(x) = ______ 11.切线放缩：≥ ______，lnx ≤ ______ 12.同构思想：遇到与lnx时，常用关系：= ______，lnx = ______ 13.隐零点问题：设出零点x₀满足f′(x₀)=0，代入化简时利用 ______ 关系 2、 应试小技巧 a. 切线方程“三步曲”：求导→代点得斜率→点斜式写方程。 b. “列表法”判单调/极值：令，划分区间，列表判断符号。 c. “参变分离”解恒成立：对于恒成立，优先考虑分离参数为，转化为求的最值。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的单调递减区间是 ______。 (2) 曲线在点处的切线方程为 ______。 (3) 函数在区间上的最小值为 ______。 (4) 若函数在上单调递增，则的取值范围是 ______。 (5) 证明：当时，。 (6) 函数的极大值为 ______。 (7) 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ______。 (8) 已知函数，若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ______。 速查 03 三角函数与解三角形 专题3.1 三角函数概念与公式 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式。 b. 中频考点：扇形公式、三角恒等变换证明。 c. 命题趋势：公式考查直接且基础，是解决三角大题的第一步。常与解三角形、向量结合。 1.弧度制：π rad = ______°，1 rad ≈ ______° 2.扇形公式：弧长l = ______，面积S = ______ = ______ 3.三角函数定义（单位圆）： P(x,y)为角α终边上一点，OP=r，则sinα = _____;cosα = _____;tanα = _____ 4.同角三角函数关系：sin²α + cos²α = ______tanα = ______ = ______ 5.诱导公式口诀：________________;=____，)=____; 6.和差公式：sin(α±β) = ________________;cos(α±β) = __________________; tan(α±β) = __________________; 7.二倍角公式：sin2α = ___________; cos2α = _________ = __________ = _________;tan2α = ____________ 8.降幂公式：sin²α = ___________;cos²α = ____________ 9.辅助角公式：，其中___，__ 10.万能公式（用t=tan(α/2)表示）： sinα = _____________;cosα = ____________;tanα = _______________; 11.和差化积公式： sin α + sin β = __________________；sin α - sin β = __________________； cos α + cos β = __________________；cos α - cos β = __________________。 12.积化和差公式： sin α cos β = __________________；cos α sin β = __________________； cos α cos β = __________________；sin α sin β = __________________。 2、 应试小技巧 a. “奇变偶不变，符号看象限”：诱导公式口诀，务必熟练。 b. “1”的妙用：，常用来“弦化切”或统一函数名。 c. “降幂扩角”与“缩角升幂”：根据题目需要，灵活运用二倍角公式的变形。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知，，则 ______， ______。 (2) 化简： ______。 (3) 计算： ______。 (4) 函数的最大值为 ______。 (5) 已知，则 ______。 (6) 已知，，则 ______。 (7) 求值： ______。 (8) 化简： ______。 专题3.2 三角函数的图像与性质 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：的图像变换、周期性、单调性、对称性、最值。 b. 中频考点：根据图像求解析式、三角函数模型简单应用。 c. 命题趋势：选择题或填空题考查图像性质；解答题中常作为载体考查综合问题。 1.正弦函数y=Asin(ωx+φ)： 振幅____，周期_____，频率_____，相位_____，初相______; 五点作图法关键点：____，____，____，____，______; 2.图像变换：y=sinx → y=sin(x+φ) 向 ______ 平移φ个单位 （φ>0向__，φ<0向__） y=sinx → y=sinωx 横坐标变为原来的 ______; y=sinx → y=Asinx 纵坐标变为原来的 ______ 3.单调区间：y=sinx的增区间：__________，减区间：____________ y=cosx的增区间：__________，减区间：____________ 4.对称性：y=sinx的对称轴：_____，对称中心：_______; y=cosx的对称轴：______，对称中心：_____; 2、 应试小技巧 a. 图像变换“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”：注意对平移量的影响，口诀“提，除”。 b. “五点法”草图：快速画出草图，帮助分析性质。 c. 整体代换：将视为整体，利用的性质求解。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 函数的最小正周期 ______。 (2) 将图像向左平移单位，所得图像的函数解析式为 ______。 (3) 函数的对称轴方程是 ______。 (4) 函数在区间上的最大值是 ______，最小值是 ______。 (5) 已知函数()部分图像显示振幅，周期，过点，则 ______。 (6) 函数的单调递增区间为 ______。 (7) 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得图像的函数解析式为 ______。 (8) 已知函数()的部分图像如图所示，则 ______， ______。 专题3.3 解三角形 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用。 b. 中频考点：判断三角形形状、解三角形的实际应用、与三角恒等变换结合。 c. 命题趋势：解答题常考，难度中等。考查正余弦定理的灵活选用和边角互化能力。 1.正弦定理：______ = ______ = ______ = 2R（R为外接圆半径） 2.余弦定理：a² = __________________;cosA = _________________ 3.三角形面积公式：S = ______（最常用）；S = ______（海伦公式） S = ______（用外接圆半径） 4.解三角形常见题型：已知两角和一边用 __________;已知两边和夹角用 _________;已知三边求角用 _________;已知两边和其中一边的对角可能 _________; 5.三角形内角和：______，______ 6.射影定理：______ 2、 应试小技巧 a. “边化角”或“角化边”：根据题目条件（齐次、有平方等）选择转化方向，统一为边或角。 b. “大边对大角”：已知两边及一边对角求角时，注意解的个数判断。 c. 面积公式多选一：最常用；海伦公式用于已知三边；用于已知外接圆半径。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 在中，，则 ______。 (2) 在中，，则 ______。 (3) 在中，，则最大角为 ______ 度。 (4) 在中，若，则是 ______ 三角形。 (5) 在中，，则的面积 ______。 (6) 在中，若，则的形状是 ______。 (7) 在中，角所对的边分别为，已知，，，则满足条件的三角形有 ______ 个。 (8) 在中，若，则 ______。 速查 04 数列 专题4.1 等差数列 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：等差数列的通项公式、前项和公式、等差中项、性质（下标和相等则项和相等）。 b. 中频考点：等差数列的判定、的最值问题。 c. 命题趋势：选择题、填空题或解答题（与等比数列综合），考查基本公式和性质的应用。 1.等差数列定义：= ______（常数）; 2.通项公式：= ______（用首项和公差）= ______（用任意项和公差） 3.等差中项：若a,b,c成等差数列，则b = ______ 4.前n项和公式：= ______（用首项和末项） ______（用首项和公差） = ______（用中间项，n为奇数时） 5.性质：若，则= ______;成 ______ 6.判定方法：数列是等差数列 ⇔= ______（关于n的一次函数）⇔ Sₙ = ______（关于n的二次函数，无常数项） 2、 应试小技巧 (1) “知三求二”：等差数列五个量，知道任意三个可求另外两个。 (2) “片段和成等差”：成等差数列。 a. 最值问题：首项，公差时，有最大值；利用且求。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (3) 等差数列中，，则 ______， ______。 (4) 等差数列中，，则 ______。 (5) 已知数列前项和，则 ______。 (6) 在等差数列中，，，则 ______。 (7) 等差数列中，，且，则使最大的 ______。 (8) 在等差数列中，若，则 ______。 (9) 已知数列满足，，则数列是 ______ 数列，通项 ______。 (10) 两个等差数列的前项和分别为和，若，则 ______。 专题4.2 等比数列 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：等比数列的通项公式、前项和公式（注意）、等比中项、性质（下标和相等则项积相等）。 b. 中频考点：等比数列的判定、无穷等比数列求和。 c. 命题趋势：常与等差数列结合考查，注意公比的讨论。 1.等比数列定义：aₙ₊₁ / aₙ = ____（常数，q≠0）通项公式：aₙ = _____ = ______ 2.等比中项：若a,b,c成等比数列，则 = ______（ac>0） 3.前n项和公式：q=1时，Sₙ = ______ ; q≠1时，Sₙ = ______ = ______ 4.性质：若m+n=p+q，则aₘ·aₙ = ______;Sₙ, S₂ₙ-Sₙ, S₃ₙ-S₂ₙ成 ______（q≠-1时） 5.判定方法：数列{aₙ}是等比数列 ⇔ aₙ = ______（指数型）⇔ Sₙ = ______（q≠1时） 2、 应试小技巧 a. “知三求二”：等比数列五个量，知道任意三个可求另外两个（注意）。 b. “片段和成等比”：当时，成等比数列。 c. “巧用性质”：若，则。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 等比数列中，，则 ______， ______。 (2) 等比数列中，，则 ______。 (3) 已知数列满足，且，则是 ______ 数列，通项 ______。 (4) 求和： ______。 (5) 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数之积为 ______。 (6) 已知等比数列的前项和为，且，，则公比 ______。 (7) 在等比数列中，若，，则 ______。 (8) 求和：个 ______。 专题4.3 数列通项与求和 1、 考点考频提示 a. 高频考点：已知Sn求aₙ、累加/累乘法求通项、裂项相消法求和、错位相减法求和。 b. 中频考点：构造法求通项（如aₙ₊₁=paₙ+q）、分组求和、并项求和。 c. 命题趋势：解答题常见，错位相减和裂项相消是求和的重点和难点。 1.aₙ与Sₙ关系：aₙ = ______（n≥2），特别注意n=1时 ______ 2.递推数列常见类型： 用 ______ 法; 用 ______ 法; 用 ______ 法 3.数列求和方法：等差数列、等比数列用 ______;分式型用 ______; 通项含用 ______;通项为等差×等比用 ______; 2、 应试小技巧 a. “Sn法求aₙ”：切记验证n=1。 b. “裂项相消”：关键是把通项裂成“前后可抵消”的形式，如1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)。 c. “错位相减”步骤化：写Sn → 乘公比 → 错位相减 → 化简整理。注意最后一项符号和指数。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知数列前n项和Sn=2n²-n，则= ______。 (2) 数列{}满足=1，=+2n，则= ______。 (3) 求和：1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/[n(n+1)] = ______。 (4) 数列通项=n·2ⁿ，求其前n项和Sn。 (5) 数列满足=3+2，=1，求。 (6) 数列满足=1，=2+3ⁿ，求。 (7) 求和：1²+2²+3²+…+n² = ______。 (8) 求和：1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n(n+1) = ______。 速查 05 立体几何 专题5.1 空间几何体 1、 考点考频提示 a. 高频考点：柱、锥、台、球的体积和表面积公式。 b. 中频考点：组合体的体积与表面积、几何体的外接球与内切球问题。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查公式记忆和简单应用。外接球问题是难点。 1.柱体（棱柱、圆柱）体积：V = ______ 2.锥体（棱锥、圆锥）体积：V = ______ 3.台体（棱台、圆台）体积：V = ______ 4.球体体积：V = ______，表面积：S = ______ 5.正四面体（棱长为a）：高h = ______;体积V = ______;外接球半径R = ______;内切球半径r = ______ 6.长方体（长宽高为a,b,c）：体对角线长l = ______;外接球半径R = ______ 2、 应试小技巧 a. “公式记牢”：体积：柱体V=Sh，锥体V=⅓Sh，球V=4/3πR³；表面积：球S=4πR²。 b. “补形法”求外接球：将几何体补成长方体或正方体，利用其体对角线为外接球直径。 c. “等体积法”求点面距：，变换顶点求高（距离）。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 棱长为a的正方体的体积为 ______，表面积为 ______。 (2) 底面半径为r，高为h的圆锥体积V= ______。 (3) 若球的体积为36π，则其半径R= ______。 (4) 正四面体的棱长为a，则其体积为 ______。 (5) 长方体的长、宽、高分别为3, 4, 5，则其外接球的表面积是 ______。 (6) 圆柱的底面半径和高相等，若其侧面积为S，则它的体积是 ______。 (7) 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，且正方体的棱长为2，则该球的体积为 ______。 (8) 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为3的扇形，则该圆锥的体积为 ______。 专题5.2 空间位置关系 1、 考点考频提示 a. 高频考点：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理。 b. 中频考点：空间位置关系的综合证明、探索性问题。 c. 命题趋势：解答题第一问常考位置关系证明，属于基础题，务必规范书写。 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行; 符号语言：______ ⇒ 2.线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与原平面交线与该直线平行; 符号语言：______ ⇒ a∥b 3.面面平行判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行; 符号语言：______ ⇒ α∥β线 4.面垂直判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直; 符号语言：______ ⇒ l⊥α 5.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行;符号语言：______ ⇒ a∥b 2、 应试小技巧 a. “一作二证三求”：立体几何解答题通用步骤。 b. “线线平行→线面平行”：常在平面内找一条与已知直线平行的线。 c. “线线垂直→线面垂直”：需在平面内找两条相交直线与已知直线垂直。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 垂直于同一条直线的两个平面 ______。 (2) 若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 ______。 (3) 若平面α⊥平面β，α∩β=l，直线a⊂α，a⊥l，则a与β的位置关系是 ______。 (4) 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BC₁D。 (5) 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是 ______。 (6) 若直线l⊥平面α，直线m⊂平面α，则“l⊥m”是“m∥α”的 ______ 条件。 (7) 在空间四边形ABCD中，E, F分别是AB, AD的中点，则EF与平面BCD的位置关系是 ______。 (8) 已知m, n是两条不同直线，α, β是两个不同平面。给出下列命题：①若m∥α, n∥α，则m∥n；②若m⊥α, n⊥α，则m∥n；③若m∥α, m∥β，则α∥β；④若m⊥α, m⊥β，则α∥β。其中正确命题的序号是 ______。 专题5.3 空间向量与空间角 1、 考点考频提示 a. 高频考点：空间向量的坐标运算、利用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角。 b. 中频考点：利用向量法证明平行垂直、求点到平面的距离。 c. 命题趋势：解答题第二问常用向量法解决空间角问题，计算是关键。 1.空间直角坐标系中,向量，则=___________ 2.，，则 = ______ 3.异面直线所成角：cosθ = ____________（θ∈(0,π/2]） 4.线面角θ：设直线方向向量为，平面法向量为，则sinθ = __________（θ∈[0,π/2]）； 5.二面角的夹角θ：设两平面法向量为，，则cosθ = ______（θ与法向量夹角相等或互补）； 6.点到平面距离：设点P，平面α内一点A，平面法向量为，则d = ____________; 7.空间向量建系原则：尽量使更多点在坐标轴上，或利用______关系建系; 2、 应试小技巧 a. “建系要合理”：尽量让更多的点落在坐标轴或坐标平面上。 b. “法向量是关键”：求平面法向量时，设n=(x,y,z)，利用n·AB=0，n·AC=0，赋值求解。 c. “角公式记清楚”：线面角正弦=cos<m, n>；二面角余弦=±cos<n₁, n₂>（需判断锐钝）。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 已知a=(1,0,1)，b=(2, -1, 0)，则a·b = ______。 (2) 直线方向向量m=(1,2,3)，平面法向量n=(2, -1, 1)，则直线与平面所成角的正弦值为 ______。 (3) 点P(1,2,3)到平面2x-y+z-5=0的距离d= ______。 (4) 已知平面α过点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)，求其一个法向量n。 (5) 在正方体中，以D为原点建系，求异面直线与所成角的余弦值。 (6) 已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k= ______。 (7) 已知平面α的一个法向量，点P(-1, 2, 0)在平面α内，则点Q(1, 0, )到平面α的距离为 ______。 (8) 在直三棱柱中，∠BCA=90°，M, N分别是, 的中点，BC=CA=，则BM与AN所成角的余弦值为 ______。 速查 06 直线与圆、圆锥曲线 专题6.1 直线与圆 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：直线方程形式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线方程。 b. 中频考点：对称问题、弦长问题、圆与圆的位置关系。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查基础知识和基本计算能力。 1.直线倾斜角α∈ ______，斜率k = ______（α≠90°） 2.直线方程形式： 点斜式：__________（不能表示垂直于x轴的直线）; 斜截式：______（不能表示垂直于x轴的直线） 1. 两点式：__________（不能表示垂直于坐标轴的直线）; 1. 截距式：__________（不能表示过原点或垂直于坐标轴的直线） 1. 一般式：____________（A,B不同时为0）距离公式： 3.两点间距离：P₁P₂ = ___________;点到直线距离：d = _____________; 1. 两平行线距离：d = ____________; 4.对称问题：点P(x₀,y₀)关于直线Ax+By+C=0的对称点P′坐标求法：利用_______________________关系; 5.圆的方程：标准式：_______________，圆心_______，半径______ 1. 一般式：_________________（需满足_________） 6.直线与圆位置关系判断：几何法：比较______与______; 1. 代数法：联立方程，看Δ______ 7.圆的切线方程：过圆上一点P(x₀,y₀)的切线：_____________对于x²+y²=r²，切线为___________ 8.过圆外一点P(x₀,y₀)的切线：设斜率k，用__________=r; 2、 应试小技巧 a. “距离公式”：点到直线距离、两平行线距离公式要记准。 b. “相切”：处理切线、弦长问题时，圆心到直线的距离是核心桥梁。 c. “圆的切线公式”：过圆上一点的切线为。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 过点且斜率为的直线方程为 ______。 (2) 圆心为，半径为的圆的标准方程为 ______。 (3) 直线与圆的位置关系是 ______。 (4) 圆上的点到直线的最大距离是 ______。 (5) 求过点且与圆相切的直线方程。 (6) 已知圆：，则圆心坐标为 ______，半径为 ______。 (7) 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ______。 (8) 圆与圆的位置关系是 ______。 专题6.2 圆锥曲线 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质（离心率、渐近线等）。 b. 中频考点：直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点弦）、焦点三角形。 c. 命题趋势：小题考查定义与性质；解答题综合性强，常考轨迹方程、定点定值、范围最值问题。 1.椭圆定义：到两定点F₁,F₂的距离之和等于常数（大于F₁F₂）的点的轨迹椭圆标准方程（焦点在x轴）：，其中a>b>0，c²=_____; 椭圆几何性质：范围：______;顶点：_______________ ; 离心率：e = ______ ∈ (0,1)，e越小，椭圆越______. 2.双曲线定义：到两定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于F₁F₂）的点的轨迹双曲线标准方程（焦点在x轴）：_______，其中a>0,b>0，c²=______; 双曲线几何性质：范围：______;顶点：____________;渐近线：________; 离心率：e = ______ > 1，e越大，开口越______； 双曲线焦点到渐近线距离 d=______ 3.抛物线定义：到定点F的距离与到定直线l（F∉l）的距离相等的点的轨迹抛物线标准方程（开口向右）：______，焦点_____，准线______； 抛物线焦点弦性质：以焦点弦为直径的圆与准线______； 焦点弦长AB = ______；______，______ 4.圆锥曲线的统一定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹e=1时为______，e>1时为______，0<e<1时为______ 5.弦长公式：AB = _________ = _________（k为斜率） 6.中点弦问题：椭圆：kop·kAB = ______;双曲线：kop·kAB = ______; 1. 抛物线：kAB = ______ 7.焦点三角形面积（椭圆）：S = ______ 2、 应试小技巧 a. “定义优先”：涉及焦半径、焦点弦时，优先考虑圆锥曲线定义。 b. “设而不求，韦达定理”：解答题中处理直线与圆锥曲线联立问题的核心方法。 c. “弦长公式”： 或 。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 椭圆的焦点坐标为 ______，离心率 ______。 (2) 双曲线的渐近线方程为 ______。 (3) 抛物线的焦点到准线的距离为 ______。 (4) 过椭圆内一点且被平分的弦所在直线方程为 ______。 (5) 已知双曲线离心率为，一个焦点为，则其标准方程可为 ______。 (6) 已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，则 ______。 (7) 椭圆 ()的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ______。 (8) 已知双曲线 ()的一条渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为 ______。 速查 07 计数原理、概率、统计 专题7.1 计数原理与概率 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：分类加法、分步乘法原理，排列组合数计算，古典概型，二项式定理通项。 b. 中频考点：排列组合应用题（捆绑、插空、隔板等），条件概率，二项分布。 c. 命题趋势：选择题或填空题，考查基本原理的应用和计算。 1.分类加法原理：完成一件事有n类不同方案，每类有mᵢ种方法，则共有______种方法 2.分步乘法原理：完成一件事需要n个步骤，每步有mᵢ种方法，则共有______种方法 3.排列数公式：Aₙᵐ = ______ = ______（n,m∈N*，m≤n） 4.组合数公式：Cₙᵐ = ______ = ______ = ______ 5.组合数性质：Cₙᵐ = ______（对称性）;Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹ = ______（递推公式） 6.二项式定理：(a+b)ⁿ = ___________________; 7.二项展开式通项：Tₖ₊₁ = ______（k=0,1,...,n） 8.古典概型：P(A) = ______（m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件总数） 9.条件概率：P(BA) = ______;相互独立事件：P(AB) = ______ 10.n次独立重复试验（伯努利试验）：事件A发生k次的概率Pₙ(k) = ______ 11.全概率公式：若事件, , …,构成一个完备事件组，且P(Bi)>0，则对任一事件A，有 P(A) = ________________________。 12.贝叶斯公式(选学）：在全概率公式的条件下，有 = __________________。 2、 应试小技巧 a. “先选后排”：处理排列组合混合问题。 b. “正难则反”：当正面情况复杂时，考虑总情况数减去反面情况数。 c. “赋值法”求系数和：二项展开式中，令可得所有项系数和。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 从名男生、名女生中选人，要求至少有名女生，有 ______ 种选法。 (2) 的展开式中，项的系数是 ______。 (3) 掷两枚均匀骰子，点数之和为的概率是 ______。 (4) 已知，则 ______。 (5) 某射手命中率为，独立射击次，恰好命中次的概率是 ______。 (6) 将本不同的书分给个人，每人至少本，不同的分法有 ______ 种。 (7) 在的展开式中，常数项是 ______。 (8) 甲、乙、丙、丁、戊人站成一排，要求甲、乙相邻，丙、丁不相邻，不同的排法有 ______ 种。 专题7.2 随机变量与统计 1、 考点考频提示及核心公式 a. 高频考点：离散型随机变量的分布列、期望与方差，正态分布的原则，线性回归方程。 b. 中频考点：二项分布、超几何分布的应用，独立性检验。 c. 命题趋势：解答题常考，考查数据处理和实际应用能力。需规范书写步骤。 1.离散型随机变量分布列性质： 1. pᵢ ______ 0（i=1,2,...）;p₁+p₂+... = ______;数学期望（均值）：E(X) = ______; 1. 方差：D(X) = ______ = ______;标准差：σ(X) = ______ 1. 期望性质：E(aX+b) = ______;E(X+Y) = ______ 方差性质：D(aX+b) = ______;若X,Y独立，则D(X+Y) = ______ 2.二项分布：X~B(n,p)，则E(X) = ______;D(X) = ______ 3.超几何分布：从M件产品（含K件次品）中任取n件，其中次品数X的分布列：P(X=k) = ______（k=0,1,...,min{K,n}） 4.正态分布：X~N(μ,σ²)，概率密度函数曲线特点：关于______对称;最高点在______; 5.P(μ-σ<X<μ+σ) ≈ ______;P(μ-2σ<X<μ+2σ) ≈ ______; P(μ-3σ<X<μ+3σ) ≈ ______ 6.线性回归方程：，其中=________; = ______ 7.相关系数r：r ≤ 1，r越接近1，线性相关程度越______ 2、 应试小技巧 a. “分布列完整性”：检查所有概率之和是否为。 b. “公式法求期望方差”：，。 c. “回归直线过样本中心”：一定在回归直线上。 3、 极简习题8道，助力公式记忆 (1) 随机变量分布列为 ()，则 ______， ______。 (2) 若，则 ______， ______。 (3) 已知，且，则 ______。 (4) 一组数据，算得，回归方程，则 ______。 (5) 期望 _____（用表示）,方差 _____（用表示） (6) 一个袋子中有个红球，个白球，从中不放回地取次，每次取球，设为取到的红球个数，则 ______。 (7) 已知随机变量服从正态分布，且，则 ______。 (8) 根据下表数据，求得关于的线性回归方程为，则 ______。 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 速查 08 思想方法与应试策略 专题8.1 数学思想方法 1.函数与方程思想：将问题转化为______或______求解 2.数形结合思想：研究函数时考虑其______，研究几何时建立______ 3.分类讨论思想：分类标准要______，做到______ 4.转化与化归思想：将复杂问题转化为______问题 5.特殊与一般思想：从特殊情况发现规律推广到一般，常用______法 6.极限思想：分析变化趋势，常用在比较大小和求取值范围时 7.建模思想：实际问题→数学模型→求解 专题8.2 应试策略 1.选择题解题策略：直接法，______,______,______,验证法 2.多选题保守策略：不确定时填空题解题策略：直接法，______ 3..解答题规范：三角函数：先______，再______，注意______ 4..立体几何：一作二证三______ 5.概率统计：设事件、列分布、求期望、作______ 6..解析几何：解析几何中“设而不求，整体代换”的通用步骤：①设点、设线；②______；③写出判别式（确保相交）；④应用______定理；⑤将目标几何条件（如垂直、共线、面积）翻译为关于______的代数式；⑥整体代入化简求值。 7..函数导数：求导、_______、列表、得结论 8.时间分配建议（以120分钟为例）： 1. 选择题：______分钟;填空题：______分钟; 解答题：______分钟;检查：______分钟 1、 考点考频提示 这些专题是对前面所有知识的升华和策略总结，贯穿于整个解题过程。高考命题无时无刻不在考查这些思想方法和策略的应用能力。 2、 应试小技巧 a. “小题小做”：选择题多用特值法、排除法、数形结合法，避免“小题大做”。 b. “规范大题”：解答题步骤清晰，推理严谨，计算准确，做到“会做的题不丢分”。 c. “时间管理”：遵循“先易后难”原则，合理分配时间，保证基础题和中档题的得分率。 d. “检查策略”：重点检查计算过程、公式使用、答题卡填涂等易错点。 3、 极简习题8道，助力公式记忆（综合应用） (1) （函数方程思想）已知满足，求的解析式。 (2) （数形结合）方程有四个不同实根，求实数的取值范围。 (3) （分类讨论）解关于的不等式：。 (4) （转化化归）求函数的值域。 (5) （特殊一般）观察下列等式：, , , …，猜想第个等式，并证明。 (6) （整体思想）已知，则 ______。 (7) （构造模型）在半径为的球内作一个内接圆柱，求该圆柱侧面积的最大值。 (8) （优化策略）考试中遇到一道毫无思路的压轴题，合理的应对策略是：______。（从“死磕到底”、“暂时跳过，做完其他题再回头”、“直接放弃”中选择） 祝您高考顺利，金榜题名！ 技法・得分加速器 01 高考倒计时30天，精准发力稳提分指南 高考倒计时30天，复习进入尾声，多数学校会将主要时间分配给考试、讲解，剩余时间以自习和答疑为主。此前在一轮、二轮复习中承受巨大压力的你，曾期盼自主学习的时刻，可真正拥有这份自由时，却难免陷入迷茫。本文将从“心态”“学习”“复习”三个核心维度，结合“细心答题防失误”的关键要点，帮你理清最后阶段的发力方向——无需追求惊天逆袭，只要精准发力、杜绝失误，就能积累相对优势，稳稳扛住最后压力，发挥出自己的最佳水平。 1、 心态调整：摒除内耗，稳住节奏 1. 破除“逆袭幻想”，拒绝投机取巧 高考是一场公平的选拔，不存在“短时间内快速提分”的捷径——若真有这样的途径，对不知情的考生而言便是不公，四十余年的高考体系绝不会允许这种情况存在。这不是浇冷水，而是最真实的现实。 最后30天，核心任务是回顾、补充、巩固过去300多天的学习成果，而非妄想“一夜建成高楼”。这个阶段能实现“锦上添花”，却很难做到“雪中送炭”。市场上那些声称“一个月保证提××分”“逆袭冲刺”的课程和资料，务必警惕：它们所举的案例，往往是成千上万考生中万里挑一的个例，其成绩提升的核心的是考生自身的努力，而非课程本身。 铭记“公平性”三个字，稳扎稳打完成手头任务，不贪捷径、不抱过高期望，才能保持清醒的自我认知——这是顺利走完最后冲刺路的最坚实基础，也能帮你避开弯路、节省不必要的时间和开支。 2. 破除“定型焦虑”，坚持终有回响 高考前夕，难免会听到“最后这点时间也改变不了啥”的声音，这话对想最后冲一把的中间段考生来说，无疑是一盆冷水。但请记住，高考本就有运气成分，我们拼命努力，不是为了保证提多少分，而是为了抓住每一点可能的进步——哪怕只是几分，考场上也可能成为“救命稻草”。 从时间本质来说，全力以赴的30天，和最初的30天、中间的300天没有区别。你能在复习初期相信自己能进步，为何要在最后阶段听天由命？有些进步或许无法立即察觉，但不代表没有发生；既然有临考逆袭的案例，就说明进步的可能一直存在——你未必能成为下一个逆袭者，但不能放弃相信自己。 抛开“努力无用，成绩定型”的杂念，该努力就全力以赴，哪怕只剩30天，也要守住“我不甘心”的韧劲。这30天里，你或许能发掘自己从未注意到的潜能，每一次努力都是积累，终会在考场上转化为不可预知的力量。外界的声音再嘈杂，你的坚持和努力，才是最能依靠的底气。 2、 学习策略：精准发力，拒绝盲目 自主学习的时间来之不易，若缺乏规划，要么陷入盲目刷题的内耗，要么彻底放松、浪费光阴。想在最后阶段超越他人，关键是制定合理计划，让每一分钟都发挥最大价值，避开误区、找对方法。 （1） 避开两大复习误区 误区一：缺乏计划性，陷入“无效忙碌”。很多考生信奉“题海战术”，埋头刷题、纠错，却陷入“擅长的科目越做越多，薄弱科目能拖就拖”的困境；有时一道薄弱科目的难题，会耗费半天时间，挤压其他科目的复习时间。每天看似忙碌，实则缺乏针对性，收获甚微，只能用“完成的试卷数量”自我安慰，第二天依旧重复低效循环。 误区二：追求“全面覆盖”，结果“样样抓不住”。不愿放弃任何一科、任何一个知识点，试图平均分配时间，可时间有限，最终只会手忙脚乱、顾此失彼。擅长的科目只剩难题需攻克，耗时久；薄弱科目漏洞多，也需大量时间弥补，这种“全面覆盖”本质上是低效内耗。 最后30天，“目标不明确”就是最大的浪费。与其盲目忙碌，不如聚焦重点——选择1-2个提分空间大的科目深度攻克，优先发力能快速提分的板块，定期评估复习效果、调整计划，才能实现质的突破。 （2） 精准提分7步法，每一步都有实效 二轮复习结束后，复习核心应从“全面复习”转向“带问题单点突破”——带着明确的问题去复习，才能避免时间浪费，提升效率。核心原则有两个：一是“学科融合思维”（把各科看作总分750分的一部分，不局限于单一科目）；二是“先提最容易提的分”（优先攻克基础题、中档题，提分效率最高）。 结合这两个原则，分享一套可直接落地的“单点突破7步法”，每一步都围绕“解决具体问题、提升分数”展开： 1. 跨学科评估提分空间：回顾过往考试，评估自己在750分总分中，哪个学科、哪个板块的提分空间最大（哪怕只有5分，只要能稳定抓住，就是胜利），聚焦这个“5分目标”，不贪多、不分散精力。 2. 锁定目标题型：明确这5分对应的具体题型（比如数学解三角形的余弦定理应用、语文古诗文默写、英语完形填空的固定搭配），精准定位，不盲目刷题。 3. 分析知识要点：拆解该题型涉及的知识点、考查重点、易错点，理清“为什么会丢分”“需要掌握哪些内容才能得分”，做到心中有数。 4. 系统复盘资料：按照“教材→一轮复习笔记→课堂错题→过往试卷”的顺序，针对性复习，重点弥补知识点漏洞，不做无关内容的无用功。 5. 独立解题验证：尝试独立完成该题型，若仍无法解答，返回步骤3、4重新复盘，直至能独立写出解题过程、得出正确答案。 6. 同类题强化训练：从真题、模拟题中挑选5-10道同类题练习，完成后认真订正，重点关注“同类错误是否重复出现”，及时查漏补缺。 7. 总结解题规律：梳理该题型的解题思路、方法、切入点和易错点，对比不同题目之间的异同，总结出可复用的解题技巧，确保下次遇到同类题，能快速上手、不丢分。 这套方法的核心的是“自信积累”——每完成一个完整流程，都要达到“再次遇到这类题，我一定能解决”的底气。若没有这种自信，就增加同类题练习量，反复打磨，直到彻底掌握。试想，每2小时攻克一个5分知识点，每天高效学习14小时，就能积累35分的提升空间，哪怕只有一半能在高考中体现，也是实实在在的进步。 最后阶段，“复习的主人”是你自己：需要看课本就看，需要做试卷就做，需要请教就请教，不盲目跟风、不机械重复，才能最大化利用所有复习资料，实现精准提分。 3、 复习策略：高效复盘，稳抓基础 最后30天，复习的核心不是“学新”，而是“固旧”——把过往的知识、做过的题目吃透，把基础分稳稳抓住，比盲目刷新题、攻难题更有价值。以下4个策略，帮你高效复盘、精准发力。 （1） 看旧不看新：精研旧题，唤醒记忆 建议不再分散精力刷大量新题，而是专注于已经做过、订正过、总结过的题目。高三300多天，你已经积累了上千道习题，额外几十道新题对整体提升的帮助有限，反而会占用宝贵的复盘时间。 把刷新题的时间，用来复习旧题：唤醒遗忘的知识点，加深对已掌握内容的理解，查漏补缺，避免“做过的题再错”——从效率来看，这才是最后阶段最明智的选择。 （2） 看易不看难：立足基础，拒绝内耗 准确评估自己的实际水平，把时间花在“自己能抓住的分数”上，不盲目钻研难题。比如数学成绩100分左右的考生，最后阶段不必过度纠结圆锥曲线、导数等难题，重点放在确保前100分的基础题、中档题不丢分，再努力攻克100-120分之间的题目，最终能稳定在110分左右，就是成功。 放弃不是崩溃，而是智慧——主动放弃超出自己能力范围的难题，把时间和精力聚焦在能提分的板块，才能实现“投入产出比”最大化，避免因钻牛角尖而浪费时间、打击心态。 （3） 分类处理题目：分级复盘，精准高效 把过往的习题分为三个等级，针对性处理，大幅提升复习效率： 1. 完全掌握且解题流畅：这类题目无需花费大量时间，快速浏览一遍，若解题思路清晰、关键公式牢记，能直接得出答案，就果断跳过，把时间留给薄弱题目。 2. 基本掌握但解题不熟练：这是最后冲刺的“提分关键”——你有能力得分，但可能因熟练度不足，在考场上失误丢分。应对方法：先正常完成一遍，有问题及时请教、订正；梳理解题思路和流程后，独立完成第二遍；反复练习，直至解题时间缩短至最初的一半，确保考场上能快速、准确完成。 3. 完全未掌握：这类题目需分情况处理：① 难度适中但知识点漏洞：用“单点突破7步法”针对性攻克；② 难度过大：参考“2倍时间法则”——评估该题在考场上的合理用时，乘以2，若复习时在这个时间内仍无思路，就理性放弃，避免浪费时间；若有大致思路，可请教老师后，再按方法复盘。 （4） 集中解答疑问：批量请教，节省时间 最后阶段，老师会在办公室随时答疑，务必充分利用这个机会，但要避免“碎片化提问”——一遇到问题就去请教，可能面临老师不在、排队等待的情况，往返奔波会浪费大量时间。 正确做法：遇到问题先独立思考，理清“自己到底卡在哪里”，而不是只说“这题我不会”；将疑问记录下来，积累到5个左右，选择老师不忙的时间段集中请教。这样既能提高答疑效率，也能让老师更有针对性地讲解，同时也是对知识点的再次梳理。 小提示：老师不是“解题机器”，遇到需要思考的问题，可把题目留给老师，告知老师后续再来请教，自己返回教室继续复习，不浪费时间傻等。 4、 细心为剑，破失误之障 每次考试，总会有很多学生丢失本不该丢的20分——这些分数不是败给难题，而是输在草稿纸上跳错的数字，答题卡上错位的选项，审题时漏看的“不”字。最后30天，除了精准复习、稳住心态，更要锻造“细心”这把利剑，守住每一分该得的分数，避免因低级失误留下遗憾。 （1） 认知突围：失误的本质是态度偏差 当我们反复强调“认真审题”却收效甚微时，就像对着雾中灯塔喊话。某重点中学追踪研究发现，习惯性失误者往往存在认知误区：把“马虎”归咎于偶然，将“粗心”美化为性格。殊不知，这恰如运动员轻视热身，医生忽略消毒，本质都是对专业精神的怠慢。 唯有正视失误背后的态度问题，方能从根本上斩断粗心的根源。如同工匠雕琢璞玉，需耐心细致，步步为营。培养专注习惯，严谨对待每一处细节，让细心成为习惯，而非偶尔的闪光。如此，方能剑指高分，无往不利。 请记住，高考本质是精确度的极限测试。就像航天器对接容不得毫米误差，我们的答题系统也需要建立防错机制。从日常练习中嵌入细致入微的检查流程，到考场上的冷静自省，每一步都是对细心的锤炼。唯有如此，才能在关键时刻避免低级错误，让每一次落笔都精准无误，最终成就高分梦想。 （2） 双重自我：构建内在监督系统 想象考场中存在两个“你”：一个是执笔答题的战士，另一个是手持放大镜的监考。这种“双重自我员工法”已在飞行员训练中应用数十年。具体操作时，请在每个解题节点启动15秒速查程序：读题时标注题眼如同考古学家标记甲骨文，书写时笔尖轻点标点似雕刻家收刀，计算时复述过程像会计核对账目。 如此，内外兼修，形成严密的自我监控体系，确保每一步都精准无误，让细心成为潜意识中的本能反应。久而久之，习惯成自然，失误自然遁形，高分亦如探囊取物。某位清华学长分享的案例令人震撼：他专门训练“视线回扫”技能，像复印机扫描般在解题后自动回看关键数据。这种机械性的重复看似笨拙，却在高考数学中帮他挽回12分，相当于全省排名跃升15000位。 （3） 四维锚定：让技巧成为肌肉记忆 “读写解算”四步口诀犹如四把钥匙：读题时画出逻辑树状图，书写时实施“三秒延迟”策略，理解时建立知识点超链接，计算时启动逆向验证程序。就像钢琴家形成肌肉记忆，我们需要让这些动作成为解题的默认设置。 建议同学们在模拟考中创造“高压实验室”：故意设置干扰项训练专注力，用倒计时器制造紧迫感，甚至尝试在嘈杂环境中解题。这些刻意练习，终将锻造出在考场上稳如磐石的定力，即便遇到紧张场景，也能凭借肌肉记忆规避失误。 （4） 执行升华：从知道到做到的最后一公里 知道凌晨四点的洛杉矶不算什么，重要的是每个清晨准时响起的闹钟。建议建立“失误日志”，像科学家记录实验数据般追踪每个错误——标注错误类型（审题失误、计算错误、书写错误等）、出错原因、改进方法，定期复盘，避免重复踩坑。某重点班实践表明，坚持21天记录的学生，失误率下降67%，这比任何励志标语都更具实证力量。 请将每次练习视为高考实景演练：从填涂答题卡时铅笔的倾斜角度，到草稿纸的分区策略，再到水杯摆放的位置，都要形成条件反射。记住，战场上没有临时起意，只有千锤百炼的肌肉记忆。 同学们，当你们走出考场时，最欣慰的不会是攻克了某道难题，而是在每个细节处都做到了极致。那些看似微不足道的15秒检查，终将汇聚成改变命运的洪流。让我们以工匠精神雕琢每个解题步骤，让细心成为刻进DNA的考试基因！ 最后提醒：高考倒计时30天，提30分并非遥不可及，关键在于“精准定位+高效执行+细心防错”。保持规律作息，合理分配各科时间，不熬夜、不内耗，摒除杂念、稳住心态，守住每一分该得的分数，把每一步都走扎实。记住，最后阶段，清晰的目标、高效的方法、持续的信心和严谨的细心，就是你最核心的竞争力。愿你不负努力，不负自己，在高考中发挥出最佳水平，奔赴属于自己的广阔前程！ 02 高考数学核心考点解题方法与策略 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上的参考公式，80%具有实用性，能为解题提供明确方向； 2.解答题各小问间存在阶梯关系，后问常需利用前问结论。若前问为证明题，即便无法证明结论，该结论在后问中仍可应用，但需考虑结论的独立性。 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，单选题的1-5，多选题第9题，填空题第13题，解答题第15题及每一道解答题的第一小问都是比较容易的，这些题应该十考生得分的基本盘；选择题第8题（这一道题2025年中也不见得很难）和多选题第11题和填空题第14题，解答题的18和19题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分），这些题往往承担着选拔创新型人才的功能。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1～2分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。要十分重视第一印象。 心理学表明，考生在接触试题时大脑皮质处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定。 经验表明，第一感觉的正确率在80％以上。 因此，不要轻易改动第一次做出的选择。 在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择。 切记不要“小题大做”。 注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法，或是判断。即便无法完整解答，也应将思考过程和尝试的方法写在答题纸上。多写无害，或许能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择题．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 由于填空题和单选题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解。直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果。 直接法的具体操作在于熟悉试题考察的知识点，以便迅速定位并应用相应的定理、性质和公式进行求解。例如，面对数列试题，首先要判断是等差数列、等比数列还是它们的综合。一旦确定是等差数列或等比数列，就应立即回顾并应用等差数列或等比数列的定义、性质（如公差、公比的关系）、通项公式以及前n项和公式，判断其适用性。如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行简化或转化了，也可快速进入状态。 （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。例如，可以尝试将一些简单的数值代入，若符合题目条件则保留相应选项，反之则排除包含该数的选项范围。具体来说，面对两个选项A（）和B（），可以选取数字1进行代入检验。若1符合题意，则排除B；若1不符合题意，则排除A。这种方法能迅速缩小选择范围，但需注意，选取的数值应考虑选项特征，避免选择所有选项共有或均不包含的数值。此外，还可以根据选项涉及的知识点进行论证排除。例如，若四个选项分别对应四个知识点，可以优先对熟悉的知识点进行验证，判断其是否符合题意，从而快速准确地锁定正确答案，避免因知识点掌握不牢固或理解模糊而导致误选。 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除。所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法 特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果。 特例法，即特殊值验证法，可通过特殊数值、图形、位置替代普遍条件，导出特殊结论，进而检验选项，做出正确选择。尤其针对棘手的高考选择题或填空题，关注特殊情况，从特殊角度入手，常能迅速简捷解题。 常用特例包括特殊数值、点、数列、函数、图形、角、位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但前提是所取特例需符合题目所有条件。 特例法能简化运算和推理过程，尤其适用于包含字母或一般性结论的选择题和填空题，但在应用时需注意以下几点：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选择另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）若正确选项在题目的普遍条件下均成立，则应选取最简单的特殊值进行探究，以此快速、准确地得出答案。这种方法，即通过对特殊情况的考察来推断一般规律，是解答此类选择、填空题的优选策略。 近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ （4）估算法 估算法，包括四舍五入法、估算范围法、数值特点估计法以及接近整十、整百、整千的估算等，是解决数学问题的快速方法，它不仅能够提高解题速度，还能帮助考生避免在计算过程中出现大的失误。 对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。 当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时。估算法不仅能有效减少运算量，还能提升思维的深度与层次，因此，我们应熟练掌握并灵活运用这一技巧。 而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论。 （5）数形结合法 数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图像的特征进行直观分析，从而得出结论。比如： ①在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 ②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 ③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 ④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 ⑤数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 ⑥解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 ⑦立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学解题中的一把利剑，它能让抽象的数学问题变得直观且生动，将抽象思维转化为形象思维，从而帮助我们更深刻地理解数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法。 三、解题思想方法 1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”； 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.对于含有参数的初等函数，研究时应聚焦于参数未改变的那些恒定性质，例如函数所经过的固定点、二次函数的对称轴等。 4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法； 5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对方程或不等式进行变形处理时，优先考虑使用分离参数的方法来简化问题。 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.在解答圆锥曲线的题目时，应优先考虑利用它们的定义来求解。对于直线与圆锥曲线的相交问题，如果涉及到弦的中点，可以选择设而不求的点差法；如果与弦的中点无关，则可以选择利用根与系数的关系公式法。在使用根与系数的关系公式时，务必先判断是否为二次方程，并考虑根的判别式。 8.在求解曲线方程的题目时，若已知曲线的形状，可采用待定系数法；若未知曲线的形状，则需按照建系、设点、列式、化简的步骤进行求解，同时要注意去掉不符合条件的特殊点。 9.要求解椭圆或双曲线的离心率，只需建立关于a、b、c之间的等式关系即可得出答案。 10. 求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何第一问若旨在辅助建系，则应采用传统方法解答；若非如此，可从第一问起即建立坐标系求解。需特别注意，向量角与线线角、线面角、面面角各不相同，应熟练掌握这些角度间三角函数值的转换方法。计算锥体体积时需注意相关系数，计算三角形面积时亦需关注其系数。涉及球的题目同样需谨慎对待，可通过连接“心心距”构造直角三角形来解题。 13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；若存在分布列，则验证其概率和是否为1是检验答案正确性的关键步骤。 15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可使用三角换元来完成； 16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等； 四、每分必争 1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。试卷到手后，首先进行必要的检查，确认无印刷模糊之处，并完成填涂工作。随后，立即浏览试卷，熟悉可能用到的公式，做到胸有成竹。对于简单的题目，要用心计算，必要时动笔也无妨（无论是写名字还是字母，无人会细究）。 2.在分数上也是每分必争。正如参考资料所述，成绩合格率反映了达到基本要求的比例。因此，你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但意义截然不同：一个是不合格，一个是合格。虽然高考中仅差1分，例如509分与510分，这可能在某些情况下影响录取结果，如接近录取分数线时，分数稍高者可能更易被录取。然而，高考成绩并非唯一评判标准，综合素质评价和面试成绩等其他因素也会影响录取。因此，1分之差虽然重要，但个人的综合素质和潜力同样关键。所以，在答卷的时候要精益求精。 对单选题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？ 多选题找到两个必选项了没？ 填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？ 解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性规划）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？ 3.面对答题时间的紧迫感，是所有学生共同的体验。若要缓解这种压力，唯一的方法便是学会取舍，准确判断并放弃那些不必要的部分，从而为争取每一分创造条件。 4.稍作冷静，虽然表面上看似浪费了时间，但实际上却是在为自己争取机会，甚至可能因此创造出意想不到的奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。 5.如果题目分析遇到困难，很可能是因为忽略了某个重要的已知条件，因此，需要重新审题，仔细阅读题目，才能有所发现，切勿局限于固定的思维模式。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。 6.高考只是人生众多重要考试中的一场，而人生则是由无数个一分钟组成的。只有珍惜并把握好每一分钟，才能真正掌控自己的人生。高考不过是一场平常的模拟考试，真正的高考其实是在我们生活的每一刻。 03 新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 多选题扩展了考查宽度，重视数学大概念的考查，对学生的整体认知、综合能力提出了更高要求。它是一把“双刃剑”：选对一项得部分分的概率加大，但全选对得满分的概率变小。错选一项得0分的判分标准，让不满足于部分分、力争满分的学生面临风险。 一、多选题的考查性质和特点 多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基”“四能”及核心素养的考查。这种题型主要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力；同时，多选题还能够引导学生更加注重知识之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。 （1）无需解题过程 多选题与单选题类似，都要求学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的答案，就能得到相应的分数。 （2）分值灵活 新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；考生全选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分；如果正确选项是3个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。 （3）考查知识内容多样化 新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要排除并验证每个选项的正确性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求，从而提高了试题的难度。 （4）考查策略需选择 多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思路的多样性和灵活性可以节省学生的时间，提高解题效率。 （5）考查创新思维 多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思维方式与能力提升均有显著的助益。 （6）能更好地区分学生的能力层次 多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不同能力层次的考生，从而有助于选拔优秀人才。 二、数学多选题的基本类型 数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型： 1. 条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰选项时会故意省略某些易于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度警觉，并对每个条件进行认真分析和推理。 2. 实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有挑战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性和区分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学生的实际水平。 3. 概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点，例如相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。 4. 题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设计。 5. 推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时，需要考生认真阅读题目，理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。 6. 思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突破思维定势的束缚，找到正确的答案。 三、多选题解题方法与技巧 多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答案，更具挑战性。 2.1求解对照法（直接法） 这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上，应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时，还需找出题目中的隐含条件，深入理解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答，时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其他的方法进行解题。 2.2特值检验法 根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值，将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约了解题时间。 2.3逆推代入法 将选项中给出的答案，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。 2.4排除法 排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间.在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。 2.5逻辑分析法 逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定错误选项，从而挑选出正确选项。举个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组中各选择一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。 2.6宁缺毋滥法 也称为“逃避策略”，源于中国古代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出2个最有信心的选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样，才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差异。 总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也为不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是相互交织和融合的。因此，学生在解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。 04 高考数学解答题答题规范与模板（炼规范、夺高分） 根据多年的评卷经验，我为您系统梳理解答题的核心答题规范和通用步骤模板。掌握这些规范，是确保在“踩点给分”的阅卷规则下，将思维能力转化为实际分数的关键。 1、 核心理念：为什么要“规范”？ 高考解答题阅卷实行 “分段评分”或“踩点给分”。阅卷老师寻找的是关键步骤、公式和结论。 规范的目的：清晰展示你的解题逻辑，让阅卷老师快速找到给分点，避免因表达混乱造成的隐性失分。 不规范的风险：即使思路正确、答案正确，也可能因步骤跳跃、书写潦草、结论不明而被扣分。 知识的体现：规范的步骤本身就是你对数学概念、定理理解程度的体现。 核心原则：“会的题，一定要拿满分；不全会的题，一定要多拿分。” 2、 阅卷篇 1.主观题和客观题 一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。 　2.正评和仲裁 每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。 3.评卷误差的产生 评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。 由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。 ①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 ②解答题未化简到最终结果可能会多扣分; ③填空题以下情况全扣; ④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。 建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！ 三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点： 　 1.卷面清洁，这是最基本的要求； 2.书写工整，字迹清晰； 3.在规定的答题区域答题，否则做无用功； 4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述； 5.语言要简洁，答中要害； 6.语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。 四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况： 1.字迹潦草 问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。 【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。 2.题号填涂与作答不符 问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题号，答的却是10题的内容，只能得零分。 【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂 对题号，否则白费了工夫，还不得分。 3.超出规定区域答题 问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超 出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。 【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。 4.答案分块 问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。 【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。 5.答案不分层次 问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。 【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。 6.作图不规范 问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。 【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。 7.出现删除符号 问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。 【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。 高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。 解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。 5、 数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见： 1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。 2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐标系用向量求解。 3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。 4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。 5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。 6.大胆使用归纳、类比，赋值法。 7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。 3、 六大核心板块规范答题模板 板块一：三角函数与解斜三角 【典例1】(13分）设锐角的内角的对边分别为. 已知. (1)求；(2)若,且求的面积. 【评分细则】 (1)由得分 【备注1】正确写出应用二倍角公式给1分。 即1分 【备注2】正确写出或体现应用余弦定理公式给1分。 在锐角中,所以1分(3分) 【备注3】见“”给1分 又,所以2分(5分) 【备注4】见“”给2分 (2)由及正弦定理得分 又所以所以1分 【备注5】见“”给1分. 又,所以2分(9分) 【备注6】见“”给2分 则,所以1分(10分) 由正弦定理得1分(11分) 【备注7】另解:写出“”给1分。 故面积为2分(13分) 【备注8】结果正确即可给2分,若结果错误但正确写出面积公式可给1分。 【备注9】无其他解答过程,只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给1分。 模拟训练： 1．在中，，，且，求： (1)求的值； (2)求的面积． 2．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值. 板块二：数列 【典例2】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【评分细则】 法1:设公比为(不写也不扣分)由条件得 列出两个方程得2分解得(舍去)(3分) 由条件(4分) 求出和得2分(6分)结果为2分 说明:1.只抄条件,如果未算出有效结果,不得分；如果算出任一有效结果,抄的条件也给2分; 如:得得6分. 2.舍去没有写,只写了不扣分: 3.,或者均不扣分,甚至出现也不扣分. 法2:由条件得(2分) 解得(舍去)(3分) 由条件(4分)(6分)结果为2分 法3:由条件(2分) 解得(舍去)(3分), 从而 注:没舍解的,最后答案是两解的得4分. 模拟训练： 1．设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 2．有n个人各准备了一份礼物放入礼物池，然后通过抽签的方式随机各获得了一份礼物．记没有人获得的礼物是自己的情况有种，则当时，． (1)写出，的值，并证明数列为等比数列； (2)记没有人获得的礼物是自己的概率为，已知，试比较与的大小关系． 板块三：立体几何 【典例3】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【评分细则】第1问评分细则 法一：由， 得…1分 【说明】见到中的一个即可得1分 又，在中，由余弦定理得…………2分 【说明】见到，或即可得1分 所以，则，即…………………3分 【说明】见到之一即可得这1分 所以…………………………………………………………4分 又，所以，………5分 又，故；……………………………………6分 【说明】只见到，没有得1分；没见到，只见到不得分 思路二：1—4分与解法1相同，为，所以……………………………5分 故………………………………………………………………6分 【说明】见到，所以，即可得2分 【说明】若第一问用坐标法来证明，则第二问的7—10分放到第一问来赋分 第2问评分细则 思路一：空间直角坐标系+空间向量 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以………………………………………………………………7分 由（1）知，又， 所以平面，又平面， 所以，…………………………………………………………………8分 则两两垂直，建立如图空间直角坐标系……9分 【说明】在图上做出直角坐标系即可的1分 则， 由是的中点，得，………………………………10分 【说明】有一个点的坐标对即可得1分 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 【说明】有列式求法向量即可得1分，用行列式也同样给分 令，得， 所以，……………………………………………13分 【说明】得一个法向量得2分，得两个法向量得3分 所以，…………………………………14分 【说明】有公式或结果对即可得1分 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为.…………………15分 【说明】出现等公式错误情况，但结果对的情况下扣1分； 法二: 纯几何+二面角定义 延长 交于点 ,点 是平面 与平面 的公共点,所以面 面 ,过点 做 的垂线交 于点 ,过点 做 的垂线交 于点 ,连接 ,图中 即为平面 与平面 的二面角的平面角。 因为 ,因此 面 ……………………………8分 在 中， 在 Rt 中, ，……………9分 根据面积不变性，……………………………………10分 在 中， 在 中, ,余弦定理， 在 中，……………………11分 在 中, ,余弦定理， ……………………………………12分 在 中,根据余弦定理，…………14分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为 ………………………………………………15分 思路三：纯几何+三垂线 延长 交于点 ,点 是平面 与平面 的公共点,所以面 面 , 通过计算得 ，过点F做面PGD的垂线，垂足为M，过M作,连接FN，作于Q，则是平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角。……………………………………………………………7分 ，EQ为点E到面PGD 的距离 .…………………………………………………………9分 在中, =………………………………………………………………10分 在中, 在中,PG 在中, …………………………13分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为 …………………………………………15分 易错提醒： （1）逻辑关系混乱，分不清哪些是得分点；第一问的证明，学生对由线线垂直，得线面垂直，再得线线垂直掌握的不好，但本题中若无线面垂直，只有线线垂直则扣两分，课本中的重要定理和性质，平时教学中需重点强调； （2）在利用向量法求解中，第7—8分这两个得分点缺失的同学比较多，也就是建系前的需要证明三条直线两两互相垂直；同时建系强调右手系虽然其他建系法也正确，但会增加运算量，更容易导致运算错误； （3）运算能力差，点坐标求错，法向量解错，只得一分，后续也存在不少的运算问题，一般的学生需要重点加强求点、求法向量的训练。 （4）部分考生在选择的建系方式不恰当，进而导致了运算过程的复杂化，并最终未能获得准确的结果。 （5）部分考生运用纯几何法，但他们大多未能成功得出最终答案。通过对前述两种纯粹采用几何方法分析，我们发现，纯几何分析方法在应对此类问题时，对思维的要求相当高，且本题所蕴含的计算量亦相当庞大，比向量法还大。 模拟训练： 1．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 板块四：概率与统计 【典例4】我省某市为吸引游客,推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机制,自然风光类抽中的概率为,历史文化类、特色体验类抽中的概率均为,这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客,每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次,每次抽奖至多抽中一个免费票景点. (1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次,设表示甲获得免费票景点个数,求的分布列和数学期望; (2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖,已知乙抽中(至少抽中一个),求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. 【评分细则】 (1)表示甲获得免费票景点个数,则,1分 则;1分 1分 1分 1分(5分) 故的分布列为 0 1 2 3 P 【备注1】若仅给出分布列而没有前面的求解过程:表中数字全对时本5分段共给4分(即扣掉过程分1分);当表中概率数字不全对时,若表头第一行数字全对给1分,第二行每个概率值对一个给1分(共不超过3分) 3分(8分) 【备注2】体现数学期望公式(乘积和,至少写有两项)给1分,结果正确给2分;如果没有过程只写正确结果，给2分(扣求数学期望过程分). (2)设“乙抽中”为事件,“乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件,“乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件,“乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件.1分(9分) 【备注3】体现至少设出一个事件过程,可给1分。 则.1分 1分 1分(12分) 因事件两两互斥, 所以.1分 【备注4】正确写出求互斥事件概率公式给1分. .1分(14分) 【备注5】结果正确给1分 则2分(16分) 【备注6】计算结果正确,给1分；若结果不对,但写出几何条件公式 “”给1分. 故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为1分(17分) 【备注7】作答正确给1分,若写出“为所求”也算作答正确. 模拟训练： 1．为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. (1)该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (2)当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 2．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 板块五：圆锥曲线 【典例5】(15分)已知抛物线M:的焦点F为椭圆N:的—个焦点,具N的短轴长为4. (1)求N的方程； (2)过点F且倾斜角为45°的直线与N交于A,B两点，线段AB的中垂线与轴交于点E,求△ABE的面积. 【评分细则】 (1)因为抛物线的焦点的坐标为（0,1）………1分 所以,即……………………………………………2分 又的短轴长为,所以…………………………………………3分 所以…………………………………………………………4分 故的方程为……………………………………………………5分 (2)依题意得l的方程为……………………………………………6分 由得…………………………………………7分 设,则 ……………………………………………………8分 则……………………9分 …………………………………………………………10分 设线段的中点为,则………11分 所以线段的中垂线方程为……………………………12分 令,得,则点的坐标为……………………………………13分 因为点到直线的距离……………………………………14分 所以的面积为…………………………15分 评分细则:【1】第(1)问中,未写“”,但写了“或”,不扣分. 【2】出现,有必要过程就给5分； 【3】7分点只要出现或联立方程思想,就可以得这1分; 【4】8分点不写,不扣分;出现一个即可的1分; 【5】14、15点结果不对的情况下,写出点到直线距离公式或三角形面积公式,可得1分(至多1分)； 【6】第(2)问中,计算的面积时,也可以由,得到最后的结果,所以解析过程中可以不求点到直线1的距离. 法二:设,则 …………………………………………………8分 设线段的中点为,则………………9分 线段的中垂线方程为………………………………………………10分 令得,则点坐标为 记线段与轴交点为即.……………………………………………11分 由.………………………………………………………………………………12分 .……………………………………………………………13分 .……………………………………14分 .………………………………………………………………………………………………15分 模拟训练： 1．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3． （1）求椭圆E的方程； （2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求． 2．已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 板块六：导数 【典例6】(17分)设函数. (1)证明：曲线关于点(0,1)对称. (2)已知为增函数. ①求的取值范围. ②证明：函数存在唯一的极值点. ③若不等式对恒成立，求的取值范围. 【评分细则】 (1)证明:因为,………………………………1分 所以,则曲线关于点(0,1)对称.………………………………2分 【备注1】特殊点验证不得分;二阶导证明扣1分。 【备注2】第(1)问中,还可以这样表述:因为,所以曲线关于点(0,1)对称. 【备注3】第(1)问第三种表述:, ,即是奇函数。 令,所以关于(0,1)对称。 (2)①解:因为为增函数,所以恒成立,…………………………3分 则,因为,………………………………………………4分 当且仅当时,等号成立,则的最大值为,…………………………………………5分 所以,即的取值范围是.………………………………………………………………6分 【备注4】,若的取值范围写为的取值范围写为,均不扣分. 【备注5】用换元法、导数法求最值对应给分。 ②证明:,所以为增函数.……………………………7分 ,因为,所以,…………………………………………8分 又,所以在(-4,0)上存在唯一的零点.………………………………………………9分 【备注6】第(2)问中,可以从中任取一个实数,均可得到. 当时,单调递减, 当时,单调递增,…………………………………………………………………10分 所以存在唯一的极值点,且该极值点为极小值点.………………………………………………11分 【备注7】零点的存在性定理没有说明扣1分 【备注8】一正一负各1分,用极限相应给分 ③解:由(1)知,曲线关于点(0,1)对称, 所以为奇函数,……………………………………………………………………12分 由,得, 所以………………………………………………………………13分 即.………………………………………………………………14分 因为为增函数,所以为增函数,所以,………………………………15分 即,设函数,则. 当时,单调递减, 当时,单调递增.…………………………………………………………16分 故,即的取值范围为.………………………………………17分 【备注9】第(2)③另一种表述:由(1) 即 是增函数以下同法一 模拟训练： 1．已知函数的最小值为0，其中. （1）求a的值； （2）求证：对任意的，，有； （3）记，为不超过的最大整数，求的值. 2．已知函数. (1)若在上存在单调减区间，求实数m的取值范围； (2)若在区间上有极小值，求实数m的取值范围. 05 高考数学解答题常见条件及问题转化策略 · 一、函数与导数解答题常见条件及转化策略 函数与导数是高考数学解答题的核心板块与压轴重点，其问题设计灵活，综合性强。解决此类问题的根本思想是：“构造函数，利用导数工具分析函数性质（单调性、极值、最值等）”。通用的标准化解题流程为：求定义域→求导→分析导函数符号（讨论单调性、极值）→转化题目条件→达成求解目标。 以下将函数与导数解答题中常见的条件类型及其对应的转化策略进行系统梳理。 · 常见条件类型一：单调性条件 单调性是函数最基础的性质，也是连接各类问题的纽带。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.讨论或证明的单调性 转化为分析导函数的符号。 ①⇒递增；⇒递减。 ②解求驻点，列表分析。 定义域优先。含参时需按的根是否存在、大小、是否在定义域内来分类讨论。 2.已知在区间I上单调（增/减），求参数范围 转化为导函数在区间I上恒成立问题： 单调递增⇔； 单调递减⇔。 优先尝试参变分离求最值；若复杂则用构造函数法分类讨论。注意检验区间端点（端点效应）。 3.利用单调性解恒成立/存在性问题 恒成立(如)：转化为。 存在性(如∃x使)：转化。 核心逻辑：“恒成立看最小值，存在性看最大值”。清晰区分两者是解题基础。 4.利用单调性比较大小 将待比较数值视为某个函数f(x)在特定点的值，通过研究的单调性来比较大小。 关键在于观察数值结构特征，构造出合适的函数。 · 常见条件类型二：极值与最值条件 极值点是函数单调性发生改变的位置，是最值的重要候选点。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.求极值点/极值 ①求导得；②解；③分析符号变化；④极值点必须是导函数的变号零点（先正后负为极大，先负后正为极小）。 定义域优先。含参时分类讨论标准与单调性讨论类似。 2.已知是极值点，求参数 必要性转化：由建立关于参数的方程。 充分性验证：需说明或验证在该参数下，确为的变号零点。 仅是必要条件，必须进行充分性验证（常通过后续单调性分析实现）。 3.函数存在极值点（或有n个极值点），求参数范围 转化为f'(x)存在变号零点的问题。进一步可分离参数，转化为与图像的交点问题（数形结合）。 注意区分“有极值点”与“有根”的不同，后者可能对应驻点但非极值点（不变号）。 4.极值点偏移问题（已知，证等） 核心是消元减元，化归为单变量函数： ①对称化构造：如设。 ②比值/差值代换：令，结合消元。 这是压轴题难点。关键在于识别偏移背景，选择对称构造或代换消元策略。 · 常见条件类型三：零点（方程根）条件 零点问题是函数与导数综合题的经典设问，常与单调性、极值紧密结合。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.判断/证明零点个数 通用流程（直接法）： ①利用导数研究单调性、极值； ②结合零点存在性定理，在每個单调区间上通过“取点”判断端点函数值符号。 取点是难点。常用方法：直接代入特殊值；或利用等不等式进行放缩取点。 2.已知零点个数求参数范围 策略一（直接构造分类讨论）：直接分析含参函数的图像，依据极值点个数、位置及函数趋势，对参数分类讨论，结合取点确定范围。这是最基础、最广泛的方法。 策略二（分离参数数形结合）：将变形为，问题转化为直线与曲线交点个数问题。此法可避免复杂分类，但需深入研究的性质。 例如2022年全国乙卷理科第21题中，有解法将转化为，通过研究右侧函数的图像与性质（如其在处的极限为1），快速得到即的结论。 3.“隐零点”问题 当极值点/零点无法显式求出时，采用“设而不求”。设或，得到满足的方程（如），在后续计算中利用该方程进行整体代换化简。 关键在于将关于的表达式（如）通过代换，化为关于参数或新元的可分析形式。 · 常见条件类型四：不等式证明条件 不等式证明是检验函数性质综合运用能力的重要题型。 常见问法/条件 核心转化策略 关键提示 1.证明在区间上成立 通法：作差构造函数。 令，转化为证明。 这是最根本的方法，适用于绝大多数题型。 2.含指数、对数的复杂不等式 高效策略：同构转化。 将不等式两边变形为相同结构，然后利用外层函数的单调性证明。 需要敏锐观察结构，如将视为等。 3.涉及数列求和的不等式 策略一（函数法）：将和式视为某函数在离散点上的取值，构造连续函数利用其单调性证明。 策略二（放缩法）：利用常见不等式（如）将对数列放缩后求和，常与裂项相消结合。 2022年新高考Ⅱ卷第22题证明，即可利用放缩和裂项转化为函数不等式证明。 4.双变量不等式（如极值点偏移衍生问题） 核心是消元减元：通过比值代换、差值代换或对称构造函数，将双变量问题转化为关于单变量的函数问题。 2021年新高考Ⅰ卷、2022年甲卷理科第21题中，在证明或时，均采用了此类消元策略。 总结：函数与导数解答题虽有千变万化，但其核心条件无非单调、极值、零点、不等式几类。解题的关键在于准确识别题目条件的本质，并运用上述策略将其转化为可利用导数工具处理的函数性质问题（最值、单调性、图像交点）。淡化过度技巧，重视转化与化归、分类讨论、数形结合的通性通法，是应对此板块的根本之道。 · 二、三角函数与解三角形解答题常见条件及转化策略 三角函数与解三角形板块具有更具体的工具集（三角恒等变换、正弦定理、余弦定理）和更鲜明的几何背景（三角形约束、函数图像特征）。高考中，该板块解答题的条件设置极为灵活，广泛涉及等式条件、几何条件与函数性质条件的综合。 （1） 三角函数性质的深挖与转化 函数y=Asin(ωx+φ)及其变体的图像与性质，对称性、周期性与最值问题常作为核心条件或求解目标出现。 1. 对称性条件及其转化 对称性条件是求参、求值的高频考点与难点。 (1)常见条件形式： 1　 轴对称：“图像关于直线对称”。 2　 中心对称：“图像关于点(m,n)中心对称”或“(m,n)是其对称中心”。 3　 综合判断：作为多选题的一部分，判断某点或某直线是否为对称中心/轴。 (2)核心转化策略： 1　 整体代换与方程思想：将视为整体t，将对称性条件转化为关于参数的方程。 对于，若x=m是对称轴，则。 若(m,n)是对称中心，则且b=n。 2　 数形结合与几何直观：利用“正弦函数对称轴过极值点”、“对称中心为零点”等几何特征快速验证或推理。 3　 知识融合求解：对称性条件往往只能得出一个关系式，必须结合题目中给出的周期范围、单调区间长度等其他约束条件，联立不等式组共同确定参数（尤其是ω）的具体值或取值范围。 2. 周期性条件及其转化 周期性考查正从简单的公式套用转向对概念的深度理解及综合性应用。 (1)常见条件形式： 1　 直接求周期：给定解析式求最小正周期T。 2　 利用周期求值：求f(2026)等大数函数值，需用化归。 3　 结合对称性求周期：已知双重对称性（如关于两直线对称，或关于一点一线对称），求函数的周期。 4　 根据周期性求参数范围（热点）：“函数在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零点”，求ω的取值范围。 (2)核心转化策略： a. 基础公式法：熟记的周期。 b. 整体代换与不等式建模（求参关键）：令，将原函数转化为y=sint。根据x的给定区间确定t的范围(α,β)。结合y=sint的标准图象，分析区间(α,β)的长度需要包含多少个半周期或四分之一周期才能满足“恰有n个零点/极值点”的条件，从而建立关于ω的不等式组。 c. 对称性与周期性的互推：掌握结论，例如函数关于直线和对称，则周期；关于点和直线对称，则周期。 3. 最值（范围）问题及其转化 最值问题考查将复杂目标转化为可处理模型的能力。 常见题型： (1)求在指定区间的最值。 (2)已知△ABC中角A和对边，求或周长的取值范围。 (3)求的极值。 核心转化策略： (1)化为标准型求最值：对型，利用辅助角公式化为，直接利用正弦函数的有界性。 (2)换元化为二次函数：将表达式化为关于或的二次多项式，设，转化为闭区间上二次函数的最值问题。 (3)边角互化与消元（解三角形最值）：这是解三角形求范围问题的通法。例如求b+c范围，常利用正弦定理边化角：，再结合，用和差化积公式将其化为关于角B或C的单一三角函数，利用角B的取值范围和三角函数有界性求值域。 (4)利用导数：对于结构复杂的复合函数或高次三角函数，求导是分析单调性和寻找极值的普适方法。 (5)利用基本不等式：在解三角形问题中，若采用角化边策略，将条件转化为纯边代数式，可尝试利用基本不等式求最值。 （2） 解三角形中的条件转化与模型识别 解三角形问题条件隐含于边、角、面积等元素的关系中，“边角互化”是贯穿始终的核心思想。 1. “边角等式”条件的转化 题设直接给出边或角的等式关系（如）是最基础的条件。 核心转化策略：根据等式结构，果断选择“边化角”或“角化边”。 (1)边化角：利用正弦定理，将边的关系转化为角的三角恒等式。当等式含有边的一次齐次式，或边角混合且可化为关于角的正、余弦关系时，首选此法，以便利用三角恒等变换（和差、倍角、辅助角）化简。 (2)角化边：利用正弦定理或余弦定理，将角的关系转化为边的关系。当等式是边的齐次式（特别是二次式），或目标是判断三角形形状时，常用此法，可得到清晰的代数关系进行因式分解或比较。 2. “三角形形状”判断条件的转化 要求判断三角形是锐角/直角/钝角/等腰/等边三角形。 核心转化策略：将题设条件通过“边角互化”得到只含角或只含边的关系式。 (1)定性判断：求最大角（如C）的余弦值，由符号判断为锐角，=0为直角，<0为钝角。或计算最长边（如c）的平方，与其余两边平方和比较(比较)。 (2)等量关系判断：如化简得到，则为等腰；得到则为C为直角的三角形。 3. “多三角形”综合条件的转化 条件分散在两个或更多相关三角形中（如含角平分线、四边形、高线等），是考察几何关联能力的难点。 核心转化策略： a. 从条件集中确定解的三角形入手：优先分析已知条件最多的那个三角形，求出其边、角，特别是可能作为“桥梁”的公共边或公共角。 b. 建立三角形间的联系：利用几何图形的固有关系（如公共边、公共角、互补角(∠1+∠2=π)、角平分线性质、正弦定理的面积比等），建立联系方程。 c. 在目标三角形中求解：将上一步得到的关系代入目标三角形，运用正弦定理或余弦定理完成最终求解。关键在于识别并利用好几何模型中的“桥梁”元素。 4. “存在性与个数”问题的转化 判断满足某些条件的三角形是否存在、解的个数等，常与“结构不良试题”相结合。 核心转化策略： 解的个数判断(SSA)：已知两边及一边对角，依据正弦定理求另一角的sin值，并结合已知边的大小关系、角可能的范围（锐角/钝角）进行判断，画图辅助更直观。 存在性证明：假设存在，将条件代数化（边角互化），推导出所求参数应满足的方程或不等式，再检验该解是否在三角形有效约束内（如：边长正数，内角在(0,π)，两边和大于第三边）。若存在满足所有约束的解，则存在；否则不存在。 在面对具体问题时，需牢记“目标意识”：先明确所求（是求边、求角、求范围还是证不等式），再审视条件与目标之间的路径，灵活选择正弦定理、余弦定理或面积公式，并善用整体思想（有时无需求出单个元素，求出整体乘积如bc即可）以减少运算量。 · 三、数列解答题常见条件及转化策略 承接前两章将“函数→导数”“三角→恒等变换”分别转化为核心工具的思想，数列问题的核心转化思想同样清晰——将一切陌生、复杂的数列问题，通过代数变形与结构重组，化归为等差、等比这两个基本模型。其逻辑内核与函数、三角板块一脉相承：分析条件→判断类型→选择方法→求解基本量→达成目标。本章将聚焦数列独有的条件类型与转化工具，构建清晰的问题解决路径。 （1） 起点：等差、等比数列的判定与化归 判定是转化的起点。一切复杂数列的求解，最终都指向对其“等差性”或“等比性”的识别与证明。 (1)核心判定条件与工具 a. 定义法（最根本）：证明后项与前项的差为常数或比为常数。 b. 中项法（用于三项关系）：若任意三项满足，则为等差；若满足，则为等比。证明不是等差/等比，只需找出一组三项不满足即可。 (2)常见条件化归为等差/等比 当题目不直接呈现标准等差、等比关系时，需对原始条件进行“翻译”和变形： a. 已知前n项和：立即使用关系，并务必单独验证n=1时是否成立。这是将“和”的条件转化为“项”的条件的关键一步。 真题应用（2022年新高考Ⅰ卷17题）：条件“是公差为1/3的等差数列”转化为，再结合，得到，进而通过累乘法（或构造常数列）求得通项。 b. 已知递推关系：这是高考的主流考查形式，核心是通过特定手段构造出新数列，使其为等差或等比。 构造等差数列：常通过“取倒数”“换元（如令）”等手段。 案例（2025年南宁二模19题），取倒数并变形后，可证是等差数列。 c. 构造等比数列：主要依靠“待定系数法”，解决型。 通用策略：设，解出，则成等比。 d. 函数视角的高阶转化：认识到等差、等比数列本质是特殊函数。 通项为n的一次函数↔数列为等差数列。 前n项和为常数项为零的二次函数↔数列为等差数列。 真题应用（2025年新高考Ⅱ卷7题）：解等差数列的，除了列方程组求基本量，亦可设（利用常数项为零），代入求解更快。 （2） 枢纽：递推关系的破题与通项求解 递推关系是数列的“发动机”，识别其类型并匹配相应转化策略是求解通项的关键。 递推关系类型（原型） 转化目标与核心策略 关键提示与真题链接 1.累加型 求→累加法： 要求可求和。本质是差分思想。 2.累乘型 求→累乘法 要求可求积，且。 3.“一阶线性”型 构造等比数列→待定系数法(如上述)。 最基础的构造模型，必须熟练掌握。 4.“分式线性”型 构造等差数列→取倒数法：转化为类型3。 前提。例如。 5.“项与项数纠缠”型(如含) 构造等差/常数列→重组结构。 识别并提取新整体。 真题核心（2025年新高考Ⅰ卷16题）：条件，两边同乘得，即证明是等差数列。 6.已知与的关系式 消元转化为纯递推→利用。 必须验证n=1。 真题应用（2024年全国甲卷理18题）：由，利用上述关系得到，判定为等比数列。 （3） 求和的六大技法与选择策略 求出通项或明确求和对象后，选用正确的求和方法是临门一脚。 1. 公式法：针对纯等差或等比数列，直接套用求和公式。这是所有求和的基础。 2. 错位相减法：针对“等差×等比”型数列求和，如。这是高考绝对高频考点，必须严格遵循“写→乘公比q得→错位对齐相减→整理化简”的标准化流程。 3. 裂项相消法：针对通项可拆分为两项之差的数列。关键在于识别并构造裂项公式。 1. 分式裂项（重点）：如。 1. 根式裂项：如。 1. 真题典范（2022年新高考Ⅰ卷17题）：证明，利用裂项，求和后相消得，结论显然。 4. 分组求和法：当通项可拆分为几个易于求和的部分（如等差+等比、奇偶项规律不同）时，分别求和再相加。 5. 并项求和法：针对通项含等符号交替因子的数列，将相邻两项先合并（通常消去符号），再求和。 6. 数列与导数交汇求和：近年创新热点。将数列视为多项式函数的系数，通过对函数求导，构造出新的等差比数列求和问题。  真题深层剖析（2025年新高考Ⅰ卷16题第(2)问）：已知，求。这等价于求数列的前m项和。解决它可一题多解： 错位相减法：视作等差数列与等比数列{}乘积的和。 裂项相消法：通过待定系数将通项裂项为的形式，求和时前后相消。 分组求和法：由，可将原函数拆分为两个易于处理的数列函数之和。 （4） 不等式证明的三条核心路径 数列不等式证明常作为压轴设问，综合性强，其转化路径主要有三条。 路径一：放缩法→转化为可求和形式 这是最核心、最常用的策略。通过对通项a_n进行适度放大或缩小，使其变成能用裂项、等比等公式求和的数列，从而证明或。关键在于放缩尺度的把握，常用工具包括均值不等式、二项式定理及常见函数不等式（如）。 路径二：数学归纳法→递推验证 适用于与正整数n相关的命题。流程严谨：验证n=1成立；假设n=k时成立，以此为基础，结合题目递推关系，推导证明n=k+1时也成立。当通项难以直接求出或处理时，此法是利器。 路径三：构造函数法→利用函数性质 当不等式涉及参数或可视为某个函数的离散取值时，将其转化为连续函数问题。通过研究该函数的单调性、极值、凹凸性等性质，证明对任意自然数n成立。  真题应用（2025年新高考Ⅰ卷8题-比较大小背景）：由比较与。可构造函数，利用导数研究其单调性，通过比较的大小关系得证。 综上所述，数列解答题的转化艺术，在于始终围绕“化归为等差、等比”这一中心思想，熟练运用累加、累乘、待定系数、取倒数等手段处理递推关系，精准匹配错位相减、裂项相消等求和方法，并灵活调用放缩、归纳、函数等工具进行综合论证。这一思维链条，正是对前两章建立的“分析条件→选择工具→转化解决”范式的又一次完美演绎。 · 四、立体几何与空间向量解答题常见条件及转化策略 立体几何与空间向量板块将这一思想在三维空间中推向深入。其解答题通常呈现“一问证明，一问计算”的经典结构：第一问旨在铺路，通过证明关键位置关系（如线面垂直、平行）为第二问的度量计算（角、距离、体积）或综合探究建立几何基础或坐标系依据。本板块的解题，本质是在“几何直观”与“代数运算”两条路径间做出智慧选择，并熟练进行双向转化。 （1） 空间位置关系证明：条件识别与转化链条 位置关系证明是立体几何的基石，主要围绕平行与垂直两大核心。题目条件常以显性给予（如“PA⊥底面ABCD”）或隐藏暗示（如出现“中点”、“菱形对角线”）的方式出现，解题关键在于将其转化为可证的基本关系。 1. 平行关系证明的转化策略 1. 常见条件类型：🔍题目中给出中点（引导构造中位线）、线段比例、平行四边形/棱柱（对边平行）等。 1. 核心转化路径： a. 线面平行：通常转化为证明该线平行于平面内的一条直线（线线平行→线面平行），或证明该线所在平面与已知平面平行（面面平行→线面平行）。 b. 面面平行：转化为证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。 方法选择与转化： a. 综合几何法：关键在于添加辅助线，在平面内构造出平行的线线关系。例如，通过连接中点得中位线，或构造平行四边形。 b. 空间向量法：将平行关系完全代数化。 1. 线线平行⇒证方向向量共线（a=λb）。 1. 线面平行⇒首选证直线的方向向量与平面的法向量垂直（u·n=0）；次选证方向向量可用平面内两不共线向量线性表示。 1. 面面平行⇒证两平面的法向量共线。 2. 垂直关系证明的转化策略 常见条件类型：🧭显性垂直（如“侧棱垂直底面”）、隐藏垂直（如等腰三角形底边中线、矩形邻边、直径所对圆周角）。 核心转化路径（递进链条）：线线垂直←→线面垂直←→面面垂直。其中，线线垂直是整个链条的基石。 方法选择与转化： 综合几何法：遵循上述链条。证明线面垂直，必须验证该直线垂直于平面内两条相交直线。证明面面垂直，需转化为证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面。 空间向量法：将垂直关系转化为向量数量积为零。 线线垂直⇒证方向向量。 线面垂直⇒证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量都垂直（），或证与平面的法向量平行。 面面垂直⇒证两平面的法向量。 第一问的核心价值：无论是几何法还是向量法，第一问证明所得的垂直关系，往往直接服务于第二问。它为几何法提供了作辅助线（如垂线、平面角）的依据，为向量法提供了建立空间直角坐标系所必需的“三条两两垂直的直线”这一关键条件。 （2） 空间度量与综合问题计算：从条件到公式的化归 第二问聚焦计算，条件错综复杂，需通过系统转化降维求解。 1. 空间角与空间距离问题 1. 终极转化目标：无论题目如何表述，最终都需转化为求特定向量的夹角或点到平面的距离。 1. 向量法标准化流程（“通性通法”）： a. 建系：利用第一问证明的垂直关系，建立合理空间直角坐标系。 b. 求坐标：准确写出关键点（特别是动点）坐标。 c. 求法向量：设平面法向量，利用与平面内两不共线向量垂直列方程组求解。 d. 代公式： 1. 线线角余弦 1. 线面角正弦： 1. 二面角的余弦：（需结合图形判断锐钝） 1. 点到面距离：异面直线距离、线面距离等常转化为此公式。  综合几何法转化精髓：空间问题平面化。通过作辅助线（射影、棱的垂面等），将空间角（线面角、二面角）转化为一个平面三角形中的角，再利用解三角形知识求解。距离问题（特别是点面距）常转化为用等体积法计算。 2. 几何体的体积与表面积问题 核心转化思想：不规则图形规则化。 规则几何体：直接应用公式。 不规则几何体（组合/切割体）： 割补法：将复杂体分割成几个规则体（柱、锥）求和，或将其补全为一个规则体再减去多余部分。 等体积法（求高或距离的神器）：变换三棱锥的顶点和底面，利用体积不变来求高h（即距离）。例如，求点P到平面ABC的距离，可转化为求以P为顶点、△ABC为底面的三棱锥的高。 与外接球/内切球相关：通过截面将空间问题平面化，转化为平面几何中多边形的外接圆/内切圆问题，利用直角三角形求解球半径。 3. 动态、翻折与探索性问题 1. 近年高考热点：如“将平面图形沿某线翻折形成立体图形”、“确定动点位置使某个量（角、距离、体积）最值”。 1. 转化关键策略： 识别不变量：翻折问题中，长度、角度、平行关系在翻折前后保持不变，这是联系平面与空间图形的桥梁。 “平面化”先行分析：先独立分析翻折前的平面图形，标记关键点线，有时甚至先在平面图形中建立坐标系。 函数与方程思想：引入变量表示动点，将目标量（体积、距离）表示为该变量的函数，从而将几何最值问题转化为函数求最值问题，或通过方程解的存在性来探索点的位置。 总结：思想统领，双法兼修 立体几何解答题的转化策略，始终贯穿两大根本思想：空间问题平面化（综合法）与几何关系向量化（坐标法）。 1. 条件反射：看到“中点”想中位线和平行；看到“等腰”想三线合一和垂直；看到“共球”想球心到各点距离相等。 1. 流程规范：向量法虽程序性强，但必须先证后建系，先求坐标再运算，步骤严谨。几何法需逻辑清晰，“作、证、算”环环相扣。 1. 灵活选择：若图形结构清晰、垂直关系明显且易于作图，可优先考虑综合法，计算可能更简捷。若图形便于建系且坐标易求，或涉及复杂动态计算，向量法往往是更稳妥的选择。 最终，解题能力体现在能否像一位指挥官，根据题目给出的“地形”（几何条件），灵活调度“几何直观”与“代数运算”两支军队，通过精准的转化，攻克空间城堡。 · 五、解析几何解答题常见条件及转化策略 解析几何解答题的核心，在于将纷繁复杂的几何情境，系统、准确地翻译为可操作的代数语言，并通过严谨的代数运算进行推理和求解。其通用策略高度统一，遵循“几何条件代数化”的根本思想，执行“设参(点/线)→联立方程→判别验证→韦达定理→翻译条件→目标化简”的标准化流程。 1、 核心思想与标准解题流程 面对圆锥曲线综合题，无论背景如何变化，解题的骨架是稳定的： 1. 翻译与建模：识别并翻译几何条件。这是解题的起点，要求准确理解题目中“垂直”、“中点”、“弦长”、“角度”、“相切”等几何描述的代数对应。 2. 选择与执行路径：执行标准化代数流程。 设：根据动因，设出动点坐标、动直线方程（如）或引入参数（如椭圆的离心角θ）。 联：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到关于x（或y）的一元二次方程。 Δ：验证相交条件。若题目隐含直线与曲线交于两点，则必须保证判别式Δ>0；若为相切，则Δ=0（注意双曲线、抛物线的特殊情况）。此步骤是使用韦达定理的前提，也常是求参数范围的依据。 韦达：应用韦达定理，得到交点横（或纵）坐标的和与积：。这是实现“设而不求”、进行整体代换的桥梁。 译：将第1步识别的几何条件，用坐标和斜率语言进行代数翻译。 化：将翻译后的代数式，代入韦达定理的结果，进行化简、求解或证明，最终达成题目目标。 此流程是将动态、定性的几何问题，转化为静态、定量的代数问题的通用范式。 2、 常见几何条件的代数化方法 1. 点与曲线的基本关系 1. 条件：“点P在椭圆/双曲线/抛物线上”。 1. 转化：直接将点坐标代入曲线标准方程。这是所有运算的基石，用于消元或建立初始关系。 2. 距离与定义应用 1. 条件（椭圆）：“”（第一定义），常用于焦点三角形问题，结合余弦定理求边长、角度、面积或离心率。 1. 条件（双曲线）：“”，同理。 1. 条件（抛物线）：“|PF|=d(点P到准线l的距离)”。这是抛物线的核心工具，常将到焦点距离问题转化为到准线距离问题，用于求最值（如|PA|+|PF|的最小值）。 1. 转化：优先考虑使用焦半径公式（椭圆：；抛物线：(右开口)）简化计算，避免直接使用两点距离公式。 3. 弦与中点问题 1. 条件：“求弦AB的长”或“已知弦AB的中点M”。 弦长：使用弦长公式，结合韦达定理实现“设而不求”。 中点弦（点差法）：对于中点，利用点差法可直接建立弦斜率与M坐标的关系（椭圆：；双曲线：。 关键提示：使用点差法求出直线方程后，必须验证判别式Δ>0，以确保弦真实存在。 4. 垂直与平行关系 1. 垂直“PA⊥PB”：斜率形式：（需分别讨论斜率是否存在）。 1. 向量形式（更普适）：⇒。通常结合韦达定理，并利用直线方程将y₁y₂用x₁x₂,x₁+x₂表示。 1. 平行（或向量共线）“MN∥OP”:斜率相等，或向量共线。 5. 角度关系 1. 条件：“”或“”。 1. 转化为对应直线的斜率关系，利用到角公式：。 1. 一般情况，利用向量夹角公式：。 6. 面积问题 条件：求或证明等的面积（最值或定值）。 常用公式：S=1/2×底×高。常以弦长|AB|为底，某定点（如原点、焦点）到直线AB的距离为高。 坐标公式：。 焦点三角形面积公式（二级结论）：椭圆中；双曲线中（θ为∠F₁PF₂）。 策略：将面积表示为某参数（如斜率k）的函数，转化为函数最值问题。 7. 比例与共线关系 条件：“|AF|=λ|FB|”或“A,M,B三点共线”。 转化：利用向量共线+定比分点坐标公式。设向量=λ向量，可得到等坐标关系。这是产生“非对称韦达结构”的常见源头，需掌握“和积配凑”等整体处理技巧。 3、 三类核心问题的转化策略 高考压轴题往往围绕以下三类问题展开，其转化策略有更明确的导向。 1. 定点与定值问题 1. 目标形态：证明动直线过定点，或某表达式（如斜率积、向量积、面积）为定值。 1. 核心策略：严格遵循上述标准流程，将条件代数化后，目标是证明最终结果与所设动态参数（如斜率k）无关。 定点问题：将含参的直线方程（如，其中）整理成关于参数k的恒等式，令解出定点。 定值问题：将目标式用坐标表示，通过联立、韦达、代入，化简消去所有参数，得到常数。 重要技巧——先猜后证：通过取参数的特殊值（如），先猜测定点坐标或定值，再进行一般性证明，可指引化简方向。 2. 最值与范围问题 1. 目标形态：求长度、面积、斜率、距离等的最大值、最小值或取值范围。 1. 核心策略：函数思想。 a. 构建目标函数：将所求几何量表示为单一变量（如斜率k、截距m、参数角θ）的函数F(k)。 b. 确定定义域（关键）：根据动点/线的存在性，找出变量的限制条件。最常见的是联立后的Δ≥0，以及曲线本身的有界性（如椭圆中。 c. 求函数值域：在定义域内，利用二次函数性质、基本不等式、导数或三角函数有界性等方法求F(k)的值域。 优化技巧： 1. 参数方程法：对于椭圆上动点P，设，将问题转化为关于θ的三角函数最值问题。 1. 几何意义法：利用定义（如抛物线定义化折为直）、切线性质等几何直观简化求解。 3. 存在性与轨迹问题 目标形态：“是否存在点P满足...条件？”或“求动点P的轨迹方程”。 存在性：假设存在，将条件代数化并求解。若推导出的方程有解，则存在，并求出具体对象；若无解，则不存在。结论必须明确。 轨迹方程： 1. 直接法：设动点，根据几何条件直接列出等式并化简。 1. 相关点法（代入法）：找到P与另一已知轨迹动点Q的关系，用表示Q坐标，代入Q的方程。 1. 参数法：引入中间参数t，得，再消参。 注意：求轨迹方程后，需考虑“纯粹性”与“完备性”，检查是否需剔除不满足条件的点。 4、 常用工具与二级结论 熟练运用以下工具和结论，能显著提升解题效率。 弦长公式：。 点差法斜率关系：椭圆；双曲线。 抛物线常见结论： 设为抛物线上两点。 若AB过焦点，则，焦点弦长（θ为倾斜角）。 以焦点弦AB为直径的圆与准线相切。 设线技巧：过定点(m,n)的直线，可设为（需讨论k不存在），或设为（需讨论t不存在）。后者在处理横截式问题时，有时能简化讨论。 总之，攻克解析几何解答题，关键在于准确翻译几何语言为代数方程，并通过标准化、程式化的代数流程进行严谨求解。掌握上述条件分类与转化策略，便掌握了将复杂几何问题“庖丁解牛”的利器。 · 六、概率统计解答题常见条件及转化策略 概率统计解答题的独特挑战在于，其条件通常以复杂的自然语言事件描述和统计图表数据呈现，核心任务是将它们识别并转化为可计算的概率模型与清晰的数学语言。其内核思想与函数、数列等板块一脉相承：将模糊的、操作性弱的事件语言，通过“识别模型→选择公式→化归计算→得出结论”的流程，转化为确定的、可操作的数学对象与运算。 （1） 从自然语言到概率语言：事件关系的转化 解答题文本中充满了对事件关系的描述，准确翻译是解题第一步。 1. “至少”“至多”“恰有”事件的转化 这是最经典的条件转化。策略核心是利用对立事件或分解为互斥事件和。 1. “至少一个发生”：其对立事件是“一个都不发生”。即P(至少一个)=1-P(都不发生)。这在独立重复试验（二项分布）中尤为高效。 1. “至多一个发生”：可分解为“一个都不发生”与“恰好发生一个”两个互斥事件的和。 1. “恰好发生k个”：在古典概型中需用计数工具精确计算满足条件的基本事件数；在n次独立重复试验中，直接对应二项分布概率公式。 2. 条件概率与全概率公式的识别与转化 当事件的发生有“前提”或“分阶段”时，需考虑条件概率。 典型场景识别： 疾病与特征关联：如“在卫生习惯不够良好的条件下，患病的概率”即P(患病|卫生习惯差)。 诊断测试：如“检测呈阳性的条件下，真实患病的概率”是典型的贝叶斯公式应用。 多步随机过程：如比赛胜负、依次抽球，后续步骤概率依赖于之前结果，常需用全概率公式或建立递推关系（马尔可夫链）求解。 转化方法： 定义法：直接套用。关键在于准确找出事件A和积事件AB的概率。 缩小样本空间法：在事件A发生的条件下，直接计算B在新样本空间A中的比例（适用于古典概型）。 全概率公式：当事件B可由多种“原因”导致时，。转化的关键是找到一个完备且两两互斥的事件组作为划分。 贝叶斯公式（执果索因）：已知结果B，反推原因的概率：，其中P(B)常通过全概率公式求得。 3. 独立性、互斥性的判断与应用 1. 独立性：关键词如“各次…相互独立”、“互不影响”。若A、B独立，则，此性质可极大简化涉及积事件的概率计算。在n次独立重复试验中，它是二项分布成立的前提。 1. 互斥性：关键词如“不能同时发生”。若A、B互斥，则。需严格区分独立与互斥：若P(A)>0,P(B)>0，则互斥事件一定不独立。 （2） 识别核心概率模型：从条件到分布 迅速识别题目背景对应的概率模型，能直接链接到成熟的工具公式，是高效转化的关键。 模型名称 核心识别条件（关键词） 转化思路与公式 高考真题举例与要点 古典概型 1.有限性：基本事件总数有限。 2.等可能性：“随机”、“任取”、“等可能”。 核心公式： 转化工具：排列、组合、枚举、树状图进行不重不漏的计数。 2022年浙江卷15题：涉及抽取数字，利用组合数计算基本事件总数。必须验证等可能性。 二项分布 1.n次独立重复试验。 2.每次试验只有两种可能结果（成功/失败）。 3.每次成功概率p相同。 关键词：“有放回”、“各次独立”、“每次命中率相同”。 直接应用分布列公式： 期望与方差可直接套用： 飞碟射击、猜歌名等“独立重复”问题。识别后无需先求分布列，可直接用期望公式快速求解比较问题。 超几何分布 1.总体N个元素中含M个“次品”。 2.不放回地抽取n个。 3.X表示抽到的“次品”数。关键词：“不放回任取”、“从中抽取”。 直接应用分布列公式： 期望公式： 产品抽检、学生选代表等“不放回”抽样。如四省联考鱼塘问题，直接用估算期望，简化过程。 正态分布 明确声明或背景（身高、成绩、误差）暗示连续变量服从正态分布。 核心转化思想：标准化。 令，将求转化为求，再利用标准正态分布表或3原则。 2024新课标Ⅰ卷亩收入问题：给定，需标准化为后求解。数形结合画钟形曲线辅助分析。 （3） 构建随机变量：从事件到数字特征 当问题涉及“得分”、“利润”、“个数”等量化指标时，需构造随机变量，并求其分布列、期望与方差。 1. 分布列构建策略 1. 步骤一（定取值）：明确随机变量X的所有可能取值。 1. 步骤二（算概率）：此步为核心，利用前述的古典概型、二项分布等模型计算每个。 1. 步骤三（列表格）：列表呈现，并验证。这是检验计算正确性的重要环节。 2. 期望与方差的计算技巧 期望E(X)：定义法：（基础方法）。 性质法（简化关键）： 线性性：。 可加性：若，且每个易求，则。例如，可将一个复杂变量分解为多个两点分布变量之和来简化计算。 公式法：若识别出二项、超几何等模型，直接套用其期望公式。 方差D(X)： 实用计算公式：。此方法常比定义法更简便，先计算是关键。 性质：。 3. 决策转化 求期望与方差的最终目的常是决策。转化逻辑为： 1. 将不同方案转化为不同的随机变量X与Y。 2. 分别计算E(X)与E(Y)（有时需比较D(X)与D(Y)分析稳定性）。 3. 结论：选择期望收益最大（或风险更小）的方案。 例如：2021年新高考Ⅰ卷第18题，比较先回答哪类问题能使累计得分期望最大，即为典型决策问题。 （4） 处理统计案例：从数据到推断 这类问题条件常以统计图表（列联表、频率分布直方图、散点图）形式给出，需从数据中提取信息进行推断。 常见题型 条件呈现形式 转化策略与步骤 规范表达要点 独立性检验 2×2列联表，或给出数据需自建列联表。 1.列联表：整理数据。 2.计算：套公式。 3.对照临界值：与给定的比较。 4.下结论。 结论必须表述为：“有的把握认为X与Y有关（或无关）”。 一元线性回归 成对样本数据，或散点图。 1.判断相关性：通过散点图或计算样本相关系数r。 2.求回归方程：用最小二乘法公式求。 3.预测或解释。 方程必须明确是“经验回归方程”。预测时注明是在条件下的估计值。 用样本估计总体 频率分布表/直方图。 1.估算总体数字特征：用频率直方图中各组的组中值估算样本均值、中位数等。 2.用频率估计概率：P(A)≈事件A发生的频率。 需在过程中写明“用频率估计概率”这一前提。这是后续进行概率计算的基石。 （5） 标准化解题流程总结 面对一道概率统计解答题，可遵循以下四步流程完成从条件到结论的转化： 1. 审题与模型识别：首先判断是纯概率问题还是统计案例问题。 1. 若是概率问题，仔细分析事件描述，识别其属于古典概型、二项分布、超几何分布、正态分布中的哪一种，或是否为条件概率/全概率问题。 1. 若是统计问题，识别是独立性检验、回归分析还是用样本估计概率。 2. 条件转化与工具选择： 将文字事件转化为数学符号（设出事件A、B或随机变量X）。 根据识别出的模型，选择对应的公式、计数原理或检验步骤。 将“至少”、“至多”等语言转化为对立事件或互斥事件和。 3. 计算与推导： 1. 严格按照公式计算概率、分布列、期望、方差或统计量K²、r。 1. 涉及多问时，注意前后问的递进关系（如第一问求概率，该概率即为第二问分布列中的参数）。 4. 规范表述与结论：分布列用表格呈现；概率结果保留适当小数或分数；统计推断结论按规定格式书写；决策类问题给出明确选择建议。 贯穿始终的，是对等可能性、独立性、不放回等基础条件的敏锐察觉，以及对概率总和为1、参数范围合法等隐含“定义域”的验证意识。这与其他板块中对定义域、判别式的优先关注，在思维逻辑上完全同构。 排雷・易错点清零 排雷01 易错易混知识（40题） 1、 概率与统计 1. 题目只说“随机抽取3件”，未明确是否放回时，通常默认的抽样方式是______。 2. 若事件A与B的概率均大于0，则事件A与B“相互独立”和“互斥”______（填“能”或“不能”）同时成立。 3. 条件概率公式。 4. 有放回抽样对应的概率模型通常是______分布，而不放回抽样对应的是______分布。 5. 求解“至少有一个”这类问题的概率时，常用的间接法是计算______。 6. 从5人中选出3人分别担任不同职务，这是一个______（填“排列”或“组合”）问题。 7. 完成一件事，需要“先…再…”，各步方法数相乘，这运用的是______原理。 8. 在正态分布中，参数σ决定的是曲线的______。 2、 函数与导数（8题） 9. 讨论函数性质（如单调性、奇偶性）时，必须首先考虑______。 10. 判断函数奇偶性的前提条件是：函数的______关于原点对称。 11. 可导函数在区间上单调递增的充分不必要条件是______。 12. 对于可导函数，是为极值点的______条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）。 13. 命题“恒成立”等价于______≥。 14. 求“过”的曲线的切线时，点P______（填“一定”或“不一定”）是切点。 15. 若函数满足，则的图象关于直线______对称。 16. 复合函数求导法则：=______。 3、 三角函数与解三角形 17. 使用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”时，“符号”是指将α视为锐角时，______在对应象限的符号。 18. 函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为______。 19. 已知三角形的两边及其夹角，求第三边，应优先使用______定理。 20. 已知三角形的两边及其中一边的对角（如），利用正弦定理解三角形时，解的情况可能有______种。 21. 求函数的值域时，不能直接答，因为受到了______的限制。 22. 公式属于______公式。 4、 数列 23. 利用关系式求通项公式后，必须单独验证______时是否成立。 24. 使用等比数列前项和公式时，必须满足的条件是______。 25. 题目：在等比数列中，若，则的值为______。 26. 用裂项相消法求和时，为避免错误，应写出裂项后的______进行观察抵消规律。 5、 立体几何 27. 用空间向量法解题，建立空间直角坐标系前，通常需要说明或证明三条坐标轴______。 28. 设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角θ的正弦值sinθ=______。 29. 求解多面体外接球问题的关键步骤是寻找球心，球心通常位于过某截面外心且与该截面______的直线上。 30. 证明直线l⊥平面α时，需要两个条件：①______；②______。 31. 在斜二测画法中，平行于y轴的线段长度，在直观图中变为原长的______倍。 6、 解析几何（5题） 32. 设直线方程时，若使用点斜式，必须额外考虑______的情况。 33. 双曲线的定义中，到两定点的距离之差的绝对值等于常数，若忽略“绝对值”，则求出的轨迹会______。 34. 解析几何中“设而不求”的核心技巧是，将关于的对称式整体用______的结果代入。 35. 若直线斜率为k，与圆锥曲线相交于，则弦长=______。 36. 椭圆离心率e的取值范围是______，双曲线离心率e的取值范围是______。 7、 其他（4题） 37. 已知集合A⊆B，求解参数范围时，必须首先考虑______的情形。 38. 复数为纯虚数的充要条件是______。 39. 使用基本不等式求最值时，必须验证的三个条件是：一正、二定、______。 40. 若条件A成立能推出条件B成立，则称A是B的______条件。 排雷02 审题解题方法（20题） 1、 审题环节（8题） 1. 求解函数性质、不等式等问题时，必须首先确定的变量的______。 2. 看到“在…条件下”的概率问题，应立刻意识到这是______概率，其公式为。 3. 题目中“存在x使得成立”，这类“能成立”问题等价于求函数的______与a比较。 4. 设直线方程时，若使用点斜式或斜截式，必须额外考虑______的情况。 5. 求“过点P”的曲线切线时，点P______（填“一定”或“不一定”）是切点。 6. 判断概率模型时，应紧盯“有放回”对应______分布，“不放回”对应______分布。 7. 求解“至少有一个”这类问题的概率时，应优先考虑的优化策略是______法。 8. 在集合问题中，遇到条件A⊆B求解参数时，必须首先考虑______的情形。 2、 解题方法选择（7题） 9. 利用前n项和求通项，得到后，必须单独验证______时是否成立。 10. 使用等比数列求和公式前，必须检查的条件是______。 11. 使用空间向量坐标法解题，建立空间直角坐标系前，通常需要说明或证明三条坐标轴______。 12. 解析几何中，处理直线与圆锥曲线相交问题的核心技巧是______（四个字），即利用韦达定理整体代入。 13. 对于可导函数，求导后令导数为零得到驻点，______（填“能”或“不能”）直接断定该点就是极值点。 14. 使用基本不等式求最值，求出结果后，必须验证“一正、二定、三相等”中的______条件能否取到。 15. 求三角函数在给定区间上的值域时，不能直接套用，因为受到了______的限制。 3、 过程与规范（5题） 16. 当参数取值不同导致结果不同时，必须进行______的分类讨论。 17. 在高考解答题中，图形可以辅助分析，但______（填“能”或“不能”）替代严格的代数推演和证明。 18. 解答题书写时，应避免从条件直接“跳”到结论，每一步都要有依据，防止______断裂。 19. 解答应用题时，计算结果必须带上正确的______。 20. 解题结束后，要回归原问题。例如，求“取值范围”应写成______或区间形式。 排雷03 计算失误高频点填空题（15题） 这些题目聚焦于导致“会而不对”的核心计算失误点，旨在检验你是否已建立稳定的计算程序和严谨的检验习惯。 1、 代数与函数运算 1. 解分式方程去分母时，常见的失误是只乘了含未知数的项，而漏乘______。 2. 提取负的公因式时，提出后，括号内各项的符号必须______。 3. 对数运算中，常见的错误公式是误认为，而正确的乘法法则是。 4. 解三角方程sinα=1/2，若已知α∈(0,π)，则在写出通解后，必须根据______来舍去不符合范围的解。 5. 求复合函数的导数时，最常见的失误是得到，漏乘了内层函数的导数，即______。 2、 解析与立体几何运算（5题） 6. 使用弦长公式时，易错点之一是忘记应等于，漏掉了______。 7. 对于一元二次方程，使用韦达定理时，必须牢记=______，=______。 8. 求空间平面的法向量时，若设解方程组遇到困难，应灵活尝试令______或______为1。 9. 利用圆心到直线距离等于半径建立方程时，由距离公式必须转化为______个方程，以避免因绝对值丢失而漏解。 10. 由两直线垂直求参数时，必须首先单独验证其中一条直线______的情况是否满足题意。 3、 概率、数列及其他（5题） 11. 排列组合问题中，判断用排列数A还是组合数C的根本依据是：是否______。 12. 用错位相减法求数列和时，为了确保相减正确，书写时应将和的展开式按______从高到低对齐排列。 13. 计算复杂统计量（如卡方χ²）时，为避免运算错误，应采取的策略是______计算。 14. 复数运算中，遇到i²应______替换为-1以简化表达式。 15. 通过不等式求出参数范围后，必须单独将______代回原题条件进行检验，以确定其取舍。 总结：这15个计算失误点，覆盖了从基础运算到综合应用的主要环节。它们看似“低级”，却是大量考生失分的共同原因。在最后的复习中，请不仅记住答案，更要理解每个失误背后的运算逻辑漏洞，并在每次练习中刻意运用正确的程序进行规避。稳定的计算能力，是数学高分最坚实的基础。 冲刺・终极预测练 2026年高考数学考前冲刺卷 确认过眼神，这就是你想要做的题！ 一、单选题（人生就是不断选择的过程，积累足够的知识，做对下一道选择题，踏准无悔的人生征途！） 1．（复数点亮坐标象限，找准方向就能锁定人生位置！） 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（集合有相逢，人生有际遇，所有努力，终会与好运相遇！） 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（三角化繁为简，人生破局而出，熬过所有计算，终得圆满答案！） 已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． $