第2节 单调性与最大(小)值(一)讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，涵盖单调区间判断、单调性比较大小、最值求解等内容，按双基自测、核心梳理、考点突破、限时训练的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出定义法与导数法结合的教学策略，如复合函数单调性“同增异减”原则的应用，培养学生数学思维与逻辑分析能力。设置双基自测、变式训练、限时训练分层练习，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力指导。

第二章函数 第2节　单调性与最大(小)值(一) 【考向预测】 近三年高考数学函数单调性与最值属于全程高频核心考点，小题直接考查单调区间判断、单调性比较大小、基本初等函数最值求解，大题广泛渗透在导数综合、不等式恒成立、解析几何、实际最值应用中，常结合图像、定义法、导数法判定单调性，高频涉及复合函数单调性、分段函数单调区间、闭区间最值与参数范围问题。预测 2027 年仍保持必考地位，小题侧重单调性判定、利用单调性比大小、常规函数最值求解，大题以导数为工具研究单调性、极值最值、含参单调区间分类讨论为主，强化数形结合、转化划归与分类讨论思想，重点考查单调性综合应用、最值建模及含参问题逻辑分析与运算求解能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).(　　) (4)对于函数f(x),x∈I,若对任意x1,x2∈I,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间I上是增函数.(　　) 2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是　　　　.  3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)＝(x∈[－2,－1]),则f(x)的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  4.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数,且f(a＋1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有 f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有 f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). (2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. 2.函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　确定函数的单调性(区间) 角度1　判断函数的单调性 例1 (1)下列函数在R上为增函数的是(　　) A.y＝x2 B.y＝x C.y＝－ D.y＝ (2)(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减 B.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1] C.函数f(x)＝的单调递增区间为[1,＋∞) D.函数y＝2x＋2cos x在(0,＋∞)上是增函数 角度2　利用定义证明函数的单调性 例2 已知函数f(x)＝,x∈(－2,2),判断函数f(x)的单调性,并证明. 【名师点拨】1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法. 3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 【变式训练】1 (1)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(　　) A.f(x)＝x|x| B.f(x)＝－x C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝x3－x2＋2x (2)函数y＝的单调递减区间是　　　　.  (3)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 考点二　已知单调性求参数的取值范围 例3 (2026·唐山调研)已知a>0,且a≠1,函数f(x)＝ 在R上单调,则a的取值范围是(　　) A.(1,＋∞) B. C. D. 【名师点拨】利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【变式训练】2 (2026·南通模拟)已知函数f(x)＝在区间(－1,＋∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(0,＋∞) B.[0,＋∞) C.(0,1] D.[1,＋∞) 复合函数的单调性 1.复合函数单调性判定原则:同增异减. 2.设复合函数y＝f[g(x)],A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间,B是u＝g(x)的值域. (1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,y＝f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数; (2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,而y＝f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数. 一、求复合函数的单调区间 例1 已知函数f(x)＝x2－2x－3,g(x)＝f(5－x2),试求g(x)的单调区间. 二、由复合函数的单调性求参数 例2 设f(x)＝x2＋1,g(x)＝f(f(x)),F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【变式训练】 (1)已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y＝－f(x)在R上是减函数 B.y＝在R上是减函数 C.y＝[f(x)]2在R上是增函数 D.y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 (2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2－2x)在(1,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.  【限时训练】 （30分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.下列函数在(0,＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝3－x B.f(x)＝0.5x C.f(x)＝x|x| D.f(x)＝x＋ 2.函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C.[1,＋∞) D.∪[1,＋∞) 3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(2,6) B.(－∞,2]∪[6,＋∞) C.(4,12) D.(－∞,4]∪[12,＋∞) 4.设a∈R,则“a≥1”是“函数f(x)＝在(1,＋∞)上单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>－1,则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 6.(2026·苏州质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x,则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(－∞,－10]和[0,1] B.(－∞,－5]和[0,1] C.[－10,0]和[1,＋∞) D.[－5,0]和[1,＋∞) 7.(2026·天水调研)已知函数f(x)＝在(m,m＋1)上单调递增,则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞,－2]∪[1,＋∞) B.[－2,1] C.(－∞,－1]∪[2,＋∞) D.[－1,2] 二、多选题 8.(2026·湖州段考)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有>0”的是(　　) A.f(x)＝21－x B.f(x)＝－ C.f(x)＝ D.f(x)＝ln x＋ex 9.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　) A.g(x)＋f(x)是增函数 B.f(x)－g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 三、填空题 10.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  11.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　.  12.(2024·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.给定函数f(x)＝,g(x)＝－x2＋4x＋1,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)},试判断M(x)在区间(－∞,a]上的单调性. 14.定义在(0,＋∞)上的函数f(x)对于任意的x,y∈(0,＋∞),总有f(x)＋f(y)＝f(xy),当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)判断函数在(0,＋∞)上的单调性,并证明. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章函数 第2节　单调性与最大(小)值(一) 【考向预测】 近三年高考数学函数单调性与最值属于全程高频核心考点，小题直接考查单调区间判断、单调性比较大小、基本初等函数最值求解，大题广泛渗透在导数综合、不等式恒成立、解析几何、实际最值应用中，常结合图像、定义法、导数法判定单调性，高频涉及复合函数单调性、分段函数单调区间、闭区间最值与参数范围问题。预测 2027 年仍保持必考地位，小题侧重单调性判定、利用单调性比大小、常规函数最值求解，大题以导数为工具研究单调性、极值最值、含参单调区间分类讨论为主，强化数形结合、转化划归与分类讨论思想，重点考查单调性综合应用、最值建模及含参问题逻辑分析与运算求解能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).(　　) (4)对于函数f(x),x∈I,若对任意x1,x2∈I,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间I上是增函数.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)错误,应对任意的x1<x2, 都有f(x1)<f(x2)成立才可以. (2)错误,反例:f(x)＝x在[1,＋∞)上为增函数,但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞,＋∞). (3)错误,此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞). 2.(人教A必修一P86T7改编)函数f(x)＝x2－1的单调递增区间是　　　　.  【答案】[0,＋∞) 【解析】函数f(x)＝x2－1是开口向上的二次函数,对称轴为x＝0,因此单调递增区间为[0,＋∞). 3.(人教B必修一P140T2(1)改编)函数f(x)＝(x∈[－2,－1]),则f(x)的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  【答案】1　4 【解析】由于f(x)＝在[－2,－1]上单调递增, 故f(x)的最大值为f(－1)＝4, 最小值为f(－2)＝1. 4.(苏教必修一P122T4改编)函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数,且f(a＋1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[－1,1) 【解析】由条件知解得－1≤a<1. 【核心梳理●明考点】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有 f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有 f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). (2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. 2.函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　确定函数的单调性(区间) 角度1　判断函数的单调性 例1 (1)下列函数在R上为增函数的是(　　) A.y＝x2 B.y＝x C.y＝－ D.y＝ (2)(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减 B.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1] C.函数f(x)＝的单调递增区间为[1,＋∞) D.函数y＝2x＋2cos x在(0,＋∞)上是增函数 【答案】(1)B　(2)ABD 【解析】(1)y＝x2在(－∞,0]上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,故A错误; y＝x在R上为增函数,故B正确; y＝－在[0,＋∞)上单调递减,故C错误; y＝在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递减,故D错误. (2)在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－都单调递减, 所以y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减,故A正确; 作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示, 由图象可知,函数y＝ 2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故B正确; 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故C错误;因为y'＝2－2sin x≥0, 所以y＝2x＋2cos x在(0,＋∞)上单调递增,故D正确. 角度2　利用定义证明函数的单调性 例2 已知函数f(x)＝,x∈(－2,2),判断函数f(x)的单调性,并证明. 【解析】函数f(x)＝在区间(－2,2)上单调递增.证明如下: 任取－2<x1<x2<2,f(x1)－f(x2) ＝ ＝ ＝, 由于4＋x1x2>0,x1－x2<0, 4－>0,4－>0, 所以f(x1)－f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(－2,2)上单调递增. 【名师点拨】1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法. 3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”. 【变式训练】1 (1)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(　　) A.f(x)＝x|x| B.f(x)＝－x C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝x3－x2＋2x (2)函数y＝的单调递减区间是　　　　.  【答案】(1)B　(2)(－∞,－6] 【解析】(1)对任意x1,x2∈(0,＋∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2), 则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减. f(x)＝x|x|＝ 作出f(x)的图象(图略)可知, f(x)为R上的增函数,故A错误; y＝与y＝－x在(0,＋∞)上单调递减, 所以f(x)＝－x在(0,＋∞)上单调递减, 故B正确; f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误; f(x)＝x3－x2＋2x, 则f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0, 所以f(x)在R上单调递增,故D错误. (2)由题意,要使函数y＝有意义,需满足x2＋2x－24≥0,解得x≤－6或x≥4, 又由t＝x2＋2x－24在(－∞,－6]上单调递减,在[4,＋∞)上单调递增, 结合复合函数的单调性的判定方法, 可得函数y＝的单调递减区间是(－∞,－6]. (3)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 【解析】法一　设－1<x1<x2<1, f(x)＝a＝a, 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝, 由于－1<x1<x2<1, 所以x2－x1>0,x1－1<0,x2－1<0, 故当a>0时,f(x1)－f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)－f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 法二　f'(x)＝ ＝＝－. 当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减; 当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 考点二　已知单调性求参数的取值范围 例3 (2026·唐山调研)已知a>0,且a≠1,函数f(x)＝ 在R上单调,则a的取值范围是(　　) A.(1,＋∞) B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数f(x)在R上单调,由函数解析式可得函数f(x)在R上单调递增不满足题意, 故f(x)在R上单调递减, 所以≤a<1. 【名师点拨】利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【变式训练】2 (2026·南通模拟)已知函数f(x)＝在区间(－1,＋∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(0,＋∞) B.[0,＋∞) C.(0,1] D.[1,＋∞) 【答案】D 【解析】当x<0时,f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1,其在(－1,0)上单调递增, 若f(x)在(－1,＋∞)上单调递增, ∴所以a≥1. 复合函数的单调性 1.复合函数单调性判定原则:同增异减. 2.设复合函数y＝f[g(x)],A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间,B是u＝g(x)的值域. (1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,y＝f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数; (2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数,而y＝f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数. 一、求复合函数的单调区间 例1 已知函数f(x)＝x2－2x－3,g(x)＝f(5－x2),试求g(x)的单调区间. 【解析】令u(x)＝5－x2,则u(x)在(－∞,0]上单调递增,在[0,＋∞)上单调递减,且u(0)＝5. f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增. 即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的,f(x)的单调性是以“1”为界来划分的,由此可确定g(x)的单调性. 令5－x2＝1,则x＝±2. x (－∞,－2] [－2,0] [0,2] [2,＋∞) u(x)＝5－x2 增 增 减 减 u (－∞,1] [1,5] [1,5] (－∞,1] f(u) 减 增 增 减 f(5－x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞,－2],[0,2],单调递增区间是[－2,0],[2,＋∞). 二、由复合函数的单调性求参数 例2 设f(x)＝x2＋1,g(x)＝f(f(x)),F(x)＝g(x)－λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【解析】假设存在满足条件的实数λ, 则由f(x)＝x2＋1,g(x)＝f(f(x)), 得g(x)＝(x2＋1)2＋1. ∴F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ. 令t＝x2,则t＝x2在(－∞,0)上单调递减, 且当x∈时,t>; 当x∈时,0<t<. 故若F(x)在上单调递减,在上单调递增, 则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上单调递增,在上单调递减. ∴函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图象的对称轴t＝为直线t＝, 即,则λ＝3. 故存在满足条件的实数λ＝3,使F(x)在区间上单调递增. 【变式训练】 (1)已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y＝－f(x)在R上是减函数 B.y＝在R上是减函数 C.y＝[f(x)]2在R上是增函数 D.y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 (2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2－2x)在(1,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(1)A　(2)(－∞,0] 【解析】(1)A中,∵函数f(x)在R上是增函数, ∴y＝－f(x)在R上是减函数,故A正确. B中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝在R上不一定是减函数,如f(x)＝x在R上是增函数,但y＝在R上不是减函数,故排除B. C中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝[f(x)]2在R上不一定是增函数,如f(x)＝x在R上是增函数,但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是增函数,故排除C. D中,函数f(x)在R上是增函数,但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,例如f(x)＝x在R上是增函数,但f(x)＝－2x在R上不是增函数,故排除D. (2)由题意知函数y＝ax2－2x在(1,＋∞)上单调递减,故或a＝0,解得a≤0. 【限时训练】 （30分钟）　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.下列函数在(0,＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝3－x B.f(x)＝0.5x C.f(x)＝x|x| D.f(x)＝x＋ 【答案】C 【解析】对于A,f(x)＝3－x在(0,＋∞)上单调递减,故A错误; 对于B,f(x)＝0.5x在(0,＋∞)上单调递减,故B错误; 对于C,f(x)＝x|x|＝x2,x>0, 则f(x)在(0,＋∞)上单调递增,故C正确; 对于D,f(x)＝x＋,由于f,f,f>f, 可知f(x)在(0,＋∞)上不是单调递增函数,故D错误. 2.函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C.[1,＋∞) D.∪[1,＋∞) 【答案】B 【解析】g(x)＝x|x－1|＋1＝ 画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为. 3.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(2,6) B.(－∞,2]∪[6,＋∞) C.(4,12) D.(－∞,4]∪[12,＋∞) 【答案】C 【解析】f(x)＝－＋1＋, 由题意得2<<6,解得4<a<12.故选C. 4.设a∈R,则“a≥1”是“函数f(x)＝在(1,＋∞)上单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意可得,f(x)＝＝a＋在(1,＋∞)上单调递减, 则a－1>0,解得a>1. 因为a≥1不能推出a>1,a>1⇒a≥1, 所以“a≥1”是“函数f(x)＝在(1,＋∞)上单调递减”的必要不充分条件. 5.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>－1,则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 【答案】A 【解析】不妨令x1<x2,∴x1－x2<0, ∵>－1,得f(x1)－f(x2)< －(x1－x2),得f(x1)＋x1<f(x2)＋x2, 令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)<g(x2), 又x1<x2,∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 6.(2026·苏州质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x,则f(x)的单调递增区间为(　　) A.(－∞,－10]和[0,1] B.(－∞,－5]和[0,1] C.[－10,0]和[1,＋∞) D.[－5,0]和[1,＋∞) 【答案】B 【解析】当x≥0时,f(x)＝3f(x)＋x2－2x, 则f(x)＝－x2＋x, ∴f(x)在[0,1]上单调递增; 当x<0时,－x>0,∴f(－x)＝－x2－x, ∴f(x)＝3f(－x)＋x2－2x＝－x2－3x＋x2－2x＝－x2－5x, ∴f(x)在(－∞,－5]上单调递增. 综上所述,f(x)的单调递增区间为(－∞,－5]和[0,1].故选B. 7.(2026·天水调研)已知函数f(x)＝在(m,m＋1)上单调递增,则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞,－2]∪[1,＋∞) B.[－2,1] C.(－∞,－1]∪[2,＋∞) D.[－1,2] 【答案】A 【解析】画出分段函数f(x)＝的图象, 如图所示,所以要使函数f(x)在(m,m＋1)上单调递增, 则m≥1或m＋1≤－1,解得m≥1或m≤－2, 所以实数m的取值范围为 (－∞,－2]∪[1,＋∞).故选A. 二、多选题 8.(2026·湖州段考)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有>0”的是(　　) A.f(x)＝21－x B.f(x)＝－ C.f(x)＝ D.f(x)＝ln x＋ex 【答案】BCD 【解析】函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有>0”, 则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增. 函数f(x)＝21－x在(0,＋∞)上单调递减, 故A不符合题意; 函数f(x)＝－在(0,＋∞)上单调递增, 故B符合题意; 函数f(x)＝的定义域为R,且函数y＝x2＋4x＋4在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝在(0,＋∞)上单调递增,故C符合题意; 函数y＝ln x与y＝ex在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝ln x＋ex在(0,＋∞)上单调递增,故D符合题意. 9.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　) A.g(x)＋f(x)是增函数 B.f(x)－g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 【答案】BD 【解析】对于A,若g(x)＝2x,f(x)＝, 则g(1)＋f(1)＝,g(－1)＋f(－1)＝, 故g(x)＋f(x)不一定为增函数,A错误; 而f(x)g(x)＝1不是增函数,C错误; 对于B,因为g(x)是增函数, 所以－g(x)为减函数. 又f(x)是减函数,所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数,B正确; 对于D,因为g(x)是增函数,且g(x)>0, 所以>0且单调递减. 又f(x)>0,且f(x)为减函数, 所以＝f(x)×为减函数,D正确. 三、填空题 10.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  【答案】(－∞,0),(1,＋∞) 【解析】由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示, 由图象知,函数g(x)的单调递增区间(－∞,0),(1,＋∞). 11.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　.  【答案】f(x)＝－x(答案不唯一) 【解析】设f(x)＝－x,在R上单调递减. f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y). 所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数. 12.(2024·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  【答案】[－1,0] 【解析】因为函数f(x)在R上单调递增, 且当x<0时,f(x)＝－x2－2ax－a, 所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞,0)上单调递增,所以－a≥0,即a≤0; 当x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1), 所以函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增. 若函数f(x)在R上单调递增, 则－a≤f(0)＝1,即a≥－1. 综上,实数a的取值范围是[－1,0]. 四、解答题 13.给定函数f(x)＝,g(x)＝－x2＋4x＋1,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)},试判断M(x)在区间(－∞,a]上的单调性. 【解析】(1)f(x),g(x)的图象如图所示. (2)由(1)及M(x)的定义得,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,＋∞)上单调递减, 所以当a≤0时,M(x)在(－∞,a]上单调递减; 当0<a≤2时,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,a]上单调递增; 当a>2时,M(x)在(－∞,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,a]上单调递减. 14.定义在(0,＋∞)上的函数f(x)对于任意的x,y∈(0,＋∞),总有f(x)＋f(y)＝f(xy),当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)判断函数在(0,＋∞)上的单调性,并证明. 【解析】(1)令x＝y＝1, 得f(1)＋f(1)＝f(1),所以f(1)＝0. (2)f(x)在(0,＋∞)上单调递减, 证明如下: 设x1>x2>0,令xy＝x1,x＝x2, 则y＝,所以y>1,f(y)<0, 由已知得f(x2)＋f＝f(x1), 即f(x1)－f(x2)＝f<0, 所以f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,＋∞)上单调递减 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $