2.2函数的单调性 讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数单调性专题，涵盖定义、判断方法、单调区间及含参单调性等核心考点，按“定义理解—判断应用—区间求解—参数讨论”逻辑构建知识网络，通过填空定义、例题探究等问题链引导学生自主梳理，形成层次分明的认知体系。 亮点在于自主诊断与方法内化设计，开篇设置定义填空任务和单调性判断例题，学生可通过练1、练2、练3分层练习定位薄弱点，培养数学思维与符号表达能力。每个模块配有方法指导（如定义法证明步骤）和真题演练（如新高考Ⅰ卷题），帮助学生自主提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第2节　函数的单调性 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义. 　　 函数单调性的判断 定 义 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　　　x1，x2∈I，当x1＜x2时 f（x1）与 f（x2） 都有　　　 都有　　　 结论 函数f（x）在区间I上　　　 函数f（x）在区间I上　　 ♝ 图象描述 自左向右看图象是　　　 自左向右看图象是　　　 结论：若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. （1）〔多选〕下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0（x1≠x2）”的是（　　） A.f（x）＝－ B.f（x）＝－3x＋1 C.f（x）＝x2＋4x＋3 D.f（x）＝x－1 （2）已知函数f（x）＝，判断f（x）在[0，＋∞）上的单调性，并证明. 1.函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法. 2.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 练1 （1）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明. 求函数的单调区间 单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　或　　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　　　　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒：（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）当函数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接. （1）定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[－5，5]上没有单调性 （2）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，0）∪（2，＋∞） C.（－∞，0）和（2，＋∞） D.（2，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数单调区间的方法 　　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法. 练2 （1）下列说法正确的是（　　） A.若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递增 B.若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数 C.若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞） D.若函数f（x）在区间I上单调递增且f＜f，则x1＜x2 （2）〔多选〕下列四个选项中，能使函数f（x）＝－x单调递减的区间是（　　） A.（ 0，） B.（0，1） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 含参函数的单调性 （1）（2026·湖南长沙模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　　） A.[1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（－∞，1] （2）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用单调性求参数范围（或值）的策略 练3 试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 第2节　函数的单调性 （时间：60分钟，满分：87分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数在R上为增函数的是（　　） A.y＝x2 B.y＝x C.y＝－ D.y＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（　　） A.[－1，2]∪[4，5] B.[－1，2]和[4，5] C.[－3，－1]∪[2，4] D.[－3，－1]和[2，4] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（　　） A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1） C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.（2026·广东茂名模拟）已知函数f＝在区间上单调递增，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.已知函数f＝，下列结论正确的是（　　） A.函数f的减区间是∪ B.函数f在上单调递减 C.函数f在上单调递增 D.函数f的增区间是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则下列说法正确的是（　　） A.y＝－f（x）在R上是减函数 B.y＝f（x）－g（x）在R上是增函数 C.y＝在R上是增函数 D.y＝[f（x）]2在R上是增函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.设函数f（x）＝g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的单调递增区间是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.函数f（x）＝ln （x2－2x－8）的单调递减区间是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.已知f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有＜0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0. （1）求f（1）的值； （2）证明：f（x）为减函数. 11.已知函数y＝f（x）的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是（　　） A.y＝f（x）＋x是增函数 B.y＝f（x）＋x是减函数 C.y＝f（x）是增函数 D.y＝f（x）是减函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12. 已知函数f（x）＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2）∪（0，3） B.（－∞，－2）∪（0，3] C.（－∞，－2）∪（0，10） D.（－∞，－2）∪（0，10] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.〔开放创新题〕能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14. （13分）〔一题多解〕已知a＞0，函数f（x）＝x＋（x＞0），求证：函数f（x）在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节　函数的单调性 课标要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义. 函数单调性的判断 定 义 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　∀　x1，x2∈I，当x1＜x2时 f（x1）与 f（x2） 都有　f（x1）＜f（x2）　 都有　f（x1）＞f（x2）　 结论 函数f（x）在区间I上　单调递增　 函数f（x）在区间I上　单调递减　 图象描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 结论：若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. （1）〔多选〕下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0（x1≠x2）”的是（　　） A.f（x）＝－ B.f（x）＝－3x＋1 C.f（x）＝x2＋4x＋3 D.f（x）＝x－1 解析：ACD　因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0（x1≠x2），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.对于A，根据反比例函数性质可知，f（x）＝－在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于B，根据一次函数性质可知f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意；对于C，根据二次函数性质可知f（x）＝x2＋4x＋3在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；对于D，根据一次函数性质可知f（x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.故选A、C、D. （2）已知函数f（x）＝，判断f（x）在[0，＋∞）上的单调性，并证明. 解：f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 证明如下：任取0≤x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝. 因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0， 故f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 规律方法 1.函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法. 2.利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 练1 （1）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，则对于∀x1，x2∈[2，8]，且x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），∴f（2）＞f（8），故后者为前者的必要条件，然而，由f（2）＞f（8），无法推出函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，因此，“f（2）＞f（8）”并非充分条件.综上，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的必要不充分条件. （2）已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明. 解：函数f（x）＝在（－1，1）上为增函数. 证明如下：任取－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝. 因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0， 则有f（x1）－f（x2）＜0，故f（x）在（－1，1）上为增函数. 求函数的单调区间 单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒：（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）当函数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接. （1）定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　C　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析： 同一函数的两个单调区间一般不能用“∪”连接，故C表示错误.其余选项很明显都是正确的. （2）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（　C　） A.（－∞，0） B.（－∞，0）∪（2，＋∞） C.（－∞，0）和（2，＋∞） D.（2，＋∞） 解析：f（x）＝（x－4）·｜x｜＝函数图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为（－∞，0）和（2，＋∞），故选C. 规律方法 求函数单调区间的方法 　　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法. 练2 （1）下列说法正确的是（　D　） A.若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递增 B.若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数 C.若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞） D.若函数f（x）在区间I上单调递增且f＜f，则x1＜x2 解析： 无穷多对x1，x2不等价于对任意x1，x2，A错误；设函数f（x）＝则f（x）在（－∞，0]上单调递增，在（0，＋∞）上也单调递增，但f（0）＞f（1），不符合增函数的定义，B错误；若f（x）＝x，则f（x）在[1，＋∞）上单调递增，但f（x）的单调递增区间是R，C错误；由函数单调性的定义，知D正确. （2）〔多选〕下列四个选项中，能使函数f（x）＝－x单调递减的区间是（　CD　） A.（ 0，） B.（0，1） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：令t＝，显然t＝在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2＝－（ t－）2＋（t≥0）在上单调递减，由≥得x≥，所以f（x）的单调递减区间是［，＋∞），即四个选项中能使f（x）单调递减的区间为C、D. 含参函数的单调性 （1）（2026·湖南长沙模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　B　） A.[1，＋∞） B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（－∞，1] 解析：（1）因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1.故选B. （2）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　B　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 解析：（2）因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 规律方法 利用单调性求参数范围（或值）的策略 练3 试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1， f（x）＝a（）＝a（1＋）， 则f（x1）－f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. （时间：60分钟，满分：87分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数在R上为增函数的是（　　） A.y＝x2 B.y＝x C.y＝－ D.y＝ 解析：B　y＝x2在（－∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故A错误；y＝x在R上为增函数，故B正确；y＝－在[0，＋∞）上单调递减，故C错误；y＝在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，故D错误. 2.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（　　） A.[－1，2]∪[4，5] B.[－1，2]和[4，5] C.[－3，－1]∪[2，4] D.[－3，－1]和[2，4] 解析：B　由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B. 3.若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（　　） A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1） C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1） 解析：B　因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B. 4.（2026·广东茂名模拟）已知函数f＝在区间上单调递增，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f的定义域为（－∞，1]∪[5，＋∞），又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞）上单调递增，在（－∞，1]上单调递减，y＝在[0，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性可知f＝在区间[5，＋∞）上单调递增， a≥5.故选D. 5.已知函数f＝，下列结论正确的是（　　） A.函数f的减区间是∪ B.函数f在上单调递减 C.函数f在上单调递增 D.函数f的增区间是 解析：C　由y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，作出函数y＝－x2＋2x＋3的图象，利用图象的变换可得f＝的图象，如图所示，所以函数f（x）在（－∞，－1）和（1，3）上单调递减，在（－1，1）和（3，＋∞）上单调递增.故选C. 6.〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则下列说法正确的是（　　） A.y＝－f（x）在R上是减函数 B.y＝f（x）－g（x）在R上是增函数 C.y＝在R上是增函数 D.y＝[f（x）]2在R上是增函数 解析：AB　A中，函数f（x）在R上是增函数，则y＝－f（x）在R上是减函数，故A正确；B中，g（x）在R上是减函数，则－g（x）在R上是增函数，又f（x）在R上是增函数，故f（x）－g（x）在R上是增函数，故B正确；C中，函数g（x）在R上是减函数，但y＝在R上不一定是增函数，如g（x）＝－x在R上是减函数，但y＝＝－在R上不是增函数，故C错误；D中，函数f（x）在R上是增函数，但y＝[f（x）]2在R上不一定是增函数，如f（x）＝x在R上是增函数，但y＝[f（x）]2＝x2在R上不是增函数，故D错误. 7.设函数f（x）＝g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的单调递增区间是　（－∞，0），（1，＋∞）　. 解析：由题意知g（x）＝该函数图象如图所示，由图象知，函数g（x）的单调递增区间是（－∞，0），（1，＋∞）. 8.函数f（x）＝ln （x2－2x－8）的单调递减区间是　（－∞，－2）　. 解析：由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＞4或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递减区间（定义域内）.因为函数t＝x2－2x－8在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－2）. 9.已知f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有＜0恒成立，则实数a的取值范围是　［，）　. 解析：由函数单调性定义可得函数f（x）在R上单调递减，则根据分段函数单调性的判断方法可知解得≤a＜. 10.（13分）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0. （1）求f（1）的值； （2）证明：f（x）为减函数. 解：（1）令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）＝0. （2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1， 由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0， 即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数. 11.已知函数y＝f（x）的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是（　　） A.y＝f（x）＋x是增函数 B.y＝f（x）＋x是减函数 C.y＝f（x）是增函数 D.y＝f（x）是减函数 解析：A　不妨令x1＜x2，∴x1－x2＜0，∵＞－1⇔f（x1）－f（x2）＜－（x1－x2）⇔f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，令g（x）＝f（x）＋x，∴g（x1）＜g（x2），又x1＜x2，∴g（x）＝f（x）＋x是增函数. 12. 已知函数f（x）＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2）∪（0，3） B.（－∞，－2）∪（0，3] C.（－∞，－2）∪（0，10） D.（－∞，－2）∪（0，10] 解析：B　因为函数f（x）＝在[－10，－3]上单调递增，所以a（2＋a）＞0，且30＋ax≥0在[－10，－3]上恒成立，所以解得a＜－2或0＜a≤3. 13.〔开放创新题〕能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为　［，2］（答案不唯一）　. 解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在，（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2]. 14.（13分）〔一题多解〕已知a＞0，函数f（x）＝x＋（x＞0），求证：函数f（x）在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 证明：法一（定义法）　设x1＞x2＞0， 则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝.∵x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0， 当x1，x2∈（0，]时，0＜x1x2＜a，∴x1x2－a＜0，∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，]上单调递减. 当x1，x2∈[，＋∞）时，x1x2＞a，∴x1x2－a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），∴f（x）在[，＋∞）上单调递增. 故函数f（x）在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 法二（导数法）　f'（x）＝1－＝（x＞0），令f'（x）＞0⇒x2－a＞0⇒x＞，令f'（x）＜0⇒x2－a＜0⇒0＜x＜，∴f（x）在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增 学科网（北京）股份有限公司 $