不等式性质、基本不等式课件-2027届高三数学一轮复习

　不等式性质、基本不等式 a>0，b>0 x＝y x＝y A C D 1 C AC ABD BC 4 AD C 4 A B D 118 000 [知识梳理] 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法： (2)作商法： 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2). (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件： ． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为.基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0. (1)如果积xy等于定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值 ．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y等于定值q，那么当且仅当 时，xy有最大值 ．(简记：和定积最大) 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2 5．常用结论 (1)倒数性质的几个常用结论 ①a＞b，ab＞0⇒＜； ②a＜0＜b⇒＜； ③a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. (2)一个重要的不等式 若a，b∈R，则ab≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立． [热身训练] 1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是( ). A．M>N　　　 B．M≥N C．M<N　　　 D．M≤N 【解析】若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜0＜bd，故A错；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B对；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，所以a－d＞b－c，故C对；当a，b∈R时，≤，故D错．故选BC. 3．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ). A．80　　　 B．77 C．81　　　 D．82 【解析】因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立． 4．已知x，y均为正数，且满足＋＝1，则x＋3y的最小值为( ). A．9　　　 B．10 C．12　　　 D．16 【解析】因为＋＝1，所以x＋3y＝(x＋3y)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即x＝y＝4时取等号，故选D. 5．已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 ． 【解析】因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 题型1　不等式的性质 【例1】(1)(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则( ). A．a2＋b2>2ab　　　 B．＋≥ C．a＋b>　　　 D．＋≤ (2)(多选)(2024·郑州高三检测)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则( ). A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D．的取值范围为 【解析】因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4，7]，b－a的取值范围为[1，4]，故A正确，B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，所以≤≤，所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C正确，D错误． (3)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，那么2α－β的取值范围是 ． 【解析】设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，则所以即2α－β＝(α＋β)＋(α－β).因为π<α＋β<，－π<α－β<－，所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－，所以－π<(α＋β)＋(α－β)<，即－π<2α－β<，所以2α－β的取值范围是. (1)判断不等式是否成立的常用方法：一是利用不等式性质进行推理；二是用特殊值法． (2)比较大小的常用方法：作差法与作商法，利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键． (3)求代数式的取值范围：一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 【变式】(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是( ). A．(a＋c)2> B．< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 【解析】对A，根据abc＝1，可得＝ac，(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝＋>0恒成立，所以(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，所以(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，所以>0，故D正确． 题型2　利用基本不等式求最值 【例2】(1)(多选)(2024·扬州期末)已知实数a，b满足a>0，b>0，2a＋b＝4，则下列说法正确的有( ). A．＋有最小值 B．a2＋b2有最小值 C．4a＋2b有最小值8 D．ln a＋ln b有最小值ln 2 【解析】因为a>0，b>0，2a＋b＝4，所以＋＝(2a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝4－2，b＝4－4时取等号，故A不正确；因为2a＋b＝4，所以a2＋b2＝a2＋(4－2a)2＝5＋，当a＝时，a2＋b2有最小值，故B正确；4a＋2b≥2＝2＝8，当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故C正确：因为a>0，b>0，2a＋b＝4，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝[ln a(4－2a)]＝ln [－2(a－1)2＋2]，当a＝1，b＝2时，ln a＋ln b有最大值ln 2，故D不正确． (2)(2025·上海卷)设a>0，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为 ． 【解析】由题意，b＋＝＝2＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝，b＝2时取等号，所以b＋的最小值为4. 利用基本不等式解决最值问题的关键点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积或和为常数的形式，然后利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 提醒：多次应用基本不等式求最值时，一定要求出同时取等号时的变量的值，只有保证每次取等号时的条件相同，即等号步步传递，才能求得最后的最大(小)值．若不能同时取等号，可考虑应用整体代入、恒等变换等技巧，凑出定值，再应用基本不等式求解． 【变式】(多选)下列说法正确的有( ). A．若a<b<0，则ab>b2 B．若a>b>0，则> C．∀x∈(0，＋∞)，“x＋≥m恒成立”是“m≤2”的充分不必要条件 D．若a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为4 【解析】对于A，因为a<b<0，所以a－b<0，所以ab－b2＝b(a－b)>0，即ab>b2，故A正确．对于B，因为a>b>0，所以ab>0，b＋a>0，b－a<0，所以－＝＝<0，即<.故B不正确．对于C，∀x∈(0，＋∞)，x＋≥m恒成立等价于∀x∈(0，＋∞)，≥m，因为x>0，所以>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，所以当x＝1时，x＋取得最小值2，即m≤2.所以∀x∈(0，＋∞)，“x＋≥m恒成立”是“m≤2”的充要条件，故C不正确． 对于D，因为a>0，b>0，a＋b＝1，>0，>0，＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝b＝时，等号成立，所以当a＝b＝时，＋取得最小值4，故D正确． 题型3　利用基本不等式解决恒(能)成立问题 【例3】(1)(2025·绍兴高三联考)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( ). A．(－1，4) B．(－4，1) C．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 【解析】因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选C. (2)设k>0，若关于x的不等式kx＋≥12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为 ． 【解析】原不等式变形为k(x－1)＋＋k≥12，则原问题转化成不等式k(x－1)＋≥12－k在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k≤即可．因为k(x－1)＋≥2＝4，当且仅当k(x－1)＝时等号成立，所以只需12－k≤4成立，即(＋6)(－2)≥0，所以k≥4，即kmin＝4. 解决不等式恒(能)成立问题的常用方法 (1)参数全分离 将含参不等式等价变形成a≤f(x)的形式，进而转化为求f(x)的最值问题．当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法． (2)参数半分离 将含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)的形式，结合函数图象分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态． 注：g(a，x)表示函数g(x)的表达式中既有a也有x，a在不等式左、右两边都可以． (3)参数不分离(隐零点、端点效应). 【变式】若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是( ). A．a<　　　 B．0≤a≤ C．a>　　　 D．a> 【解析】当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<.因为＝≤，当且仅当x＝时，等号成立，所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<. 题型4　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 【例4】(2025·赣州高三模拟)已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，正数a，b满足f(2a)＋f(b－2)＝2，则＋的最小值为( ). A．1　　　 B．2 C．4　　　 D．5 【解析】因为f(x)＋f(－x)＝ln (－x)＋1＋ln (＋x)＋1＝2，所以函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，因为f(2a)＋f(b－2)＝2，所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.又a＞0，b＞0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当a＝，b＝时，等号成立． 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式解决其中的最值问题． 【变式】(2025·绍兴高三模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ<0)的距离的最大值为( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝＝，当λ<0时，－＝，因为(－λ)＋≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立，所以≤＝1，所以dmax＝. 利用基本不等式解决实际问题 数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，其关键在于把实际应用问题转化为数学问题． 【例题】经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(吨)的函数关系为T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每吨物资的年存储费，C为每次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元． (1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费． (2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 【解析】(1)由题意可得A＝6 000，B＝120，C＝2 500，所以年存储成本费T(x)＝60x＋.因为该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为T(300)＝60×300＋＝68 000(元). (2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋，x>0，所以T(x)≥2＝60 000，当且仅当60x＝，即x＝500时取等号．所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元． 利用基本不等式解决实际问题时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数，根据实际问题抽象出形如f(x)＝g(x)＋(k>0)的解析式，然后利用基本不等式求解． 【变式】某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形(图1.4­1中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).S的最小值是 ，此时x的值是 ． 图1.4­1 【解析】由题意，AM＝ m，又AM>0，所以0<x<10.S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×，所以S＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，所以当x＝时，S最小且最小值为118 000. $