第一章 课时4 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求覆盖理解证明、应用变形、最值求解及实际应用四大核心考点。通过梳理“一正二定三相等”原则及常用不等式，对接高考评价体系，分析“最值求解”占60%、“实际应用”占25%的高频考点分布，归纳直接法、“1”代换等常考题型。 课件亮点在于“真题演练+技巧拆解+素养提升”，如2025年上海高考题用直接法求a+b最小值，山西模拟题通过配凑法转化条件，培养学生数学思维与模型观念。特设易错点警示（如忽略等号条件）和“1”代换等突破方法，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

课时4 基本不等式 一、课标要求 1.理解基本不等式的内容及证明 2.熟练掌握基本不等式及变形的应用 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 4.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 二、知识梳理 1. 基本不等式：v学 (1)基本不等式成立的条件：c≥C,bC (2)等号成立的条件：a=b (3)其中叶b称为正数a,6的 算术平均数， 2 几何 平均数. ab称为正数a,b的 2.利用基本不等式求最值 已知x≥C,≥0，则： (1)如果积y是定值p,那么当且 是2p一·（简记：积定和最小） (2)如果和x十y是定值S,那么当 是 4 ·(简记：和定积最大) 仅当 X三y 时，x十y有最小值 且仅当 x=v 时，y有最大值 3.几个常用不等式 (1)22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号 (2)ba,方∈R),当Π仅当a方时取等号 (3》学长学a,h∈风)，当且仪当ab时取等号 (4)名号2a,方同号)，当Π仪当ah时取等号 (5) 爱空 (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号. 【拓展知识】 1.应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，忽略任何一个条件 都会出错， 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用若必须多次使用，则一定要 保证它们等号成立的条件一致 3利用基本不等式求最值的常用方法： (1)“1”的代换；(2)配凑法；(3)消元法；(4)换元法等 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V°，错误的打“×”) (1)函数x+的最小值是2. ×【解析】当<0时，≤2；当>0时， ( ) ≥2，所以函数yx+没有最小值 C (2)1 数一的最小值是4 () 【解析当s时，函数一签贵率是，当且仅当sn sinx 即s时取“=”，显然无解 (3)“>0且y>0”是“+Y≥2”的充要条件 () ×【解析】“0且>0”是“士上2”的充分不必要条件 (4)两个不等式多2与成立的条件是相同的.() ×【解析】不等式2成立的条件是c王：号成立的条件是C bC 2.已知0<<1，则x(1一x)的最大值为( D.1 4 8 16 A【解切门因为，所以1-0.所以一 当且仅当x =1一x,即=时，等号成立，故1一)的最大值为故选A 3.若>0，y>0,且xy=18,则√的最大值为() A.9 B.18 C.36 D.81 A【解析】因为x+18,所以v艺≤，当且仅当x9时取“=”故选 A. 4.若函数®在xa处取得最小值，则a=（) A.2 B.1+3 C.3 D.4 C【解析 】当， 当X>2时，2，⊙22， 当且仅当x21即x3时取“=”.因为函数在x=a处取得最小值，所以3 x 5 故选C 四、考点扫描 考点一基本不等式的理解和简单应用 例1(1)《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西 方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够 通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上， 点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字 证明为( A. a-+b ≥ab(>0,b>0)B.a2+b22ab(a>0,b>0) 2 a2+b2 C. 2ab a+b ≤ah(a0,h>0)D.a+b 2 (a>0,b>0) D【解析】由AC=a,BC=b,可得圆O的半径为r=OF=】ABa+b 又由 2 OC=OB-BC=a+b -b=a-b 在Rt△OCF中，可得FC2=OC2+OF2= 2 〔2 因为OFFC,所以a 2 +b, 当且仅当a 2 =b时取等号.故选D (2)(多选题)已知a>0,b>0,且 A.子B C. a+b=1,则有() B.22 D. ABD【解析】对打迹项A,由（当学，结合1，得ci子号A 正确：另新，三中待，人正商；对于选 项B, L,所以之，B正确：对于选项 , C错误；对于选项D,因为 《多后E台，所以V公乐，D正确故选ABD. 规律方法： 运用基本不等式判断所给不等式是否正确时注意以下两点 (1)基本不等式的条件. (2)记住几种常见的变形，注意不等号的方向不要混淆. 对点训练 (1)若0<a<b, A.ba叶ba动 2 C.b a+b>abza 2 C【解析】因为0<a<b,所以 所以aba.故ba十bab 2 则下列不等式一定成立的为( B.bab rb>a 2 D.b>a心a叶ab 2 2b4十b,所以ba+ba6.因为b40,所以4ba, 2 a.故选C (2)(2025·北京高考) A.召2 C.a五 已知g(,则() B. 1.11 ab d D. 6 C【解析】对于选项A,当时，豆，故A错误； 对于选项B,D,取号子此时 故B, D错误； 对于选项C,由基本不等式可得一互多，故C正确.故选C 考点二运用基本不等式求最值 考向1直接法 例2 (1)若x,y均为实数，且x十+2y=6, A.18 C.54 C【解析】由题意，可得3+9=3x+32> 32,即x=2y时等号成立.故选C. 则3x十9的最小值为( B.27 D.90 232=2×27=54,当且仅当3x= (2)(2025秋·上海高考)设 4【解析】由已知， 即 时取等号，所以 ,且 ,则 的最小值为4. 的最小值为 ● ,当且仅当 考向2消元法 例3 (1)已知x>0,y>0, A.3 C. +6 且x十y=xy,则 -1 2y 的最小值为( y-1 B. 5 +6 2 D.3 212 【解析】若>0，>0且x+y=y,则 D X= 2y y-1 当且仅当 十2时取“=”，所以 2y 的最小值为3+22 -1y-1 所以 十 x-1 ,即x=1+2 ,y=1 故选D. (2)已知正数x,y满足x十y=1, X 则+×的最小值为 x y 4【解析】方法一（值接消元）：由x+'=1得y=x一，故+=+ r-r2 ,当且仅当x=1一x,即x=时取“=”.故 2 1+的最小值为4. 1 方法二（血接消列：由x+式1得1一，枚：十 +1一x,以下同方法 一 方法三（消元，分离常数凑定值） 1一x+X X =2十 十 ≥4， 1-x X 1-x 的最小值为4. y :同方法一、二得+-↓ 1 1一X+x + y 1-x X 当且仅当 l-x 三 ,即=时取=”，故十 1-x 2 方法四(1”的代换)：因为x+'=1,所以 X 1 X- 2 当且饭当+ 即 1 时取“=” y 4 -*+ 故+的最小值为4. y 考向3配凑（换元）法 例4(1)设>0，b>1.若a A.6 C.3V2 +b=2,则4 1 a b B. D. 的最小值为( ) 1 9 18 B【解析】因为a>0,b>1,且a+b=2,所以b- 1 4 1 [a+(b-1] 三 5 b-1 a b-1 2 4(b-1) =9,当且仅当 4(b-1) a b-1 a 等号，故4 +1 的最小值为9.故选B. b-1 1>0且a+(b-1)=1,所以4 + a +4(b-1) + a ≥5+ a b-1 a 二 即a= 2 且6=4 时取 b-1 3 (2)(2025山西忻州市模拟)若心1，y>9,且y=9x+y一8，则y的最小值 为 16【解析】由=xy-8得)所以g令x-1,则x1且0， 所以g-(1)1-0+10≥2+10-16 当且仅当9，即，即=12时，等号成立即y的最小值为16. 考向4“1”代换 例5(1) 已知正数a,b满足a 3 A B 9 2 4 +2b=3恒成立，则 a C.2 +2的最小值为( 1 D.3 B【解析】由a+2b=3得(a+1)+2b=4,于是 +1 -2 H 2b 且a>0, b0,即a=,b=4时， 等号成立. a+1 3 故选B. 4 三 9 4 当且仅当 2(a+1) b 所以}，+ a+l b 的录小植为号 (2)(2025·河北石家庄市一模) ( 49 7 A. B. 3 山04y 的最小值为 10 25 D 3 4 D【解析】丰享， 时等号成立.故选D 25 4 ,当且仅当 规律方法： 运用基本不等式求最值注意： (1)在一些复杂的利用基本不等式求最值问题中，要根据式子的结构特点，灵活变形， 消元或换元（配凑）出积、和、平方和为定值的形式，然后再利用基本不等式： (2)运用两次及两次以上基本不等式求最值时，一定要注意不等号方向是否一致，几 次等号成立的条件是否矛盾， 对点训练(1)(2025江苏镇江市期初)若xC,y>C, 最小值为() A.4 B.42 C.6 B【解析】由于(，J>C,所以 时取等号，故3的最小值为42.故选B. 且4，则+2的 D. &2 当且仅当室乏 (2)已知C,b0,且A,则H的最小值是() A.6 B.8 C.12 D.16 B【解析】因为C,bO,3, 所以喜22 所以 当且仅当名三时 取等号故选B. (3)(2025·陕西西安市高三校考期末)若a>0, 最小值为( ) A.9 B.6 b>0,且ab=a+b+3,则ab的 C.3 D. 12 A【解析】因为ah=a十b+3,所以a b+3 乃_1 因为a>0,b>0,所以b>1,所以 Ga6B母，设今1会，则 1 当且仅当1=4， t=2,即a=b=3时取=”，故当a=b=3时，ab的最小值为9.故选A. (4)(多选题)已知(，」 A.ab的最大值为 c. 2 的最小值为6 b 且④三，则有() B.的最大值为2 D.平的最小值为4 cb≤ BC【解析】对于选项A,因为 所以 当且仅当 时，等号成立，A错误； 对于选项B,因为合2，所以 ,即 ，，当且仅当4 时，等号成立，B正确； 对于遮项℃，由a得a?冬所以务2号 ，因为 所以 L51 当且仅当ab=时，等号成立，C正确： 对于选项D,令h号 则 所以平的最小值不 是4，D错误.故选BC 考点三基本不等式的实际应用 例6甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/小时的速度匀速生产（为保证 质量，要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2-9)千克.己知每小时生产1千 克该产品，消耗A材料10千克 (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数 (2)要使得生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产 速度？并求消耗的A材料最少为多少 【解】(1)由题意，得+9=10，即=1，生产m千克该产品需要的时间是”小时， 所以)r24m(c),1≤x≤10 2)油1)知，生产1000千克该产品消耗的4材料为=1000(+)≥1000×29-6 000(千克)，当且仅当，即=3时，等号成立，故工厂应选取3千克/小时的生产速 度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克：