专练39 辅助线技巧(一)巧构直径与直角&专练40 辅助线技巧(二)巧构圆内接四边形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

号E(3.-)5 3 专练29反比例函数与 AB=AB',∴.∠B=∠AB'B= 几何（二）等腰三角形 ∠C+∠CAB'=2∠C,∴∠C S△cDB+S△cDE ×2×6+2 典例导练 +2∠C=75°，∴.∠C=25°， 16 ∴.∠C'=∠C=25 315 2X 22 2.(1)连接AP,利用HL易证Rt 专练24 反比例函数的增减性 知能检测 △APE≌Rt△APC. 典例导练 27 1. (2)由旋转的性质，可知∠B B ∠D,DE=BC=8,AD∥ 知能检测 2.(1)y=-x BC,.∠B=∠DAB,∠D= 1.-2≤y≤-1x≥2或x<0 (2)过E作EF⊥x轴于F,, ∠DPB,∠B=∠DPB,∠D 2.1 ∠AOB=45°，∴.∠EOF=45°， =∠DAB,∴.OD=OA,OB= 3.(1)a>3(2)a<-1 ∴△OEF是等腰直角三角形， OP,.'.PD=AB=10, (3)a>3或a<-1 ∴.EF=FO, ∴.PD=DE+PE=10,∴.PE 专练25求反比例函数的解析式 .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴ =2,∴.BP=BC-PC=6. 典例导练 专练32旋转计算（二）旋转 示范题1一4 B0=号0B=4E,AB+A0 中的分类讨论 示范题2C =2AB2=B02=(62)2 典例导练 知能检测 ..EF=OF=4,AB=6, 9或63 1.y=18 2.53.y=- ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入 知能检测 专练26反比例函数与 得 y=k =一4，解得k=一 1.75°或105 代数（一）不等式 2.①将△AB℃绕点A顺时针旋转 16 方法规律 16,.y= 15°时，由旋转的性质得到： x a<x<0或x>bx<a或b<x ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD 设BD=CD=b,则C(6一b,b <0a<x<0或x>b =∠EAC=15°， +6),把C(b-6,b+6)代入y 典例导练 ∴.∠AFB=∠EAC+∠C=45°， 1 2,得b+6= 16 ①②③④ 6662 .∠ABC=90°，∴.AB=BF=2. 知能检测 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，由 =20,∴.BC2=2b2=40,.OB2 -1<x<0或1<x<4 勾股定理，可计算BC=25, -BC2=(6√2)2-40=32. 专练27反比例函数与 ∴.CF=BC-BF=2/3-2. 专练30反比例函数与 代数（二） 一元二次方程 ②将△ABC绕点A逆时针旋转 几何（三） 特殊四边形 典例导练 15°时，由旋转的性质得到： 典例导练 ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD (1)y1=- 2x+3 3 =∠CAE=15°，∴.∠F=∠ACB 知能检测 (2)3±2√2 -∠CAF=15,∴.∠F=∠CAF= 1.162.33.12 知能检测 15,∴.AC=CF,.∠ABC=90°， (1)3(2)0<x<1或x>3 专练31旋转计算（一）巧用 ∠BAC=60°，AB=2,.AC= 专练28反比例函数与 旋转进行计算 4,∴.CF=4.综上所述，CF的 几何（一）面积问题 典例导练 长为25-2或4. 典例导练 40 专练33旋转作图（一） 无刻度 2 知能检测 直尺网格作图 知能检测 1..'∠BAC=105°，∴.∠B+∠C= 典例导练 12n 75°，AB=CB',∴.∠C= (1)90 1.32.223.6 n+1 ∠CAB',由旋转的性质可知 (2)图略，B1(3,3),E(一3,5)，F 67 (-4,2). BD=CF=2x,DE-FE-6-=4em,OE =OC2-CE?= 知能检测 3.x,在Rt△CEF中利用勾股定 3cm,∴.EF=OF-OE=lcm. (1)图略.(2)图略。 理可得出FE=√3x,建立方程：(2)当AB,CD在圆心O的两侧 (3)取格点D,使四边形ABDC为 求解x. 时，过O作OF⊥AB于F,OE⊥ 平行四边形，作直线AD,交BC于 专练36辅锄线技巧（二）旋转90°，CD于E,连接AO,CO,同理可 点O,则直线AD即为所求 构造等腰直角三角形 得OF=4cm,OE=3cm,EF= 专练34旋转作图（二） 确定 典例导练 OF+OE=7(cm),∴.AB与CD 旋转中心的位置 (1)将△BCP绕点B顺时针旋转：的距离为7cm或1cm. 典例导练 90°得到△BAE,然后连接PE,图知能检测 图略 略.(2)由旋转的性质知∠PBE=1.过点O作OE⊥AB于点E, 知能检测 90°，△BCP≌△BAE,.BP= 连接OA,OD,由题意，得AB 1.(1)连接BB′、AA',二者交于 BE,PC=AE,∴.∠BPE= =6,AE=BE=3,CE=1, 点M,图略 ∠BEP=45°.，PA=1,PB=2, 设OE=x,由勾股定理得：OA (2)连接AC、BD,二者的垂直平 PC=3,PE=√2PB=2√2， =x2+9,OC2=x2+1, 分线的交于点O,图略 .AE2=AP2+PE2,∴.∠APE= CD⊥OC,.CD2=OD2 2.(2),△BCE为等腰直角三角形， 90°，∴.∠APB=∠APE+∠BPE= OC2=x2+9-(x2+1)=8, 点O为斜边BE的中点，.CO1 90°+45°=135. .CD=22(舍去负值) BE,∴.旋转角∠COE=90° 知能检测 2.√5-1 专练35辅助线技巧（一）旋转60°， 1.DG AFG EF-BE+FD 专练38 垂径定理与勾股 构造等边三角形 2.GH2=AG+CH,证明：将 定理（二）“知二推三” 典例导练 △BCH绕点B逆时针旋转90° 典例导练 6 得到△BAM..'BA=BC, 知能检测 ∠ABC=90°，∴.∠BAC=∠C知能检测 1.如图，将△AOB绕点A逆时针 旋转60°，使得AB与AC重合， =45°，由旋转的性质可知：BH1.B 点O旋转至点O',连接OO', =BM,∠C=∠BAM=45,2.令y=0,则x2-x-=0, 3 则△AOO'是边长为3的等边 ∠HBM=90°，∴.∠MAG= 三角形，△COO是边长为3、4、 ∠BAM+∠BAC=90°， ∴.4x2-4x-3=0,即(2x+1) .∠HBG=45°，∴.∠GBM= (2x-3)=0,解得x1=- 1 5的直角三角形，∴.S△Ac十 2 ∠ABG+∠ABM=90°-∠HBG S△AOB=S四边形A0c0=S△D0十 1 =45,∴.∠HBG=∠MBG,. 3 Sm=号X3X4+豆 x2= ×3× BG=BG,.△BGH≌△BGM 2, 33 (SAS),∴.GH=GM, 2 6+93 4 ,∠MAG=90°，∴.AMP+AG= ∴圆心M的坐标为(2,0)， 2.将△ABD绕点A逆时针旋转 GM,∴.GH=AG2+CH2. 连接CM,则CM=MB=AM 120得到△ACF,取CF的中点 专练37垂径定理与勾股 1 G,连接EF,EG,由AB=AC, 定理（一）作弦心距 -AB=1.0M= 2 ∠BAC=120°，可得出∠ACB 典例导练 =∠B=30°，根据旋转的性质 (1)当AB,CD在圆心O的同侧 ∴0C=VCM-OM- 21 可得出∠ECG=60°，结合CF 时，过O作OF⊥AB于F交CD ∴.CD=2OC=5. =BD=2CE可得出△CEG为 于E,连接OA,OC,.AB/CD, 专练39辅助线技巧（一）】 等边三角形，进而得出△CEF ∴.OE⊥CD.由垂径定理得AF 巧构直径与直角 为直角三角形，利用勾股定理 求出BC的长度以及证明全等 FB-7AB-3em:CE-DE-2 典例导练 连接AD,OD,OE,.'AB是半⊙O 找出DE=FE,设EC=x,则 CD=4cm,∴.OF=√OA-AF的直径，∴.∠ADB=90, 69 :AB=AC,∠DAC-∠BC 专练41辅助线技巧（三） .OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA, 巧用弧的中点 ∠DOC=∠FC,.在△ODC =20°，∴.∠DOE=2∠DAE=40°， 典例导练 OD=OF .DE所对的圆心角的度数为40°. 253 和△OFC中， ∠DOC=∠FOC, 知能检测 OC=OC 1.(1)3(2)/13 知能检测 .∴.△ODC≌△OFC(SAS), 2.连接BC、BD、OD.:AB为半1.连接CD,如图，：点D为弧 ∴.∠OF℃=∠ODC=90,∴.OF 圆O的直径，.∠ACB=90°， AB的中点，∴.AD=BD, ⊥CF,∴.CF与⊙O相切. 由勾股定理得：BC2=AB一 ∴∠ACD=∠BCD,∴.∠ACB 2.过点O作OE⊥AC于E,设小 AC2=100-36=64,BC=8.由 =2∠ACD.,'∠ACD 圆与AB的切点为D,连接 题意得：∠CAD=∠BAD,∴. ∠DBA,∴.∠ACB=2∠DBA. OD、OA,如图，由切线性质可 CD=BD,∴.OD⊥BC,BE= 2.连接OC,AD,设⊙O的半径为 知OD⊥AB,由垂径定理可知 r,则OF=r十2.由题意，可知在 CE-Bc=40E=专AC AD=DB,AE=EC,.'AB- Rt△OCF中，42+r2=(r+ AC,∴.AD=AE,在Rt△AEO =3,DE=5-3=2,由勾股定 2)2,解得r=3.AB是⊙O AE-AD 和Rt△ADO中， 理得：BD2=22+42=20. 的直径，∴∠ADB=90.:AB AO-AO .AD2=AB2-BD2=80, =6,D是AB的中点，.AD= ∴.△AEO≌△ADO(HL), ∴.AD=45. BD=3√2.G为BD中点，∴ ∴.OE=OD,∴.AC与小圆相切. 专练40辅助线技巧（二） 专练43切线的性质与有关计算 巧构圆内接四边形 G=号D-返，在△Ac 典例导练 典例导练 中，AG=V√AD+DG=30 如图，连接OE,,O℃⊥AB,∴.AC 连接AB,,四边形ABEC是 2 ⊙O1的内接四边形，∴.∠BAD= 专练42 辅助线技巧（四）】 =BC∴∠CEB=2∠A0C-30, ∠E. 切线的判定 .EF=EB,∠EFB=∠B=75 又.四边形ADFB是⊙O2的内 典例导练 .∠DF℃=∠EFB=75°，∴.∠DCF 接四边形， 证明：连接OB,E是弦BD的 =90°-∠DF℃=15°，，OE=OC, .∠BAD+∠F=180°.∴.∠E+ 中点，∴.BE=DE,OE⊥BD,BF .∠C=∠OE℃=15°，∴.∠E0G= ∠F=180°.∴.CE∥DF..CD∥ -DF=号BD,∠B0E=∠A, ∠C+∠OEC=30°，由题意，在Rt EF,∴.四边形CEFD是平行四边 △E0G中，OE=√3GE,∴.G=√3. ∠OBE+∠BOE=90°，.'∠DBC 形.∴.CE=DF.CE=DF 知能检测 =∠A,∴.∠BOE=∠DBC, 知能检测 1.图略，连接OC,OD,,BF是 ∴.∠OBE+∠DBC=90°，. 1.1109 ∠OBC=90°，即BC⊥OB,∴.BC ⊙O的切线，AB是⊙O的直径， 2.方法一：图略，连接BD,.AB是 是⊙O的切线： ∴.OB⊥BF,∴.∠ABF=90°， ⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， 知能检测 .∠AFB=68°，∴.∠BAF= .∠ADC-∠BDC=∠ADB, 1.连接OF、OC,.四边形ABCD 90°-∠AFB=22,.∠BOD=2 ∠BDC=∠BAC,∴.∠ADC 是矩形，.ADBC,AD=BC, ∠BAF=44°，.AC=2BD, ∠BAC=90°； ∠ADC=90°，.E为BC边中 ∴.∠COA=2∠BOD=88°， 方法二：图略，连接BC,,AB是 ⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， 点，A0=D0.A0=3AD. ∠CDA=号∠00A=4, .∠PBC=∠BAC+∠ACB, .∠DEB是△AED的一个外 ∴.∠PBC-∠BAC=90°，，四边 EC=2BC.∴A0=EC,A0/ 角，.∠DEB=∠BAF十 形ABCD为⊙O的内接四边形， EC,∴.四边形OAEC是平行四 ∠CDA=66. ∴.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC- 边形，.AEOC,.∠DOC= ∠BAC=90°. ∠OAF,∠FOC=∠OFA, 70 专练44 切线长定理一 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，∴.△ADE≌△DCF(SAS),.AE= 双（多）切圆模型 BC=8,OB=6,∴.OC=DF,∠DAE=∠FDC,,∠ADE 典例导练 √BC2+OB2=10,∴.PC=OC- =90°，∴.∠ADP+∠FDC=90°， 2√2≤t≤4+2W2 OP=10-6=4..PC最小值为·∠ADP+∠DAE=90, 知能检测 ∴∠APD=90°，∴.AE⊥DF 1.3 知能检测 (2)如图，连接AC,BD交于点O, 2.连接DB、DE,,AD是⊙D的 (1)结论：AE=DF,AE LDF,理·点P在运动中保持∠APD= 半径，AD⊥AB,∴.AB是⊙D 由：四边形ABCD是正方形， 90°，∴点P的运动路径是以AD 的切线，，⊙D与BC相切于 AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°， 为直径的圆的DPO,∴.点P的运 点E,'.BC⊥DE,EB=AB= 在△ADE和△DCF中， 动路径长为90x×5一5x m,∠CBD=∠ABD, AD=DC 180 .AB/CD,.∠ABD=∠CDB, ∠ADE=∠DCF, ∴∠CBD=∠CDB,∴.CB=CD DE=CF =3m,∴.CE=CB-EB=3m-m 夹卷《限时作业》参考答案 =2m,.'∠CED=90, 限时作业（一） +x2=2k+1,x1x2= 2k2-2 ∴.AD=DE=/CD-CE= 1.C2.D3.C4.D5.A 6. √(3m)2-(2m)'=5m. B7.C8.B9.-310.±/7 x1-x2=3,.(x1-x2)2=9, 11.1212.013.x1=x2=5 .(x1十x2)2-4x1x2=9, 专练45 三角形的内心与外心 典例导练 14.7或2 (2k+102-4×(2-2) 5 15.(1)x1=2+√5，x2=2-√/5 =9,化简得k2十2k=0, 知能检测 5 (2)x1= 2x2=1. 解得k=0或k=-2. 1.140 限时作业（二） 2.延长BI交⊙O于M点，连接 (3)x1= 3-9 1.设每轮传染中平均每只患病蛋 MA,在△ABM中斜边AB经 鸡传染了x只健康的蛋鸡，则 过圆心O,∴.∠AMB=90°， 16.原方程化为m.x2-(3m-1)x 第一轮中有x只健康的蛋鸡被 .BI⊥OI,AO=OB,.OI为 十2m-1=0,由题意，得m≠ 传染，第二轮中有x(1十x)只 △AMB的中位线，∴.AM= 0,△=b2-4ac=[-(3m- 健康的蛋鸡被传染，根据题意 2OI=2,在Rt△ABC中，I为 1)]2-4m(2m-1)=1,解得 得：1十x十x(1十x)=64,整理 三个角平分线的交点， m1=0(不符合题意，舍去)，m2 得：(1十x)2=64,解得：x1=7, ∴.∠IAB+∠IBA=45°，即 =2,∴.原方程化为：2x2-5.x x2=一9（不符合题意，舍去）. ∠MIA=45°（三角形外角与内 +3=0,解得：x1=1,x2= 答：每轮传染中平均每只患病 角的关系)，.Rt△MAI为等 蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡. 腰直角三角形，∴.MA=MI= 17.(1)等腰三角形 2.(1)设平均每次降价的百分率 IB=2,根据勾股定理可得， (2)直角三角形，理由略 为x,依题意得：400(1-x)2= AB2=MA2+MB2=22+42=20, (3)x1=0,x2=-1. 256,解得：x1=0.2=20%,x2 AB=25 18.(1).'△=[-(2k+1)]2-4 =1.8(不合题意，舍去). 专练46隐圆模型 ×1×(22-2）=42+4k+ 答：平均每次降价的百分率为 典例导练 20%. 示范题128 1-2k2+8=2k2+4k+9= (2)选择在数码城购买比较合算， 示范题2连接OC交⊙O于点 2(k+1)2+7>0, 理由如下：在电商平台购买所需 P,此时PC最小，，点O是AB ∴.无论k为何实数，方程总有 费用为300×0.7=210（元）， 的中点OA=0B=AB=6, 两个不相等的实数根， 在数码城购买所需费用为256 (2)由根与系数的关系得出x1 ×(1-20%)=204.8(元)< 72(39 专练39 辅助线技巧（一） 巧构直径与直角 【方法规律】遇直径，连直角；寻直角，找直径， ③典例导练 示范题如图，在△ABC中，AB=AC,以腰AB为直径作半圆O,分别 交BC,AC于点D,E.若∠BAC=40°，求DE所对的圆心角的度数. 【思路点拨】连接AD,OD,OE,根据直径所对的圆周角是直角，再利用 等腰三角形的三线合一性质可得∠DAC的度数，然后利用圆周角定理即可. B 【自主解答】 心知能检测 1.(1)如图1，一块直角三角板的30°角的顶点P落在 ⊙O上，两边分别交⊙O于A,B两点，若⊙O的 0 直径为6，则弦AB长为 (2)如图2，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E, 图1 图2 若AD=3,BC=2.则直径AB的长为 2.如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10,弦AC=6,将半圆沿过点A的直线折叠，使 点C落在直径AB上的点C',求折痕AD的长 40 专练40 辅助线技巧（二）巧构圆内接四边形 【方法规律】构造圆内接四边形，利用“对角互补”的性质导角，是转化与圆有关的角 的常见手段之一 )典例导练 示范题如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，经 过点A的直线与两圆分别交于点C,点D,经过点B的直线与两 ●0 圆分别交于点E,点F.若CDEF,求证：CE=DF. B 【思路点拨】证四边形CEFD是平行四边形即可.连接AB,由圆内接四边形的性质， 可证∠E十∠F=180°，即CEDF,由此得证. 【自主解答】 心知能检测 1.如图，已知AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是AC上任意一点， 则∠D的度数是 2.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长 线上一点，连接AD,DC,CP.求证：∠ADC-∠BAC=90°.（请用两种证法解答）