重难点专题22 圆的综合及压轴（10大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题22 圆的综合及压轴 重难点一 圆外接四边形模型 ①核心结论：对边和相等（由切线长定理推出）； ②每个顶点引出的两条切线长相等，先标记相等线段，再列方程求未知边长； ③面积公式，其中半周长，可反求内切圆半径； ④常用于求边长、周长、内切圆半径；⑤注意与圆内接四边形（对角互补）区分，勿混淆性质。 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 2．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   3．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 4．阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 重难点二 与直角三角形和内切圆有关的计算 ①直角三角形内切圆半径公式：（为直角边，为斜边），通用三角形内切圆半径公式：（是面积，是周长）； ②借助切线长定理标记相等线段； ③搭配勾股定理列方程计算，区分内切圆半径与外接圆半径。 1．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 2．《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 5．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 6．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为______．      7．如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 8．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 9．已知：如图1，在中，，，，与边、相切于点、．求： （1）当的半径为2时，求弧的长， （2）当与边相切时，求的半径。 （3）如图2，当的半径为时，与交于、两点，求的长， 重难点三 三角形内切圆与外接圆综合 ①外心：三边垂直平分线交点，外接圆半径，外心到三顶点距离等于； ②内心：三条角平分线交点，内切圆半径，内心到三边距离等于，通用公式； ③在等腰、直角三角形中利用对称轴简化图形；④结合勾股定理、三角函数建立、、边长之间的等量关系。 1．如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 3．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 5．如图，为的内心，线段的延长线交的外接圆于，设的外接圆半径为，内切圆半径为，则________． 6．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 7．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． (1)若AB＝4，BC＝3， ①求Rt△ABC外接圆的半径；②求Rt△ABC内切圆的半径； (2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 8．如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 9．与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 重难点四 正多边形与圆的综合 ①中心角公式：（为边数）； ②连接半径、作边心距，构造直角三角形，三边分别为：半径、边心距、边长的一半，满足勾股关系； ③利用三角函数求边长、边心距、面积； ④分清外接圆半径（正多边形半径）、边心距两个概念。 1．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 5．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 6．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 7．如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 重难点五 圆内知识综合 ①熟记垂径定理、圆周角定理、切线性质、弧弦圆心角关系； ②看到弦，作弦心距，构造垂径直角三角形；看到直径，优先用直径所对圆周角为；看到切线，连接切点与圆心，得到垂直； ③综合勾股定理、相似三角形、方程思想列式求解。 1．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知⊙的半径为1，锐角三角形内接于⊙，于点，于点，则的值等于(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点位于两侧，连结交于点.点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是（  ） A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 4．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为________． 5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，CD=6，OA交BC于点E，则AE的长度是_____． 6．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的与x轴交于A、B两点，AC为直径，，，连结BC，点P为劣弧上点，点Q为线段AB上点，且，与交于点，则当 NQ平分时，点P坐标是________. 7．如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 8．【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， (1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 (2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 (3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 重难点六 圆与三角形综合 ①直径条件：直径所对圆周角； ②切线条件：半径切线； ③结合三角形内角和、外角性质、全等、相似转化边角； ④有内切、外接圆时，选用对应半径公式参与计算。 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 2．如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，过点，的分别交，于，两点，连接并延长交于点，连接，．若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 5．在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 7．如图，是的直径，点在上，的边与相切于点．与相交于点，与相交于点，连接交于点，交于点， ，连接．若，则 _____， _____． 8．如图1，为的对角线，的外接圆交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接、，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 重难点七 圆与四边形综合 ①圆内接四边形：，外角=内对角； ②遇到切线，利用切线长相等、切线垂直半径； ③把四边形拆成多个三角形，用勾股、相似、三角函数完成线段、角度转化。 1．如图，在平行四边形中，，点，在上，点在上，，则的度数为（    ）    A．112.5° B．120° C．135° D．150° 2．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（　　） A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° 4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，若QP＝QO，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 5．设圆内接四边形满足：，，，，，，的内切圆直径分别为，，，．则的值为_____．（用，，表示） 6．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 7．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 8．已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 重难点八 圆与函数综合 ①两点间距离公式，用来求圆心、定点之间距离； ②由函数解析式得到点坐标，转化线段长度； ③直线与圆位置关系判定：比较圆心到直线距离和半径； ④设动点坐标，列方程求解，留意多解情况。 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 3．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 4．如图，点P在双曲线上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是_______． 5．平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于点，连结．直线分别交于点（点在左侧），交轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式； (2)点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 7．如图圆弧以为圆心，4为半径所作的半圆弧．是其上一动点（不与、重合），连接，取其中点为，连接，则： (1)已知圆弧对应的曲线方程为．以每单位时间1个轴单位长度的速度从点向点运动．运动时间后，连接，求的面积关于时间的函数关系式，并求出的取值范围． (2)过点作直线，交直线于点，设．在（1）的条件下，用含的式子表示的长度关于时间的函数关系式． (3)当（1）中取得最大值时，求（2）中的值． 8．平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 重难点九 与圆有关的最大值问题 ①定点到圆上动点距离最大值：（圆心，半径）； ②面积最值常结合二次函数求最值； ③角度最大值模型：定点对圆上动点的最大角，优先找隐圆； ④验证取等条件：动点是否在对应弧上。 1．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是（     ） A．8 B．9 C． D． 4．如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5．在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是______． 6．如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 7．如图，已知为半圆O的直径，，，E为上一点，绕点E顺时针旋转得到，射线交于点G，则的最大值为______． 8．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 _______． 9．如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 10．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则，若两个圆内切则，已知两圆的半径分别为方程的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的最大值为________． 重难点十 与圆有关的最小值问题 ①定点到圆上动点距离最小值：（）； ②线段和最小：结合轴对称+两点之间线段最短； ③隐圆模型中，先确定圆心、半径，再套用距离最值公式； ④检验动点位置，排除取不到的情况。 1．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 2．如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作直线的垂线交直线于点，当点在平面内运动时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 6．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 7．如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 8．如图．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，若，，，则的面积最小值为______． 9．如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 10．如图，是的直径，为圆心，，是的切线，点是切线上一点，且，点在上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是______，最小值是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题22 圆的综合及压轴 重难点一 圆外接四边形模型 ①核心结论：对边和相等（由切线长定理推出）； ②每个顶点引出的两条切线长相等，先标记相等线段，再列方程求未知边长； ③面积公式，其中半周长，可反求内切圆半径； ④常用于求边长、周长、内切圆半径；⑤注意与圆内接四边形（对角互补）区分，勿混淆性质。 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 2．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   【答案】 【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F， AB=AB1=，∠BAB1=30°， ∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30° ∴∠OAF=30°，∠AB1O=45° ∵OF⊥AB1 ∴B1F=OF=OA 设B1F=x，则AF=-x ∴（-x）2+x2=（2x）2 解得x=或x=（舍去） 即四边AB1ED的内切圆的半径为. 故答案为. 3．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】 证明：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 4．阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 重难点二 与直角三角形和内切圆有关的计算 ①直角三角形内切圆半径公式：（为直角边，为斜边），通用三角形内切圆半径公式：（是面积，是周长）； ②借助切线长定理标记相等线段； ③搭配勾股定理列方程计算，区分内切圆半径与外接圆半径。 1．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 2．《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 3．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 5．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 6．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为______．      【答案】1 【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴，   ∴，   设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 如图所示，连接 ∵分别与，，相切，切点分别为，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为；1．      7．如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，． 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为1； （2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，．，，． ∴四边形为正方形， ∵， ∴四边形为正方形，   ∴， ∴． ∵Q是的外心， ∴， ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． 8．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 9．已知：如图1，在中，，，，与边、相切于点、．求： （1）当的半径为2时，求弧的长， （2）当与边相切时，求的半径。 （3）如图2，当的半径为时，与交于、两点，求的长， 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）如图，连结、， ∵圆与、相切于点、，， 又∵，∴， ∴弧． （2）解：当与边相切时，为的内切圆； ， ， 解得：． （3）如图，连结、、、，作于点， ∵，，， ∴，∴， 在中，， ∵，∴， ∴． 重难点三 三角形内切圆与外接圆综合 ①外心：三边垂直平分线交点，外接圆半径，外心到三顶点距离等于； ②内心：三条角平分线交点，内切圆半径，内心到三边距离等于，通用公式； ③在等腰、直角三角形中利用对称轴简化图形；④结合勾股定理、三角函数建立、、边长之间的等量关系。 1．如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 2．如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：如图，设的延长线与相交于E，作直线与分别交于点G、H，连接、．作直径，连接、、．设与的切点为D，连接． 设的半径为R的半径为． ∵， ∴， ∴，即①， ∵D为切点， ∴ ∵为直径， ∴ ∵， ∴， ∴，即，②， ∵I为的内心， ∴， 在中，∵ ， ∴， ∴③， 由②③得，④， 由①④得，． 由题意知，，代入得， 解得（负值舍去）， 故选：B． 3．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 4．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 5．如图，为的内心，线段的延长线交的外接圆于，设的外接圆半径为，内切圆半径为，则________． 【答案】20 【分析】连接，，作于，记外接圆圆心为，连接交圆于，连接，先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：连接，，作于，记外接圆圆心为，连接交圆于，连接，如图： 为的内心， 平分， ， 又为的内心， ， ∵， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ，即． 6．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 7．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． (1)若AB＝4，BC＝3， ①求Rt△ABC外接圆的半径； ②求Rt△ABC内切圆的半径； (2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 【答案】(1) ①; ②1 (2) 【详解】（1）解：（1）①如图1，取AC的中点H， ∵， ∴点H是的外接圆圆心． ∵，，， ∴A ， ∴的外接圆半径为； ②如图2，过点O作于点E，于点F，于点G， 则． ， ∴四边形OEBF是正方形， 设半径为r，则， 是的内切圆，，， ∴，， ∴.， 在中，， ， 解得或(不符合题意舍去)， 内切圆的半径为l； （2）解：如图2，设半径为r，则，． 是的内切圆， . ， , ， 解得， 的半径为． 8．如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)证明：点是的内心， ， 是所对的圆周角， ， 而， ， ， 为等腰三角形． (2)证明：由（1）知， 又， ， ， 又， ， ， 且为公共角， ， ， ， ， ， ， ， ． (3)是定值， 连接交于点，作于点，连接，， 由（2）知， 垂直平分，点在上， 同理可证点也在上， ， ， 又， 垂直平分于点． 设，则． 由（2）得， ， ， ． ， 即， 解得， ． 在Rt中，， 又， ， ， ， ． 9．与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)2 (2)5(3)①证明：如图3，连接， ∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H， ∴，，，，，，，，， ∴， 即， 设， 则，，，， ∴，， ∴； ②，的长为 【详解】（1）解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、， 根据题意，，，， ∴，， ∵的内切圆与的切点分别为， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 解得， 即的内切圆半径为2； （2）解：如图2，过点作于点，连接、、， ∵，是边上的中线， ∴，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵点是的外接圆圆心， ∴点在的垂直平分线上，， ∴点在直线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点是的内切圆圆心， ∴平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5； （3）①略 ②解：由①得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵四边形拥有外接圆， ∴，， ∴，， 即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，即， 解得； 综上，内切圆的半径，的长为． 重难点四 正多边形与圆的综合 ①中心角公式：（为边数）； ②连接半径、作边心距，构造直角三角形，三边分别为：半径、边心距、边长的一半，满足勾股关系； ③利用三角函数求边长、边心距、面积； ④分清外接圆半径（正多边形半径）、边心距两个概念。 1．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 2．如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由M、N是边、与的切点可以得到，求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【详解】解：连接、，如下图所示， 、N是边、与的切点， 、， ， 正五边形的内角和为：， ， 在四边形中，，， ， ． 3．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 4．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【分析】连接 交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接 交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 5．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 6．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【答案】/45度 【详解】解：四边形是的内接正方形， ， 与都是所对的圆周角， ． 7．如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 【答案】 【详解】解：正六边形内接于半径为的， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是正方形， 正方形的面积为，，， ， ， ， ． 重难点五 圆内知识综合 ①熟记垂径定理、圆周角定理、切线性质、弧弦圆心角关系； ②看到弦，作弦心距，构造垂径直角三角形；看到直径，优先用直径所对圆周角为；看到切线，连接切点与圆心，得到垂直； ③综合勾股定理、相似三角形、方程思想列式求解。 1．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H， ∵E为弧AD中点， ∴OE⊥AD，BH＝DH， ∵BE∥CD， ∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K， ∴△BHE≌△DHK（AAS）， ∴BE＝KD＝2x，EH＝KH， ∵BE∥CD， ∴△KCO∽△EBO， ∴， ∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点， ∴， ∴KO＝1，KC＝x， ∴KE＝KO+OE＝1+2＝3， ∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5， ∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2， ∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52， 解得：x， ∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x， 故选：B． 2．如图，已知⊙的半径为1，锐角三角形内接于⊙，于点，于点，则的值等于(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【详解】连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠C=∠E， 由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°， 所以△ABE和△BCD都是直角三角形， 所以∠CBD=∠EAB， 又△OAM是直角三角形，∵AO=1， ∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长， 故选A． 3．如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点位于两侧，连结交于点.点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是（  ） A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】B 【分析】先证明Rt△OPC≅Rt△DQO，得到OP=DQ.再证明△CPE∽△DQE，得到PE=PC，EQ=OP，S面积和=SPEC+SDEQ=，由勾股定理求得和，和不变. 【详解】连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y． ∵PC⊥AB，QD⊥AB， ∴∠CPO=∠OQD=90°， ∵PC=OQ，OC=OD， ∴Rt△OPC≅Rt△DQO， ∴OP=DQ=y， 设PE＝a,则EQ＝x＋y－a, ∵△CPE∽△DQE， ∴ 即 解得：a＝x, ∴PE＝x,EQ＝y, ∴S面积和=SPEC+SDEQ= 在△CPO中,由勾股定理得:CP2+OP2=OC2, 即x2+y2=25， ∴S面积和=SPEC+SDEQ= = = 与的面积和始终不变． 故选B． 【点睛】本题考查圆，三角形全等和相似的应用，读懂题意正确转化条件是解题关键. 4．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为________． 【答案】（3，3） 【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP=45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可． 【详解】： ∵OB=4，OA=2， ∴AB==2， ∵∠AOP=45°， ∴P点横纵坐标相等,可设为a,即P(a,a)， ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点,坐标C(1,2)， P点在圆上,P点到圆心的距离为圆的半径， 过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F， ∴∠CFP=90°， ∴PF=a−2,CF=a−1,PC=， ∴根据勾股定理得：(a−2)2+(a−1)2=()2， 解得：a=3， ∴P(3,3)； 故答案为(3,3). 5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，CD=6，OA交BC于点E，则AE的长度是_____． 【答案】3 【详解】∵△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠CBA=∠BCA=30°． ∴∠BDA=∠ACB=30°． ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°，∠BDA=30°， ∴∠BOA=2∠BDA =60°， ∴∠OBC=∠BOA-∠BCA=60°-30°=30°, ∵OB、OA为⊙O的半径， ∴△OAB为等边三角形， ∵∠OBC=∠CBA=30° ∴E是OA中点，BC⊥OA, ∵∠BCD=90°, ∴OA∥CD, ∵∠BAC=120°，AB=AC, BC⊥OA, ∴E是BC中点, ∵O是BD中点 ∴， ∴AE=OE=3. 6．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的与x轴交于A、B两点，AC为直径，，，连结BC，点P为劣弧上点，点Q为线段AB上点，且，与交于点，则当 NQ平分时，点P坐标是________. 【答案】(，) 【分析】作MK⊥AB，ME⊥BC，PF⊥MK，求证出，，再证明△QMN△QBN，证明出并设MN=BN=x，则EN=4-x，求出x，再证明出△EMN△PMF， 利用相似求出FK=MK-MF=4-=，OK+PF=5+=,即可求出坐标． 【详解】如图：作MK⊥AB，ME⊥BC，PF⊥MK， ∵ME⊥BC，AB⊥BC，， ∴ , ∴ , 又直径，，， ∴BC=8， 同理：， ∵， ∴∠QMN=∠NBQ=90°， ∵NQ平分， ∴QM=QB， ∴△QMN△QBN， ∴MN=BN， ∵ME⊥BC， ∴, 设MN=BN=x，则EN=4-x， ∵ ， ∴， 解得x=， ∴MN=BN=，则EN=， 又PF⊥MK，ME⊥BC， ∴△EMN△PMF， ∴， ∵MP=5， ∴ ， 解得MF=，PF=， ∴FK=MK-MF=4-=，OK+PF=5+=, 即P点纵坐标为，横坐标为， 即P点坐标为(，)． 故答案为：(，)． 【点睛】此题考查角平分线，勾股定理，三角形全等，三角形相似和圆的相关知识等，难度较大． 7．如图，是的直径，点为上一点，交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的直径为5，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， ， ． 又， ， ，即； (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理和圆周角定理的推论可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，解直角三角形可得，再根据勾股定理可求出，根据，求出即，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 是的直径， ． 的直径为5，， ． 在中，由勾股定理得，， ，， ，即． 在中，． 8．【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， (1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 (2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 (3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 【答案】(1)∵ ， ∴ ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）连接，由同弧所对圆周角相等得 ，，证，利用相似三角形对应边成比例得 ． （2）设 ，则 ，由相交弦定理 ，代入 得，解得，故． （3）由相交弦定理得为定值，当时，即时最小，由得，故的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：设，由得， 由相交弦定理得，， 代入得，， 化简得： ，即， ， ∴ ， （3）解： ， ， 由相交弦定理得， ，即为定值， 如图，过作垂足为， 则， 为半径是定值， 当最大时，最小， 当点与点重合时，最大， 此时，即 时，最小， 由 且，得： ，解得， 的最小值为 ． 重难点六 圆与三角形综合 ①直径条件：直径所对圆周角； ②切线条件：半径切线； ③结合三角形内角和、外角性质、全等、相似转化边角； ④有内切、外接圆时，选用对应半径公式参与计算。 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 2．如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 3．如图，在中，，过点，的分别交，于，两点，连接并延长交于点，连接，．若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形内接于知，据此得，由是的直径知及，再根据四边形是的内接四边形知，从而证 得，根据是等腰直角三角形知，继而可得答案． 【详解】解：四边形内接于，且，    ， ， 是等腰直角三角形， ， 又是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 中，、， ． ， ， ， ， ， ， ． 故选C． 4．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 5．在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，首先根据题意得到点A，F，P三点共线，然后证明出四边形是矩形，得到，证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，    由题意可得，点E、F、D共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A，F，P三点共线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，是的弦，半径交弦于点，交于点，若，，，则圆心到的距离为_______． 【答案】 【分析】设交于点，连接，由垂径定理可得，则，设，在和中，由勾股定理列式计算可得的值，进而可得的长． 【详解】解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 即圆心到的距离为． 7．如图，是的直径，点在上，的边与相切于点．与相交于点，与相交于点，连接交于点，交于点， ，连接．若，则 _____， _____． 【答案】 【分析】根据切线的性质及平行四边形的性质推出，利用垂径定理求出，在中利用勾股定理求出，再利用相似三角形求出；由圆周角定理得出，确定，证明，利用三角函数求出，进而求出、、，最后构造直角三角形利用勾股定理求出． 【详解】解：与相切于点，是直径， ， 四边形是平行四边形， ∴， 于点， 是直径， ， 在中，， ， 连接， ， 是直径， ， ， ∴， ∵， ， ，即 ， ， ； ，是直径， ， ， ， 、、共线， ， 是切线， ， ， ， 又， ， ，即 ， 过点作 交的延长线于点， 则四边形 是矩形， ，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作 于点， 在 中，， ∴，， ， ， ， ， 在 中， ． 8．如图1，为的对角线，的外接圆交于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接、，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； (2) 证明： ，经过圆心， ， ， ， ， ， 又， ； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）延长交于点， ， ， ， 设，则，， 由（2）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线， 点到两边的距离相等， ， ， ， ， ，即， ， 由（2）可知：是的平分线，同理，，即， ， 设的半径为， ， ， 解得，即， 设， 在和中，， 即， 整理得，即， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，综合运用这些知识． 重难点七 圆与四边形综合 ①圆内接四边形：，外角=内对角； ②遇到切线，利用切线长相等、切线垂直半径； ③把四边形拆成多个三角形，用勾股、相似、三角函数完成线段、角度转化。 1．如图，在平行四边形中，，点，在上，点在上，，则的度数为（    ）    A．112.5° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】延长DO交AB于点H，连接OB，证明，OD是的角平分线，求得，进行求解即可； 【详解】延长DO交AB于点H，连接OB，    ∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴OD是的角平分线， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可． 2．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（　　） A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48 【答案】A 【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得． 【详解】过圆心O作OE⊥CD于点E， 连接OD.则DE=CD=×6=3， 在直角△ODE中,OD=AB=×10=5， OE===4. 则S四边形DMNC=OECD=4×6=24. 故选A. 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】B 【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°. 【详解】如下图，连接AD，BD， ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°， ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°-20°=70°， ∴∠BCD=180°-70°=110°. 故选B 4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，若QP＝QO，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m， QA=r-m． 在⊙O中，根据相交弦定理，得QA×QC=QP×QD． 即（r-m）（r+m）=m×QD，所以QD=． 连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2， 即()2=r2+m2， 解得m= 所以， 故选D． 考点：1.相交弦定理；2.勾股定理． 5．设圆内接四边形满足：，，，，，，的内切圆直径分别为，，，．则的值为_____．（用，，表示） 【答案】 【分析】设，，，的内切圆圆心分别为，，，，作，，交，于点，，作，，交，于点，，由切线的性质可得，， 由切线长定理，可得，，由圆内接四边形对角互补，可得，证明，证明，，设，，，，，，可得，，即可得． 【详解】解：设，，，的内切圆圆心分别为，，，， 作，，交，于点，，则， 作，，交，于点，，则， ∴点，，，为切点，，，，，    ∴，， ∴，， 又由题意可知， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，    ∴， 设，，，，，， 则，，， ∴，， ∴， 同理可得， 在上取点，使， 由圆内接四边形性质，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 6．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，，证明四边形是等腰梯形，，，可得是等腰三角形．证明共线，故只需求的范围，考虑下面两种极端情况：当C、D、G重合于一点G时，当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，， ，，，，且， ，， ∴， ∴， ∴，而不平行， ∴四边形是等腰梯形，，， ∴，， ∴是等腰三角形． ∴，而，， ∴共线， 而，， 故只需求的范围，考虑下面两种极端情况： 当C、D、G重合于一点G时， ∵，， ∴结合勾股定理可得， ∴， ∴是等边三角形， 此时； 当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形， 此时． 又以上两种极限情况均取不到，所以． 故答案为： 7．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 8．已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，， ， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 重难点八 圆与函数综合 ①两点间距离公式，用来求圆心、定点之间距离； ②由函数解析式得到点坐标，转化线段长度； ③直线与圆位置关系判定：比较圆心到直线距离和半径； ④设动点坐标，列方程求解，留意多解情况。 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 2．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      3．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 4．如图，点P在双曲线上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是_______． 【答案】12 【分析】利用P点在双曲线上且以点P为圆心的P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF列出OE与OF之间的关系即可. 【详解】设圆P与坐标轴分别相切与A点与B点，连接PA、PB，则PA⊥x轴，PB⊥y轴，设圆P的半径为R. ∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°， ∵PF⊥PE ∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE 又∵AF=BE， ∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R， ∵点P的坐标为（R,R） ∴R²=36， ∴R=6（-6舍去） ∴OF-OE=12 5．平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点． （2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围． （3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 6．如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于点，连结．直线分别交于点（点在左侧），交轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式； (2)点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)； (2)的长为5或10或 【详解】（1）解：∵经过原点，分别交轴、轴于点，且， ∴为的直径， ∵点M是的中点，， ∴， ∴圆的半径为， 设直线的表达式为， 代入、得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵直线分别交于点， 不妨设点D的坐标为，则， ∴， 解得或， 当或时，对应的值为3或5， ∵点在点的左侧， ∴、； 如图，过点D作于点H，过点E作于点G， 则，， ∵， ∴， 由点A、E的坐标，同理可得， ∵、，、 ∴，，，， ①当时， 则为等腰直角三角形，， ∴点P的坐标为，即； ②时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； ③时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为5或10或． 7．如图圆弧以为圆心，4为半径所作的半圆弧．是其上一动点（不与、重合），连接，取其中点为，连接，则： (1)已知圆弧对应的曲线方程为．以每单位时间1个轴单位长度的速度从点向点运动．运动时间后，连接，求的面积关于时间的函数关系式，并求出的取值范围． (2)过点作直线，交直线于点，设．在（1）的条件下，用含的式子表示的长度关于时间的函数关系式． (3)当（1）中取得最大值时，求（2）中的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，三角函数， （1）过作于，先由圆可得，，，再根据题意可得点的横坐标为，，，，代入圆弧对应的曲线方程为解得，再根据中点得到，代入计算即可； （2）在（1）的条件下，，，，得到，再证明为中位线，得到，结合，得到，即可得到，整理化简即可； （3）由（1）得，得到当时，最大，此时取得最大值，最大值，再由（2）得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， ∵圆弧以为圆心，4为半径所作的半圆弧．是其上一动点， ∴，，， ∴以每单位时间1个轴单位长度的速度从点向点运动．运动时间后，点的横坐标为，，，， ∵圆弧对应的曲线方程为． ∴， 解得， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∴，， 连接， ∵为中点，， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∵直线，， ∴， ∴， ∴， 整理得； （3）解：由（1）得， ∴当时，最大，此时取得最大值，最大值， 此时由（2）可得，，，，， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴当（1）中取得最大值时，（2）中． 8．平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点对于圆C上任一点P，都有为常数 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连OA、OQ，根据切线的性质得方程，求解即可得到答案； （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，；当P为圆O与x轴右交点时，，通过解方程得N的坐标，设，则，然后根据比值即可确定问题的答案． 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）连OA、OQ， 是的切线， ， ，， 又， ， ， 整理得：． （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，； 当P为圆O与x轴右交点时，，依题意，， 解得，（舍去），或， 下面证明点对于圆O上任一点P，都有为一常数． 设，则， ， 从而为常数． 重难点九 与圆有关的最大值问题 ①定点到圆上动点距离最大值：（圆心，半径）； ②面积最值常结合二次函数求最值； ③角度最大值模型：定点对圆上动点的最大角，优先找隐圆； ④验证取等条件：动点是否在对应弧上。 1．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 2．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是（     ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线解析式及顶点，根据与轴相切，得到半径为，取点，连接，则，得到是中位线，，当经过圆心时最大，此时最大． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线， ∴抛物线顶点， ∵与轴相切， ∴半径为， 取点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当经过圆心时最大，此时最大，为半径，则， ∵， ∴， ∴，即的最大值为． 4．如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，证明是等边三角形，进而证明，得到，是等边三角形，且为定值，因此当最小时，取得最大值，结合垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，，设正六边形的边长为， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴是等边三角形， 为定值， ∴， ∴当最小时，取得最大值， 同理：， ∴当最小时，最小， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 5．在中，，，，点是的内心，直线经过点，过点作，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为，由勾股定理得，又，所以，因为点是的内心，所以求得，则，通过，得，从而可知点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图，当三点共线时，有最大值，为，最后由坐标系中两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过分别作垂线，垂足分别为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径，中点为圆心的圆上运动，如图， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当三点共线时，有最大值，为， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，坐标系中两点间的距离，勾股定理，三角形内心，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选B． 7．如图，已知为半圆O的直径，，，E为上一点，绕点E顺时针旋转得到，射线交于点G，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理等知识点．设射线与的交点为C，连接，，根据已知条件可得是等腰直角三角形，要使有最大值，等价于有最小值，由于为定角，所以有最小值等价于能取到最小值，过点O作，在等腰直角三角形中，，即的最小值为，此时点G与点N重合，过点O作，求出和的值，设，则，，，利用勾股定理列出方程求解a的值，进而得出的值，最终可求出结果． 【详解】解：如图，设射线与的交点为C，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， 要使有最大值，等价于有最小值， ∵为定角， ∴有最小值等价于能取到最小值， 过点O作， 在等腰直角三角形中，， 即的最小值为，此时点G与点N重合， 如图，过点O作， 在中，，， 由垂径定理可得，， 在中，， ∴，， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 即的最大值为， 故答案为：． 8．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 _______． 【答案】/ 【详解】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点O作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 则， ∴， ∴当最大值时，值最大， 令， 则， ∵，∴， ∴当，即时，y有最大值， ∴， 故当时，最大，最大值为：； 当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点P作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ， ∴， ∵，， ∵时，随x的增大而增大，也随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为． ∵ ∴的最大值为． 故答案为：． 9．如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 10．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则，若两个圆内切则，已知两圆的半径分别为方程的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的最大值为________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得，，再分两圆内切和两圆外切两种情况分类讨论即可确定正确的答案． 【详解】解：∵两圆的半径分别为方程的两个根， ∴，， 当两圆外切时，， 解得：； 当两圆内切时，， ∴， ∴， ∴， 解得（正值已舍去）， ∵， ∴m的最大值为． 重难点十 与圆有关的最小值问题 ①定点到圆上动点距离最小值：（）； ②线段和最小：结合轴对称+两点之间线段最短； ③隐圆模型中，先确定圆心、半径，再套用距离最值公式； ④检验动点位置，排除取不到的情况。 1．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 2．如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作直线的垂线交直线于点，当点在平面内运动时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作交于点， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴当最小时，最大， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当且仅当点与点重合，即时，最大，此时，与相切，切点为点， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴的最小值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 4．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的半径性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理、线段垂直平分线判定、垂线段最短原理，以及含角直角三角形的性质．先由圆的半径相等推出为等边三角形，得到；再利用直角三角形斜边中线定理，结合线段垂直平分线判定，确定点在的平分线上运动；最后根据“垂线段最短”，找到垂直于时的最小值，结合含角直角三角形的性质，算出最小值为． 【详解】解：如图，连接，，过点作， 分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为， ， 是等边三角形， ， 为的斜边的中点， ， 为的边的垂直平分线， ，即点在的平分线上运动， 根据从直线外的一点到直线的垂线段是所有连接该点与直线的线段中最短的，则当点与点重合时，有最小值，此时． 故选：C． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 【答案】 【分析】先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，如图，则， ∵的半径不变，， ∴长随着的变化而变化，即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， 在中，，， 由勾股定理得：，点是的中点， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴的周长最小为． 6．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】可证明得到，再证明，得到；过点作于点，过点作于点，则，据此可求出；过点作，交直线于点，则四边形是矩形，可得，根据，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作，交直线于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴当点于点重合时，有最小值，最小值为5． 7．如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 【答案】 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小，据此求解即可； 【详解】解：对于抛物线， 令，得到， ， 令， 解得：或2， ， ∵是切线， ， ， ， 故的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，若，，，则的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系等．连接，过点作轴于，可得，则，设交于，过点作圆的切线，可知此时的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于， ，，， ，， ，，， ， 设交于，过点作圆的切线，则切线平行于， 此时的面积最小， 半径为， ， 的面积最小值为 故答案为：． 9．如图，在中，，，，则的面积是________；若经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是________． 【答案】 【分析】先求出为直角三角形，且，由圆周角定理可得是圆的直径，设的中点为，圆与边的切点为，连接、、，则，、为圆的半径，从而得出，由，并结合垂线段最短可得，当时，的值最小，最后利用三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴是圆的直径，， 设的中点为，圆与边的切点为，连接、、， 则，、为圆的半径， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值是． 10．如图，是的直径，为圆心，，是的切线，点是切线上一点，且，点在上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转得到，连接、，由题意得，，证明，得到，又利用勾股定理得，最后根据三角形的三边关系得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接、，将绕点逆时针旋转得到，连接、， 由题意得，，， ，， ， ，， ， ， 是切线， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ， 的最大值是，最小值是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $