专练35 辅助线技巧(一)旋转&专练36 辅助线技巧(二)旋转90°构造等腰直角三角形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

号E(3.-)5 3 专练29反比例函数与 AB=AB',∴.∠B=∠AB'B= 几何（二）等腰三角形 ∠C+∠CAB'=2∠C,∴∠C S△cDB+S△cDE ×2×6+2 典例导练 +2∠C=75°，∴.∠C=25°， 16 ∴.∠C'=∠C=25 315 2X 22 2.(1)连接AP,利用HL易证Rt 专练24 反比例函数的增减性 知能检测 △APE≌Rt△APC. 典例导练 27 1. (2)由旋转的性质，可知∠B B ∠D,DE=BC=8,AD∥ 知能检测 2.(1)y=-x BC,.∠B=∠DAB,∠D= 1.-2≤y≤-1x≥2或x<0 (2)过E作EF⊥x轴于F,, ∠DPB,∠B=∠DPB,∠D 2.1 ∠AOB=45°，∴.∠EOF=45°， =∠DAB,∴.OD=OA,OB= 3.(1)a>3(2)a<-1 ∴△OEF是等腰直角三角形， OP,.'.PD=AB=10, (3)a>3或a<-1 ∴.EF=FO, ∴.PD=DE+PE=10,∴.PE 专练25求反比例函数的解析式 .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴ =2,∴.BP=BC-PC=6. 典例导练 专练32旋转计算（二）旋转 示范题1一4 B0=号0B=4E,AB+A0 中的分类讨论 示范题2C =2AB2=B02=(62)2 典例导练 知能检测 ..EF=OF=4,AB=6, 9或63 1.y=18 2.53.y=- ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入 知能检测 专练26反比例函数与 得 y=k =一4，解得k=一 1.75°或105 代数（一）不等式 2.①将△AB℃绕点A顺时针旋转 16 方法规律 16,.y= 15°时，由旋转的性质得到： x a<x<0或x>bx<a或b<x ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD 设BD=CD=b,则C(6一b,b <0a<x<0或x>b =∠EAC=15°， +6),把C(b-6,b+6)代入y 典例导练 ∴.∠AFB=∠EAC+∠C=45°， 1 2,得b+6= 16 ①②③④ 6662 .∠ABC=90°，∴.AB=BF=2. 知能检测 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，由 =20,∴.BC2=2b2=40,.OB2 -1<x<0或1<x<4 勾股定理，可计算BC=25, -BC2=(6√2)2-40=32. 专练27反比例函数与 ∴.CF=BC-BF=2/3-2. 专练30反比例函数与 代数（二） 一元二次方程 ②将△ABC绕点A逆时针旋转 几何（三） 特殊四边形 典例导练 15°时，由旋转的性质得到： 典例导练 ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD (1)y1=- 2x+3 3 =∠CAE=15°，∴.∠F=∠ACB 知能检测 (2)3±2√2 -∠CAF=15,∴.∠F=∠CAF= 1.162.33.12 知能检测 15,∴.AC=CF,.∠ABC=90°， (1)3(2)0<x<1或x>3 专练31旋转计算（一）巧用 ∠BAC=60°，AB=2,.AC= 专练28反比例函数与 旋转进行计算 4,∴.CF=4.综上所述，CF的 几何（一）面积问题 典例导练 长为25-2或4. 典例导练 40 专练33旋转作图（一） 无刻度 2 知能检测 直尺网格作图 知能检测 1..'∠BAC=105°，∴.∠B+∠C= 典例导练 12n 75°，AB=CB',∴.∠C= (1)90 1.32.223.6 n+1 ∠CAB',由旋转的性质可知 (2)图略，B1(3,3),E(一3,5)，F 67 (-4,2). BD=CF=2x,DE-FE-6-=4em,OE =OC2-CE?= 知能检测 3.x,在Rt△CEF中利用勾股定 3cm,∴.EF=OF-OE=lcm. (1)图略.(2)图略。 理可得出FE=√3x,建立方程：(2)当AB,CD在圆心O的两侧 (3)取格点D,使四边形ABDC为 求解x. 时，过O作OF⊥AB于F,OE⊥ 平行四边形，作直线AD,交BC于 专练36辅锄线技巧（二）旋转90°，CD于E,连接AO,CO,同理可 点O,则直线AD即为所求 构造等腰直角三角形 得OF=4cm,OE=3cm,EF= 专练34旋转作图（二） 确定 典例导练 OF+OE=7(cm),∴.AB与CD 旋转中心的位置 (1)将△BCP绕点B顺时针旋转：的距离为7cm或1cm. 典例导练 90°得到△BAE,然后连接PE,图知能检测 图略 略.(2)由旋转的性质知∠PBE=1.过点O作OE⊥AB于点E, 知能检测 90°，△BCP≌△BAE,.BP= 连接OA,OD,由题意，得AB 1.(1)连接BB′、AA',二者交于 BE,PC=AE,∴.∠BPE= =6,AE=BE=3,CE=1, 点M,图略 ∠BEP=45°.，PA=1,PB=2, 设OE=x,由勾股定理得：OA (2)连接AC、BD,二者的垂直平 PC=3,PE=√2PB=2√2， =x2+9,OC2=x2+1, 分线的交于点O,图略 .AE2=AP2+PE2,∴.∠APE= CD⊥OC,.CD2=OD2 2.(2),△BCE为等腰直角三角形， 90°，∴.∠APB=∠APE+∠BPE= OC2=x2+9-(x2+1)=8, 点O为斜边BE的中点，.CO1 90°+45°=135. .CD=22(舍去负值) BE,∴.旋转角∠COE=90° 知能检测 2.√5-1 专练35辅助线技巧（一）旋转60°， 1.DG AFG EF-BE+FD 专练38 垂径定理与勾股 构造等边三角形 2.GH2=AG+CH,证明：将 定理（二）“知二推三” 典例导练 △BCH绕点B逆时针旋转90° 典例导练 6 得到△BAM..'BA=BC, 知能检测 ∠ABC=90°，∴.∠BAC=∠C知能检测 1.如图，将△AOB绕点A逆时针 旋转60°，使得AB与AC重合， =45°，由旋转的性质可知：BH1.B 点O旋转至点O',连接OO', =BM,∠C=∠BAM=45,2.令y=0,则x2-x-=0, 3 则△AOO'是边长为3的等边 ∠HBM=90°，∴.∠MAG= 三角形，△COO是边长为3、4、 ∠BAM+∠BAC=90°， ∴.4x2-4x-3=0,即(2x+1) .∠HBG=45°，∴.∠GBM= (2x-3)=0,解得x1=- 1 5的直角三角形，∴.S△Ac十 2 ∠ABG+∠ABM=90°-∠HBG S△AOB=S四边形A0c0=S△D0十 1 =45,∴.∠HBG=∠MBG,. 3 Sm=号X3X4+豆 x2= ×3× BG=BG,.△BGH≌△BGM 2, 33 (SAS),∴.GH=GM, 2 6+93 4 ,∠MAG=90°，∴.AMP+AG= ∴圆心M的坐标为(2,0)， 2.将△ABD绕点A逆时针旋转 GM,∴.GH=AG2+CH2. 连接CM,则CM=MB=AM 120得到△ACF,取CF的中点 专练37垂径定理与勾股 1 G,连接EF,EG,由AB=AC, 定理（一）作弦心距 -AB=1.0M= 2 ∠BAC=120°，可得出∠ACB 典例导练 =∠B=30°，根据旋转的性质 (1)当AB,CD在圆心O的同侧 ∴0C=VCM-OM- 21 可得出∠ECG=60°，结合CF 时，过O作OF⊥AB于F交CD ∴.CD=2OC=5. =BD=2CE可得出△CEG为 于E,连接OA,OC,.AB/CD, 专练39辅助线技巧（一）】 等边三角形，进而得出△CEF ∴.OE⊥CD.由垂径定理得AF 巧构直径与直角 为直角三角形，利用勾股定理 求出BC的长度以及证明全等 FB-7AB-3em:CE-DE-2 典例导练 连接AD,OD,OE,.'AB是半⊙O 找出DE=FE,设EC=x,则 CD=4cm,∴.OF=√OA-AF的直径，∴.∠ADB=90, 6935 专练35 辅助线技巧（一） 旋转60°，构造等边三角形 【方法规律】旋转60°辅助线作图，把分散的条件集中到一个三角形中.解题时注意： 旋转前、后的图形全等」 )典例导练 类型一旋转60°→构等边三角形 示范题如图，有△ABC(∠BAC是一个可以变化的角)，AB=2,AC=4,以BC为 边在BC的下方作等边△PBC,AP的最大值为 【思路点拨】利用旋转变换和等边三角形将边的位置重新组合，如图，以 点B为旅转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A'BC,连接A'A,由旋转 B 的性质可知∠A'BA=60°，A'B=AB,AP=A'C,进而△A'BA是等边三 角形，在△AA'C中，A'C<AA′+AC,故当点A',A,C三，点共线时，AP 最大 心知能检测 1.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,求S△Ac十S△4oB的值. 类型二遇等腰旋转顶角→构旋转全等 2.如图，在△ABC中，AB=AC=2√3，∠BAC=120°，点D,E都在边BC上，∠DAE= 60°，若BD=2CE,求DE的长 36 专练36 辅助线技巧（二）旋转90°，构造等腰直角三角形 【方法规律】旋转90°辅助线作图，结合全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理 等知识求解， ③典例导练 示范题如图，点P为正方形ABCD内的一点，PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB 的度数， (1)给出辅助线作法，并画出对应的图形. (2)求∠APB的度数， 【思路点拨】(1)将△BCP绕，点B顺时针旋转90°得到△BAE,然后连 接PE (2)根据旋转的性质推知△BPE是等腰直角三角形，然后由全等三角形的对应边相 等、勾股定理求∠APE的度数 【自主解答】 心知能检测 1.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=45°， 探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方 法是将△ABE绕A点逆时针旋转90°使得B与D重合，连接AG,由此得 到BE= ,再证明△AFE≌△ ,可得出线段BE,EF, FD之间的数量关系为 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点G,H在边AC上，且 ∠GBH=45°，写出图中线段AG,GH,CH之间的数量关系并证明.