第10讲：中心对称【七大题型+知识梳理+高分演练】-2026-2027 学年人教版数学九年级上册《考点・题型・技巧》精讲与精练高分突破

第10讲：中心对称 题型一：中心对称的认识 2 题型二、判断中心对称图形 2 题型三：画中心对称图形 3 题型四、中心对称的性质求解 4 题型五：中心对称图形的规律问题 5 题型六、关于原点对称的点的坐标问题 6 题型七：中心对称综合问题 7 知识点一．中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）． 技巧：轴对称与中心对称的区别 轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分． 中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分． 知识点二．关于中心对称的图形的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形是全等图形． 技巧：．确定对称中心的方法 （1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心． （2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形 这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来． 知识点四．中点对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 知识点四．关于原点对称的点的坐标特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 题型一：中心对称的认识 【例1】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式1】．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知与关于点成中心对称，则下列判断不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二、判断中心对称图形 【例2】．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型三：画中心对称图形 【例2】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【变式1】．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【变式2】．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； (2)连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 题型四、中心对称的性质求解 【例4】．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【变式1】．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【变式2】．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为_______． 题型五：中心对称图形的规律问题 【例5】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 题型六、关于原点对称的点的坐标问题 【例6】．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 【变式1】．（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【变式2】．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 题型七：中心对称综合问题 【例7】．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【变式1】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）小慧同学用抛物线（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，将二次函数关于点、点中靠左侧点成中心对称的图象记为．则称是的“左中心对称抛物线”． (1)当时、求的函数表达式． (2)求证：抛物线的顶点坐标在第二象限． (3)当时，设抛物线的顶点为，点在平面内，若四边形是菱形，求点的坐标． (4)若抛物线及与它对应的“左中心对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【变式2】．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． (1)求反比例函数的表达式及a的值； (2)若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； (3)若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·北京西城·三模）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点关于点的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为点，点关于点的对称点为，顺次连接点，，，在四边形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为； ②点的横纵坐标之积恒为； ③对于任意的点，都存在无数个四边形是矩形； ④当点坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 12．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且．与关于点B成中心对称，与关于点C成中心对称，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为______． 三、解答题 16．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，和关于点O对称． (1)画出对称中心O； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 17．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． (1)若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； (2)点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 18．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 19．（2025·安徽·二模）已知抛物线与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴有两个交点． (2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为． ①若，求的取值范围． ②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由． 20．（2024·河南焦作·一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：中心对称 题型一：中心对称的认识 2 题型二、判断中心对称图形 3 题型三：画中心对称图形 4 题型四、中心对称的性质求解 7 题型五：中心对称图形的规律问题 9 题型六、关于原点对称的点的坐标问题 11 题型七：中心对称综合问题 13 知识点一．中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）． 技巧：轴对称与中心对称的区别 轴对称：两个图形关于一条直线对称，沿该直线翻折，两图形重合；关于一条直线对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分． 中心对称：两个图形关于一点对称，沿该点旋转180°，两个图形重合，关于一点对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分． 知识点二．关于中心对称的图形的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形是全等图形． 技巧：．确定对称中心的方法 （1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点是对称中心． （2）连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 知识点三．利用尺规作关于中心对称的图形 这类问题应首先明确对称中心的位置，再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点，最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来． 知识点四．中点对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 知识点四．关于原点对称的点的坐标特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 题型一：中心对称的认识 【例1】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点关于点对称，，，，， ，， ， ， 符合题意的有①②③． 【变式1】．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，；故只有选项D不成立． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知与关于点成中心对称，则下列判断不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确，根据对顶角相等得，故选项B正确．无法证明，故选项D错误． 题型二、判断中心对称图形 【例2】．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意． 【变式2】．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 题型三：画中心对称图形 【例2】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【答案】如图即为所求作的三角形： 【详解】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【解答】解：（1）连结并延长到，使，则点即点A关于点O成中心对称的对称点． （2）同理，作出点B，C的对称点，． （3）连结，，． 即为所求作的三角形． 【变式1】．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P， 由图可知，点P的坐标为； (2)如图，即为所求 （3）解：由（2）知和关于点O中心对称， ∵N为点M的对称点，， ∴． 【变式2】．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； (2)连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 【答案】(1)与如图所示： （2）解：如图： ． 题型四、中心对称的性质求解 【例4】．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 【变式1】．（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 【变式2】．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，则，∵， ∴， 矩形是中心对称图形，过矩形的对称中心O，∴，点为的中点， ∴， ∵将矩形的面积四等分，∴，∵点为的中点， ∴，∴，设，则， ∴，即，∴，∴，故答案为：． 题型五：中心对称图形的规律问题 【例5】．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 【变式1】．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环，∵，∴与重合，∴．故答案为：． 题型六、关于原点对称的点的坐标问题 【例6】．（2026九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数， 可得，，解得， 整理方程得， 因式分解得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，即，当时，，不符合第二象限点的要求，舍去， 当时，，符合条件， ∴，代入得． 【变式1】．（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 【变式2】．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：从图中格点可得，点的坐标为， ∵平面直角坐标系中，点绕原点旋转后，坐标变为， ∴旋转后得到点， ∵点关于轴对称的点坐标为， ∴对称后得到对应点； 如图，点旋转后得到点，点关于轴的对称的点． 题型七：中心对称综合问题 【例7】．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 【变式1】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）小慧同学用抛物线（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，将二次函数关于点、点中靠左侧点成中心对称的图象记为．则称是的“左中心对称抛物线”． (1)当时、求的函数表达式． (2)求证：抛物线的顶点坐标在第二象限． (3)当时，设抛物线的顶点为，点在平面内，若四边形是菱形，求点的坐标． (4)若抛物线及与它对应的“左中心对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【详解】（1）解：由题意，知抛物线． 当时，． 解得． 点在点的左侧． 与关于原点中心对称． 与轴的交点为． 的函数表达式为. (2) 证明：令抛物线，解得． 点． 令， 顶点坐标为. ①当时、； 点在点的左侧． 与关于原点中心对称． 的顶点坐标为． ， ． 在第二象限. ②当时， 点在点的左侧． 与关于点中心对称． 的顶点坐标为． 在第二象限． 综上所述、抛物线的顶点坐标在第二象限. （3）当时，点，． 四边形是菱形 ． ，即． 解得或或． ． 点的坐标为. （4）如图1，图2． 根据题意，得经过抛物线或的顶点或经过原点． 由（2），知抛物线的顶点的纵坐标为，抛物线的顶点的纵坐标为． ①当经过抛物线的顶点时，即． 解得. ②当．经过抛物线的顶点时，即． 解得. ③当经过原点时，即． 解得. 综上所述，的值为或1或. 【变式2】．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，N． (1)求反比例函数的表达式及a的值； (2)若将直线向下平移得到新的直线与反比例函数的图象交于点C，D，连接，，当四边形是矩形时，求平移的距离； (3)若点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线，交反比例函数在第一象限内的图象于点P．若，求点T的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线可得， ∴，即，将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立，解得或，由（1）可得，∴， ∴， 设直线向下平移的距离为，则直线向下平移后的解析式为， 联立得， 整理可得，设点，， ∵直线与反比例函数的图象交于点C，D， ∴，，、是方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，解得（不符合题意，舍去）或，∴平移的距离为； （3）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵点T在y轴上， ∴设点， 由（2）可得，， ∵点T在y轴上，作直线关于点T中心对称的直线， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点P在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点T的坐标为或． 一、单选题 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A．不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B．不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C．不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D．是中心对称图形，故D符合题意． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ，， ∴，且， ∴ ∴，， ∴点的坐标为． ∴点关于原点对称的点的坐标为． 4．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 5．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到， 当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误； ∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位， ∴平移后对称中心为，对称轴为直线和， ∴ ②③④正确，故选项B符合题意． 6．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 7．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称，点是线段的中点，设，则， 解得， 点在反比例函数图象上，，解得， 点的坐标为． 8．（2026·江西上饶·三模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵O为矩形的对称中心， ∴O为矩形对角线的交点， ∴， ∵，O为的中点， ∴E为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为：． 10．（2026·北京西城·三模）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点关于点的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为点，点关于点的对称点为，顺次连接点，，，在四边形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为； ②点的横纵坐标之积恒为； ③对于任意的点，都存在无数个四边形是矩形； ④当点坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：设动点，根据对称性质，中点坐标公式得各点坐标： ， ， ， ， 对于①：∵点是函数图象上的动点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 对于②：横纵坐标乘积为，故②错误； 对于③：，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合），当，关于点对称，，关于点对称时， 四边形为平行四边形，对于每一个确定的点都能得到一个对应， 使四边形为矩形， 点在边上有无数种取法（不与端点重合），因此存在无数个四边形是矩形，故③正确； 对于④：当点坐标为时， ∵点与点关于点对称，是的中点，， ∴， ∵垂直于轴，垂足为，， ∴， ∵点与点关于点对称，是的中点， ∴，四边形中平行且等于，是平行四边形，对称中心为， 设点在上，坐标为，， ∵四边形关于点中心对称，点的对称点在上， ∴点坐标为，且，符合的范围， 设直线解析式为，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 设点坐标为，，则点关于点中心对称的对称点坐标为，在上， ∴，， ， 若四边形是正方形，则且， ∴， 两边平方，整理变形得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 两边平方展开整理得， 将①代入②，整理得， 解得或（无实根）， ∵， ∴，代入①得，满足，故取值范围内仅有一组解，即只存在一个这样的正方形； ， ∴； 故结论④正确；综上，正确结论为①③④． 二、填空题 11．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 点关于原点对称点的坐标是． 12．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【答案】 2 10 【详解】解：连接， ∵直线经过矩形的对角线的交点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为20， ∴， ∴四边形的面积为． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且．与关于点B成中心对称，与关于点C成中心对称，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴, ∵与关于点B成中心对称， ∴, 同理可得出，，，,……, ∴，（n为正整数），又， ∴，即, 故直角顶点的坐标为． 三、解答题 16．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，和关于点O对称． (1)画出对称中心O； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)如图，点O即为所求： （2）解：∵和关于点O对称， ∴， ∴，，， ∴的周长为； (3)四边形为平行四边形， 理由：如图， ∵和关于点O对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 17．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． (1)若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； (2)点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 【答案】(1)①；② ②∵以点为对称中心的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，对称中心为点P，即原点， ∵直线l平分四边形的面积， ∴直线l过原点， ∴直线l的表达式为（答案不唯一）； （2）解：关于成中心对称的点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上，或. 18．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：与关于点O中心对称， ，，， ， 即， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：是边上一点，且，与关于点O中心对称，由（1）得， ，， ， ． 设的边上的高为h， ， ， ． 19．（2025·安徽·二模）已知抛物线与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴有两个交点． (2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为． ①若，求的取值范围． ②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：令，则， ， 抛物线与轴有两个交点； （2）解：①令， 则， 整理，得， 解得，， 与轴交于，，且点在点的左侧， ，， 即，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 此时点的坐标为或， ， 点在点和它的右侧或在和它的左侧， 或， 或， 或， ， ， 即或； ②存在，使为直角三角形，的值为2或或6， 由①知，，， 抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点， 点与点关于点对称， ， ， 点的坐标为， ， ，， 分以下三种情况： 当时，则， ， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ， 综上，存在，使为直角三角形，的值为2或或6． 20．（2024·河南焦作·一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为， ∵，共线， ∴点可以看作是点关于点的对称点， 故答案为：； (2) ①90° 连接 由对称性可得：， ∴； ②由（1）可知：共线， ∴ ∵， ∴； （3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，， ∴， ∴， ∴； ②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或 2 学科网（北京）股份有限公司 $