专练29 反比例函数与几何(二)等腰三角形&专练30 反比例函数与几何(三)特殊四边形-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

29 专练29反比例函数与几何（二） 等腰三角形 【方法规律】利用特殊三角形的性质沟通线段与坐标之间的关系. 典例导练 示范题卫知直线y-8分别交两数)>0与函数y二(>0)的图象于A,B 两点，若在函数图象上存在点C,使得△ABC恰为等边三角形，则△ABC的面积为 【思路点拨】表示出A、B的坐标，然后利用等边三角形的性质求出C的横坐标为 分两种情况讨论，分别求△ABC的面积 3 之知能检测 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，顶 y 点A,C的坐标分别为A(0,3),C(3,0),AC=2BC,函数y=(x> 0)的图象经过点B,则k的值为 2.如图，点B和点C都是第二象限内的点，∠OAB=∠BDC=90°，∠AOB=∠BCD= 45,双曲线y=冬经过点C且与OB交于点E y (1)直线OB的函数表达式为 (2)若BE:OE=1:2,OB=6√2，求OB2一BC2的值. D 0 30 专练30反比例函数与几何（三） 特殊四边形 【方法规律】利用特殊四边形的性质构造全等，利用平移的性质建立坐标之间的关系. 典例导练 示范题如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在第二象限，顶点 B恰好在x轴正半轴上，AB与y轴交于点E,A,C两点的纵坐标相同，反比例函数y= 的图象经过点C,若菱形ABCD的面积为4，点E为AB中点，则k的值为 2 【思路点拨】连接AC,BD,交于，点N,AC交y轴于K,过C作 CMLOB于M,由该形的性质得Sas-S6v-}×4-1,由题意 0 可推出四边形BMCN、四边形KOMC是矩形，则S△BMc=S△BCN,易 证△AEK2△BEO(ASA),得到S△AEK=S△BEO,进而S四边形OBNK=S△ABN,即可求出矩 形OMCK的面积，从而得到k的值. 知能检测 1.如图，在平面直角坐标系中，A(8,0),点B是直线y=一x上的动点，以OB为边作正方 形OBCD,当AB最小时，点D恰好落在反比例y=的图象上，则k的值为 0 E 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，平行四边形ABCD的顶点A在r轴上，点D在y=(>O)上，且AD⊥r轴， CA的延长线交y轴于点E.若S△AE= 则6一 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E 是x轴上一点，连接AE,若AD平分∠OAE,反比例函数y=(x>0)的图象经过 AE上的两点A,F,且AF=EF,△ABE的面积为18，则k的值为号E(3.-)5 3 专练29反比例函数与 AB=AB',∴.∠B=∠AB'B= 几何（二）等腰三角形 ∠C+∠CAB'=2∠C,∴∠C S△cDB+S△cDE ×2×6+2 典例导练 +2∠C=75°，∴.∠C=25°， 16 ∴.∠C'=∠C=25 315 2X 22 2.(1)连接AP,利用HL易证Rt 专练24 反比例函数的增减性 知能检测 △APE≌Rt△APC. 典例导练 27 1. (2)由旋转的性质，可知∠B B ∠D,DE=BC=8,AD∥ 知能检测 2.(1)y=-x BC,.∠B=∠DAB,∠D= 1.-2≤y≤-1x≥2或x<0 (2)过E作EF⊥x轴于F,, ∠DPB,∠B=∠DPB,∠D 2.1 ∠AOB=45°，∴.∠EOF=45°， =∠DAB,∴.OD=OA,OB= 3.(1)a>3(2)a<-1 ∴△OEF是等腰直角三角形， OP,.'.PD=AB=10, (3)a>3或a<-1 ∴.EF=FO, ∴.PD=DE+PE=10,∴.PE 专练25求反比例函数的解析式 .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴ =2,∴.BP=BC-PC=6. 典例导练 专练32旋转计算（二）旋转 示范题1一4 B0=号0B=4E,AB+A0 中的分类讨论 示范题2C =2AB2=B02=(62)2 典例导练 知能检测 ..EF=OF=4,AB=6, 9或63 1.y=18 2.53.y=- ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入 知能检测 专练26反比例函数与 得 y=k =一4，解得k=一 1.75°或105 代数（一）不等式 2.①将△AB℃绕点A顺时针旋转 16 方法规律 16,.y= 15°时，由旋转的性质得到： x a<x<0或x>bx<a或b<x ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD 设BD=CD=b,则C(6一b,b <0a<x<0或x>b =∠EAC=15°， +6),把C(b-6,b+6)代入y 典例导练 ∴.∠AFB=∠EAC+∠C=45°， 1 2,得b+6= 16 ①②③④ 6662 .∠ABC=90°，∴.AB=BF=2. 知能检测 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，由 =20,∴.BC2=2b2=40,.OB2 -1<x<0或1<x<4 勾股定理，可计算BC=25, -BC2=(6√2)2-40=32. 专练27反比例函数与 ∴.CF=BC-BF=2/3-2. 专练30反比例函数与 代数（二） 一元二次方程 ②将△ABC绕点A逆时针旋转 几何（三） 特殊四边形 典例导练 15°时，由旋转的性质得到： 典例导练 ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD (1)y1=- 2x+3 3 =∠CAE=15°，∴.∠F=∠ACB 知能检测 (2)3±2√2 -∠CAF=15,∴.∠F=∠CAF= 1.162.33.12 知能检测 15,∴.AC=CF,.∠ABC=90°， (1)3(2)0<x<1或x>3 专练31旋转计算（一）巧用 ∠BAC=60°，AB=2,.AC= 专练28反比例函数与 旋转进行计算 4,∴.CF=4.综上所述，CF的 几何（一）面积问题 典例导练 长为25-2或4. 典例导练 40 专练33旋转作图（一） 无刻度 2 知能检测 直尺网格作图 知能检测 1..'∠BAC=105°，∴.∠B+∠C= 典例导练 12n 75°，AB=CB',∴.∠C= (1)90 1.32.223.6 n+1 ∠CAB',由旋转的性质可知 (2)图略，B1(3,3),E(一3,5)，F 67 (-4,2). BD=CF=2x,DE-FE-6-=4em,OE =OC2-CE?= 知能检测 3.x,在Rt△CEF中利用勾股定 3cm,∴.EF=OF-OE=lcm. (1)图略.(2)图略。 理可得出FE=√3x,建立方程：(2)当AB,CD在圆心O的两侧 (3)取格点D,使四边形ABDC为 求解x. 时，过O作OF⊥AB于F,OE⊥ 平行四边形，作直线AD,交BC于 专练36辅锄线技巧（二）旋转90°，CD于E,连接AO,CO,同理可 点O,则直线AD即为所求 构造等腰直角三角形 得OF=4cm,OE=3cm,EF= 专练34旋转作图（二） 确定 典例导练 OF+OE=7(cm),∴.AB与CD 旋转中心的位置 (1)将△BCP绕点B顺时针旋转：的距离为7cm或1cm. 典例导练 90°得到△BAE,然后连接PE,图知能检测 图略 略.(2)由旋转的性质知∠PBE=1.过点O作OE⊥AB于点E, 知能检测 90°，△BCP≌△BAE,.BP= 连接OA,OD,由题意，得AB 1.(1)连接BB′、AA',二者交于 BE,PC=AE,∴.∠BPE= =6,AE=BE=3,CE=1, 点M,图略 ∠BEP=45°.，PA=1,PB=2, 设OE=x,由勾股定理得：OA (2)连接AC、BD,二者的垂直平 PC=3,PE=√2PB=2√2， =x2+9,OC2=x2+1, 分线的交于点O,图略 .AE2=AP2+PE2,∴.∠APE= CD⊥OC,.CD2=OD2 2.(2),△BCE为等腰直角三角形， 90°，∴.∠APB=∠APE+∠BPE= OC2=x2+9-(x2+1)=8, 点O为斜边BE的中点，.CO1 90°+45°=135. .CD=22(舍去负值) BE,∴.旋转角∠COE=90° 知能检测 2.√5-1 专练35辅助线技巧（一）旋转60°， 1.DG AFG EF-BE+FD 专练38 垂径定理与勾股 构造等边三角形 2.GH2=AG+CH,证明：将 定理（二）“知二推三” 典例导练 △BCH绕点B逆时针旋转90° 典例导练 6 得到△BAM..'BA=BC, 知能检测 ∠ABC=90°，∴.∠BAC=∠C知能检测 1.如图，将△AOB绕点A逆时针 旋转60°，使得AB与AC重合， =45°，由旋转的性质可知：BH1.B 点O旋转至点O',连接OO', =BM,∠C=∠BAM=45,2.令y=0,则x2-x-=0, 3 则△AOO'是边长为3的等边 ∠HBM=90°，∴.∠MAG= 三角形，△COO是边长为3、4、 ∠BAM+∠BAC=90°， ∴.4x2-4x-3=0,即(2x+1) .∠HBG=45°，∴.∠GBM= (2x-3)=0,解得x1=- 1 5的直角三角形，∴.S△Ac十 2 ∠ABG+∠ABM=90°-∠HBG S△AOB=S四边形A0c0=S△D0十 1 =45,∴.∠HBG=∠MBG,. 3 Sm=号X3X4+豆 x2= ×3× BG=BG,.△BGH≌△BGM 2, 33 (SAS),∴.GH=GM, 2 6+93 4 ,∠MAG=90°，∴.AMP+AG= ∴圆心M的坐标为(2,0)， 2.将△ABD绕点A逆时针旋转 GM,∴.GH=AG2+CH2. 连接CM,则CM=MB=AM 120得到△ACF,取CF的中点 专练37垂径定理与勾股 1 G,连接EF,EG,由AB=AC, 定理（一）作弦心距 -AB=1.0M= 2 ∠BAC=120°，可得出∠ACB 典例导练 =∠B=30°，根据旋转的性质 (1)当AB,CD在圆心O的同侧 ∴0C=VCM-OM- 21 可得出∠ECG=60°，结合CF 时，过O作OF⊥AB于F交CD ∴.CD=2OC=5. =BD=2CE可得出△CEG为 于E,连接OA,OC,.AB/CD, 专练39辅助线技巧（一）】 等边三角形，进而得出△CEF ∴.OE⊥CD.由垂径定理得AF 巧构直径与直角 为直角三角形，利用勾股定理 求出BC的长度以及证明全等 FB-7AB-3em:CE-DE-2 典例导练 连接AD,OD,OE,.'AB是半⊙O 找出DE=FE,设EC=x,则 CD=4cm,∴.OF=√OA-AF的直径，∴.∠ADB=90, 69