专练23 二次函数综合(三)面积问题&专练24 反比例函数的增减性-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

2)2-9,设y=(x+2-p)2-9, -(a+2-1)2-2,解得a=-2 由题意，得(2一p)2-9=0,解得 或0（舍去）. 2xm,DC=AB=2(200 p=5或p=一1（舍去），故p的 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 值为5. )=(100-号x)m,放y= 最大值为一2，此时不符合题 示范题2287 意.综上，a的值为5或一2. (100-x）=-号x2+10x,自 5 知能检测 专练15数形结合（一）】 1.y=3(x+1)2-1 函数值的大小比较 变量x的取值范围为：28≤x< 80. 2.y= 2(x-1)2 典例导练 B (2)由题意可得：y=- 3.y=- 3 x2+ x-3)2+3 知能检测 3 1.C 8Cx2-80x)= 5 100x=- 专练14二次函数的区间最值 4 2.-1<n<0 与增减问题 x-40)2+2000,28≤x<80,. 由题意，可知抛物线开口向上， 典例导练 当x=40时，y有最大值，最大值 对称轴为直线x=1, y=x2+2m.x+m+2=(.x+m)2 为2000m2. ,A,B两点在对称轴x=1的 十2十m一m2,对称轴为直线x= 两侧，则点A在x=1的右侧， (3)由题意得，S矩形EAGH=AG· -m, .列不等式组 (1)当-m<-2时，即m>2时， AE=(100-)· 2n+3>1 x=一2函数有最小值，则4一4m 6x2+25x,SE形rc=DC·DE 3n-1<1 十m+2=-3,解得m=3. 1-(n-1)>2m+3-1 (2)当-2≤-m≤2时，x=-m 解得-1<n<0. -(10-·=-+ 函数有最小值，则2十m一m2= 专练16 数形结合（二） 50x,设安装成本为心元，则w 3,解得m1= 1+/2 (舍去)，m2 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 40(-x2+25x)+20(-8 -1-/2I C 2 +50.x)=-25.x2+2000x,令w 知能检测 (3)一m>2时，x=2函数有最小 1.B2.B =30000,则-25.x2+2000x= 值，则4+4m十m+2=-3,解得 专练17数形结合（三） 分析 30000,解得x=60或20，.28≤ 9 m= (舍去).综上所述，m的 一元二次方程的根 x<80,∴.60≤x<80时，安装成 典例导练 本不超过30000元. 值为3或 -√/21 m2-3m(-1<m<0) 专练19二次函数的应用（二）】 2 (1)d= 商品利润 知能检测 -m2+3m(0<m<3)》 1号或-3 2)09 <d<4时，点P的个数 典例导练 (1)当50≤x≤80时，y=210 2.y=-x2+2x-3=-(.x-1)2 9 为1：②1=时，点P的个数为2： (x-50),即y=260-x,当80< 一2，函数图象开口方向向下， x≤140时，y=210-(80-50) 对称轴为直线x=1,顶点为(1， ③0<d<号时，点P的个数为8 3(x-80),即y=420-3.x.∴.y -2). 知能检测 /260-x(50≤x≤80) (1)当a-3>1时，此时x=a1.D2.D 420-3.x(80<x≤140)1 一3时，y取最大值-3，可得： 专练18二次函数的应用（一） (2)当50≤x≤80时，销售利润： -3=-(a-3-1)2-2,解得a 图形面积 =(x-40)(260-x)=-x2+ =5或3（舍去） 典例导练 300x-10400;当80x≤140时， (2)当a+2<1,此时x=a+2 =(x-40)(420-3x)=-3.x2 时，y取最大值一3，可得：一3= (1)由题意得，AE=HG=AD 十540x一16800.综上分析可知，w= 64 -x2+300x-10400(50x≤≤80) -x2+2x十3，∴.C(0,3),设直线x=-1,设M(m,yM),N(-1, |-3x2+540x-16800(80x≤140) BC的解析式为y=kx+3,将点B 2 n),yM=- 2、 (3)当50≤x≤80时，=-x2+ (3,0)代入y=kx+3,解得：k=一 3m+2, 300.x-10400=-(x-150)2+ 1,.直线BC的解析式为y=一x ①当四边形ACMN为平行四边 12100,当x=80时有最大值，最 +3, 形时，AC平移到NM,有 大值为：-(80-150)2+12100= 设点P(x,-x2十2x十3)，则点 m=0+2 ,解得：m=2,yM= 7200(元)；当80<x≤140时， H(x,一x+3),由点P、C、H的 yM=2+n =-3x2+540x-16800=-3(.x 坐标得PH=(一x2+3.x)2, CH2=2x2,PC2=x2+(-x2+ 号即M(2 1 3:②当四边形 -90)2+7500,当x=90时，有最 2x)2.分三种情况： ACNM为平行四边形时，AC平移 大值，最大值为7500元.故售价 定为90元时.每个月可获得最大 ①当PC=CH时，2x2=x2+(- m=-3-1 到MN,有 解得：m= 利润，最大利润为7500元. x2+2x)2,整理，得x-4x3十 yM=n-2 3.x2=0,x>0,∴.x2-4x+3= 即-4- 10 专练20二次函数的应用（三） -4,yM= 实物抛物线 0,解得x1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，∴点P的坐标为(1,4)； ③当四边形AMCN为平行四边 典例导练 m-1_-3+0 (1)依题意，设该抛物线的表达式 ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 2 为y=a(x一4)2+3，由抛物线过 2x)2=（-x2十3x)2,整理，得 形时，有： ,解得： ym十n 0+2 点A,有16a+3=2.解得a=一 2x3-4x2=0,.x>0,.2x-4 =0,解得x=2,.P(2,3); 6心该抛物线的表达式为y= 1n= 2,yM=2,即M(-2,2). ③当PH=CH时，(-x2+3.x)2 =2x2,整理，得x2-6.x+7=0, 综上所述，点M的坐标为(2， 16.x-4)2+3. 解得x1=3-√2，x2=3+√2，由 9)或(-4，-9)或-22》. (2)令y=0,得-6(x-4)2+3 题意，得0<x<3,∴x=3一√2， 专练23 二次函数综合（三） ∴.P(3-√2,4√2-2). =0,解得x1=4+4V3,x2=4-4W3 面积问题 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 (C为x轴正半轴，故舍去).∴.点C 典例导练 (2,3)或(3-√2,42-2) 的坐标为(4+4√3,0)，∴.OC=4 知能检测 ×2+2b+c=0 2 +43>10.∴.小明此次试投的成 (1,1) (1)由题意，得 绩达到优秀， ×82+8b+c=6 专练22 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与平行四边形 b=- 解得： ,∴.二次函数解析式 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 c=6 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 1 -1)2+k,把(3.5,0)代入可得k 0),B(1,0),由题意，得 为：y=2x2-4x+6: 125,.解析式为y=-2(x-1)2 2 (2),二次函数的对称轴交x轴 a= +12.5,当x=0时，y=10.5. a+b+2=0 3 于C点..C点的坐标为(4,0)， ,解得 答：水管OA的高度调整为10.5m. 9a-3b+2=0 易求BC所在的直线解析式为y b= 专练21二次函数综合（一） 3 3 3 2 x-6,“E点是直线y=之x 抛物线与特殊三角形 ∴.抛物线解析式为y=一 3 2 典例导练 一6与二次函数y= 2x2-4x+6 1-b+c=0 (1)由题意，得 3x+2; 的图象的交点， 3 -9+3b+c=0 (2)以AC为边或对角线分类讨 2x-6=2x 1b=2 解得： ∴.b=2,c=3: 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y -4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 c=31 (2),抛物线的函数表达式为：y= 3x+2的对称轴为 去)，当x=3时，y= 2X3-6= 3 66 号E(3.-)5 3 专练29反比例函数与 AB=AB',∴.∠B=∠AB'B= 几何（二）等腰三角形 ∠C+∠CAB'=2∠C,∴∠C S△cDB+S△cDE ×2×6+2 典例导练 +2∠C=75°，∴.∠C=25°， 16 ∴.∠C'=∠C=25 315 2X 22 2.(1)连接AP,利用HL易证Rt 专练24 反比例函数的增减性 知能检测 △APE≌Rt△APC. 典例导练 27 1. (2)由旋转的性质，可知∠B B ∠D,DE=BC=8,AD∥ 知能检测 2.(1)y=-x BC,.∠B=∠DAB,∠D= 1.-2≤y≤-1x≥2或x<0 (2)过E作EF⊥x轴于F,, ∠DPB,∠B=∠DPB,∠D 2.1 ∠AOB=45°，∴.∠EOF=45°， =∠DAB,∴.OD=OA,OB= 3.(1)a>3(2)a<-1 ∴△OEF是等腰直角三角形， OP,.'.PD=AB=10, (3)a>3或a<-1 ∴.EF=FO, ∴.PD=DE+PE=10,∴.PE 专练25求反比例函数的解析式 .BE:OE=1:2,OB=6√2，∴ =2,∴.BP=BC-PC=6. 典例导练 专练32旋转计算（二）旋转 示范题1一4 B0=号0B=4E,AB+A0 中的分类讨论 示范题2C =2AB2=B02=(62)2 典例导练 知能检测 ..EF=OF=4,AB=6, 9或63 1.y=18 2.53.y=- ∴.E(-4,4),把E(-4,4)代入 知能检测 专练26反比例函数与 得 y=k =一4，解得k=一 1.75°或105 代数（一）不等式 2.①将△AB℃绕点A顺时针旋转 16 方法规律 16,.y= 15°时，由旋转的性质得到： x a<x<0或x>bx<a或b<x ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD 设BD=CD=b,则C(6一b,b <0a<x<0或x>b =∠EAC=15°， +6),把C(b-6,b+6)代入y 典例导练 ∴.∠AFB=∠EAC+∠C=45°， 1 2,得b+6= 16 ①②③④ 6662 .∠ABC=90°，∴.AB=BF=2. 知能检测 在Rt△ABC中，∠BAC=60°，由 =20,∴.BC2=2b2=40,.OB2 -1<x<0或1<x<4 勾股定理，可计算BC=25, -BC2=(6√2)2-40=32. 专练27反比例函数与 ∴.CF=BC-BF=2/3-2. 专练30反比例函数与 代数（二） 一元二次方程 ②将△ABC绕点A逆时针旋转 几何（三） 特殊四边形 典例导练 15°时，由旋转的性质得到： 典例导练 ∠AED=∠ACB=30°，∠BAD (1)y1=- 2x+3 3 =∠CAE=15°，∴.∠F=∠ACB 知能检测 (2)3±2√2 -∠CAF=15,∴.∠F=∠CAF= 1.162.33.12 知能检测 15,∴.AC=CF,.∠ABC=90°， (1)3(2)0<x<1或x>3 专练31旋转计算（一）巧用 ∠BAC=60°，AB=2,.AC= 专练28反比例函数与 旋转进行计算 4,∴.CF=4.综上所述，CF的 几何（一）面积问题 典例导练 长为25-2或4. 典例导练 40 专练33旋转作图（一） 无刻度 2 知能检测 直尺网格作图 知能检测 1..'∠BAC=105°，∴.∠B+∠C= 典例导练 12n 75°，AB=CB',∴.∠C= (1)90 1.32.223.6 n+1 ∠CAB',由旋转的性质可知 (2)图略，B1(3,3),E(一3,5)，F 67 (-4,2). BD=CF=2x,DE-FE-6-=4em,OE =OC2-CE?= 知能检测 3.x,在Rt△CEF中利用勾股定 3cm,∴.EF=OF-OE=lcm. (1)图略.(2)图略。 理可得出FE=√3x,建立方程：(2)当AB,CD在圆心O的两侧 (3)取格点D,使四边形ABDC为 求解x. 时，过O作OF⊥AB于F,OE⊥ 平行四边形，作直线AD,交BC于 专练36辅锄线技巧（二）旋转90°，CD于E,连接AO,CO,同理可 点O,则直线AD即为所求 构造等腰直角三角形 得OF=4cm,OE=3cm,EF= 专练34旋转作图（二） 确定 典例导练 OF+OE=7(cm),∴.AB与CD 旋转中心的位置 (1)将△BCP绕点B顺时针旋转：的距离为7cm或1cm. 典例导练 90°得到△BAE,然后连接PE,图知能检测 图略 略.(2)由旋转的性质知∠PBE=1.过点O作OE⊥AB于点E, 知能检测 90°，△BCP≌△BAE,.BP= 连接OA,OD,由题意，得AB 1.(1)连接BB′、AA',二者交于 BE,PC=AE,∴.∠BPE= =6,AE=BE=3,CE=1, 点M,图略 ∠BEP=45°.，PA=1,PB=2, 设OE=x,由勾股定理得：OA (2)连接AC、BD,二者的垂直平 PC=3,PE=√2PB=2√2， =x2+9,OC2=x2+1, 分线的交于点O,图略 .AE2=AP2+PE2,∴.∠APE= CD⊥OC,.CD2=OD2 2.(2),△BCE为等腰直角三角形， 90°，∴.∠APB=∠APE+∠BPE= OC2=x2+9-(x2+1)=8, 点O为斜边BE的中点，.CO1 90°+45°=135. .CD=22(舍去负值) BE,∴.旋转角∠COE=90° 知能检测 2.√5-1 专练35辅助线技巧（一）旋转60°， 1.DG AFG EF-BE+FD 专练38 垂径定理与勾股 构造等边三角形 2.GH2=AG+CH,证明：将 定理（二）“知二推三” 典例导练 △BCH绕点B逆时针旋转90° 典例导练 6 得到△BAM..'BA=BC, 知能检测 ∠ABC=90°，∴.∠BAC=∠C知能检测 1.如图，将△AOB绕点A逆时针 旋转60°，使得AB与AC重合， =45°，由旋转的性质可知：BH1.B 点O旋转至点O',连接OO', =BM,∠C=∠BAM=45,2.令y=0,则x2-x-=0, 3 则△AOO'是边长为3的等边 ∠HBM=90°，∴.∠MAG= 三角形，△COO是边长为3、4、 ∠BAM+∠BAC=90°， ∴.4x2-4x-3=0,即(2x+1) .∠HBG=45°，∴.∠GBM= (2x-3)=0,解得x1=- 1 5的直角三角形，∴.S△Ac十 2 ∠ABG+∠ABM=90°-∠HBG S△AOB=S四边形A0c0=S△D0十 1 =45,∴.∠HBG=∠MBG,. 3 Sm=号X3X4+豆 x2= ×3× BG=BG,.△BGH≌△BGM 2, 33 (SAS),∴.GH=GM, 2 6+93 4 ,∠MAG=90°，∴.AMP+AG= ∴圆心M的坐标为(2,0)， 2.将△ABD绕点A逆时针旋转 GM,∴.GH=AG2+CH2. 连接CM,则CM=MB=AM 120得到△ACF,取CF的中点 专练37垂径定理与勾股 1 G,连接EF,EG,由AB=AC, 定理（一）作弦心距 -AB=1.0M= 2 ∠BAC=120°，可得出∠ACB 典例导练 =∠B=30°，根据旋转的性质 (1)当AB,CD在圆心O的同侧 ∴0C=VCM-OM- 21 可得出∠ECG=60°，结合CF 时，过O作OF⊥AB于F交CD ∴.CD=2OC=5. =BD=2CE可得出△CEG为 于E,连接OA,OC,.AB/CD, 专练39辅助线技巧（一）】 等边三角形，进而得出△CEF ∴.OE⊥CD.由垂径定理得AF 巧构直径与直角 为直角三角形，利用勾股定理 求出BC的长度以及证明全等 FB-7AB-3em:CE-DE-2 典例导练 连接AD,OD,OE,.'AB是半⊙O 找出DE=FE,设EC=x,则 CD=4cm,∴.OF=√OA-AF的直径，∴.∠ADB=90, 6923 专练23二次函数综合（三） 面积问题 【方法规律】如图所示，分别过三角形的顶，点A、C作水平线的铅垂线l1、l2,11、l2之 间的距离d叫做水平宽；过点B作水平线的铅垂线交AC于，点D,称线 段BD的长叫做这个三角形的铅垂高.“三角形的面积等于水平宽与铅 垂高乘积的一半”，即S= )典例导练 示范题如图，二次函数y-弓x2+6x十c的图象交r轴于A,D两点，并经过B 点，已知A点坐标是(2,0)，B点的坐标是(8,6). (1)求二次函数的解析式 B(8.6 (2)该二次函数的对称轴交x轴于C点.连接BC,并延长BC交 抛物线于E点，连接BD,DE,求△BDE的面积. 【思路点拨】(1)由点A,B的坐标，利用待定系数法即可求出二次 函数的解析式 (2)由(1)可得出抛物线的顶，点坐标及，点C的坐标，由，点A的坐标，利用抛物线的对 称性可求出，点D的坐标，由，点B,C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式， 联立直线BC及拋物线的解析式组成方程组，通过解方程组可得出点E的坐标，再利用 三角形的面积公式结合SABDE=S△cDB十S△cDE,即可求出结论. 【自主解答】 24 专练24反比例函数的增减性 【方法规律】掌握反比例函数在每个区间的增减性，是解题的关键 典例导练 类型一函数值的大小比较 示范题设函数y,=(k>0),设m≠0且m≠-1，当x=m时，1=力；当x= m十1时，y1=q.则 () A.m<0,pg B.m>0,p>q C.m<-1,p<qD.m>-1,p<q 【思路点拨】根据反比例函数的性质，分m<一1、一1<m<0和m>0三种情况进行讨 论：当m<一1时，m十1<0，点(m,p),(m十1，q)都在第三象限，，m<m+1,.p>q; 当-1<m<0时，m<0<m十1<1，点(m,p)在第三象限，（十1，q)在第一象限；∴p< q;当m>0时，m+1>1,点(m,p),(+1,q)都在第一象限，，m<m+1,∴.p>q. 知能检测 类型二求变量x或y的取值范围 1.已知反比例函数y=2,当一2≤≤-1时，y的取值范围是 反比例函数y= 2,当y≥-1时，x的取值范围是 类型三反比例函数在区间内的最值 2.已知反比例函数y=k/x(k为常数，且k≠0)，当一4x≤一2时，y的最大值是一1， 则当2≤x≤4时，y的最小值为 类型四求参数的取值范围 2 3.(原创题)反比例函数y=-的图象上有三点A(1,一1)，B(x2a),C(x33》. (1)若x3<x2<0<x1,则a的取值范围是 (2)若x3<0<x2<x1,则a的取值范围是 (3)若x3<x2<x1,则a的取值范围是