29.2.3 圆周角&专题十 与圆的性质有关的辅助线作法-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

8.A9.A10.(3,2) 11.2 7 1020r(cm2). 8C9. AD,易求AD=4,DE=23, 13 2cm r=4>2√/5， 12.卡车能通过此门. 10.3:2 ∴.AB与⊙D相交，r=2< 13.略14.24≤m≤26 11.(1)12π(cm2);(2)2cm. 29.2.2圆心角 23,∴AB与⊙D相离. 12.(1)∠AOB=80°. 1.B2.A (2)设圆锥的底面半径为r,母 (2)r=2√5 3.AC=BC,AD=BD 线长为l, 12,学校受到影响的时间为5 120 4.D5.B6.A7.略 80l=2xr, 24(s). 8.B9.B10.A11.①②③④ 180 12.略13.略14.略15.略 ∴r:l=2:9. 13.(1)⊙M的半径为√5； 13.(1)∠BAC=90°. (2)直线x=7与⊙M相离， 29.2.3圆周角 1.C2.D3.D (2)(100-25π)cm2. (3)直线l的表达式为x=4 4.(1)25 14.B √5或x=4+√5，或y=√5+ (2)圆心O到BD的距离为3. 专题十一圆中求阴影部分的面积 1或y=1-5. 5.B6.(1)略(2)3. 1.A2.2π-43.C4.C 30.1.2圆的切线 7.60°或120°8.C9.C10.4 3元 第1课时切线的性质和判定 5√2 5.D6.17.A8. 6 1.D2.略3.60°4.30°5.A 11. 2 6.B7.D8.×9.C10.C 9. 12.(1)6(2)略13.略 2π 11.4312.759 14.略 章末核心考点与素养提升 13.(1)略(2)4√514.略 专题十 与圆的性质有关 1.C2.D3.B4.E,F,G 专题十二切线的判定 的辅助线作法 5.B6.6.57.B8.C 与性质的综合 1.582.553.√24.B5.C 9.(1)略(2)CD=1. 1.(1)略 ②9 6.(1)∠APB=135°； 5 (20号 10.36R 11.23-2 (2)∠APB=45. 2.(1)略(2)①1②3 7.B8.略9.110° 12.(1)(-2,0)(2)2√590 3.(1)略(2)QD=/73 29.3弧长和扇形面积 (2)5π 第2课时切线长定理 第1课时弧长和扇形面积 13.(1)③ 1.B2.D3.D4.B 1.C2.C3.15°4.A5.C (2)①∠ACB=∠ACD,理由 5.(1)6;(2)60°. 6.天野 略 8.C9.B10.D 6D7.C81029.s 3 12音+ 10.(1)证明：连接OB. 2 第三十章直线与圆的位置关系 .OA=OB, 13.阴影部分周长的最小值为2 30.1直线与圆 ∴.∠OAB=∠OBA. 厄+ 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 ,PA=PB,.∠PAB= 1.C2.A3.相切4.C ∠PBA, 14.(1)点A(0,2),B(2,0)； 5.C ∴.∠OAB+∠PAB=∠OBA (2)2π-4. 【变式3<≤4或，=1 +∠PBA, (3)叶瓣②还可以由叶瓣①绕 6.4 即∠PAO=∠PBO. 点B逆时针旋转90°得到（答 7.(2,4)或(-2，-4)(1,2)或 ,PA是⊙O的切线， 案不唯一). (-1,-2) ∴.∠PAO=90°， 第2课时圆锥的侧面积和全面积8.D9.1或5 ∴∠PBO=90°，即OB⊥PB. 1.B2.8x12π3.24π216°10.(W6,2)或(-6,2) 又，OB是⊙O的半径，∴.PB 4.C5.A6.35【变式4√211.(1)作DE⊥AB于E,连接 是⊙O的切线 58 (2)1. 正三角形ABC的中心，∴.OB (1)14: 11.(1)图略（作∠ABC的平分线 =OC,∠BOC= 360° =120°， (2)BP最大为/73+3； 交AC于点P) (3)修建的观赏小路CM长度存 (2)3元 OB,OC分别平分∠ABC和 在最大值；小路CM的长度最大 12.略 ∠ACB,∠ABC=∠ACB,. ∠OBM=∠OCB,又.OB= 值为(30+20√3)m. 30.2三角形的内切圆 章末核心考点与素养提升 1.B2.D3.C4.D5.2 OC,BM=CN,∴.△OBM≌ 1.D2.4或53.2r≤4 6.（1)略(2)2. △OCN,.∠BOM 4.C5.D6.①②③④ 7.A8.D9.B10.A ∠CON,∴.∠MON=∠BOM +∠BON=∠CON 7.(1)直线DE与⊙O相切，理由 11.48菱正方 ∠BON=∠BOC=120° 略 12.(1)连接OD, (2)4.75 .AD平分∠BAC, (2)90°，72 8.B9.C10.C ∴.∠BAD=∠CAD, (3)∠M0N=360 11.略12.C13.略 ..BD=BC, 综合与实践生活中的优化问题 ∴点D是BC的中点， .OD⊥BC,.直线l∥BC, 夹册《提分专练》参考答案 .OD⊥l, 专练01运用根的定义求代数式的值：时m=3. 直线l与⊙O相切， 式的值 知能检测 (2)DI=BD=CD;证明：连 典例导练 1.(1)原式=-3(y2-2y+1)+5 接BI, 由题意，得a2-a-1=0,即a2 =-3(y-1)2+5, ∠BID= ∠ABI 十 a=1,a3-2a+2023=a3-a2+ 由-3(y-1)2≤0，得-3(y一 ∠BAD,∠IBD=∠CBI+ a2-a-a+2023=a(a2-a)+ 1)2+5≤5， ∠CBD=∠ABI+∠CAD= (a2-a)-a+2023=a+1-a+ .-3y2十6y+2有最大值，最 ∠ABI+∠BAD, 2023=2024. 大值为5. ∴.∠BID=∠IBD,∴.DI= 知能检测 (2)P>Q,理由如下： DB, 1.由题意，得1-5a十a2=0. P-Q=(4x2-x+2)-(3x2 .∠BAD=∠CAD,∴.BD= .a2-5a=-1, +3.x-5)=x2-4x+7=(x DC, ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)- 2)2+3, ∴.BD=CD,.DI=BD= 7=3×(-1)-7=-10. .(x-2)2≥0， CD. 2..m是方程x2-2025.x+1=0 .(x-2)2十3≥3>0， 13.(1)50(2)62(3)2 的一个根， ..P>Q. 30.3正多边形与圆 ∴.m2-2025m+1=0, 2.M=a2+b2-2a+4b+2024 1.B2.A3.A4.B5.B .m2+1=2025m,m2-2024m =(a2-2a+1)+(b2+4b+4) 6.10 1 =m-1,m十 =2025, -1-4+2024 7.S= 2AB·OHX6-150V5. m =(a-1)2+(b+2)2+2019, 2025 .m2-2024m+ ∴.当a=1,b=-2时，M有最 8.图略9.A10.A11.B 1+m2 12.B 小值，最小值为2019. +1=2025-1=2024. 13.元-3 m 专练03特殊法解方程（一） 14.(1)正六边形与正方形的面积 专练02配方法的应用 十字相乘法 比为3，r-352 典例导练 典例导练 m2-6m+10=m2-6m+9+1= x1=-1,x2=-3. (2)∠OGF=15°. (m-3)2+1≥0+1=1， 知能检测 15.(1)连接OB,OC,.点O是 ∴.m2-6m+10的最小值是1，此1.(1)x1=10,x2=-9. 6029.2.3 01基础达标 知识点一 圆周角定理及推论 1.(巴中中考)如图，A,B,C是⊙O上三点， ∠ACB=25°，则∠BAO的度数是 A.55 B.60 C.65 D.70° B 第1题图 第2题图 2.(自贡中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是 弦，若∠BCD=24°，则∠ABD= () A.54° B.56 C.64° D.66° 3.如图，AC,BC为⊙O的两条弦，D、G分别为 AC,BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C= 45°，则DG的长为 A.2 B.√3 c D.√2 G D 0 0 第3题图 第5题图 4.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点 P,∠CAB=40°，∠APD=65°. (1)求∠B的大小. (2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离. 0 87 圆周角 知识点二圆内接四边形及其性质 5.(陕西中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆， ∠A=72°过点O作BC的垂线交BC于点 D,连接BD,则∠D的度数为 ( ) A.64 B.54° C.469 D.36° 6.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,连接 BD,∠BAD=105°，∠DBC=75°. (1)求证：BD=CD; (2)若⊙O的半径为3，求BC的长， 易错点忽略一条弦（非直径）所对的圆周角有 两种情况 7.已知在半径为4的⊙O中，弦AB=4√3，点P 在圆上，则∠APB= 02能力提升 8.(山东中考)如图，A,B,C是半径为1的⊙O 上的三个点，若AB=√2，∠CAB=30°，则 ∠ABC的度数为 () A95° B.100° C.105° D.110° 0 OA D 第8题图 第9题图 9.如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、 y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若 88 A(2,0),D(4,0),以O为圆心、OD长为半径 的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接 DE,BE,则∠BED的度数是 () A.15 B.22.5° C.30° D.45° 10.[新考法·情景题]如图，某博览会上有一圆 形展区，在圆形边缘的点P处安装了一台监 控器，它的监控角度是50°，为了监控整个展 区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监 控器 台. 509 第10题图 第11题图 11.如图，AC是⊙O的弦，AC=5,点B是⊙O上的 个动点，且∠ABC=45°.若点M,N分别是 AC,BC的中，点，则MN的最大值是 12.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E,F是AD上的一点，AF,CD的延长 线相交于点G (1)若⊙O的半径为32，且∠DFC=45°，则 弦CD的长为 (2)求证：∠AFC=∠DFG. 13.如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上一 点，⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点 D作DFBC,交⊙O于点F 求证：(1)四边形DBCF是平行四边形 (2)AF=EF. 0。 03 思维拓展 14.如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个 正方形的顶点叫做格点.⊙O经过格点A、 B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格 中按要求作图（保留作图痕迹）. (1)在如图1中画出圆心O: (2)在如图1中的圆上找一点F,使BF平分 ∠ABC. (3)G点是圆与格线的交点，在图2中的圆上 找一点H,使GB=GH 图1 图2 提示：请完成限时作业（十）[29.129.2] 89 专题十与圆的性质有关的辅助线作法 类型一作半径（或直径）：构造等腰三角形或直 10,CD=5√2，求∠APB的度数. 角三角形 1.如图，△ABC内接于⊙O,若∠OAB=32°，则 ∠C= 图2 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°， ⊙O的半径为5，若P是⊙O上的一点，在 △ABP中，PB=AB,则PA的长为 3.(黑龙江中考)如图，△ABC内接于⊙O, ∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点 类型四构造直径所对的圆周角（利用直角三角 形找直径)》 D,若⊙O的半径为2，则CD的长为 7.如图，AB为⊙O的直径，C、D 类型二作弦心距，连半径，利用垂径定理及其 为⊙O上两点，若∠BCD=40°， 推论解决弦长的计算与证明问题 则∠ABD的大小为 () 4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半 A.60° B.50° 径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后， C.40 D.20 水管内水面上升了0.2m,则此时排水管水面 8.如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正 宽为 ( 方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格 A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m 点.格点A,B,C在同一个圆上.请只用无刻度 直尺，在图中画出圆心O,并在图上找一点E, 使OE平分BC.(保留作图痕迹) 第4题图 第5题图 5.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于 点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°，则CD的 长为 () 类型五 构造圆内接四边形 A.√15 B.2√5 C.2√/15 D.8 类型三构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 9.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若 ∠ABD=20°，则∠BCD的度数为 6.如图，AB为半⊙O的直径，C,D为半圆上的 两点 (1)如图1，连接AD,BC交于点P,若∠COD= 90°，求∠APB的度数； (2)如图2，延长AC,BD交于点P,若AB=