26.3 二次函数与一元二次方程&专题五 二次函数的图象与字母系数之间的关系——全国中考热点-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

26.3二次函数 01基础达标 知识点一二次函数的图象和x轴的交点坐标与 对应的一元二次方程的根之间的关系 1.已知二次函数y=一x2十2x十k的部分图象如 图所示，若关于x的一元二次方程一x2十2x十 k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= x=2 第1题图 第6题图 2.已知二次函数y=x2十3x一3的图象与x轴两交 点为1,0)，(2,0)，则+的值为 ℃℃1 知识点二二次函数的图象与x轴交点个数与 对应的一元二次方程的根的判别式 之间的关系 3.抛物线y=x2十3x+2与x轴的交点个数为 () A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4.二次函数y=kx2一6x十3的图象与x轴有两 个交点，则k的取值范围是 A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 5.若二次函数y=一x2十3.x十m的图象全部在x 轴的下方，则m的取值范围为 知识点三二次函数与不等式 6.如图是二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图 象的一部分，由图象可知不等式ax2+bx+ c<0的解集是 知识点四利用二次函数求一元二次方程的根 的近似值 7.下列表格是二次函数y=a.x2十bx十c的自变量 x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx十 c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个根x的范围 43 与一元二次方程 是 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18x6.19 D.6.19<x<6.20 易错点1混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点” 8.抛物线y=一x2十4x一4与坐标轴的交点个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 易错点2忽视函数是一次函数的情况 9若的数y=(m-1x2-6r+n的图象与 轴有且只有一个交点，则m的值为() A.-2或3 B.-2或-3 C.1或-2或3 D.1或-2或-3 02能力提升 10.(广东中考)二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0) 的图象如图所示，下列说法中，错误的是() A.对称轴是直线x=2 B.当-1<x<2时，y<0 C.a+c=b D.a+b>-c 11.对于二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)，我们 把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的 零点，则二次函数y=x2一mx一5(m为实 数)的零点的个数是 A.1 B.2 C.0 D.不能确定 12.抛物线y=ax2一a(a≠0)与直线y=kx交 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若x1十x2<0, 则直线y=ax十k一定经过 () A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 44 13.已知二次函数y=kx2+(k+1)x+1(k≠0). (1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象 0 与x轴总有交点. (2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点， 其中，m= 求该函数图象的对称轴和顶点坐标. (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐 标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请 画出该函数图象的另一部分 (3)观察函数图象，写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数 图象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对 应的方程x2一2x=0 -3-2-】 123 有】 个不相等的 实数根； ②方程x2一2x|=2有 个不相等的实 数根； ③关于x的方程x2一2x=a有4个不相等的 实数根时，a的取值范围是 14.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2一2x|的 图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补 充完整 (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y 的几组对应值列表如下： 提示：清完成限时作业（四）[26.1~26.3] 微课堂 利用抛物线的对称性解题+++ 【解题模型】若抛物线上两个点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),且y1=y2,则A,B两点关于抛 x1十x2 物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线x= 2 【变式应用1】二次函数y=ax2十bx十c图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表： …-2-1012… …04664 则它的对称轴是直线 ,当x=3时，对应的函数值为 【变式应用2】已知抛物线y=a.x2一2ax十c与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x的一元 二次方程a.x2一2ax十c=0的解为 【变式应用3】已知二次函数y=a.x2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,3),C(5,2).若点M( 2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx十c的图象上，则y1y2y3的大小关 系的是 专题五 二次函数的图象与字母系 知识清单： 二次函数y=a.x2十bx十c的图象与字母系 数a,b,c之间的关系如表所示. 字母 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点（顶点） b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac<0 与x轴没有公共点 当x=1时，y=a十b十c;当x=-1时，y=a-b十 当x=2时，y=4a+2b十c; 当x=-2时，y=4a-2b+c 若a十b十c>0,则当x=1时，y>0 特殊 若a-b十c>0,则当x=-1时，y>0 关系 当对称轴为直线x=1时，2a十b=0;当对称轴为直 线x=-1时，2a-b=0;判断2a十b大于或小于0， 看对称轴与直线x=1的位置关系；判断2a一b大于 或小于0，看对称轴与直线x=一1的位置关系 类型一二次函数图象与系数的关系 1.(贵州中考)已知二次函数y=a.x2+bx+c的图 象如图所示，则点P(ab,c)在第 象限 第1题图 第2题图 2.二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的顶点坐标 为（一1，n),其部分图象如图所示.以下结论错 误的是 ( A.abc0 45 数之间的关系一 全国中考热点 B.4ac-b2<0 C.3a+c>0 D.关于x的方程a.x2十bx+c=n十1无实数根 3.如图，是二次函数y=a.x2+bx十c图象的一 部分，下列结论中：①abc>0;②a一b+c<0; ③a.x2+bx+c十1=0有两个相等的实数根； ④一4a<b<一2a.正确结论的序号为() A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 0273x 第3题图 第4题图 4.(广西中考)已知二次函数y=ax2十bx十c的图 象如图所示，有下列结论：①a>0:②b2一4ac> 0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0 的解集为1<x<3,正确的结论个数有() A.1个 B.2个 C.3个D.4个 5.(武汉中考改编)已知二次函数y=a.x2+(a 2)x一2(a为常数，且a≠0).下列4个结论： ①该函数图象经过点（一1,0）；②若a=一1， 则当x>一1时，y随x的增大而减小；③该函 数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a> 2,则关于x的方程ax2+(a一2)x一2=0有 一个根大于0且小于1.其中正确的是 (填写序号). 类型二两函数图象共存 6.一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二次 函数y=a.x2+bx的图象可能是 ()(1)二次项系数为2，一次项系 (3)-2x<2. 数为2，常数项为1 14.(1)12-1 (2)二次项系数为2，一次项系 (2)3. 数为1，常数项为2. (3)P(-√，3)或(5,3) 4.A5.D6.C 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k 1 7.y= 是 的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2十k 8.2【变式】1 的图象和性质 9.B10.C 1.y=x2+22.B 11.y=4x2+260.x+4000 3.y=-x2+14.C5.B 12.(1)m=-3. 6.D【变式1】>【变式2 (2)m=-1±√5 7.略 13.(1)-3.x2+45.x（ 25 ≤x< 8.-10<y≤29.B10.C 11.B12.513.2-4 15). 14.能.沿y轴向下平移6个单位 (2)AB的长是9m. 长度 14.(1)y=2t2-40t+200,0≤ 1 15.(1)抛物线解析式为y=- t≤10. (2)能.理由如下： x2+1. 由题意，得212-40t+200= (2)抛物线y=a.x2十c与x 8, 轴的交点坐标为（一√3,0）， 解得t1=8,t2=12(不合题 (5,0). 意，舍去) 16.(1)(-4,5)或(4,5) 故当t=8秒时，重叠部分的 面积等于8cm2. 3) 8 26.2二次函数的图象和性质 第2课时二次函数y=a(x一h)2 26.2.1二次函数y=ax2的 的图象和性质 图象和性质 1.C2.右3 1.B2.B3.m<2 3.y=5(x+4)2 <-44.D 4.>【变式1C【变式2m3 5.A6.D 5.图略6.A7.3减小 7.(1)y= (x+1)2 8.(1)m=-2,m=1(不符合题 3 意，舍) (2)图象略 （2)当x=0时，y最大=0. (3)当x<-1时，y随x的增 9.函数y=x2的最小值为0，最 大而增大；当x=一1时，函数 大值为16. 有最大值， 10.D 8.B9.D10.B 11.(1,1) (2,4)±2 11.y2>y1>y312.-41 12.合<a≤3 13.a≤4 【变式】a1>a2> 14.y= 2(x-2)2= 2x2-2x+ asas 2. 13.(1)y= 15.(1)点A,B的坐标分别为（一 (2)(2,3)(-2,3)描点略 2,0),(0,4),抛物线对称轴为 52 x=-2. 专题二二次函数在自变量取值 (2)4. 范围内的增减性与最值 (3)存在.P点的坐标为(-2,1.(1)减小02一15 4)或(-2，-4). (2)增大2235 第3课时二次函数 (3)1135 y=a(x一h)尸+k的图象和性质 2.103.0<m≤≤34.D5.B 1.A【变式】2或42.B3.C 6.D 4.D 1 5.下x=5>5=5大3 7.-2≤m≤- 21 6.(1)a=4;(2)y1>y2. 第2课时 求二次函数的解析式 7.(2,-5)8.C9.A10.C : 1.D2.A 11.y1>y2>y312.-3≤a≤1 13.(1)h取得最大值为227. 3.(1)上x=9 (2)t=4或t=26. (2)1-35 (3)令t=0,解得：h=2. 4.y=-x2-2x+3 14.(1)点A,点B的坐标分别为 5.y=x2+4x-5 (-1,0),(3,0). 1 (2)y=-(x-1)2+4. 6.y=- 2+x+ 2 15.(1)点A,B的坐标分别为A7.y=-x2+2x+3或y=x2- (-1,0),B(3,0); 2x-38.B9.A (2)点D的坐标为(1,1)或 10.y=-4(x+2)2+4 (1,√6). 11.(1)y=- 26.2.3二次函数 y=ax2+b.x+c的图象和性质 (2)向右平移1个单位长度， 第1课时二次函数 向下平移2个单位长度，y= y=ax2十bx十c的图象和性质 1.y=-2(x+1)2+3下x= -1(-1,3) 12.(1) 1a=-1 b=-2 2.x=1(1,-2) 3.A4.D5.C (2)-4<n<-2. 6.(1)(-1,4). 13.(1)①3②S=t2+2 (2)抛物线向下平移3个单位 (2)AB的长为6，抛物线的解 后可以经过原点. 析式为S=t2-8t+18(2≤t 7顶点坐标为(3，)》： ≤8) 专题三求二次函数的解析式 8.D9.D10.B11.6 (压轴题第(1)问) 12.-1或2 1.y=x2+4x-5. 13.(1)顶点坐标为(-1,2) 2.y=x2+2x-3. (2)①当m=2时，n=11, =12-5 ②2≤n<11. 3.y=4x 2x. 微课堂 4.y1=-x2-2x+3,y2=x2 【示例】y1<y2y1<y2y<y2 2x-3. 【变式】y1=y2>y3y1<y2<5.(1)2±1 y3y1>y3>y2 (2)y=-x2+4x+5. 53 专题四函数图象信息题 9.(1)(k-3a+1) 全国中考热点 1.D2.D3.124.C5.A (2)①a=2或3： 26.3二次函数与一元二次方程 ②6.5：3.5；0.5； 1.-12.-53.B4.B @:的最大值为没， 9 5.m<- 4 6.x<-1或x>5 (3)鸭圈面积不能达到24平方 7.C8.C9.C10.D 米 11.B12.D 第2课时二次函数与商品利润 13.(1)证△0. 1.B2.C3.A4.B (2)该函数图象的对称轴为直 5.(1)y=40+10x 线x=一1，顶点坐标为（一1， (2每罐排骨藕汤的定价为53 0). 元； 14.(1)0 (3)当x=5或6时，商家盈利 最大为900元. (2)图略 6.B7.1264 (3)答案不唯一.如： ①函数y=x2一2|x|的图象 8.(1)y=-10x+90(6≤≤x<9): (2)当销售价为8元/件时，政 关于y轴对称； 府该月应付给厂家补贴4万 ②当x>1时，y随x的增大 元； 而增大。 (3)当销售价定为7元/件时， (4)①33②2 该月纯收入最大 ③-1<a<0 9.(1)y=-10x+700, 微课堂 (2)当销售单价为46元时，每 【变式】x=2 0x1=3,x2= 天获取的利润最大，最大利润 -1y1=y3<y2 是3840元； 专题五二次函数的图象与字母系 (3)当45≤x≤55时，捐款后每 数之间的关系一全国中考热点 天剩余利润不低于3600元. 1.三2.C3.D4.C 第3课时建立二次函数模型， 解决抛物线型问题 5.①②④6.D 26.4实际问题与二次函数 1.C2.B3.2√64.能 第1课时二次函数与图形面积 5.该大门的高h为5m. 9 1.C2.243 6.6007.40m8.4m 3.当AE=50m时，市民健身活 动场所的面积达到最大 9.(1)y=- 4x2+3x. 4.(1)S=- 3x2+4x(0<x≤5) (2)方案二的内部支架节省材 料.理由略 （2)当x=5时，S- 35 10.(1)C1:y= 9 (x-3)2+2, 5.C6.C7.75 8.(1)S=x(28-x)=-x2+ 最高点坐标(3,2)，a=一 9 28x. c=1. (2)当x=13时，Smx=-(13 (2)符合条件的n的整数值为 -14)2+196=195(m). 4和5. 54