26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

36 26.2.3二次函数y=ax2十bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 01基础达标 (1)求a的值和该抛物线顶点的坐标， 知识点一 抛物线y=ax2十bx十c的对称轴和 (2)给出一种平移方案，使该二次函数的图象 顶点坐标 平移后经过原点. 1.把二次函数y=一2x2一4x+1配成y=a(x h)+k的形式为 ,所 以其图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 2.抛物线y=- 十女一号的对称轴是直线 1 ,顶点坐标是 知识点二 二次函数y=a.x2+bx十c的图象和 性质 3.在二次函数y=一x2+2x十1的图象中，若y 随x的增大而增大，则x的取值范围是 易错点用配方法将一般式化成顶点式时，忽视 A.x<1 B.x>1 了二次项系数不为1 C.x<-1 D.x>-1 1 7.求抛物线y=2x2-3x+5的顶点坐标. 4.将抛物线y= 女-6x+21向左平移2个单 位后，得到新抛物线的解析式为 1 A.y= 2(x-8)2+5B.y=2x-4)2+5 C.y= 2(x-8)2+3 D.y= 2(x-4)2+3 5.下列对二次函数y=x2一x的图象的描述，正 02能力提升 确的是 ( 8.二次函数y=(x一5)(x一1)的图象的对称轴 A.开口向下 是直线 () B.对称轴是y轴 A.x=-2 B.x=1 C.经过原点 C.x=2 D.x=3 D.在对称轴右侧部分是下降的 9.(长沙中考)关于二次函数y=x2十a.x十a,下 6.如图，已知二次函数y=一x2十a.x十3的图象 列说法正确的是 () 经过点（一2,3）. A.函数有最大值 37 B.函数图象交y轴于点(a,0) 13.如图，已知二次函数y=x2+a.x+3的图象 C.函数图象一定经过点(1,1)》 经过点P(一2,3). D.若a>0,则当x>0时，y随x的增大而增大 (1)求a的值和图象的顶点坐标. 10.已知二次函数y=a.x2十 (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. bx十c(a≠0)的图象如图 ①当m=2时，求n的值； 所示，有下列5个结论： ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象 ①abc>0;②a+c<b; 直接写出n的取值范围. ③4a+2b+c>0;④2a+ b=0;⑤am2+bm>a+b,(m≠1的实数)其 中正确的结论有 ( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x 的几对对应值： 10 23 4 11a323611… 由此判断，表中a= 12.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x十1的最 小值为1，则a的值为 微课堂函数值的大小比较++++++++++++++++ 【示例】已知函数y=3(x一2)2+1图象上有两点A(1,y1),B(4,y2),试确定yy2的大小关系. 方法1（代入法）把A(1,y1),B(4,y2)分别代入y=3(x-2)2+1中，比较得 方法2（增减性法）点A关于对称轴对称的点为(3，y1),抛物线的开口向上，在对称轴的右侧， y随x的增大而增大，比较得 方法3（距离比较法）对称轴为x=2,开口方向向上，在图象上的两点A(1,y1),B(4,y2)离对 称轴距离的大小关系为|1一2<|4一2，即A点离对称轴近，比较得 【变式1】若点A(-1,y1),B(3,y2),C(5,y3)均在二次函数y=一x2+2x十c的图象上，则y1y2, y3的大小关系是 【变式2】若二次函数y=一x2+6x+k的图象经过A(一1，y1),B(1,y2),C(3十√3，y3)三点， 则y1y2y3的大小关系为 【变式3】已知，点A(1,y1),B(-√2，y2),C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2-m(a>0)上，则y1, y2,y3的大小关系是 38 专题二二次函数在自变量取值范围 内的增减性与最值 知识清单 4.已知二次函数y=x2一2x一3的自变量x1, 1.当自变量在特定取值范围内时，二次函数x2x3对应的函数值分别为y1,y2,y当-1< 有最小值或最大值， x1<0,1<x2<2,x3>3时，y1y2y3三者之 2.最值的取得和确定可分为三种情况（当 间的大小关系是 () a≠0时). A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 (1)自变量取值范围在对称轴左边时，则在 C.y3<y<y2 D.y2<y1<y3 离对称轴近的端点（右端，点)处取得最小值（或最5.已知二次函数y=一x2+2x,当一1<x<a 大值). 时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范 (2)自变量取值范围在对称轴两边时，则在 围是 () 顶点处取得最小值（或最大值）. A.a>1 B.-1<a≤1 (3)自变量取值范围在对称轴右边时，则在 C.a>0 D.-1<a<2 离对称轴近的端，点（左端，点）处取得最小值（或最6.二次函数y=一(x一1）2+5，当m≤x≤n且 大值). mn<0时，y的最小值为2m,最大值为2m,则 归纳：最值的取得与“自变量取值范围”和 m十n的值为 () “对称轴”的相对位置有关. A.2 3 C 1 B.2 D.2 解题技巧 7.已知函数y=x2十x一1在m≤x≤1上的最 求最值时先确定开口方向与对称轴的位置， 再根据图象确定增减性，求出最值， 大值是1，最小值是一，求m的取值范围. 1.已知二次函数y=x2一2x十2. (1)若一1≤x≤0，y随x的增大而 ；当 x=时，y有最小值为；当x= 时，y有最大值为 (2)若2≤x≤3，y随x的增大而 ;当 x= 时，y有最小值为 ；当x= 时，y有最大值为 (3)若0≤x≤3，当x= 时，y有最小值为 ;当x= 时，y有最大值为 2.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x十5有 最大值m,则m=一： 3已知二次两数y=mr-2x+1,当x<分时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范 围是 39 第2课时求二次函数的解析式 01基础达标 6.已知一个二次函数图象的对称轴是直线x= 1,且函数有最大值2，图象与x轴的一个交点 知识点一设一般式y=a.x2+bx十c 的坐标是（一1,0），求这个二次函数的解析式. 1.已知二次函数的图象经过点（一1，一5），（0， 一4)和(1,1)，则这个二次函数的表达式为 A.y=-6x2+3x+4B.y=-2x2+3.x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3.x-4 2.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函 数的解析式为 ( 3 A.y=- 82 4x十3By= 4x3 易错点未分类讨论 Cy=- -x+3Dy=- 3 4x3 7.已知抛物线经过A(一1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C,且C=3√2，则这条抛物线的解析 式为 02能力提升 8.如图，正方形的边长为1，A,B,C三个顶点都 第2题图 第4题图 在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式 3.二次函数y=ax2十bx十1(a,b是常数，a≠0) 为 中的x,y的部分对应值如下表： A.y=2x2+√2 -1 0 1 2 3 B.y=-√2x2+√2 m C.y=√2x2+√2 (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ,对 称轴为 D.y=-√2(x-2)2 9.将抛物线C1:y=x2一2x+3向左平移1个单 (2)a= ,b= n= 位长度，得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线 知识点二 设顶点式y=a(x一h)2+k或者交 C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为 点式y=a(x-x1)(x-x2)】 4.二次函数的图象如图所示，则其解析式为 A.y=-x2-2 B.y=-x2+2 C.y=x2-2 D.y=x2+2 5.已知二次函数y=ax2十4x十c(a≠0)，当x= 10.若二次函数y=ax2十4ax十c的最大值为4， 一5时，y=0;当x=1时，y=0,则函数的解析 且图象过点（一3,0），则此二次函数的解析式 式为 为 40 1.已知抛物线经过两点(1,0)，(0，)，且其对 03思维拓展 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点， 称轴为直线x=一1. (1)求该抛物线的函数表达式， CD=√2，动点P以每秒1个单位的速度从 (2)若将该抛物线平移，使其顶点恰好落在原 C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速 点，请写出一种平移的方法及平移后的函数 运动，到达点A时停止，以DP为边作正方 表达式 形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形 DPEF的面积为S (1)如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t=1时，S=; ②S关于t的函数解析式为 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发 现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2 所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的 函数解析式及线段AB的长， S* 18- 12.[新考法·推理与运算]已知点（一m,0)和 (3m,0)在二次函数y=a.x2+bx+3(a,b是 常数，a≠0)的图象上. (1)当m=一1时，求a和b的值， 4 (2)若二次函数的图象经过点A(,3),且点 图1 图2 A不在坐标轴上，当一2<m<一1时，求n 的取值范围(1)二次项系数为2，一次项系 (3)-2x<2. 数为2，常数项为1 14.(1)12-1 (2)二次项系数为2，一次项系 (2)3. 数为1，常数项为2. (3)P(-√，3)或(5,3) 4.A5.D6.C 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k 1 7.y= 是 的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2十k 8.2【变式】1 的图象和性质 9.B10.C 1.y=x2+22.B 11.y=4x2+260.x+4000 3.y=-x2+14.C5.B 12.(1)m=-3. 6.D【变式1】>【变式2 (2)m=-1±√5 7.略 13.(1)-3.x2+45.x（ 25 ≤x< 8.-10<y≤29.B10.C 11.B12.513.2-4 15). 14.能.沿y轴向下平移6个单位 (2)AB的长是9m. 长度 14.(1)y=2t2-40t+200,0≤ 1 15.(1)抛物线解析式为y=- t≤10. (2)能.理由如下： x2+1. 由题意，得212-40t+200= (2)抛物线y=a.x2十c与x 8, 轴的交点坐标为（一√3,0）， 解得t1=8,t2=12(不合题 (5,0). 意，舍去) 16.(1)(-4,5)或(4,5) 故当t=8秒时，重叠部分的 面积等于8cm2. 3) 8 26.2二次函数的图象和性质 第2课时二次函数y=a(x一h)2 26.2.1二次函数y=ax2的 的图象和性质 图象和性质 1.C2.右3 1.B2.B3.m<2 3.y=5(x+4)2 <-44.D 4.>【变式1C【变式2m3 5.A6.D 5.图略6.A7.3减小 7.(1)y= (x+1)2 8.(1)m=-2,m=1(不符合题 3 意，舍) (2)图象略 （2)当x=0时，y最大=0. (3)当x<-1时，y随x的增 9.函数y=x2的最小值为0，最 大而增大；当x=一1时，函数 大值为16. 有最大值， 10.D 8.B9.D10.B 11.(1,1) (2,4)±2 11.y2>y1>y312.-41 12.合<a≤3 13.a≤4 【变式】a1>a2> 14.y= 2(x-2)2= 2x2-2x+ asas 2. 13.(1)y= 15.(1)点A,B的坐标分别为（一 (2)(2,3)(-2,3)描点略 2,0),(0,4),抛物线对称轴为 52 x=-2. 专题二二次函数在自变量取值 (2)4. 范围内的增减性与最值 (3)存在.P点的坐标为(-2,1.(1)减小02一15 4)或(-2，-4). (2)增大2235 第3课时二次函数 (3)1135 y=a(x一h)尸+k的图象和性质 2.103.0<m≤≤34.D5.B 1.A【变式】2或42.B3.C 6.D 4.D 1 5.下x=5>5=5大3 7.-2≤m≤- 21 6.(1)a=4;(2)y1>y2. 第2课时 求二次函数的解析式 7.(2,-5)8.C9.A10.C : 1.D2.A 11.y1>y2>y312.-3≤a≤1 13.(1)h取得最大值为227. 3.(1)上x=9 (2)t=4或t=26. (2)1-35 (3)令t=0,解得：h=2. 4.y=-x2-2x+3 14.(1)点A,点B的坐标分别为 5.y=x2+4x-5 (-1,0),(3,0). 1 (2)y=-(x-1)2+4. 6.y=- 2+x+ 2 15.(1)点A,B的坐标分别为A7.y=-x2+2x+3或y=x2- (-1,0),B(3,0); 2x-38.B9.A (2)点D的坐标为(1,1)或 10.y=-4(x+2)2+4 (1,√6). 11.(1)y=- 26.2.3二次函数 y=ax2+b.x+c的图象和性质 (2)向右平移1个单位长度， 第1课时二次函数 向下平移2个单位长度，y= y=ax2十bx十c的图象和性质 1.y=-2(x+1)2+3下x= -1(-1,3) 12.(1) 1a=-1 b=-2 2.x=1(1,-2) 3.A4.D5.C (2)-4<n<-2. 6.(1)(-1,4). 13.(1)①3②S=t2+2 (2)抛物线向下平移3个单位 (2)AB的长为6，抛物线的解 后可以经过原点. 析式为S=t2-8t+18(2≤t 7顶点坐标为(3，)》： ≤8) 专题三求二次函数的解析式 8.D9.D10.B11.6 (压轴题第(1)问) 12.-1或2 1.y=x2+4x-5. 13.(1)顶点坐标为(-1,2) 2.y=x2+2x-3. (2)①当m=2时，n=11, =12-5 ②2≤n<11. 3.y=4x 2x. 微课堂 4.y1=-x2-2x+3,y2=x2 【示例】y1<y2y1<y2y<y2 2x-3. 【变式】y1=y2>y3y1<y2<5.(1)2±1 y3y1>y3>y2 (2)y=-x2+4x+5. 53 专题四函数图象信息题 9.(1)(k-3a+1) 全国中考热点 1.D2.D3.124.C5.A (2)①a=2或3： 26.3二次函数与一元二次方程 ②6.5：3.5；0.5； 1.-12.-53.B4.B @:的最大值为没， 9 5.m<- 4 6.x<-1或x>5 (3)鸭圈面积不能达到24平方 7.C8.C9.C10.D 米 11.B12.D 第2课时二次函数与商品利润 13.(1)证△0. 1.B2.C3.A4.B (2)该函数图象的对称轴为直 5.(1)y=40+10x 线x=一1，顶点坐标为（一1， (2每罐排骨藕汤的定价为53 0). 元； 14.(1)0 (3)当x=5或6时，商家盈利 最大为900元. (2)图略 6.B7.1264 (3)答案不唯一.如： ①函数y=x2一2|x|的图象 8.(1)y=-10x+90(6≤≤x<9): (2)当销售价为8元/件时，政 关于y轴对称； 府该月应付给厂家补贴4万 ②当x>1时，y随x的增大 元； 而增大。 (3)当销售价定为7元/件时， (4)①33②2 该月纯收入最大 ③-1<a<0 9.(1)y=-10x+700, 微课堂 (2)当销售单价为46元时，每 【变式】x=2 0x1=3,x2= 天获取的利润最大，最大利润 -1y1=y3<y2 是3840元； 专题五二次函数的图象与字母系 (3)当45≤x≤55时，捐款后每 数之间的关系一全国中考热点 天剩余利润不低于3600元. 1.三2.C3.D4.C 第3课时建立二次函数模型， 解决抛物线型问题 5.①②④6.D 26.4实际问题与二次函数 1.C2.B3.2√64.能 第1课时二次函数与图形面积 5.该大门的高h为5m. 9 1.C2.243 6.6007.40m8.4m 3.当AE=50m时，市民健身活 动场所的面积达到最大 9.(1)y=- 4x2+3x. 4.(1)S=- 3x2+4x(0<x≤5) (2)方案二的内部支架节省材 料.理由略 （2)当x=5时，S- 35 10.(1)C1:y= 9 (x-3)2+2, 5.C6.C7.75 8.(1)S=x(28-x)=-x2+ 最高点坐标(3,2)，a=一 9 28x. c=1. (2)当x=13时，Smx=-(13 (2)符合条件的n的整数值为 -14)2+196=195(m). 4和5. 54