25.2.3 因式分解法-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

10 25.2.3因式分解法 01基础达标 6.在下列各题的空格中填写适当的解法： 知识点一用因式分解法解方程 (1)解方程2x2十5x=0,用 法较 1.下列一元二次方程能用因式分解法解的有 简便 (2)解方程(5x一3)2=7，用 ( 法 较简便！ ①z2=x;②x2-x+4=0;③x-x2-3=0: 7.用适当的方法解下列方程： ④(3x+2)2=16. (1)x(x-1)=2(x-1). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.用因式分解法解下列方程，变形正确的是 (2)x2-3x十1=0. A.(x+3)(x-1)=1,可得x+3=1或x-1=1 B.(x-3)(x一4)=0，可得x-3=0或x一4=0 C.(x一2)(x-3)=6,可得x-2=2或x-3=3 D.x(x+2)=0,可得x+2=0 3.整式x一1与x一3的积为x2一4x+3,则一元 (3)x2-2x=4. 二次方程x2一4x十3=0的解为 A.x1=-1,x2=3B.x1=1,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3 【变式】已知一元二次方程的两根分别为x1= 02 能力提升 一3，x2=一4，则这个方程为 8.若方程(x一2)(3x十1)=0，则x一2的值是 () 4.用因式分解法解下列方程： (1)(x-2)2-(2x+3)2=0. A号 B.0 D. C.-2 3或0 (2)2(.x-3)2=x2-9. 9.[新考法·跨物理学科]根据物理学规律，如果 把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛， 那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约 知识点二用适当的方法解方程 为9.8x一4.9x2.根据上述规律，物体经过 5.解方程(x十2)=3(2十x),最适当的解法是 秒落回到地面， ( )10.一个三角形两边的长分别为3和6，第三边长 A.直接开平方法 B.配方法 是方程x2一10x+21=0的根，则此三角形的 C.公式法 D.因式分解法 周长为 11 11.我们把关于x的一元二次方程a.x2十bx十14.(1)根据要求，解答下列问题： c=0与cx2+bx+a=0(a≠c,ac≠0)称为 ①方程x2-2x十1=0的解为 一元二次方程的一对“友好方程”.如果一元 ②方程x2一3x十2=0的解为 二次方程的一对“友好方程”有公共解，则这 ③方程x2一4x+3=0的解为 个公共解是 … 12.(长沙中考)对于任意实数a,b,定义一种运 (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 算：a⑧b=a2+b2-ab,若x⑧(x-1)=3,则 ①方程x2一12x+11=0的解为 x的值为 ； 13.[数学活动·教材P变式]当取何值时， ②关于x的方程 的 关于x的方程x2十k.x一3=0和x2+x 解为x1=1,x2=n. 3k=0有且只有一个公共根，求k的值及公 (3)请用配方法解方程x2一12x+11=0,并 共根. 验证猜想结论的正确性. ++++++++++微课堂运用十字相乘法分解因式解一元二次方程+++++++++ 【解题模型】(1)将x2十2x一35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,一35=（一5）X(十7)；②交叉相乘，验中项： +7 →7x一5x=2x;③横向写出两因式：x2+2x-35=(x-5)(x+7). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 【变式应用】 1.解方程：(1)x2一4x一5=0. (2)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8. 2.已知2x2-3.xy十y2=0(xy≠0)，则2的值是温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第二十五章一元二次方程 :14.把x=3代入方程得k的值为 25.1一元二次方程的概念 士√2，再把k=士2代入方程 1.D2.≠±2-2 得另一个根为一1. 3.方程略 15.(1)5±2 -2-8 (1)二次项系数为3，一次项系 (2)x1=1+√22，x2=1 数为一2，常数项为一1； √/22. (2)二次项系数为3，一次项系 第2课时配方法 数为一1，常数项为0： 1.C2.C (3)二次项系数为(m+n), 次项系数为(m一n),常数项为 3.(1)2 (3)93 (p-q). 1 4.A (4) 5.D【条件变式】-1 4.C 【逆向变式】一1 5.(1)x1=1+/5,x2=1-√5， 6.C7.x(x+13)=8288.D (2)x1= -1+13 9.B10.C 6 11.x2+(x-6.8)2=102 -1-√13 12.(1)k=1; 6 (2)该方程的二次项系数为k2 6.C7.C8.B9.110.-2 一1，一次项系数为一(k十1)， 11.(1)x1=x2=4. 常数项为一2. (2)此方程无实数根. 13.(1)-4.x2+100x-400=0. (3)x1=1+√13，x2=1- (2)x2-x-756=0. /13. 14.31Ⅱ（②号 (3)C 12.△ABC是直角三角形. 25.2降次—解一元二次方程 13.1)V462+a7-a 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 (2)AD的长是方程的正根， 1.D2.B 图解法不能表示方程的负根. 3.(1)n≥0(2)x=-4 微课堂 41,=2xg=- 【示例】一4 2 (2)x1=7,x2=-7. 【变式】号音 5.D6.B 25.2.2用公式法解一元二次方程 7.(1)x1=3,x2=-5. 1.A2.A (2)x1=4,x2=0. 3.4m-4>1=1<1 8.99.D10.B11.A 4.A5.A 12.±√2 6.4-3 -2 41 x1= 13.(1)x1=-1,x2=2. 3+√/41 x2 3-/41 8 8 （2)x1=2,x2=°】 7.3.x2+9.x-1=0 (3)x1=3,x2=-3. 8.(1)x1=x2=√2. 49 (2)x1=-2+6,x2=-2-√6. 2.1或2 9.B10.A11.D 25.2.4一元二次方程的 3 2 根与系数的关系 12.(1Dx=2x=3 1.A2.B【变式】2020 (2)x1=0,x2=-2. 2 13.(1)证△>0. 3. (2)m的值为士2，方程的另 5 1 4.(1)0 (2) (3) 个根是4. 2 14.(1)k≤4. 5.D (2)k的值为3或4. 6.另一个根是2十√5，c的值是一 (3)由求根公式得x= 1. 4±√16-4k 7.A8.C9.D10.D11.14 2 12.x2-6.x+6=0 ∴.x1=2十√4一k,x2=2 13.(1)k的取值范围为k>一1. √/4-k,由题意，得x1一x2= (2)1 2√4-k=2,解得k=3. 14.(1)证△>0. 25.2.3因式分解法 (2)m的值为-2或1. 1.C2.B 15.(1)5123 3.C【变式】(x+3)(x+4)=0 4.(1)x1=- e 3x2=-5; 专题一 一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=9. 1.(1)x1=3,x2=-1. 5.D 1 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)x1= 2x2=3. 7.(1)x1=1,x2=2. (3)x1=-2,x2=0. (2)x1 3+53-√/5 (4)x1=2十5，x2=2-√5 2 ,x2 2 (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (501=1,x4=- 1 8.D9.210.1611.±1 12.2或-1 (6)x1=2x2=3. 13.k=2,t=-3. 2.y1=2,y2=-4. 14.(1)①x1=x2=1②x1=1, 3.(1)x1=7,x2=-1. x2=2③x1=1,x2=3 (2)x1=6,x2=-1. (2)①x1=1,x2=11②x2 -(1+n).x+n=0 (3)x1=1x2=- 2 (3)x2-12.x=-11, 9 ④x=2 x2-12.x+36=-11+36,(x 3 -6)2=25,x-6=±5， 4.A5.y2-2y-3=0 故x1=1,x2=11.所以猜想 6.x1=-1+2,x2=-1-√2. 正确。 7.2a+b=-2. 微课堂 25.3实际问题与一元二次方程 【变式应用】 第1课时数字、面积与图形问题 1.(1)x1=5,x2=-1. 1.x(x-16)=2252.363.D (2)x1=-3,x2=1. :4.(18-x)(30-x)=233 50 5.2 x(x-1) (2)y= 1128 6.BE的长为2-√5」 2 7.仪仗方队有12排，17列. (3)该班共有20名女生. 8.(1)小林应把绳子剪成12cm和 综合与实践（一）数形结合 与方程思想 28cm两段， 【理解应用】② (2)小峰的说法是对的. 久（曾秋 【类比证移1x+ (x+x+ (2)10秒后P,Q两点相距 )-4×1+() x2 25cm. 【拓展应用】士231或3 10.(1)电动车车棚的长为24m, 综合与实践（二）方程建模 宽为16m; 与实际应用 (2)不能围成面积为450m2的 任务一：这个矩形的长和宽分别 电动车车棚 是60cm和20cm; 第2课时传播、平均变化率问题 任务二：按图4上面的做法合适， 1.C2.C 下面的做法不合适. 3.(1)每轮传染中，平均一个人传 章未核心考点与素养提升 染10个人； 1.-32.-1 (2)按照这样的速度传染，第三 3.(1)x=√2±1. 轮将新增1210名感染者. 4.A5.10%6.20%7.D (2)x1= 3℃2= 8.B9.6 4.B5.(1)13(2)-6 (3)a 10.(1)10%. 2且a≠0 (2)可以超过40%，理由略 6.(1)当m=1时，四边形ABCD 11.任务1：第一季度到第三季度 为菱形 生产量的每季度增长率为 20%; (2)m=2 任务2：应增加5条生产线， 7.10% 第3课时循环、商品利润问题 8.(1)(60-3a)(2)a=12. 1.D2.B 9.B10.A11.A 1 12.3(x-1)x=6210 3.1)2x(x-1)=40,淇淇的说 13.(1)每月销售y(件)与售价x 法正确： (元)的函数关系式为y= (2)x的值为10. -10x+1200. 4.(3+x)0.5x(4-0.5x) (2)售价定为70元可获得利 (3+x)(4-0.5.x)=15 润是10000元. 5.80元 14.(1)1 6.每件衬衫应降价20元. (2)x1=3+i,x2=3-i 7.(1)y与x的函数关系式为y= 第二十六章二次函数 2x+190(180≤x≤300)： 26.1二次函数的概念 1.C (2)当房价为210元时，宾馆当 2.(1)a≠2 日可获利8450元. (2)a=2,b≠-2 8.(1)1015 :3.一般形式略 51