精品解析：广东江门市广德实验学校等2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可知，解得. 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：,，所以的元素个数为. 3. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析指数函数在区间上的单调性，求出其值域，再根据恒成立条件，得到需小于等于函数的最小值. 【详解】由，函数单调递增，当时，， 当时，，故. 要使恒成立，则，即. 故选：A 4. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆的定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 5. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分（单位：分）．为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后续活动优先资格），平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线．活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 82分 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为， 因为样本中积分数据在的频率为， 样本中积分数据在的频率为， 所以样本数据的第百分位数在区间内， 所以，解得. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得， ， 所以 ， 当时上式也符合，所以，则， 所以. 7. 已知函数对任意的，恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法及奇偶函数的定义判断即可. 【详解】B：令，则，所以，故B错误. A：令，，则，即，所以，故A错误. C：令，则，即， 所以，显然，所以不是偶函数，故C错误. D：令，则 ， 所以为奇函数，故D正确. 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系并标出点，分别求平面、平面、平面的法向量，根据线面关系求点的坐标，再结合台体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为，则， 设的重心分别为， 可知为正三棱台的高，即， 则三棱台的体积. 取的中点，过点与平行的直线与交于点， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 可得，，， 因为分别为侧棱，的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设，则，， 由题意可得：，解得， 即，则三棱锥的体积； 所以三棱台与三棱锥的体积之差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部是 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】化简为形式，根据复数加法法则，及复数模的求法判断A；由复数的定义判断B；利用共轭复数的概念判断C；根据复数的几何意义判断D. 【详解】. 因为，所以，所以A正确； 的虚部为1，所以B错误； 因为，所以C正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，所以D错误. 故选:AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 当的最小正周期为时， B. 当在上单调时， C. 当在上恰有两个零点时， D. 当时，在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A错误，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由图象法可求得值域. 【详解】易知函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A错误； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C正确； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：当时，可得，则可构造函数，得到，再利用导数研究函数的单调性，即可得解；对B：举出反例，如时，即可得解；对C：结合A中所得，结合作差法构造函数计算即可得；对D：找出符合条件的例子，如假设，结合A中所得，结合零点存在性定理，证明函数在上存在零点即可得. 【详解】对A：由且，则可化为， 令，则有， ， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则时，， 即恒成立，故在、上单调递增， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即， 则当时，，当时，， 由，则，又，则，故， 又因为在上单调递增，故，故A正确； 对B：若，则，， 故当时，可为，故B错误； 对C：由A知，当时，，且， 则， 令，， 则， 故在上单调递增，即有， 即，故C正确； 对D：要使得，只需， 即，取， 假设，由A知，，且， 则只需使得， 令，， ，则在上单调递减， 又，， 故存在，使得， 即，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和正弦公式化简可得，根据同角三角函数的基本关系求结论. 【详解】由，所以，所以. 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标和准线方程，通过点关于线的对称求得圆心坐标，再结合直线与圆相交弦长公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程：， 易知点关于的对称点坐标为， 所以圆的方程为， 圆心到直线的距离， 所以 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 【答案】2304 【解析】 【详解】因为这5个数字之积为0，并排成一个5位数， 所以第4个圆的上方位被选， 则左方位有种选择，右方位有种选择，下方位有种选择，正中位有种选择， 且0不能在万位上， 先排万位有种，剩下的有， 所以共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理边化角可得，运算求解即可； （2）根据题意利用余弦定理可得，结合基本不等式可得，进而可得面积最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，由余弦定理可得， 即，可得， 又因为，即，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）通过证明平面来证得平面平面． （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 因为分别是的中点,所以. 因为为上靠近点的四等分点,为上靠近点的四等分点, 所以,所以,所以四点共面. 【小问2详解】 因为,所以,所以. 因为平面,所以平面. 因为平面,所以平面平面. 【小问3详解】 连接.因为,所以, 则由(2)得平面平面，平面平面， 平面,所以平面. 以为坐标原点,以所在直线分别为轴, 以过点且平行于的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,. 设平面的法向量为,则 令,则. 易得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为, 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． （1）求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． （2）该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件为 “第一段代码调试成功”，事件为 “第二段代码调试成功”，则，代入数据即可计算； （2）分别求出挑战成功（两段都成功）的概率，只成功一段的概率，两段都失败的概率，设一次挑战的奖励为​，求出，利用求解即可. 【小问1详解】 设事件为 “第一段代码调试成功”，事件为 “第二段代码调试成功”， 已知，则，，， 则， 即. 【小问2详解】 挑战成功（两段都成功）的概率； 第一段成功、第二段失败， 第一段失败、第二段成功， 所以只成功一段的概率， 两段都失败的概率， 设一次挑战的奖励为​，则， 因为两次挑战相互独立，所以. 18. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得a值，根据，可得t值，将P点坐标代入方程，可得，即可得答案. （2）（ⅰ）设出直线AB的方程，与双曲线联立，结合韦达定理，可得表达式，求出直线AD和直线BE的方程，消y可得关于x的表达式，化简整理，即可得证 （ⅱ）根据（ⅰ）设出H点坐标，进而可得所需向量坐标，根据向量夹角公式，结合条件，代入计算，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，所以， 因为点在上，且， 所以，解得，即， 将点P坐标代入双曲线可得，解得 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题意，设直线AB的方程为， 联立，得， 则， 又，则， 所以，， 联立，得， 则， 所以 ， 所以点在定直线上. （ⅱ）证明：设，则，， 所以， ， 因为在直线上，所以， 因为为的根，不妨令， 则，所以， 则， 所以， 所以 ， 则， 所以，即 19. 已知函数（且）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，记，为数列的前项和，证明：． （3）当，时，函数有两个零点．证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数 的导函数 ，计算 和 的值，再利用点斜式方程求出曲线在 处的切线方程. （2）先化简数列 的通项公式，将前100项和 拆分为等比数列求和、等差数列求和及对数裂项相消三部分，最后通过放缩法证明 . （3）先化简函数 ，构造单调函数 转化方程，分析辅助函数 的零点分布，再构造函数 进行不等式放缩，最后通过推导得出 . 【小问1详解】 依题意,, 所以. 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可知时,, 所以 . 【小问3详解】 当时,. 令,得,则, 即, 令函数,则, 因为在上单调递增,所以,即. 令函数,则, 令,得,得1, 所以的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为, 依题意可得有两个零点,不妨设,则, 令函数,则, 所以在上单调递减. 因为,所以当时,; 当时,. 所以,即, 所以由有两个不相等的正根,且, 得,则, ,则,即, 所以, 因为,所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分（单位：分）．为筛选“核心探索者”（享受专属虚拟道具与后续活动优先资格），平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线．活动结束后，平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．据此，以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 82分 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数对任意的，恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部是 C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知函数，则（ ） A. 当的最小正周期为时， B. 当在上单调时， C. 当在上恰有两个零点时， D. 当时，在上的值域为 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 14. 如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位，并记下该方位圆内的数字，要求所得5个数字来自不同的方位（例如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字），且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有______种情况（在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． （1）证明：四点共面． （2）证明：平面平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战，且两段代码均调试成功才算一次挑战成功．已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为．若第一段代码调试成功，成员M信心提升，则调试第二段代码成功的概率为；若第一段代码调试未成功，成员M会更谨慎，则调试第二段代码成功的概率为． （1）求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率． （2）该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励．若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量，求的数学期望． 18. 已知双曲线上的点与坐标原点之间距离的最小值为2，点在上，且． （1）求的标准方程． （2）过点的直线交于异于顶点的，两点，且，，设的左、右顶点分别为，直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上． （ⅱ）证明：． 19. 已知函数（且）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，记，为数列的前项和，证明：． （3）当，时，函数有两个零点．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $