精品解析：2026届广东深圳市桃源居中澳实验学校高三下学期二模热身考试数学试题

2026届高三深二模热身考试 数学 2026. 4. 8 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数性质，以及绝对值的定义，分别求得集合，结合集合交集和补集的运算法则，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由，可得或，解得或，所以或， 则，所以. 3. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两端平方，从而解出与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 4. 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合渐近线的方程为，由点到直线的距离可得，，再由三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得 所以的渐近线的斜率为. 5. 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出轴截面，利用等面积结合勾股定理求出母线长即可得解. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形， 记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为， 由题知，解得， 由三角形面积公式可得，即①， 又②，联立①②解得， 故圆锥的侧面积. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出图象的对称中心后利用代入法可得，故可求的最小值. 【详解】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为， 故，故，而，故. 8. 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（ ） A. 第一组数据的平均数为4 B. 第二组数据的方差为3 C. 将两组数据合并后数据的平均数是9 D. 将两组数据合并后数据的方差是30 【答案】ACD 【解析】 【详解】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 由题意知，， 则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确； 第二组的方差为，故选项B错误； 将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确； 第一组样本数据的方差， 即， 即， 即， ， ， 则两组数据合并后数据的方差是 ， ， ， 则两组数据合并后数据的方差 ，故选项D正确. 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 当时， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法可判断数列的单调性，判断A的真假；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法可判断BC的真假；利用裂项求和法可判断D的真假. 【详解】对于A，易知，由，得，所以，所以是递增数列，故A正确； 对于B，由对A的分析，知， 所以（仅当时取等号）， 由，得， 所以当时，， 所以当时，， 因此当时，，故B正确； 对于C，由，得， 由对B的分析知，当时，，所以， 故当时，， 所以，故C错误； 对于D，由，得， 即， 所以，故D正确． 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C. 曲线所围成的封闭区域面积等于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据直线与圆的相交相切关系可判断AD，根据双曲线的定义可判断B，根据弧长公式及扇形面积公式可判断C，进而可得结果. 【详解】因为曲线：，分象限讨论： 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分； 如图： 曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称. 对于A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离， 化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限， 所以当时，直线与曲线有唯一公共点， 当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：故A错误； 对于B，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为， 显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以B正确； 对于C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故C正确； 对于D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为， 而这两条切线间的距离为. 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或； 因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为， 由图可得实数的取值范围为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13. ___________． 【答案】## 【解析】 【详解】， 又， 所以， 所以． 14. 已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法即可求出最大值. 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为， 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则， 所以问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，且. （1）求角A； （2）若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角； （2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc，从而求解面积. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则， 由正弦定理得， 因为的周长为，所以， 由余弦定理得， 即，所以， 所以的面积 . 16. 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． （1）证明：平面； （2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由已知点为线段的中点，点为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （2）设圆柱的底面半径为，母线长为，根据侧面积与底面面积关系证明，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设圆柱底面半径为，母线长为， 因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和， 所以，所以， 由已知，，，，， 因为是该圆柱的母线，所以平面， 因为四边形是正方形，所以， 故平面，又平面， 所以，， 又为圆的直径，为圆上异于，的点， 所以， 以点为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，， 故为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2） 【解析】 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 19. 每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． （1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）借助概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式计算即可得； （3）借助全概率公式计算可得，则可利用等比数列定义及其性质求出的通项公式，再得到随机变量所有可能取值及其对应概率即可得分布列，再利用数学期望公式计算即可得期望． 小问1详解】 设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件， 有2名男生为事件，有3名男生为事件，则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 当时， ， ， ， 由，得 ， 即有，又， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同， 故，又， 所以， 第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3， ， ， 故其分布列为： 1 2 3 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三深二模热身考试 数学 2026. 4. 8 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（ ） A. 第一组数据的平均数为4 B. 第二组数据的方差为3 C. 将两组数据合并后数据的平均数是9 D. 将两组数据合并后数据的方差是30 10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 当时， C. D. 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确是（ ） A. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C. 曲线所围成的封闭区域面积等于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线距离为，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________. 13. ___________． 14. 已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，且. （1）求角A； （2）若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积. 16. 如图，，是圆柱下底面圆的两条直径，点是该圆柱上底面圆周上一点，的中点为． （1）证明：平面； （2）是该圆柱的母线，若四边形是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）当时，不等式恒成立，求实数取值范围． 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 19. 每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． （1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； （3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $