广西桂林市国龙外国语学校2026届高三下学期3月月考数学试卷

广西桂林市国龙外国语学校2026年3月高三月考 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.己知sin0:tan0<0,则角0是() A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第二、四象限角 D.第三、四象限角 2.若复数z= 它的共轭复数为z,则：·=（) A.2 B.√2 C.1 D. 3.已知集合A={x-1<x<3},B=xx2-5x+4<0,则AUB=() A.{x1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x-1<x<3} D.{x|-1<x<4g 4.已知双曲线C:y 31(a>0,b>0的两条浙近线均5圆x-)+y=相切，则双曲线c的腐心率为 A.4 B.3 C.2 D.5 x-1 5.已知命题p:x∈ 命题q:x∈{xy=lnx},则命题p是命题q的() A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若正整数a,b满足20262025=2027a+b,其中0≤b<2027,则b的值为() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 7.已知随机变量x,Y均服从两点分布，且2(X=)=号P心=)=号，若PX=1y=1=号，则 P(Y=1X=0)=() A 7 3 B. 15 C. 5 0 5 8.己知函数f(y)=snx,将f(9)图象上点的横坐标变为原来的}（纵坐标不变），再将所得图象向右平移亚 12 个单位长度，得到函数8(x)的图象.若廿x∈ 5ππ 12’4 总存在唯一实数B∈[0，m],使得g(az)+g(B)=0, 则实数m的取值范围为() π兀 兀5π π5π A.43 B.4'12 c.43 412 数学试卷第1页共11页 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.己知函数f(x)=(x+1)nx,则() A.∫(x)存在唯一的极值点 B.f(x)存在唯一的零点 C.直线2x-y+2=0与f(x)的图象相切 D.若f(a)≥f(nx),则a≥1 10.已知数列a}满足，-3，=己十片则() an+l an A.数列 1 是等差数列 4n】 1 C.数列 的前n项和T=n1+) D.数列 是递减数列 6 a. 11. 已知双腊线C普若1a>0b>0)的其中一条新近我方程为y-y,且过点(2引点2为该双曲线右 支上一点，点耳，耳，分别为该双曲线左右焦点则下列说法正确的是() A当∠R限=行时，A听R的面积为 B.存在过点M(1,)的直线与双曲线C相交于A,B两点，且点M为AB的中点 C.△PFE的内切圆与x轴切于点G,则G-GE=2 D.过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足为D,B,则两垂足距离最短为 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.己知点A(2,y1)在抛物线y2=8x上，0为坐标原点，则|0A=一； 13.已知定义在R上的函数∫(x)满足f(1013)=2026,对任意的实数x、x2,且<x2,(x)-f(化2)>X-x2, 则不等式f(x-1013)<x的解集为一 14.己知球O的半径为2，圆锥OO的底面圆周在球O的球面上，AB是圆Q的一条弦，且二面角O-AB-O为 45°，则当三棱锥O-ABO的体积最大时，圆锥O0的侧面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(本题13分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量i=(c0sC,2b-c),i=(a,-c0s4),且i⊥i. (1)求A: (2)若BD=2DC,AD=4,求△ABC面积的最大值； 数学试卷第2页共11页 16.（本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=PD=2AB=4,PD⊥平面ABCD,AB/1CD,AB⊥AD, E,F分别为棱PD,PB的中点. (1)若点G满足PC=4PG,求证：直线AG与直线EF共面： (2)求二面角B-AF-E的大小. 17.(本题15分)记知圆C+广Q>6>0)的离心率为号，上下顶点分别为A,B,且AB4过点Q,1) 2 的直线与椭圆C相交于不同的两点M,N(不与点A,B重合)· (1)求椭圆C的方程： (2)若直线AM与直线y=4相交于点P,求证：B,P,N三点共线 数学试卷第3页共11页 18.(本题17分)已知函数f()=21x-ax2+2x-1,8(x)=f(x)-2+3(a∈R). (1)若f(1)=-1,求函数y=f(x)的单调增区间： (2)若关于x的不等式g(x)≤0恒成立，求整数a的最小值： )当0<a<1时，函数名d)恰有两个不同的零点x,且5<，求证3，>为 19.(本题17分)羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得 1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出 现20：20，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现29：29，先取得30分的一方该局获胜.现 甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为P；乙发球时，甲得分的概率为9. （I)若p=g=了，记甲以21：i≤19，i∈M赢一局”的概率为P(4),试比较P(4)与P(Ao)的大小， (Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下2×2列联表部分数据，若不考虑其它因素 对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为P,9的值. 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 ①完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为比赛得分与接、发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成27：27，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望. n(ad-be 参考公式：X=a+b)c+d)(a+cb+d 其中n=a+b+c+d. 临界值表供参考： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.001 Xa 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 数学试卷第4页共11页 《广西桂林市国龙外国语学校2026年3月高三月考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 答案 D C D C A B BD AC ACD 7.A 【详解】由于X服从两点分布，且P(x=)= 因此PX=0)=1-Px=D=1-1 22 由全概率公式得P(=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=), 即2P(X=0Y=0+5 3 所以PX=0,r=)=221064 35151515 4 由条件概率计算公式得PT=1X=0)-PX=0,I=)-54X 115 28 P(X=0) 15 2 故选：A 8.B 【详解】将f(:)图象上点的横坐标变为原来的号 (纵坐标不变)， 再将所得图象向右平移亚个单位长度， 12 可得：)=2 当[-升，可得2[ 5π π5元 412 则g(a)e =8(x) 因为存在唯一实数e[0,则，使得g(a)+g(P)=0，,即0,5 是g()的子集，且B唯一， 由=mx君副修可知，80=m(习月 6 所以实数m的取值范围为 π5π 气66-27 4'121 故选：B 11.ACD b=5 a=1 【详解】由 ,即 49 所以双曲线c的方程为x-号=1 所以c=Va2+b2=2,所以焦点为耳(-2,0)，F,(2,0). 对于A:当∠RPR=2时， 3 PRI-PRI=2 由Pf+Pgr-2 cos2-(2c=16所以PgP-4. 3 所以$专PPn行方49，故A 2 对于B:设A(x,),B(x,), 数学试卷第5页共11页 其-1 则 3 ，所以（飞+）年-￥)+4出)0 又M(1,1)为线段AB的中点，所以+x2=2,y+y2=2, 所以业=3，故k=3,AB的直线方程为3x-y-2=0, x2-x1 xr--1 直线与曲线方程联立 3 ,则6x2-12x+7=0, 3x-y-2=0 因为△<0，此方程无解，所以不存在符合条件的直线，故B错误： 对于C:设△PFE的内切圆为圆H,与P耳，PF,相切于S,T PS PT,FS=FG,F.T=FG. 又因为P-P=2,所以PS+F-PT-F,I=2, 所以S-T=2,即G-E,G=2,故C正确： 对于D:设P(,y),不妨设点D在渐近线V3x-y=0上， 则PDl= 2 2 由余定理D=Pnf+Pf-2PD叫o受5-5+x-小返+， 3 4 的3景 2 4 因为>1，所以D23}(当气=1时取等号》.即04e9数D正确 2 故选：ACD. 三、填空题 12.2W513.(2026,+m)14.4W6元 3 14【详解】设圆锥O0的底面半径为？，O0=d,球O的半径R=2. 如图，取AB的中点C,连接OC,OC,OA=OB,OA=QB, 则OC⊥AB,OC⊥AB, 则∠0C0是二面角0-AB-O的平面角.∠0C0,=45°， OC=d,AB=2Vr2-d,d+r2=R2=4, 所以AB=2W4-2d,由4-2d>0得0<d<V2, 则三棱锥O-ABO的体积 r-含4Boc00,=背41a}w, 32 3 C01 令f(d)=2d-d°，f"(d)=2d(4-3d), 令2d(4-3d)=0,则d=25(负根合去)， 3 数学试卷第6页共11页 所以f(d)在 3 上单调递增，在 上单调递减， 3 则当三棱锥O-ABO的体积最大时，d= 2V3 3 则，=2V6 3 此时，圆锥00的侧面积S=0R=4 3π. 故答案为： 4v6 3. 四、解答题 15.四A-月 (2)6√3 【详解】（1)因为mLi,所以mi=0,即ac0sC-(2b-c)C0A=0,…(2分) 由正弦定理得sinAcosC-(2sinB-SinC)c0s4=0,…(3分) 所以sinAcosC+cos AsinC=2 sinBcosA. 因为A+B+C=π，所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos4sinC, 所以siB=2 2sinBcos1,sinB≠0，所以cos4= 2 …(5分) 因为0<A<死，所以A=汇.…(6分) 2)因为丽-2心C,所以BD-8c-号Ac-号8 所以AD=B+BD=1AB+2AC,.…(7分）) 所以而-亚+还五号亚灭衣， ……（8分) 因为d=4,且A- 65c22c+4h2>2bc3bc≤24， 91 9 Γ3 当且仅当2b=c=45时，等号成立， 则△ABC的面积S=bcsinA=V5bc≤65，即△ABC面积的最大值为6N5.(13分) 4 B D 17.(1)证明见解析 a号 【详解】(1)因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.·(2分) 因为底面ABCD为直角梯形，∠CDA=90°， 所以以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 所以A(4,0,0),P(0,0,4),B(4,2,0),E(0,0,2）,F(2,1,2),G(0,1,3),…(4分) 数学试卷第7页共11页 所以AE=(-4,0,2),AF=(-2,1,2),AG=(-4,1,3), …(5分) 因为AG=1A证+A亚，所以A,G,B,F四点共面，…(6分) 所以直线AG与直线EF共面.…(7分) E H D B （2)AB=(0,-2,0),PA=(4,0,-4) 元.A正=-4x+2z=0, 设元=(x,y,)是平面AEF的一个法向量，则 i.AF=-2x+y+2z=0, 令z=2,则x=1,y=-2,得i=(1,-2,2),…(9分) m·AB=-2y1=0, 设i=(x,,)是平面PAB的一个法向量，则{ m-PA=4x1-4z1=0, 令二1=1，则x=1,y=0,得i=(1,0,1),…(11分) 设平面AEF与平面PAB的夹角为O, 因为cos0=-kosi,m-72 |i.例√2 …(13分) 由图可知，二面角B-AF-E为钝二面角， 所以二面角B-AF-B的大小为3死 …(15分) 17.+上-1 (2)证明见解析 84 2b=4, 【详解】(1)解：根据题意， cv2 a2 …(2分) 2=b2+c2 解得a2=8,b2=4.… …(3分) 所以椭圆c的方程为：二+上=1， ……(5分) 84 (2)由(1)知，A(0,2),B(0,-2) 根据题意，直线N的斜率一定存在，设直线N的方程为y=c+l.…(6分) 由r+22-8=0 {y=+1,得(2k2+)x2+4h-6=0. 根据题意，△>0恒成立，设M(:,y),N(x2,y2). -4k -6 则+长212水 (9分) 数学试卷第8页共11页 直线AM的方程为y-2=当-2 x 令y4,得x2所以P八9g 片-2 …（10分) 因为B(0,-2),N(x2,y2), 则直线BN,BP的斜李分别为k=+2,ke-301=2) (11分) x, kw-k2=h+230-2)-￥，+2)-3x,0-2) (12分) x, XX2 又x0y2+2)-3x,0-2)=x(x+3)-3.x,(-1), 265+3+)=26 =0.… (14分) 2k2+1 所以kw=k3P, 所以B,P,N三点共线。… (15分) 18.(1)单调增区间为(0,1)(2)2 (3)证明见解析 【详解】(1)当f(1)=-1时，f(-1)=-a+2-1=-1,所以a=2,…(1分) 则f(x)=2nx-2x2+2x-1,定义域为(0，+o). 令f()）=-2-2x+0,解得：0<<1. …(3分) 所以f(x)的单调增区间为(0,1).…(4分) (2)依题意g(x)=f(s)-2m+3≤0对x∈(0，)恒成立，等价于a≥2（血x+x+D对x∈(0，+∞）恒 x2+2x 成立…(5分) 令hx)-2血x+x+,则i国)=2(x+12m+9】 x2+2x （x2+2x …（6分) 令p(x)=2nx+x在(0，+o)上是增函数， 0)-10.-时250-42y0 所以3巧∈1使p5)=0即2血6+=0… (7分) 对x∈(0，)，p(x)<0,(x)>0,所以h(x)在(0，x)上单调递增： 对x∈(x,+o),p(x)>0,h(x)<0,所以h(x)在(x,+o)上单调递减.… (8分) 所以4()=M)=2血++。多+21 x(x。+2)(x+2)x。 (9分) 所以a≥1e1,2.…. …（10分) x 又a∈Z,所以整数a的最小值2… …(11分) 数学试卷第9页共11页 3》当0<a<1时，击2)加g国在01单酒道州 在上单调减且日)0，→0时。 g(x)→-0；x→+时，g(x)→-0： 依题意存在x，2∈(0，+o)使得8（化）=8（化2） .1 己知<x2可得0<x<二<x, 要证名李>成立，只骑证《+名 2 ……(13分) a 8(x)=0 m=2+a-1+1 因为x,x2是8(x)的零点，所以 8(3)=0 1 r,=2+(a-1,+1 两式相减得：n-a飞a代-)+a-D-) 即2(g-+25-) …（14分) a (Inx-mnx2)+(x-x2) (（-x)+2(x-x) 只需证￥+名>血5-nx)+(G-名） 又因为<x,只需证-发+（化+x)h支<-+2(x-) x, 即证ln光☑（-2. …(16分) 2为1+x2 令1-点∈(o,)则G0=1nt-2-),所以g日=么-1 >0, x, 1+t t1+t)2 所以G0在(0,1)增函数，所以G0<G)=0即nt<2-) t+1 g即ln生2(-2成立…：（7分 x2x2 所以原不等式得证 19.(I)P(A)=P(A)(Ⅱ)①列联表见解析，有： @分布列见解析。1贸 【详解】(I),甲以21：i(≤19，i∈W)获胜，则在这21+i个回合的争夺中，前20+i个回合里，甲赢下20个 回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜 …（1分) ·P4)-Cg× …（3分) P4) 29！,10k20! 3=且， 'P(A) 9x20! 301 .P(A)=P(4o) (5分) 数学试卷第10页共11页