期末模拟试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 融合文化传承与社会热点，如《九章算术》分钱问题、冬奥会吉祥物采购等情境，梯度覆盖平移、因式分解、动点问题等八年级下册核心知识，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平移、逆定理、三角形角度计算|第4题以《九章算术》为背景，体现文化传承| |填空题|6/18|因式分解、几何计算|第12题通过拼图过程分解因式，培养几何直观| |解答题|8/72|不等式解法、中心对称、动点问题|24题动点问题综合几何与代数，考查空间观念；22题结合冬奥会热点，强化模型意识|

2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷 （北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有选项B可以看作由“基本图案”经过平移得到，其它选项的图案都不能看作由“基本图案”经过平移得到. 2．下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 【答案】B 【详解】解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题，所以A选项有逆定理； B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以B选项没有逆定理； C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理； D、直角三角形的两锐角的和为90°的逆命题为：两锐角的和为90°的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，所以D选项有逆定理． 故选B． 3．如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，即可列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱， ∴第一次每人分得元. ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元. ∵第二次每人分得的钱与第一次相同， ∴可列方程为． 5．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 6．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 7．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 8．已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法．用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ①②得，， ①②得，， 由题意得，，， ，， ，①正确； ， 解得：，②正确； 时，，，③正确； 故选：D． 9．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 10．如图，在等腰直角三角形中，P为斜边上一点，连接，于点D，E为上一点，且，交于点F，，的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点C作交延长线于点G，证明出，得到，，然后证明出，得到，设，，表示出，然后根据求出，得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点C作交延长线于点G ∵在等腰直角三角形中， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 13．已知，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值． 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 【详解】解：， ， ， ， ， 等式两边同时乘，得， ， 原式． 14．如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先过点作于点，再利用等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，得出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 则． ， ， ． ， ， ， ， ． 15．在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 16．如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质和判定，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键； 先通过辅助线构造矩形和全等三角形，利用梯形的性质、角平分线的性质得出线段之间的关系，再借助勾股定理求出相关线段长度，进而求得BD的长． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形． ， ． 平分， ， ， ． ， 梯形是等腰梯形． 又，， 由梯形的轴对称性可知，． 四边形是矩形， ，． 又， ． 在中，， ， ， ． 在中， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 18．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为21 【分析】（1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 答：的周长为21． 19．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段的和差等量代换证明，从而证明； （2）根据含角直角三角形的性质可得BE的长，证明是等边三角形，可得，从而根据线段的和差关系，依次求得、的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，即， ，， ． （2）解：，，， ，， 是等边三角形， ， ， ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】；原式 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 21．计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2） （3）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 22．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】（1）根据题干给出的两个总花费条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到两种吉祥物的单价． （2）设购买冰墩墩的数量，根据资金范围列一元一次不等式组得到数量的取值范围，再列出总资金的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可求出最小资金和对应购买方案． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意得 ， 解得 ， 答：购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元． （2）解：设购买个“冰墩墩”，则购买个“马墩墩”，总投入资金为元． 根据题意得， 由投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，， 此时， 答：应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元． 23．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵． (1)若按售价直接购买，采购总费用不超过4900元，至多可以购买多少棵松树？ (2)现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算？ 【答案】(1)至多可以购买18棵松树 (2)当购买15棵松树时选择方案二更合算；当购买16棵松树时两种方案费用相同，一样合算；当购买17，18，19，20棵松树时选择方案一更合算 【分析】（1）设购买松树棵，则购买玉兰树棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果； （2）设购买松树棵，则购买玉兰树棵，分别表示出方案一的费用为元，方案二的费用为元，再分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设购买松树棵，则购买玉兰树棵， 由题意可得：， 解得：， 故至多可以购买18棵松树； （2）解：设购买松树棵，则购买玉兰树棵， 由题意可得：方案一的费用为：（元）， 方案二的费用为：（元）， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：； ∵为正整数， ∴综上所述，当购买15棵松树时选择方案二更合算；当购买16棵松树时两种方案费用相同，一样合算；当购买17，18，19，20棵松树时选择方案一更合算． 24．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷 （北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 3．如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有x人，平分15元钱；第二次比第一次增加5人，平分40元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 5．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 6．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 10．如图，在等腰直角三角形中，P为斜边上一点，连接，于点D，E为上一点，且，交于点F，，的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．因式分解：______． 12．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 13．已知，则代数式的值为_____． 14．如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为__________． 15．在四边形中，，，，，则的最大值为______． 16．如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 19．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 20．先化简，再求值：，其中． 21．计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)解不等式组． 22．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 23．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵． (1)若按售价直接购买，采购总费用不超过4900元，至多可以购买多少棵松树？ (2)现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算？ 24．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 学科网（北京）股份有限公司 $